广西钦州市2025届高三年级上册10月摸底考试数学试卷（含答案）

广西钦州市2025届高三上学期10月摸底考试数学试卷。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若集合4={制式>2},B={y[2<y<3},贝)

A.4riB=0B.XCl5=AC.AU5=BD.AUB=A

2.曲线y=|x3+1在点(—3,—8)处的切线斜率为()

A.9B.5C.-8D.10

3.若向量南=(2,5),AC=(m,m+1),且4B,C三点共线，则zn=()

2233

A.—~B.-C.—-D."

4.在四棱锥P-ABCO中，“BC〃AD”是"BC〃平面PAD”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.(cosj+isin^)(cos^+isin^)=()

A.1B.iC.-1D.-i

6.已知双曲线。盖一卷=1的左、右焦点分别为％，&，P为C右支上一点，。为坐标原点，Q为线段吗的

中点，T为线段Q%上一点，且|Q7|=|0Q|,则|%T|=（）

A.3B.①C,4D.5

7.定义在R上的奇函数/（%）在（0,+8）上单调递增，且/'（§=（）,则不等式碧W0的解集为（）

A.（―避，一4U（A/2,+co）B.（―oo,-A/2）U[―^,0）U，，馅）

C.（-艰，—,U｛0｝U（",+8）D.（—8,—泥）u[-4,。]U•，避）

8.若数列｛斯｝、｛4｝满足的=。2=1，bn=an+1-n+1,bn+1-an-n+3,则数列｛an+的前5。项和

为（）

A.2500B,2525C,2550D,3000

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.广西壮族自治区有7个市区的面积大于1.3万平有千米，这7个市区为南宁市（22100平方千米）、柳州市

（18596平方千米），桂林市（27800平方千米），百色市（36300平方千米），河池市（33500平方千米），来宾

市（13411平方千米），崇左市（17332平方千米），这7个市区的面积构成一组数据，则（）

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A.这组数据的极差为22889平方千米

B.这组数据的中位数对应的市区为桂林市

C.这组数据的第40百分位数对应的市区为柳州市

D.这组数据中，大于1.8万平方千米的频率为擀

10.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2兀

与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正

四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为全故其各个顶点的曲率均为2兀-3义£=兀如图，在正方体

力BCD—AiBiCiDi中，AB=国贝1|()

A.在四面体48CD1中，点4的曲率为曾

B.在四面体ABC2中，点。1的曲率大于今

C.四面体ABC外外接球的表面积为12兀

D.四面体ABC%内切球半径的倒数为m+4炉+3.

11.已知函数/(%)=|sin2x|+cos4x,贝(J()

A.f。)的最大值为擀

77

BJO)的最小正周期为万

C.曲线y=/(*)关于直线x=华也GZ)轴对称

q

D.当久G[0,用时,函数g(x)=16/0)-17有9个零点

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.lg|+lg|=.

13.(x+y)(x-y)6的展开式中，各项系数之和为，/黄项的系数为

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14.两条都与y轴平行的直线之间的距离为6,它们与抛物线俨=4乂和圆（乂+4）2+*=4分别交于点a,B

和C,D,则|4B|♦|C0|的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(13分)在AABC中，a,b,c分别是内角力，B,C的对边，且a2+炉=+c?,bcsinA=sinC.

(1)求C；

（2）求c的最小值.

16.（15分）在六面体486—4出。1。1中，44i_L平面4BCD,AAJ/BBJ/CCJ/DDr,且底面4BCD为菱

（1）证明：BD，平面4。。遇2.

7

（2）若44i=CCi=夕/.BAD=60°,AB==2,求平面4+1。山1与平面4BCD所成二面角的正弦值.

1

17.（15分）已知函数/'（久）=ax--+\nx.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若/（X）存在最大值，且最大值小于0,求a的取值范围.

18.（17分）甲、乙两个口袋都装有3个小球（1个黑球和2个白球）.现从甲、乙口袋中各取1个小球交换放入

另外一个口袋（即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋），交换小球九次后，甲口袋中

恰有2个黑球的概率为外，恰有1个黑球的概率为

⑴求Pl，Q1；

（2）求P2,Q2；

⑶求数列4｝的通项公式，并证明却=i|%-||＜六.

19.（17分）若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，则称这样的椭圆为“质朴椭圆”.

（1）证明:椭圆笑+告=1为"质朴椭圆”.

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(2)是否存在实数小，使得椭圆第+3=1(0<小<36)为“质朴椭圆”？若存在，求根的值；若不存在,

说明理由.

(3)设斜率为2的直线I经过椭圆C卷+哙=1(0<6<3)的右焦点，且与C交于4B两点，明=署，试问

C是否为“质朴椭圆”，说明你的理由.

