广东深圳盐田区2024年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省深圳市盐田区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）

1.（3分）隋朝时期的青瓷高足盘是湖北省博物馆重要馆藏文物之一，具有极高的历史价值、文化价值.如

图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（）

A.主视图与左视图相同B.主视图与俯视图相同

C.左视图与俯视图相同D.三种视图都相同

2.（3分）关于x的一元二次方程/+尿-10=0的一个根为2,则。的值为（）

A.-3B.2C.3D.7

3.（3分）如图，在矩形4BCD中，对角线AC,BD交于点、O.若/4OB=50°,则的度数为（）

A

B

A.65°B.50°C.25°D.20°

4.（3分）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B和8的两条线段（两条线段的另一端在

刻度尺上分别对应3和5）相互平行.若点A在数轴上表示的数是-2且点A与刻度尺上的0刻度重合,

则AB的长度是（）

A.3B.4C.5D.6

5.（3分）宽与长的比等于与Lgo.618）的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感•世

界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如古希腊的帕提侬庙等.如

图，帕提侬神庙平面图的长约为30米，则它的宽约为（）

A.12.36米B.18.54米C.21.21米D.48.54米

6.（3分）七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧.如图，是一个由“七巧板”地砖铺

成的地板，一个小球在该地板上自由地滚动，并随机停留在某块地传上，已知小球停在任意一点的可能

性都相同，那么小球停在4号地砖上的概率是（）

B.-1C.-1D.-1

468

7.（3分）如图，△ABC与是位似图形，点。是位似中心.若。4=2AD,△ABC的周长为4,则

△DEF的周长为（）

8.（3分）我国古代数学家赵爽（公元3〜4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正

根）的几何解法.以方程7+5尤-14=0即x（x+5）=14为例说明，记载的方法是:构造如图面积是（尤+尤+5）

2的大正方形.同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4X14+52=81,因此x=2.则

在下列四个构图中，能正确说明方程3x-10=0解法的构图是（

Xx+5

二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分）

9.（3分）已知生-2,则上3的值为.

b3a

10.（3分）为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会.如

图Q）所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品.转动转盘若干次，其中指针

落入优胜奖区域的频率如图（b）所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角近似为度.

11.（3分）关于x的一元二次方程/+2x+Z=0有两个不相等的实数根，则上的取值范围是.

12.（3分）图（a）是燕尾夹，图（6）是燕尾夹简化的示意图，夹臂AC,8。可分别绕点M,N旋转，不

考虑夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即C,。两点重合），AM=BN=20mm,CM=DN=15mm,MN=

8mm.如图（c）,当夹子完全张开时（即A,B两点重合），夹嘴间的距离CO的长为mm.

13.（3分）如图，在正方形ABCD中，£是C。边上一点且满足NCBE=30°,将△BCE沿BE折叠得到

△BC'E,CE与对角线3。交于点F,则见的值为

BF

三、解答题（本大题有7小题，共61分）

14.（6分）解一元二次方程：

（1）X2+2X=0；

（2）x2-6A-391=0.

15.（7分）化学实验课上，杨老师带来了Mg（镁）、M（铝）、Z〃（锌）、Cu（铜）四种金属材料及其元

素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一

张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气.（根据金属活动顺序可知：Mg、Al.Zw可以置换出氢

气，而C"不能置换出氢气）

（1）小云随机从中抽取一张卡片，抽到“4”的概率为;

（2）小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画

树状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率.

MgAlZnCu

3。锌2。铜

12镁13铝

MgAlZnCu

16.（8分）如图，在平行四边形中，/BDC=90°,E是AD边上一点，延长BE与的延长线

交于点尸，连接AF.

（1）请从下列条件中选择一个能证明四边形A3。尸是矩形的条件，并写出证明过程；

®AE=DE；®BF=BC；®AE=BE.

（2）若四边形是矩形，且AB=3,AD=5,求四边形A2CF的面积.

A

17.(8分)已知甲商品每件的进价为20元，售价为每件40元.

(1)若商场计划对甲商品降价促销，预备从原来售价的每件40元进行两次调价后将售价降为每件32.4

元.若甲商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；

(2)经调查，甲商品每降价1元时，每月可多销售10件.已知甲商品在原售价为每件40元时的月销

售量为100件.若商场希望甲商品该月的获利为2250元,请问甲商品在原售价的基础上应降价多少元？

18.(10分)综合与实践

背景晚上小明在广场上散步，如图(a)所示，AB,C。是广场上的两根电线杆，

小明站在点£处，在两盏路灯2,D的照射下，地面上形成了他的两个影子

EH,EG.

