函数的单调性与最值（原卷版）-2025年天津高考数学一轮复习

第12讲函数的单调性与最值

（6类核心考点精讲精练）

12.考情探究•

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2024年天津卷，第20题,16利用导数证明不等式利用导数研究不等式恒成立问题由导数求求在曲

分线上一点处的切线方程（斜率）函数的最值（含参）

2023年天津卷，第20题,16求在曲线上一点处的切线方程（斜率）利用导数证明不等式利用导数研究

分不等式恒成立问题

2022年天津卷，第20题,16求在曲线上一点处的切线方程（斜率）利用导数研究不等式恒成立问题利

分用导数研究函数的零

2021年天津卷，第20题,16求在曲线上一点处的切线方程（斜率）

分利用导数研究能成立问题函数极值点的辨析

2020年天津卷，第20题,16

利用导数证明不等式

分

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为16分

【备考策略】1.理解、掌握函数的单调性与导数的关系，能够判断通过导数的正负判断函数的单调性

2.能掌握集合函数最值与导数的关系

3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像求解函数的最值

4.会通过函数的单调性解抽象不等式.

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给定函数，判断函数的单调性求解函数的最值。

•考点梳理

知识讲解

知识点一.函数的单调性

1.函数的单调性与导数的关系

条件结论

rw>o式x）在（a,6）内单调递增

函数y=/U）在

/(x)<0人x）在（a,6）内单调递减

区间（〃，/?）上可导

rw=o兀0在（a,6）内是常数函数

2.常用结论

（1）在某区间内/（尤）＞O0（x）＜0）是函数木尤）在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件.

（2）可导函数兀0在（a,加上是增（减）函数的充要条件是对Kre3，加,都有了（尤巨0（尸⑴go）且「（■在（小力

上的任何子区间内都不恒为零.

知识点二.函数的最值与导数

1.函数兀0在［a,句上有最值的条件

如果在区间伍，加上函数v=/fa）的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.

2.求y=/（x）在［a,句上的最大（小）值的步骤

（1）求函数y=/（x）在（a,b）内的极值;

（2）将函数y=兀0的各极值与端点处的函数值八°）,犬6）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最

小值.

3.常用结论.

(1)若函数小)的图象连续不断，则危)在团，切上一定有最值.

(2)若函数兀0在修，切上是单调函数，则式x)一定在区间端点处取得最值.

(3)若函数/(x)在区间5，6)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点.

考点一、不含参函数的单调性与单调区间

典例引领

1.(广东・高考真题)设函数f(x)=xlnx,则f(x)的单调递增区间为.

2.(重庆•高考真题)设函数f(%)=%3+ax2一9%-l(a<0).若曲线y=/(%)的斜率最小的切线与直线12%+

y=6平行，求：

(I)。的值；

(II)函数y=f(%)的单调区间.

即时啊」

1.(2005・北京・高考真题)已知函数/(久)=—+3久2+9尤+a

(1)求/。)的单调减区间；

(2)若f(x)在区间［-2,刀上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.

2.(2024.黑龙江.模拟预测)已知/(%)=ax+bcosx在点g,/©)处的切线方程为％+2y-兀=0.

(1)求a,b的值；

(2)求/0)在区间［0,兀］的单调区间和极值.

3.(2025・甘肃张掖•模拟预测)已知函数/(久)=ex-aln(x+1)的图象在点(0,/(0))处的切线过点(2,1).

(1)求实数a的值；

(2)求/0)的单调区间和极值.

考点二、含参函数的单调性与单调区间

典例引领

1.(•北京・高考真题)已知函数〃乃=弃贵，求导函数尸(久)，并确定〃久)的单调区间.

2.(全国•高考真题)已知aCR,求函数/(%)的单调区间.

即时啰!)

1.(2025高三•全国・专题练习)已知函数/'(%)=ax—(a+l)lnx(aW0),讨论函数f(%)的单调性.

2.(23-24高三下•北京•阶段练习)已知函数/(%)=2a%-In%+3a=A0.

(1)若a=1,求函数/(%)的极值；

⑵试讨论函数/(%)的单调性.

3.(北京•高考真题)已知函数/(%)=%3+ax2+3bx+c(bW0),且g(%)=/(%)—2是奇函数.

(I)求a,c的值；

(II)求函数/(%)的单调区间.

考点三、已知函数的单调性求参数

典例引领

1.(2023•全国•高考真题)已知函数f(x)=aex-ln久在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为().

A.e2B.eC.e-1D.e-2

2.(2023•全国•高考真题)设ae(0,1),若函数=必+(1+a尸在(0,+8)上单调递增,则a的取值范围

是.

♦♦即时检测

1.(2019北京•高考真题)设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数，则a=；若f(X)

是R上的增函数，则a的取值范围是.

