海口市2025届高三摸底考试数学试题及答案

机密★启用前

海口市2025届高三摸底考试

数学

注意事项：

i.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答

题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.若集合N=<x<5},3=卜卜?-4x+3Wo},则2口8=

A.|x|x>21B.{x|lWx<5}C.{x|2Wx<3}D.{x[2<xW3}

2.已知向量。=工2),b=(k,-l),贝ij“左=—；”是“a〃/，”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知函数/(x)=x-lnx,则/(x)的单调递减区间为

A.(-℃,1)B.(0,1)C.(1，+8)D.(0,+oo)

4.已知a=log023,b=201,c=ln2,贝ija,b,c的大小关系为

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

5.海口市作为首批“国际湿地城市”，有丰富的湿地资源和独特的生态环境，海口市某中

学一研究性学习小组计划利用5月1日至5月5日共5天假期实地考察美舍河湿地公

园、五源河湿地公园、三江红树林湿地公园、潭丰洋湿地公园和响水河湿地公园5个

湿地公园，每天考察1个，其中对美舍河湿地公园的考察安排在5月1日或5月2日，

则不同的考察安排方法有

A.24种B.48种C.98种D.120种

6.如图，在平面四边形4BCD中，ZC与8。交于点。，且

OA=1,0B=0C=0D=2,剪去△C。。，将△49。沿。4翻折，

△50C沿05翻折，使点。与点。重合于点尸，则翻折后的三棱锥

尸-495外接球的表面积为

A.5万B.8万C.971D.137r

7.已知P是抛物线/=2x上的动点,则点尸到直线y=x+3的距离的最小值是

A.豆2B.272-1„372“50

244

数学试题第1页共4页

8.已知定义在[一3,3]上的函数/(力=y_尸一23+1,/(m2)+/(m-2)^2,则机的

取值范围是

A.[-2,1]B.[-1,2]C.[-1,V3]D.H,l]

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.某校为了解学生的身体状况，随机抽取了50名学生测量体重，处

经统计，这些学生的体重数据(单位：千克)全部介于45至70o.orp.

0.06卜--1

之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则

A.频率分布直方图中a的值为0.04

B.这50名学生体重的众数约为52.5:::二-…—

C.该校学生体重的上四分位数约为61.254口」灰

D.这50名学生中体重不低于65千克的人数约为10

10.函数/(%)=/5皿5+0)(/>0,0>0,0<夕<万)的部分图象如图所示，则下列命题正确

的是vt

5乃'

C./(X)关于x=丝对称

D.将函数/(x)的图象向右平移三个单位长度得到函数/z(x)=2sin2x

11.在平面直角坐标系中，已知两定点/(-a,0),B(a,0),直线尸尸5相交于点尸，且

直线尸/与直线尸3的斜率之积为根，其中掰w0,a>0.下列选项正确的是

A.当机=-1时，动点尸的轨迹为以原点为圆心，半径为。的圆，且除去(-a,0),

(a,0)两点

B.当机〉0时，动点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线，且除去(-。,0),(。,0)两点

C.当加<0且如w-1时，动点尸的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且除去(-a,0),

(a,0)两点

D.当机=2,a=G时，动点尸的轨迹为曲线C,过点(3,0)且倾斜角为30°的直线与

曲线C交于N两点，贝”MV匚竽

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

8

12.已知2"=3，2fc=j,贝ija+Z?=.

13.记△ABC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=l,且asin/=

26(sinB-sinCcosA),则6=.

14.已知函数f(x)=e，(x+2)-ax,若存在唯一的负整数%,使得/(x0)<0,则实数。的

取值范围是.

数学试题第2页共4页

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

记S”为数歹!]｛4｝的前〃项和，已知2szi=34—1.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）设-=a,+log34,求数列｛）｝的前〃项和空.

16.（15分）

如图，在正四棱柱ABC。-45GA中，48=2,点E满足

AE=2EB＞户是4A的中点.