素材1两盏路灯5,。的高均为10根，两盏路灯相距40加，小明的身高E77为1.5相.

素材2A,C,E,G,H在同一平面内，电线杆和人均垂直于地面.

问题提出小明在广场中走动时(始终保证影子EG,EH不为0),两个影子端点间的距

离GH是否会发生改变？

问题解决

任务1计算(1)如图(b),当小明影子EG长为4.5加时，此时小明到电线杆CD的距离

EC为多少？

任务2说理(2)小明在广场上走动的过程中两个影子端点间的距离G8是否会改变？若

G”的长不变，请求出G”的长；若GH的长度发生变化，请说明理由.

任务3拓展(3)小明在广场的某个位置向上跳起再落下，在该过程中最长达到10如

请直接写出小明从起跳到落下的过程中，头顶距离地面的最大高度.

(a)(b)

19.(11分)综合与探究

【定义】我们把关于尤的一元二次方程o?+6x+c=0与c?+bx+a=O(acWO,aWc)称为一对“友好方

程”.

【示例】如27+7尤-3=0的“友好方程”是-37+7尤+2=0.

(1)写出一元二次方程12x2_7x+l=0的“友好方程”是.

【探究】

(2)已知一元二次方程12x2-7x+l=0的两根为垢,，„1,请求出它的“友好方程”的两个根.

X1324

【猜想工

(3)当△=信-4ac20时，方程办的两根尤1,X2与其"友好方程"。/+阮+。=0的两根阳，

冗4之间存在的一种特殊关系为.(QCWO,

【证明】

+22

V方程a^+bx+c=O的两根为X,=-bVb-4ac；-b-Vb-4ac_；

12aX22a

方程。/+法+。=0的两根为x0=-bNb2-4ac,①；

X32c

(4)请完成上述填空①，并补全证明过程.(备注：证明一组关系即可)

【拓展】

1

(5)已知关于x的方程20247+云-c=0的两根是xi=-1,„=请利用上述结论，直接写出

X22024

关于x的方程c(x-1)2-bx+b=2024的两根.

20.(11分)综合与探究

如图，在平行四边形ABC。中，E,P分别是边BC,CC上的点，AE与BE交于点P.

(1)【特例感知】

如图(a),若四边形ABCD是正方形，当ZAPB=ZD时，则线段AE与BF的数量关系是；

(2)【深入探究】

如图(b),若四边形ABCD是菱形，且则线段AE与8尸满足怎样的数量关系？请证明

如图(c),若四边形ABCO是菱形，E为BC的中点，/APB=/C=60°,请求出笆■的值;

BF

(4)【联系拓广】

如图(.d),在平行四边形ABCD中，4D=3,AB=4,ZC=60°,尸是CD边的中点，当点E在直线

BC上运动，且直线AE与直线3尸所夹的锐角为60°时，请直接写BE的长.

2024-2025学年广东省深圳市盐田区九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）

1.（3分）隋朝时期的青瓷高足盘是湖北省博物馆重要馆藏文物之一，具有极高的历史价值、文化价值.如

图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（）

A.主视图与左视图相同B.主视图与俯视图相同

C.左视图与俯视图相同D.三种视图都相同

【分析】根据三视图的定义求解即可.

【解答】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同.

故选：A.

2.（3分）关于x的一元二次方程/+6x-10=0的一个根为2,则b的值为（）

A.-3B.2C.3D.7

【分析】把x=2代入方程中，求解即可.

【解答】解：：22+2b-10=0,

:.b=3.

故选：C.

3.（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,3。交于点O.若NAO2=50°,则NAD3的度数为（）

A

B

A.65°B.50°C.25°D.20°

【分析】根据矩形的性质证明，根据三角形的外角的性质即可解决问题.

【解答】解：；四边形ABO）是矩形，

：.OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

VZAOB=ZOAD+ZODA=50°,

/.ZADB=25°.

故选：C.

4.（3分）如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B和8的两条线段（两条线段的另一端在

刻度尺上分别对应3和5）相互平行.若点A在数轴上表示的数是-2且点A与刻度尺上的0刻度重合,

【分析】利用数轴知识和三角形相似的性质解答.

