函数的奇偶性、对称性与周期性（原卷版）-2025年高考数学一轮复习

第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性

目录

第一部分：基础知识.................................................2

第二部分：高考真题回顾.............................................4

第三部分：高频考点一遍过...........................................4

高频考点一：函数奇偶性..........................................4

角度1：判断函数奇偶性........................................4

角度2：根据函数奇偶性求解析式................................5

角度3：函数奇偶性的应用......................................5

角度4：由函数奇偶性求参数....................................5

角度5：奇偶性+单调性解不等式.................................6

高频考点二：函数周期性及其应用..................................7

角度1：由函数周期性求函数值...................................7

角度2：由函数周期性求解析式..................................7

高频考点三：函数的对称性........................................8

角度1：由函数对称性求解析式..................................8

角度2：由函数对称性求函数值或参数............................8

角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用........................9

第四部分：新定义题（解答题）.......................................10

第一部分：基础知识

1、函数的奇偶性

(1)函数奇偶性定义

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/(%)的定义域内任意一个X,都有

图象关于y轴

偶函数

=那么函数"X)是偶函数对称

如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有图象关于原点

奇函数

/(-%)=-/(%),那么函数/(X)是奇函数对称

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个X,-X也

在定义域内(即定义域关于原点对称).

(2)常用结论与技巧：

①对数型复合函数判断奇偶性常用/(—%)—/(%)=0或/(—x)+/(X)=0来判断奇偶性.

②于(x),g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论：

/(X)

/(X)g(x)/(x)+g(x)/(x)g(x)

g(x)

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数

③若/(%)是定义在区间。上奇函数，且OeD,则/(0)=0(注意：反之不成立)

2、函数对称性(异号对称)

(1)轴对称：若函数/(%)关于直线％=。对称，则

®f(a+x)=f(a-x)；

②于(x)=f(2a—x)；

@f(-x)=f(2a+x)

(2)点对称：若函数/(x)关于直线(a,0)对称，则

①/(a+x)=—/(a—%)

②/(x)=—/(2a—x)

③/(r)=-/(2a+x)

(2)点对称：若函数/(x)关于直线(。/)对称，则

①/(«+%)=-/(«-x)+2b

②/(x)=-/(2a-x)+2b

③/(-%)=-/(2a+x)+2b

3、函数周期性(同号周期)

(1)周期函数定义

对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数T,使得当了取定义域内的任何值时，都有

f(x+T)=f(x),那么就称函数y=/(x)为周期函数，称T为这个函数的周期，则左T(丘Z)也是

这个函数的周期.

(2)最小正周期

如果在周期函数/(九)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做了(%)的最小正

周期(若不特别说明，T一般都是指最小正周期).注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.

(3)函数周期性的常用结论与技巧

设函数y=/(%),xeR,a>0.

①若/(x+a)=/(x—a),则函数的周期T=2a；

②若/(x+a)=—/(%),则函数的周期T=2a；

③若/(x+a)=7K，则函数的周期T=2a；

④若/'(x+a)=一二工，则函数的周期T=2a；

/(x)

@f(x+a)=f(x+b),则函数的周期T=|a-A|

第二部分：高考真题回顾

1.(2023•全国•(乙卷理))已知/(x)=-^是偶函数，则。=()

e—1

A.-2B.-1C.1D.2

2.(多选)(2023•全国•(新课标I卷))己知函数的定义域为R,，3)=y7'(x)+xV(y),则().