（1）证明：过用，E,尸三点的平面截正四棱柱所得的截面

为梯形；

Q

（2）若/4=§，求二面角尸-用£-5的正弦值.

17.（15分）

制定适合自己的学习计划并在学习过程中根据自己的实际情况有效地安排和调整学习

方法是一种有效的学习策略.某教师为研究学生制定学习计划并坚持实施和数学成绩之间

的关系，得到如下数据：

成绩＞120分成绩《120合计

制定学习计划并坚持实施14620

没有制定学习计划22830

合计163450

（1）依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为“制定学习计划并坚持实施”

和“数学成绩高于120分”有关联？

（2）若该校高三年级每月进行一次月考，该校学生小明在高三开学初认真制定了学

习计划，其中一项要求自己每天要把错题至少重做一遍，做对为止.以下为小明坚持实施

计划的月份和他在学校数学月考成绩的校内名次数据：

月考时间11月初12月初次年1月初次年2月初次年3月初

时间代码X12345

月考校内名次y881857729569475

参考数据：=9433,歹=702.2.

i=l

（i）求月考校内名次y与时间代码X的线性回归方程y=bx+a；

（ii）该校老师给出了上一年该校学生高考（6月初考试）数学成绩在校内的名次和在

全省名次的部分数据：

数学试题第3页共4页

校内名次W5100200300

全省名次M202576662780

利用数据分析软件，根据以上数据得出了两个回归模型和决定系数尺2：

模型①模型②

u=9.5由一449u=28e°m6命

R2«0.7927R2x0.9973

在以上两个模型中选择“较好”模型(说明理由)，并结合问题(i)的回归方程，依

据“较好”模型预测小明如果能坚持实施学习计划，他在次年高考中数学成绩的全省名次

(名次均保留整数).(参考数据：e2272«9.7,e2-432«11.4,e0672»2.0)

2

、2n(ad-be).

附：(1)Z=7-----------——，其中t〃=a+6+c+d.

(a+Z7)(c+d)(a+c)(Z7+d)

a0.050.010.0050.001

%3.8416.6357.87910.828

(2)对于一组数据(七,％)«=123,....),其回归直线方=%+方的斜率和截距的最小

、E(x,一元)3-刃-nxy八

二乘估计分另U为：上，-----------=耳---------，d=y-bx.

£(%-元)2储2_用

f=lZ=1

18.(17分)

已知函数/(x)=/一(2a+l)x+alnx(aeR).

(1)当。=1时，求函数)=/(x)在x=l处的切线方程；

(2)讨论/(x)的单调性；

(3)若g(x)=/(x)--一(a-l)lnx有两个不同的零点苞户2,求。的取值范围.

19.(17分)

对于二次曲线「：Ax2+=1,我们有：若。(£/')是曲线「上的一点，则过点。

22

与曲线「相切的直线方程为Ax'x+juy'y=1.已知椭圆C]：：■+==1(。>6>0),

a~b"

1=13/,动圆。2：，+必,点尸(%,%)是G与。2在第一象限的交点•

(1)求椭圆G的离心率e；

(2)过点尸作动圆C2的切线/，/经过椭圆G的右焦点尸(。,0)，求/与。满足的关

系式/(x0,c)=0；

(3)若6=1,直线48与G，。2均相切，切点4在G上，切点5在。2上，求|48|

的最大值.