【解答】解：•••由题意可知线段平行，

•••可以找到相似三角形，通过三角形相似可以得到相似比的等式,

3-AB

?8-（-2）'

-3=-A-B-,

510

AB=6.

故选：D.

5.（3分）宽与长的比等于近二L（=o,618）的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感•世

界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如古希腊的帕提侬庙等.如

图，帕提侬神庙平面图的长约为30米，则它的宽约为（

C.21.21米D.48.54米

【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答.

【解答】解：设它的宽为x米，

由题意得：匕_20.618,

30

解得：了七18.54,

它的宽约为18.54米，

故选：B.

6.（3分）七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧.如图，是一个由“七巧板”地砖铺

成的地板，一个小球在该地板上自由地滚动，并随机停留在某块地质上，已知小球停在任意一点的可能

性都相同，那么小球停在4号地砖上的概率是（）

2468

【分析】用4号地砖的面积除以总面积即可得出答案.

【解答】解：根据图形可知，一个由“七巧板”地砖铺成的地板平均分成了16份，其中4号地砖的面

积为16份中的2份，

那么小球停在4号地砖上的概率是工=_1.

168

故选：D.

7.（3分）如图，△ABC与△DEP是位似图形，点。是位似中心.若。4=2AD,△ABC的周长为4,则

△DEF的周长为（）

【分析】结合题意可得△ABC与的位似比为2：3,则△ABC与的周长比为2：3,进而

可得答案.

【解答】解："：OA=2AD,

：.OA：OD=2：3.

「△ABC与是位似图形，点O是位似中心,

.•.△ABC与△。所的位似比为2：3,

.♦.△ABC与△QEF的周长比为2：3.

VAABC的周长为4,

.•.△OEF的周长为6.

故选：A.

8.（3分）我国古代数学家赵爽（公元3〜4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正

根）的几何解法.以方程/+5尤-14=0即x（x+5）=14为例说明，记载的方法是:构造如图面积是（尤+尤+5）

2的大正方形.同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4X14+52=81,因此x=2.则

在下列四个构图中，能正确说明方程3x-10=0解法的构图是（）

【分析】根据题意，画出方程7-3x-10=0,即x（x-3）=10的拼图过程，再由面积之间的关系解

答即可.

【解答】解：方程/-3x-10=0,即x（x-3）=10的拼图如图所示:

中间小正方形的边长X-（X-3）=3,其面积为9,

大正方形的面积：（x+x-3）2=4尤（%-3）+9=4X10+9=49,其边长为7,

因此，C选项所表示的图形符合题意.

故选：C.

二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分）

9.（3分）已知生上，则且3的值为

b3a—2—

【分析】利用比例的性质进行计算，即可解答.

【解答】解：..•曳=2,

b3

•,.设a=2左，b=3k,

-b-a=3k-2k=k=1

,~2k3c万，

故答案为：—■

2

10.（3分）为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会.如

图Q）所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品.转动转盘若干次，其中指针

落入优胜奖区域的频率如图（b）所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角近似为72度.

【分析】利用频率估计概率，可知当〃很大时，频率将会接近其概率，所以可估计指针落入优胜奖区域

的概率，用3600乘概率即可得出答案.

【解答】解：由图（6）可估计指针落入优胜奖区域的概率为0.2,

转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为：0.2X360。=72。.

故答案为：72.

11.（3分）关于尤的一元二次方程/+2x+Z=0有两个不相等的实数根，则1的取值范围是5<1.

【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于左的一元一次不等式，解不等式即可得出结论.

【解答】解：由已知得：△=4-4%>0,

解得：k<\.

故答案为：％<1.

12.（3分）图Q）是燕尾夹，图（6）是燕尾夹简化的示意图，夹臂AC,8D可分别绕点M,N旋转，不

考虑夹臂的粗细，且此时夹嘴闭合（即C,。两点重合），AM=BN=20mm,CM=DN=15mm,MN=

8mm.如图（c）,当夹子完全张开时（即A,B两点重合），夹嘴间的距离CD的长为14mm.

【分析】连接CD根据已知可证△AMNS/V1C。，然后利用相似三角形的性质，进行计算即可解答.

【解答】解：连接CD,如图,

AM—BN=2Qmm,CM=DN=15mm,MN=8mm,

.AMAN_4

ACAD7

又ZA=ZA,

AAMN^AACD,

•••M一N,-4—,

CD7

ACD=—=14Grnn),

4

；•夹嘴间的距离CD为14m加

故答案为：14.