A."0)=0B."1)=0

C.是偶函数D.x=0为〃尤)的极小值点

3.(2023・全国•(甲卷理))若/(x)=(x-l)2+ax+sin[x+]J为偶函数，贝lja=.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：函数奇偶性

角度1：判断函数奇偶性

典型例题

例题1.(2024上•广东•高一校联考期末)下列函数是奇函数的是()

A./(x)=x2+1B./(%)=^-1

C./(%)=x3+—D./(尤)=犬+2/

例题2.(2024上•云南昆明•高一期末)下列四个函数中在定义域内为非奇非偶函数的个数是()

(1)f(x)=x~2

(2)F(x)=3x-2

(3)/(x)=log2x

(4)/(x)=2*

A.1个B.2个C.3个D.0个

例题3.(2024上•广东•高一统考期末)下列函数是偶函数的是()

V22

A.j=cos(x-l)B.y=|2-1|C.y=(x-l)D.y=log2(x-1)

角度2：根据函数奇偶性求解析式

典型例题

例题1.（2024上,福建漳州•高一统考期末）若函数/（尤）是偶函数，且当x>0时，/（x）=2'+x+l,则当尤<0

时，〃x）=.

例题2.（2024上•广东清远•高一统考期末）已知函数〃尤）是定义在R上的奇函数，当x>0时，

〃尤）=e"+sinx-3,则〃力的解析式为〃力=.

角度3：函数奇偶性的应用

典型例题

例题L（2024上•广东深圳•高一统考期末）已知〃同=炉+4+桁+3且〃-2）=5,则"2）的值是（）

A.-3B.-1C.1D.3

例题2.（2024上•云南昆明•高一昆明一中校考期末）已知函数〃x）=ln（Jl+9x2+3x）+5tanx-4,若

/⑷=2023,则/（-°）=.

例题3.（2024上•江西上饶•高一统考期末）若函数〃月=加+笈+1是［2/1-“］上的偶函数，则a+匕的值

为.

角度4：由函数奇偶性求参数

典型例题

例题L（2024上,山西长治•高一校联考期末）若〃x）=Mx+2）（x-a）为奇函数，则。的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

Y+/JY%>0

八3；一八是R上的偶函数，则。+少=________.

）bx—2尤,1<0

例题3.（2024下•浙江,高三校联考开学考试）已知函数〃x）=xln（e、l）-办2是奇函数，贝心=

角度5：奇偶性+单调性解不等式

典型例题

例题1.（2024上•贵州黔东南,高一统考期末）已知/'（X）是定义在R上的偶函数，且对任意的玉＞々20,

〃w）＜。恒成立.若"-2）=0,则不等式（x-l）〃x）＜0的解集是（）

A.（—2,2）B.（―8,-2）U（2,+8）

C.（―2,0）U（2,+oo）D.（-2,l）|J（2,+8）

例题2.（2024上•山东威海・高一统考期末）已知函数/（X）是定义在R上的偶函数，在［0,+8）上单调递增，

且/（-2）=0,则不等式/'（1幅力＜0的解集为.

例题3.（2024上•黑龙江齐齐哈尔•高三齐齐哈尔市第八中学校校考期末）尤）在（-M）上满足

/（-%）=-/（%）,且在（-1,1）上是递减函数，^/（l-a）+/（4-3a）＞0,贝匹的取值范围是.

练透核心考点

1.（2024上•湖南娄底•高一校考期末）已知函数〃x）=lg况（尤~2）是定义在（-6⑼的奇函数，则非的

取值范围为（）

A.(0,4]B.(0,4)C.(1,4]D.(1,4)

\COSX

2.（2024•广西南宁•南宁三中校联考一模）已知〃引=.2+34》+0）为奇函数，则。=（）

A.3B.-3C.0D.-1

32

z、fY+2xx>0

3.（2024•黑龙江齐齐哈尔•统考一模）已知/(£)={3a'一0为奇函数，贝U"=()

[x+ax,x<0

A.-2B.2C.1D.-1

4.（2024下•西藏•高一开学考试）若函数=d+分+1是定义在（-》,2）-2）上的偶函数，则/［鼻=（）

157

A.—B.一C.-D.2

444

5.（2024上•陕西西安•高三统考期末）已知f（x）=log3（x+V?而）+a（aeR）是奇函数，则/（a+5）=（）

A.-1B.1C.-2D.2

6.（2024下・四川•高三四川省西充中学校联考期末）已知〃x）=-5x+sinx,则满足/（片）+〃一4）＞0的实

数。的取值范围是.