数学试题第4页共4页

海口市2025届高三摸底考试

数学试题参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

题号12345678

答案DCBABCDD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

题号91011

答案ABCACABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.313.114.匕二）

8.t己g(x)=cx-e~x-2x贝I/(x)=g(x)+1，

当x£［-3,3］时，=g(-x)=e~x-ex+2x,g(-x)+g(x)=0,g(x)为奇函数

由题知/(m2)+/(m-2)<2,.*.g(m2)+1+g(m-2)+1<2

即g(m2)<g(2-加)而g\x)=e%+e-'-220所以g(x)在［-3,3］上单调递增，

-3<m2<3-V3<m<A/3

/.g(m2)<g(2-m)-3<2-m<3-1<m<5/.-1<m<1,选D

m2<2-m-2<m<1

11.ABD

2

设尸(x，V),则kPA，kpB=-----------=一r=m(m0),

x+ax-ax-a

即动点尸的轨迹方程为：x2-^=a2,（加，0）,（xw土a）

m

当加=一1时，方程为：，x1+y2=a2（xW±a）,故A正确;

当加〉0时，方程表示焦点在x轴上的双曲线（除去两个顶点），B正确;

当机＜-1时，方程表示焦点在》轴上的椭圆（除去左、右两个顶点），

1

当-1(加<0时，方程表示焦点在X轴上的椭圆(除去左、右两个顶点)，故C错误

22

当加=2,a=G时，设尸的轨迹为曲线C,则C的方程为：土-匕=1

36

设直线方程为y=g(x-3),

[22

土—匕=1

联立方程31，整理得5/+6x-27=0.

V3(八

J=—(^-3)

解得：为+12=-，xxx2=~~~■■\^-B\=^1+民-xj=I'，.D正确.

xx

14.原不等式可化为：ax0>e°(x0+2),令人(x)=(x+2)e*,h\x)=(x+3)e,

显然xe(—oo,—3)时，h\x)<0,力(x)单调递减；xe(-3,+oo)时，h\x)>0,力(无)单

调递增，

所以/z(x)min="(-3)=-1，且Xf—oo时，〃(x)-0,x—+oo,/z(x)f+8,%(-2)=0

e

同一坐标系中，作出力0)与歹=。无(过定点(o,0))的图象，

0>-2a

据图可知，满足题意的整数解为-3,此时应满足-。一3<—3。,

-2e-4>-4a

解得击故答案为：.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

解：(1)当〃=1时，2s1=2%=3q-1,解得q=l.1分

当〃22时，2sl=3%--1,2分

所以2S〃-2sl=2。〃=3%-3al3分

即%=3%_|,而q=1/0,故％/0,故❷-=3,4分

an-\

•••数列｛4｝是以1为首项，3为公比的等比数列，5分

所以4=1X3〃T=3"T.6分

n1

(2)bn=3-+n-l,7分

2

所以北二(30+3]+32+…+3，T)+(0+1+2+-+O—1))8分

(1一3〃)〃(〃_])_3〃_1M_3〃+〃2

=丁+^-=212分

3”+"2一〃一1

13分

2

16.(15分)

解：（1）如图，取线段的中点M,连接尸N,BM

因为尸是4A的中点，所以MF//BB],^.MF=BBl,

所以四边形片即屈为平行四边形，

则5M7/月尸，且药/

在线段上取点N,使得4N=2NM,

2

因为ZE=2£8，所以ENI/BM豆EN=3BM4分

2

所以EN〃BF且EN=—BF因为EN〃B、F,所以E,N,F,耳四点共面,

3

截面即为四边形砌/N,5分

2

又因为EN=3BF所以四边形EB.FN为梯形.6分

（2）以/为坐标原点，/氏/。,四所在直线分别为工，y>z轴，建立图示空间直角坐

标系,则.（2,0,|）,唱0，。）,.。'用'

故函=序0,|）函=（2,一1,0）,

7分

设平面4£F的一个法向量为%=（x,y,z）

r——.（28

一”「g=0-x+-z=0

则有<—.，即on33,

=02x-y=o

\y=8,、

令x=4,贝IJ=（4,8,—1）9分

又因为平面/用£的一个法向量为%=（0」,0）11分

设二面角E—4E—8为。,

\|"「"24x0+8x1+(-1)x0113分

则Icos。|=|COS(”],"27=

||»11-1«2716+64+1x1

14分

所以二面角厂-4£-5的正弦值为于.15分

17.(15分)

3

解：(1)零假设为用：制定学习计划并坚持实施和数学成绩高于120分没有关联.