13.（3分）如图，在正方形ABCO中，E是CD边上一点且满足/C8E=30°,将ABCE沿BE折叠得到

ABC'E,CE与对角线8。交于点F,则①的值为__在二1

BF-2

D.___弓.....C

【分析】设CE=m,延长EC'、BA交于点H,由正方形的性质得NC=/ABC=90°,因为NC2E=

30°,所以BE=2CE=2m,ZEBH=6Q°,则CO=CB=求得。E=（氏-1）机，由折叠得/

BEH=/BEC,而NEBH=/BEC,所以/BEH=/EBH,则①/=E8,所以42即是等边三角形，则

BH=BE=2m,再证明则［甲=虫-1,于是得到问题的答案.

【解答】解：设CE=m,延长EC'、BA交于点H,

:四边形ABC。是正方形，

：.ZC=ZABC=9O°,AB//CD,

"：ZCBE=3Q°,

：.BE=2CE=2m,ZEBH=ZABC-ZCBE=90°-30°=60°,

•••CD=CB=VBE2-CE2=V(2rn)2-m2=^3m,

'.DE—CD-CE—\/~2m-m—(^/"§一1)m,

由折叠得/BEC,

'：NEBH=ZBEC,

：.ZBEH=ZEBH,

:・BH=EH,

・・・AS即是等边三角形，

：・BH=BE=2m,

■:DE〃BH,

：.ADFE^ABFH,

・DF=dl)m=E-l.

BF2m2

故答案为：二1.

2

三、解答题（本大题有7小题，共61分）

14.（6分）解一元二次方程：

（1）X2+2X=0；

（2）7-6x-391=0.

【分析】（1）利用因式分解法求解即可;

（2）利用配方法求解即可.

【解答】解：（1）/+2x=0,

x(x+2)=0,

.\x—0或x+2=0,

*-0»X2~~2；

(2)x2-6x-391=0,

x2-6x=391,

x2-6x+9=391+9,即(x-3)2=400,

Ax-3=±20,

・・.xi=23,X2=-17.

15.（7分）化学实验课上，杨老师带来了Mg（镁）、AI（铝）、Z〃（锌）、Cu（铜）四种金属材料及其元

素卡片（如图，除正面信息不同外，其余均相同），将四张元素卡片背面朝上洗匀，让学生随机抽取一

张，然后用抽取到的金属与盐酸反应来制取氢气.（根据金属活动顺序可知：Mg、Al,可以置换出氢

气，而Ca不能置换出氢气）

（1）小云随机从中抽取一张卡片，抽到“4”的概率为1;

----J.---

（2）小云随机从中抽取一张卡片，记下金属后，放回洗匀，小南再从中随机抽取一张，请用列表或画

树状图的方法求小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率.

MgAlZnCu

12镁13铝3。讦锌2。F铜

MgAlZnCu

【分析】(1)由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“4”的结果有1种，利用概率公式可得答

案.

(2)列表可得出所有等可能的结果数以及小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的结果数，再利用概

率公式可得出答案.

【解答】解：(1)由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“A/”的结果有1种，

小云随机从中抽取一张卡片，抽到“4”的概率为工.

4

故答案为：1.

4

(2)列表如下:

MgAlZnCu

Mg(Mg,Mg)(Mg,AD(Mg,Z〃)(Afg,Cu)

AlCAI,Mg)(Al,AD(Al,Zn)(Al,Cu)

Zn(.Zn,Mg)(Z”,AD(Zn,Zn)(Z小Cu)

Cu(CM,Mg)CCu,Al)(Cw,Zn)(Cu,Cu)

共有16种等可能的结果，其中小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的结果有：(Mg,Mg),(Mg,

Al),(Mg,Zn),(Al,Mg),(Al,AD,(Al,Zn),(Zn,Mg),(Zn,AD,(Zn,Zn),共9种，

小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的概率为

16

16.(8分)如图，在平行四边形ABCD中，ZBDC=90°,E是AO边上一点，延长BE与CD的延长线

交于点F,连接AF.

(1)请从下列条件中选择一个能证明四边形ABDE是矩形的条件，并写出证明过程；

@AE=DE；②BF=BC；③AE=BE.

(2)若四边形是矩形，且AB=3,AD=5,求四边形ABCE的面积.