2.（2016•全国•高考真题）若函数/（%）=%-：sin2%+asin%在R上单调递增，贝!ja的取值范围是

A.[-1,1]B.[-1,|]C.[-|,|]D-

3.（上海•高考真题）已知函数/0）=久2+?（%7（）,常数aeR）.

（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；

（2）若函数/（久）在[2,+8）上为增函数，求a的取值范围.

4.（23-24高三上•海南海口•阶段练习）已知函数f（x）=（2-x）e，—ax在（0,5）上为减函数，贝b的取值范围

是（）

A.（―8,5e）B.[5e,+8）C.（l,+oo）D.[1,+oo）

5.（2023•宁夏银川•三模）若函数f（%）=^■-In久在区间Qn,TH+｝上不单调，则实数m的取值范围为（）

22

A.0<爪<1B.-<m<l

2

C•=爪<1D.m>l

考点四、已知函数存在单调性求参数

典例引领

1.（23-24高三上•福建泉州•阶段练习）若函数h（x）=lnx-|a%12-2久在[1,4]上存在单调递增区间，则实数a

的取值范围为（）

A.[-l,+oo）B.（-l,+oo）C.（一8,一看]D.（_8,一看）

2.（2024•内蒙古呼和浩特•一模）在区间（0,兀）上，函数y存在单调递增区间，则实数a的取值范围是

（）

A.（-co,1）B.（一8,次

C.（-噌）D.（-CO,1]

即

1.（22-23高三上•陕西•期中）若函数/（X）=/+。/+3；（：在@,2）上存在单调递增区间，则6的取值范围是

（）

A.（—5,4-00）B.（-3,+8）C.（—8,—5）D.（—8,—3）

2.（21-22高三上•江苏苏州•期中）若函数/（均=In%+a/—2在区间2）内存在单调递增区间，则实数a的

取值范围是（）

A.[—2,+oo）B.（—7+8）C.[—2，—D.（—2,+8）

3.（2024.全国.模拟预测）已知函数/（%）=[——|/+枭2—对皿在卜,2]上存在单调递减区间，则实数a的

取值范围为（）

A.（-8,攀]B.（—8,2]

C.（一8,§^）D.（-co,2）

4.（23-24高三上•陕西汉中•期末）若函数/（无）=1皿+a/-2在区间弓,1）内存在单调递增区间，则实数a的

取值范围是.

5.（24-25高三・上海•随堂练习）设函数y=/1（£）,其中/（x）=-In%（a>0）,

⑴求产⑺；

（2）若y=/（x）在口,+8）是严格增函数，求实数a的取值范围；

（3）若y=f（x）在[2,4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.

考点五、求已知函数的最值

典例引领

1.（2021•全国•高考真题）函数/（久）=|2x-1|-21n久的最小值为L

2.（2018•全国•高考真题）已知函数f（汽）=2sin%+sin2%,则/（%）的最小值是

即时

1.(2021•北京・高考真题)已知函数/(久)=急.

(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(l,f(1))处的切线方程；

(2)若f(x)在久=-1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及其最大值与最小值.

2.(2020•北京・高考真题)已知函数f(x)=12—

(I)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程；

(II)设曲线y=/(x)在点(tj(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.

3.(2017・北京・高考真题)已知函数/(久)=e'cosx-x.

(I)求曲线y=/(%)在点(0,7(0))处的切线方程;

(II)求函数在区间［0,习上的最大值和最小值.

4.(24-25高三・上海•随堂练习)函数y=|/+(口+4)%-21僦在区间(1,2)上存在最值，则实数a的取值范

围为().

A.(5,9)B.(—5,9)C.(-9,5)D.(-9,-5)

5.(24-25高三・上海•随堂练习)函数y=%3-3%-a在区间［0,3］上的最大值、最小值分别为M,N,则M-N=

().

A.14B.16C.18D.20

考点六、利用单调性解抽象不等式

典例引领

1.(2007•陕西•高考真题)f(x)是定义在(0,+8)上的非负可导函数，且满足疗'(%)+/(%)<0.对任意正数

a,b,若a<b,则必有()

A.<bf(a)B.bf(a)<af(b)

C.a/(a)</(6)D.bfW<f(a)

2.(2004.湖南.高考真题)设/(%)、g(%)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当1V0时，/(%%(%)+

/(%)"(%)>0.且g(-3)=0,则不等式f(%)g(%)<0的解集是()

A.(-3,0)U(3,+oo)B.(-3,0)U(0,3)

C.(-00,-3)U(3,+oo)D.(-oo,-3)U(0,3)

即0^11

1.(江西・高考真题)对于R上可导的任意函数/(%),若满足(％-l)f(x)>0则必有

A.f(0)+f⑵<2/⑴B./(0)+/(2)<2/(1)

C./(0)+/(2)>2/(1)D./(0)+/(2)>2/(1)