50x(14x28-2x6)293xOS

由公式得/=---------X22.120>10.828=xoooi,3分

(14+6)(2+28)(14+2)(6+28)12x34

依据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断为不成立，即制定学习计划并坚持实

施和数学成绩高于120分有关联.4分

(2)(i)由题知：x=|(l+2+3+4+5)=3,5分

5

=I2+22+32+42+52=55,6分

Z=1

n

所以［上---------=9433-5x3x702.2=：1Q8分

62-255—5x3?

),xt-nx

Z=1

a=J7-6J=702.2-(-110)x3=1032.2,9分

所以月考校内名次)与时间代码x的线性回归方程为9=-110x+1032.2.10分

(ii)模型②为“较好”模型，因为模型②的决定系数大于模型①的决定系数.12分

高考对应的时间代码为8,

预测小明高考数学成绩的校内名次为：

2-110x8+1032.2=152.2^152,13分

全省名次为日=28e°°i6xi52=28e2432=28x11.4=319.214分

所以预测小明高考数学成绩的全省名次为319名.15分

18.(17分)

解：(1)当°=1时，/(x)=x2-3x+lnx,所以/(1)=一2,1分

=2x-3+—,

X

所以函数了=/(x)在点处切线的斜率为左=/'⑴=0,2分

函数7=/(x)的图象在x=l处的切线方程为7=-2.3分

(2)函数/(司=——(2a+l)x+alnx的定义域为(0,+co),4分

又/口)=212"1)+12x2—(2a+l)x+a=(2xl)(x-0.5分

XXX

当aVO时，令/'(x)=0则x=g.当xe(0《)时，/(x)<0;当(小+⑹时，

r(x)〉o,

4

所以/（X）在6,+8）上单调递增，在（0,；）上单调递减.6分

当。〉0时，令/''（x）=0贝1］》=。或％=：.

1当0<a<；时，当xe（0,a）Ue，+°o）时，/'⑴〉。；当xe（a,；）时，

/。）<0，

所以/（x）在（0，。），（；，+8）上单调递增，在上单调递减.7分

②当a=；时，/'（x”0在xe（O,+”）上恒成立，所以/⑴在（0,+向上单调递增.

8分

③当a〉g时，当xe（0，：）U（a，+8）时，/'（x）〉0；当xe（4,a）时，fr（x）<0,

所以/（x）在（04），（。，+8）上单调递增，在已,上单调递减.9分

综上，当时，/（X）在（0,；）,。+8）上单调递增，在上单调递减；

当。=g时，/（X）在（0,+8）上单调递增；

当0<4<；时，/⑴在（0,4）,出+8）上单调递增，在（吗）上单调递减；

当aWO时，/⑴在&+8）上单调递增，在（0,；）上单调递减.10分

（3）8（%）=/0）-必一（（7一1）111%有两个不同的零点再，气,

即lnx-（2a+l）x=0有两个不同正实根％，x2,11分

得24+1=也有两个不同正实根为，%，即y=2a+l与尸叱有两个交点,

XX

InX匕步，令G'（x）=0,得x=e，

令G(x)=——(x>0),则G'(x)=

xx

当xe（0,e）时，G'（x）〉0,；.G（x）在（0,e）上单调递增,

当xe（e,+co）时，G'（x）<0,二G（x）在（e,+oo）上单调递减，13分

，x=e时，G（x）取得最大值L且G⑴=0,当x>l时G（x）>0,

14分

e

得G（x）的大致图像如图所示：

111-e

.，.0<2a+1<—,解得—<ci<----,16分

e22e

5

所以实数。的取值范围为(-；，分).17分

19.(17分)

解(1)设椭圆G的半焦距为c,则/=/+，，代入/=13〃，得

12/=',

122^/39

所以，彳=023分

a1313

(2)由已知，切线/的方程为+%>=/,又切线过右焦点尸(c