广东省部分学校2024-2025学年高三年级上册第二次调研考试数学试卷（含答案）

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广东省2025届普通高中毕业班第二次调研考试

数学

本试卷共4页，考试用时120分钟，满分150分。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的市(县、区)、学校、班级、姓名、考

场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡左上角“条

形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目

选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答

案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各

题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写

上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.ax>2n是“/>2%”的

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.若双曲线C：<-£=l(a>0,b>0)满足a=26,则C的离心率为

A.yB.5C.*D.亳

3.设全集U=MUN=|1,2,3,4|,N=|1,2(,则MnC“N=

A.|3,4|B.|3(C.|4|D.0

4.已知四棱锥PJBCZ)的体积为4,底面/LBCD是边长为市的正方形，PB=3,则直线

PB与平面ABCD所成角的正弦值为

A-—3R从—3c—3D—3

5.设a,b,c分别为函数/(%)=工及'-1,g(x)=xlgx-l,%⑷=%e*-1的零点，则

a,b,c的大小关系为

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

数学第1页(共4页)

6.已知向量同=2说，同=(3,-百)，AD=(1,#),则四边形ABC0的面积为

373

B.3#C.3#D.诬

网-割=1，/倩)=。，且

7.已知函数7(%)=cos(。/+w)(s＞。

/•(%)在区间(点，符)上单调，则”的最大值为

A2B垓

A，2

8.一个正八面体的八个面分别标有数字1到8,任意抛掷一次这个正八面体，观察它

与地面接触的面上的数字.事件4=|2,4,6,8),事件8={5,6,7,8|,若

事件C满足尸(ABC)=P(4)PGB)P(C),P(BC)KP(3)P(C),则满足条件的事件

C的个数为

A.4B.8C.16D.24

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数z满足|z|=2,则

A.z可以是-l+新B.若z为纯虚数，贝IJz的虚部是2

C.zz=4D.|z+11nli”

已知等差数列的前兀项和为a=l,则

10.|an|s“，K4SS-5S4=20,6

A.a,=-11

B.S9=-9

C.当口=5时，Sn取得最小值

D.记6“=%,则数列也|前兀项和为2*-9n

11.已知函数/(%)=|工-1|+I*-aI+ln4(a>0),贝!]

A.当a=l时，/(«)在(0,1)上的最大值为1-In2

B./(%)在(1,+00)上单调递增

C.当"〉a时，f(x)>0

D.当且仅当ae(ln2,1)时，曲线y=/(工)与工轴有三个交点

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题第一空2分，第二空3分

12.在△48C中，zCA=y,BC=B,AB=1,则4C=.

13.若函数/(%)=，+夫的图象与直线y=a有两个交点，则a的最小值为

X+1

数学第2页(共4页)

14.已知点F为椭圆E：《+马=1的右焦点，直线Z与椭圆相交于43两点，且与

乙b

圆。：/+/=*在y轴右侧相切.若Z经过点尸且垂直于4轴，则|48|=

；若，没有经过点尸，则△4BF的周长为.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

某市举办一年一度的风筝节，吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况，有关部

门随机抽取了200位游客，对其出行方式进行了问卷调查(每位游客只填写一种

出行方式)，具体情况如下：

出行方式地铁公交车出租车自驾骑行步行

频数542738421821

用上表样本的频率估计概率，低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行.

(1)若从参加活动的所有游客中随机抽取3人，这3人中低碳出行的人数记为X,

求P(X=2)和矶X)；

(2)据另一项调查显示，80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，60%

的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动，求今年参加活动的游客明年继续

参加活动的概率.

16.(15分)

已知函数/(%)=e1-1-%lnx.

(1)求曲线y=/(x)在点(l,f(D)处的切线方程;

(2)证明：/(«)>0.

17.(15分)

如图，四棱锥的底面4BCD是边长为2菱形，乙ADC=60。，E,F分别是

AB,P0的中点.

(1)求证；EF〃平面PBC；

(2)若PC1AB,PC=«,PB=2,求平面P4O

与平面尸所成角的余弦值.

数学第3页(共4页)

18.(17分)

在数列U„l中，臼=1,V八N”都有％一。如，a2P成等差数列，且公差为

2k.

(1)求a?,,a4,a5i

(2)求数列|明|的通项公式；

(3)是否存在肛使得VLwN',a2k+x,a2k+l+x,/+2+工成等比数列.若存

在，求出工的值；若不存在，说明理由.

19.(17分)

已知集合时={4，02,…，0„],neN*,设函数£(%)=sin2(x-d)+sin2(x-

2

02)+••,+sin(«-0n).

(1)当用={。，的和借，3}时，分别判断函数力⑷是否是常数函数？说明

理由；

(2)已知=碧，fceN,^12},求函数为(8)是常数函数的概率；

(3)写出函数，(工)5N2)是常数函数的一个充分条件，并说明理由.