2.(2024•山东潍坊.三模)已知函数/(X)的导函数为/0),且/(l)=e,当尤>0时，/(x)<：+e，，则不等

式色等>i的解集为()

ex

A.(0,1)B.(0,+oo)C.(l,+8)D.(0,1)U(l,+oo)

3.(2024•吉林•二模)已知函数f(x)的定义域为(-8,0),其导函数尸(久)满足工尸(x)-2/(%)>0,则不等式

f(x+2024)—(久+2024)7(-1)<。的解集为()

A.(-2025,-2024)B.(-2024,0)

C.(-oo,-2024)D.(-oo,-2025)

4.(2024.宁夏银川.三模)已知定义在R上的奇函数〃尤)的图象是一条连续不断的曲线，尸(x)是/(x)的导函

数，当久>0时，3f(x)+xf'(久)>0,且/(2)=2,则不等式0+1)3/(久+1)>16的解集为()

A.(1,+oo)B.(-oo,-2)U(2,+oo)

C.(—co,1)D.(—8,—3)U(1,+8)

5.(2024.江西南昌•三模)已知函数的定义域为R,且/(2)=-1,对任意xeR,/(x)+x/,(x)<0,则

不等式(x+1)/(%+1)>一2的解集是()

A.(―oo,1)B.(—8,2)C.(1,+oo)D.(2,+8)

IN.好题冲关

基础过关

1.(2020高三•山东•专题练习)若函数y=%?+/+mx_|_1是R上的单调函数,则实数nt的取值范围是().

A.(-00,|]B.曲+8)C.D,(|,+00)

2.(23-24高三上.天津东丽•期中)函数/(x)=之％2+cosx,则不等式f(lnx)>/(I)的解集为()

A.(0,e)B.(e,+8)C.(}e)D.(0,：)U(e,+8)

3.(22-23高三上•上海浦东新•期中)已知f(x)=2/-ax+lnx在区间(1,+8)上单调递增，则实数a的取值

范围是.

4.(23-24高三上•天津河东•阶段练习)若函数f(x)=炉—3a/一2%+5在(0,1)内单调递减，则实数a的取

值范围是

5.(20-21高三下•天津静海•阶段练习)已知函数/O)=1%2-2a\nx+(a-2)x.

(1)当a=-l时，求函数f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a,使函数g(x)=/(©-ax在(0,+8)上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存

在，请说明理由.

6.(20-21高三上•天津•期中)设函数/(久)=，+771K+1,曲线y=/(久)在点处的切线与x轴平行.

(1)求实数m；

(2)求f(x)的单调区间.

7.(23-24高三上•天津河东•阶段练习)设函数f(X)=Inx+p

(1)当血=2时，求f(x)在处的切线方程；

(2)讨论/"(%)的单调性;

(3)若/(久)>3-x恒成立，求m的取值范围.

能力提升

1.(23-24高三下•天津•阶段练习)已知函数/(x)=ax—当

COS\

(1)当a=0时，求f(x)在点(J)处的切线方程;

(2)当a=8时，讨论函数f(%)的单调性；

(3)若/(%)<sin2x,求a的取值范围.

2.(2023•天津河北•一模)已知函数/(%)=

(1)求/(%)的单调区间；

(2)证明:/(%)<e-x-1；

(3)若a>0,b>0,且ab>1,求证：f(a)+/(b)<—2

3.(23-24高三上•天津•期末)已知函数/(%)=In天+1),g(x)—ex.

(1)求曲线y=/(%)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)证明:g(x)>/(x)+1；

(3)当％NO时，a%"(%)<g(%)一汽一1恒成立，求实数a的取值范围.

4.(23-24高三上.天津河北期末)已知函数/(切=照户.

(1)当a=1时，求曲线y=〃久)在点(0/(0))处的切线方程；

(2)当a>0时，求函数y=/(%)的单调区间；

(3)在(2)的条件下，当xe[1,3]时，|</(x)<1,求实数a的取值范围.

5.(23-24高三上•广东深圳•阶段练习)已知函数〃久)=(久-Dd+a久2,ae/?.

(1)讨论/(%)的单调性；

(2)当。<一1时，若/(%)的极小值点为%.,证明：/(%)存在唯一的零点九*且汽1一汽021112.

6.(23-24高三上•天津静海•阶段练习)已知函数/(%)=铲+(a-1)%一1,其中。eR.

(1)当Q=3时，求曲线y=/(%)在点(0,/(0))处的切线方程；

⑵讨论函数/(%)的单调性；

(3)当a>1时，证明：/(x)>xlnx—acosx.

7.(23-24高三上•天津•期中)已知函数/(%)=In%+(a+1)%+1,aER,^(x)=xex.

⑴若曲线/(%)在点(1,7(1))处的切线的斜率为3,求Q的值；

(2)当工之一2时，函数y=g