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参考答案

1.D

2.2

3.5

4.C

5.B

6.C

7.0

8.C

9.ACD

1Q.ABD

11.5C

12.-1

13.0；-5

1/11280

9

15.解：⑴

222c，+C

H^/a+b=ab+c,所以cosC="2^b~"=p

TT

因为ce(O,TT),所以c=p

(2)

因为bcsinA=sinC,

由正弦定理可知abc=c,

所以ab=1,

由a2+报=a。+c2,

得©2—a2+b2—ab>2ab—ab—ab-1,

则c>1,

当且仅当a=b=1时，等号成立.

所以c的最小值为1.

16.1?：(1)

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因为四边形4BCD为菱形，所以4c1BD.

又初1平面ABCD,BDu平面ABCD,所以训1BD.

因为2&C2C=A,AAltACu平面ACCA

所以BD1平面ACCMi.

(2)

由题意得BD=2,AC=28.

以菱形2BCD的中心0为坐标原点，0B,反的方向分别为久，y轴的正方向，建立空间直角坐标系。孙z,如

图所示，

则4(0,-居4(1,0,2),G(0,居

所以AiBi=(1,,BiCi=(―1，V^,

设平面力iBiCWi的法向量为再=(x,y,z),

.可=0今,+①—|z=0

则船

令得可

•nJ=0—%+y/3y+|-z=0z=2,=(3,0,2).

易知平面ABC。的一个法向量为汨=(0,0,1),

则cos〈正，咐=嵩言-2_—28

户X]

所以平面4道停1。1与平面4BCD所成二面角的正弦值为

17.解：(1)

显然a力0,/(%)的定义域为(0,+8),求导得/(%)=a+§=艺/^

当a>0时，f(x)>0/(尤)在(0,+8)上单调递增；

11

当aV0时，由/'(%)>0,得0<%<-令/'(%)<0,得无>-

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则;■(%)在(o，T上单调递增，在T，+8)上单调递减，

所以当a〉0时，/0)的单调递增区间是(0,+8)；

当a<0时，/(%)的单调递增区间是(0,-6，单调递减区间是(4+8).

(2)

由(1)知，当且仅当a<。时，存在最大值，且最大值为/(—》=—1—十―ln(—a).,

设g(a)=-1一，In(-a),求导得g'(a)=2一三=与合〉°，函数g(a)在(一8,0)上单调递增,

又g(-l)=0,则由g(a)<0,得a<-1,

所以a的取值范围为(一8,-1).

18.解：(1)

第1次换球后甲口袋中有2个黑球，即从甲口袋取出的为白球且从乙口袋取出的为黑球，则pi="U

第1次换球后甲口袋中有1个黑球，即从甲、乙口袋取出的同为白球或同为黑球，得41="|+界»永

(2)

若第2次换球后甲口袋中有2个黑球，

则当第1次换球后甲口袋中有1个黑球时，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球，

当第1次换球后甲口袋中有2个黑球时，第2次甲、乙口袋同取白球，

匚匚221,152,2116

^rUp2=qiX-x-+P1x-=-x-+-x-=-.

若第2次换球后甲口袋中有1个黑球，

则当第1次换球后甲口袋中有0个黑球时，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球，

当第1次换球后甲口袋中有1个黑球时，第2次甲、乙口袋同取白球或同取黑球，

当第1次换球后甲口袋中有2个黑球时，第2次甲口袋取黑球且乙口袋取白球，

2211、249

所以02=(1-Qi-pi)x-+q1x^-x-+-x-J+p1x-=—.

⑶

第71(7122)次换球后，甲口袋中的黑球个数为1的情形有：

①若第九-1次换球后甲口袋中有2个黑球，则第n次甲口袋取黑球且乙口袋取白球；

②若第九—1次换球后甲口袋中有1个黑球，则第n次甲、乙口袋同取黑球或同取白球；

③若第九-1次换球后甲口袋中有0个黑球，则第n次甲口袋取白球且乙口袋取黑球.

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xxx

所以必=Pn-1X|+Qn-1(^|-+||)+(l-pn_i-Qn_i)X^=~^qn_1.

设q九+/1=-1(Qn-l+刃(九>2),

则q九=一竿入一射九_1，贝卜学入=奈得a=一"|.

又Ql—M—奈所以数列｛*—|｝是以—1为首项，［为公比的等比数列

所以q「l=一息一/1,即发=1一急一能1

nQ2111

Zi=1%一耳=芯x(1+§+页+…+^9

19.解：(1)

由已知椭圆黑+哈=1,

22554

即a=字b—3#，

则C=3-廿=再-54=J|=|

所以焦距2c=3,离心率e=?=，即｝=5,

所以该椭圆的焦距为质数，离心率的倒数也为质数,

即椭圆为“质朴椭圆”；

%2年

(2)—+—=l(0<m<36)

椭圆的焦距为2声前，离心率e=/1一券=望手,

若存在实数如使得椭圆||+比=1(。(m<36)为“质朴椭圆”，

36m

则2,36-生均为质数，

又0<2回二而<12,所以2回二碗=2,3,5,7,11,

即736_m=1,9，

则存