数学第4页(共4页)

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广东省2025届普通高中毕业班第二次调研考试

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

题号91011

选项ACBCDABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题第一空2分，第二空

3分.

12.?13.314.7?2^2

O

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

【解析】(1)记“低碳出行”为事件4估计产⑷=1-牛祟力……2分

则X制3,1■卜....................................................3分

P(X=2)=C；x信『x侍、涔...................................5分

1Q

E(X)=np=3=亍...............................................7分

(2)由⑴知P(4)q,则有P(3)=〃，记“今年参加活动的游客明年继续

参加活动”为事件凡

由题意P(m4)=今,尸(川彳)=亳，...................................9分

所以P(8)=P(4)P(8|4)+P(彳)玖川彳)=^x*+春x京=黑......13分

JJJJD

数学参考答案第1页(共6页)

16.(15分)

【解析】⑴/(I)=e-Jln1=1,..................................2分

/'(工)=e--(lnx+1),贝雅=，(1)=0,..........................5分

曲线y=/(z)在点处的切线方程为y=l...................6分

(2)解法1：定义域为(0,+00).................................7分

①当0<%<1时，ex-1>e_1,xlnx<0,贝!|>%lnx,即f(“)>0;.....8分

②当x^l时，f(x)=ex"1-(Inx+1)=ex-1-Inx-1.

设g(R)=f'G),g'(*)=e--Lg'(x)在［1,+oo)上单调递增，g'(l)=0,

X

所以g'(*)vo,...............................................n分

所以gG)在［1,+00)上单调递增，g(i)=0,g⑷>0,即,⑷穿0,…14分

所以所以在［1,+00)上单调递增，/(I)=1,则e'TrlnQl,.....16分

综上所述，/(x)>0............................................17分

解法2：定义域为(0,+00)............................................................7分

要证要的>0,只需证e'T>dnw,只需证史:>近，..................10分

XX

令/t(x)=亍，g(*)=¥，

L，/\工ez-'(x-2)

h⑷=----------/-----------=-P'

当工w(0,2),"(x)<0,乂工)单调递减；当*w(2,+oo),h'(x)>0,h(x)单

调递增，

e2Te

h(x)^h(2)=-^-=—,.......................................12分

—•x-Inx..

，/、x1-Inx

g(4)=-—二^—，

当4w(0,e),gf(x)>0,g⑷单调递增;当*w(e,+oo),g\x)<0,g(%)单

调递减，

・二g(%)/g(e):见兄工...........................................14分

ee

综上所述，齐A*1•三g(x),也就是二■，丘，即/(H)>0......15分

4exx

17.(15分)

【解析】(1)取PC的中点为G,连接FG,BG.

•••点尸，G分别是PO,PC的中点，

数学参考答案第2页（共6页）

FG是的中位线，即尸G〃CO,FG=^-CD,

在菱形ABCD中，BE//CD,BE=yCD.

AFG//BE,FG=BE,即四边形尸GBE为平行四边形,则E/〃BG,..............3分

又BCU平面PBC,EFg平面PBC,

/.E尸〃平面PBC................................................................................................5分

(2)连接PE,CE,

"AB1PC,AB1CE,PCr\CE=C,PCU平面PCE,CEU平面PCE,

.•.48，平面PCE,...............................................................................................6分

又PEU平面PCE,

.-.AB1PE,..........................................................................................................7分

:.PE=VPB2-BE2=y/3,

又CE=有，贝]IPC2=PE2+CE2=6,所以PEICE.................................8分

即直线48,CE,PE两两垂直.

如图，以E为坐标原点建立空间直角坐标系，则

尸(0,0,3),4(0,-1,0),B(0,1,0),C(A,0,0),D®-2,0).

..........................................................................................................................9分

司=(0,-1,-百),词=(0,1,-#),PC=(#,0,-百)，而=(右，-2,

-A)...............................................................................................................10分

设平面的法向量为叫=(孙，力，Z|),平面PBC的法向量为%=(町，力，Z2),

[«1•PA=0,f-y-任=0,L

由一得取%=(1,6,-1).......................11分

•PD=0I辰-2y-任=0,

rn2•PB=0,fy-居=0,=

由一得取则=(1，万，1)....................................12分

,«2'PC=0I任-昌=0,

I.I

设平面PAD与平面PBC所成角为0,则cos0=|cos<n1,n2>\="“=

数学参考答案第3页（共6页）

即平面P40与平面PBC所成角的余弦值为率........................15分

18.(17分)

【解析】(1)由题意，%,%,。3成等差数列，公差为2;。③，%,。5成等差数

歹！J,公差为4....................................................................................................1分