7.(2024上•陕西商洛•高一统考期末)已知偶函数/(元)=,,、’；，则不等式/(2》-1)</(3)的解集

n(x),x<0

是.

高频考点二：函数周期性及其应用

角度1:由函数周期性求函数值

典型例题

例题1.(2023上•安徽•高二校联考期中)己知函数对于任意实数x满足〃x+2)=〃x),若〃-1)=3,

则〃5)=()

A.-5B.-3C.3D.5

例题2.(2024上•河北沧州•高一统考期末)已知函数/(x)是定义在R上的奇函数,且满足了(%+1)=/(x-3),

当％£(0,2)时，/(x)=x2—,则/(2023)=.

x

例题3.(2024•全国•高三专题练习)设函数Ax)的定义域为R,且/(x)=；/(x+2),/(2)=1,贝|

/(20)=.

角度2：由函数周期性求解析式

典型例题

例题1.(2022上•河北•高三校联考阶段练习)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且满足

/(%+2)=-/(%),当xe[-2,0]时，/(x)=x2+x,则当xe[4,6]时，/(%)=()

A.7x+12B.—无2+9元一20

C.—%2+7x—12D.—尤？+9x+20

例题2.(2023•全国•高三对口高考)函数y=的周期为2,且当时，f(x)=x,则y=/(x),

xe[2k-l,2k+l)(keZ)的解析式为.

例题3.(2023下•甘肃白银•高二校考期末)若定义在R上的奇函数〃x)满足/(2-x)y(x),当xe[0,l]时,

f(x)=x2-2x.

⑴求”2021)的值；

(2)当xe[3,4]时,求函数/(x)的表达式.

练透核心考点

1.（2023•湖南岳阳,校考模拟预测）设函数是定义域为R的奇函数，且/■（x+2）=〃x）,则

/（4）=.

2.（2022•全国•高三专题练习）已知定义在R上的偶函数〃尤）满足〃2-x）-/（x）=0,/（-1）=-A/3,则

/（H）=一.

3.（2023上•江苏•高一专题练习）设/（x）是周期为2的奇函数，当0<x<l时，/（x）=sirw+%,贝l］l<x<2

时，/（力=.

4.（2022上•全国•高一专题练习）已知〃x）是定义在R上周期为2的函数，当xe—U］时，〃力=卜|,那

么当7,-5］时,/（%）=.

高频考点三：函数的对称性

角度1:由函数对称性求解析式

典型例题

例题1.（2021下•江西九江•高二统考期末）若函数“尤）与g（x）=3,的图象关于直线x=3对称，则〃x）=

（）

A.3,一3B.33rc.346D.36T

例题2.（2022上•安徽合肥•高一统考期末）已知x=l是定义在R上的函数y=F（x）的对称轴，当彳21时，

f（x）=x2-4x,则〃x）的解析式是.

角度2：由函数对称性求函数值或参数

典型例题

例题1.（2023・陕西咸阳•咸阳市实验中学校考一模）函数>=/（尤）为偶函数，且图象关于直线x=Q对称,

/（5）=4,贝.

例题2.（2023下•河北石家庄•高三校联考期中）已知y=〃x-l）是R上的奇函数，当x>0时，"x）=e，T,

则/'1）=.

角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用

典型例题

例题1.（多选）（2024下•河南•高一信阳高中校联考开学考试）已知函数〃x）,g（x）的定义域均为

R,/（x+l）+/（x—l）=/（x）,g（x—3）是偶函数，且〃x）+g（x-3）=2,若g（-3）=l,则（）

A.=1

B.“X）的图象关于点[右可中心对称

C./（2023）=1

D.f（0）+/（l）+f（2）+...+/（2023）=l

例题2.（多选）（2024下•海南省直辖县级单位•高三嘉积中学校考开学考试）已知定义域为R的函数/（尤）

对任意实数为y都有了（刈+“月=人字）〃^2）,且f（O）wOJ（l）=l,则下列说法正确的是（）

A./（0）=3

B./（%）=/（-%）

C.函数"X）的图象关于点（!。）对称

2

D./（1）+/（2）