贝IJ。2+2=3,&=。2+2=5,q=。3+4=9,a5=a4+4=13...............5分

(2)由题意,a2k^l~~a2k-\=4k,........................................................................6分

当n=24一1,4自2时，

an=a2A-i=5+(°3_如)+(°5一°3)+,•,+(«2*-1-a”-3)+4+8+•••+4(4-1)

…[4+4(y)](1)衣_2…=12立售+1二个........&分

222

且％=1满足上式，所以当n为奇数时，4=分」.....................9分

2

当几=24时，a“=a”=02A-I+2A=(2仆-2A+1)+2人=2仆+1=缶+1.・・・H分

‘贷1n为奇数，

所以4=z............................................................................12分

y+1,n为偶数.

⑶存在工=-1时，使得VAwN',au+x,%+|+",a“+2+工成等比数列…13分

证明如下：

222

由(2)可得a”=2炉+1,a2l+1=2k+2k+1,aa+I=2(A+1)+1=2A+44+3,

......................................................................................................................14分

a+x

假设24+l,。就+2+工成等比数列，

则(2必+1+H)(2M+4*+3+X)=(2标+2/+1+工厂，..................15分

化简得2(2肥+1+工)=4忆所以1+x=0,即3-1,..............................16分

此时。2*-1/0,所以当才=-1时，V上wN,，a2k+x,a.+叫。2*+2+工成等比

数列...............................................................17分

19.(17分)

【解析】(1)当M=｛。,半｝时，R(x)=sir?%+sir?卜-方)=sin,+cos,=1,此

时人(4)是常数函数；..................................................2分

当M=信,■时'6⑺=si，卜寸)+si/卜-屈=------------

数学参考答案第4页(共6页)

1-cos(2%一外)

=1+cos2x-sin2%),此时人(%)不是常数函数.4分

2

(2)设时=出，%%、不妨令仇＞&＞仇・

22

f3(x)=sin(x-0,)+sin(x-02)+sin?(%-%)

=cos(2x-20,)+cos(2x-202)+cos(2x-203)]

=---(cos24+cos202+cos2%)cos2x+(sin2仇+sin202+sin2%)sin2x].

cos2d.+cos202+cos2a=0,

若函数/；(%)是常数函数，贝％..............5分

sin20,+sin202+sin2%=0,

2

则(cos2仇+cos2%)2+(sin20)+sin202)=1»

得2+2cos(26]-22)=1,所以cos(24-2%)=-十,

得阴-羽=竽+2&|仃^^+编河AiwN,所以4-%二号■+•或图+痴，A|wN,

......................................................................6分

同理仇-仇=/+自知或苧+42危，自wN,/-a二^+A3n或争+自^,自&N,

........................................................................7分

0\-02=?+自小&eN,

则一①.......................................8分

2TT_

一伪二7+人2斤，heN,

集合｛夕|6韦，上N,AW12次有13个元素，从中任取3个元素组成集合M,共

品」黑宾，=286个,...........................................9分

而满足①的集合M有卜，争竽｝，住涕刑恃,f,智

｛f»m号卜侍争斗共$个，

则使得函数力(X)是常数函数的概率为意..............................10分

ZoO

(3)不妨令a>02>->On,

22

因为4(%)=sin(x-0|)+sin(x-02)

=1[cos(2x-201)+cos(2x-202)]

数学参考答案第5页(共6页)

=1-/[(cos20t+cos202)cos2x+(sin20l+sin202)sin2x],

cos20f+cos202=0,

若函数6(%)是常数函数，则

sin20i+sin202=0,

得2+2cos(2仇-2%)=0,所以cos(2仇-2%)=-1

得2仇一2%=行+2AIT,keN,所以仇-仇二^+AF,kEN12分

2

①当n为偶数时，£(，)可以拆分成卷组两项[sin9*-%)+Sin(x-0,.)]

(i=2*,Ae{l,2,f})的和，每一组为定值时，/.(*)也为定值，…13分

所以函数£(x)是常数函数的一个充分条件可以是M=

{4「仇="不)名,IWiWzi,ieN'J....................................14分

22

②当n为奇数时,£G)可以拆分成1组三项[sin?数--)+sin(x-02)+sin(x-03)]

22

的和与组两项[sin(x-0,)+sin(x-0i+i)]^t=2A,AG|2,…，的和，

每一组为定值时，，(x)也为定值，...................................15分

所以函数£(#)是常数函数的一个充分条件可以是

[(二1)-USieN,

M=仇|仇=I........................16分

|冬+"抖，

IID/

综上所述，

当n为偶数时，函数f(x)是常数函数的一个充分条件可以是

M={2|4=&])F,Iwiwn,ieN*I；

当n为奇数时，函数£(x)是常数函数的一个充分条件可以是

f.丁.1MW3,ieN-'

M=]e.\o.=]I........................17分

I件+齿"4W2,ieN；

数学参考答案第6页(共6页)

答案详解

1.【答案】A

【解析】由#>2工解得“<0或%>2,因为\x\x>2\呈心|彳<0或x>2},所以

ux>2n是“d>2工”的充分不必要条件，所以答案选A.

2.【答案】C

【解析】由。？+b2=c2,a=2b得=J,即e=£=§，所以答案选C.

4a2

3.【答案】A

【解析】因为U=MUN,则即McCuN=C"N,因为C/V={3,4),所以

答案选A.

4.【答案】B

【解析】四棱锥P-4BCD的体积U=/s正方陵“%=/X6X/!=4,得1=2,直线PB

与平面4BCC所成角的正弦值为七=京，所以答案选B.

rDJ

5.【答案】D

【解析】因为工=1时，x-Jx-\=0,又因为y=*K*=Q"单调递增，所以a=l；若0

<"W1,则xlgxWO,所以xlga:-l=O时，x>1,即6>1；若则xe*>1,所

以xe*-l=O时，0<工<1,BPO<c<l.综上所述，0<c<l=a<6,所以答案

选D.

6.【答案】B

【解析】因为同=2灰，4B-ZD=3-3=0,所以四边形ABCD为直角梯形.

|荏|=2万，|灰|=万，|赤|=2,则面积S=(有+箸)*2=34,所以答案

选B.

7.【答案】B

【解析】由题意知，£-(一阴=(2人+1)xf(AeZ),MT=^因为7=

名，所以。=岂等豆，又因为/⑷在区间传，舞)上单调，所以

71

解得0<sW12,则3的最大值为自，所以答案选B.

8.【答案】C

【解析】样本空间。=U,2,3,4,5,6,7,8|,这是一个古典概型，可得P(4)=

y,P(B)=y,即P(ABC)=%(C),P(BC)吗尸⑹，从而n(C)=4〃(4BC)且

答案详解第1页(共4页)

n(C)r2n(BC).由n(C)/2MBC)可得事件CK0；又因为=2,所以“(ABC)=

1或2.

(1)若n(ABC)=2,贝iJn(C)=8,即C={1,2,3,4,5,6,7,8},BC={5,

6,7,8),此时不满足n(C)#2n(BC)；

(2)若n(4BC)=l,贝l」n(C)=4,n(BC)#2且BCW0,又因为4B=[6,8|,所

以4BC=16]或48c=|8|,即n(8C)=l或3；

①若n(BC)=l,4BC={61,此时C="，2,3,6|或C=[1,2,4,61或6=

H,3,4,6|或C=[2,3,4,6|,也就是从事件|1,2,3,4)中的四个样本

点中选3个，再加入6这一个样本点，即有C：=4个满足条件的事件C；

②若“(BC)=1,/IBC=|8|,同理有C：=4个满足条件的事件C；

③若“(8C)=3,ABC=\6\,此时C=|l,5,6,7|或C=[2,5,6,7[n£C=

|3,5,6,7|或C=[4,5,6,7|,即从事件|1,2,3,4|的四个样本点中选

1个，再加入5,6,7这三个样本点，即有C：=4个满足条件的事件C；

④若n(BC)=3,ABC=(8|,同理有C：=4个满足条件的事件C；

综上所述，满足条件的事件C共计4x4=16个，所以答案选C.

9.【答案】AC

【解析】当z=-l+Ni时，|z|=y(-l)2+(A)2=2,选项A正确；若z为纯虚数,

贝ljz=±2i,选项B错误；z5=|z『=4,选项C正确；由|z|=2可知，在复平面上,

复数z对应的点Z在以点(0,0)为圆心，2为半径的圆上，|z+l|的几何意义是点

Z到点(-1,0)的距离,可得|z+l1nM=1,选项D错误，所以答案选AC.

10.【答案】BCD

【解析】设公差为d,因为4s5-5S,=20,贝Ij4x(5%+拶d)-5(4%+竽d)=20,

解得d=2由a。=%+5d=l得,=-9,选项S„=-9n-x2=n2-

10n=(n-5)2-25,则S,=-9,选项B正确，n=S时，S„最小，选项C正确;

■f=2d=4,所以也|为等差数列，b,=a2=-7,前n项和为

W(n1)2

-7n+2~x4=2n-9n,选项D正确，所以答案选BCD.

11.【答案】ABD

2—2%+In%,4W1,

【解析】(1)当。=1时，/(工)=/'(%)=则当

,2x-2+Inx,x>1,

2+—,x>\,

X

xe(0,y)u(l,+oo)时，/⑷>0,/(工)单调递增；当"伶,1)时,一(工)

答案详解第2页(共4页)

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