A

【分析】(1)由平行四边形的性质得CD,则NABEn/DPE,而/AEB=NDEF,AE=DE,即可

根据“A4S”证明丝△QFE,WAB=DF,则四边形ABDP是平行四边形，由/BOC=90°,得

/BDF=90°,则四边形ABDF是矩形；

(2)由AB=OF=CO=3,得CF=6,根据勾股定理求得8。=而匹后=4,根据梯形的面积公式

即可求得答案.

【解答】解：(1)选①AE=DE.

证明：•••四边形ABC。是平行四边形，

J.AB//CD,

ZABE=ZDFE,

在△ABE和△。尸E中，

rZABE=ZDFE

'ZAEB=ZDEF>

AE=DF

:.AABE咨ADFE(AAS),

：.AB^DF,

,JAB//DF,AB=DF,

，四边形ABDF是平行四边形，

VZB£>C=90°,

:.NBDF=90°,

四边形AB。尸是矩形；

(2)解：•..四边形ABDP是矩形，

：.AB=DF,

V四边形ABDF是平行四边形，

：.AB=CD,

：.AB^DF=CD=3,

：.CF=DF+CD=3+3=6,

在RtZkBDC中，BC=AD=5,CD=3,

SD=7BC2-CD2=A/52-32=4,

,JAB//CF,

：.S=-BD(AB+CF)=_X4X(3+6)=18,

22

四边形ABC尸的面积S等于18.

17.(8分)已知甲商品每件的进价为20元，售价为每件40元.

(1)若商场计划对甲商品降价促销，预备从原来售价的每件40元进行两次调价后将售价降为每件32.4

元.若甲商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；

(2)经调查，甲商品每降价1元时，每月可多销售10件.已知甲商品在原售价为每件40元时的月销

售量为100件.若商场希望甲商品该月的获利为2250元,请问甲商品在原售价的基础上应降价多少元？

【分析】(1)设这个降价率为x,根据从原来售价的每件40元进行两次调价后将售价降为每件32.4元,

列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；

(2)设甲商品在原售价的基础上应降价y元，则每月销售量为(100+10%)件，根据商场希望甲商品该

月的获利为2250元，列出一元二次方程，解方程即可.

【解答】解：(1)设这个降价率为X,

依题意得：40(1-x)2=32.4,

解得：xi=0.1=10%,X2=1.9(不符合题意，舍去)，

答：这个降价率为10%;

(2)设甲商品在原售价的基础上应降价y元，则每月销售量为(100+10%)件，

依题意得：(40-20-y)(100+10y)=2250,

整理得：7-10y+25=0,

解得:yi=y2=5,

答：甲商品在原售价的基础上应降价5元.

18.(10分)综合与实践

背景晚上小明在广场上散步，如图(。)所示，AB,C。是广场上的两根电线杆，

小明站在点£处，在两盏路灯8,。的照射下，地面上形成了他的两个影子

EH,EG.

素材1两盏路灯3,£＞的高均为10加，两盏路灯相距40加，小明的身高EF为1.5m.

素材2A,C,E,G,H在同一平面内，电线杆和人均垂直于地面.

问题提出小明在广场中走动时(始终保证影子EG,EH不为0),两个影子端点间的距

离GH是否会发生改变？

问题解决

任务1计算(1)如图(6),当小明影子EG长为45%时，此时小明到电线杆CD的距离

EC为多少？

任务2说理(2)小明在广场上走动的过程中两个影子端点间的距离G8是否会改变？若

G”的长不变，请求出G”的长；若GH的长度发生变化，请说明理由.

任务3拓展(3)小明在广场的某个位置向上跳起再落下，在该过程中GH最长达到10如

请直接写出小明从起跳到落下的过程中，头顶距离地面的最大高度.

(a)(b)

【分析】(1)根据平行线分线段成比例得出.•・典里乌=里，进而得出四二EF然后由GE

AHARGCCDCEAB-EF

的长度即可求出答案.

(2)由(1)得得里乌=2_,结合NHEG=NA£C证得△HEGs^AEC,由相似的性质得出

AECE17

竺=_!,然后根据AC^40m求出G8的长度为定值.

ACAE17

(3)由(2)得知史=_^一进而G8=T里一，即可根据所的最大值求出G8的最大值.

ACAB-EF-1

EF

【解答】解：(1)根据题意，EF//AB//CD,AB=CD.

.EHEFGEEF

AHABGCCD

•EH=GE=EF=15=3

"AEAB-EF10-1.5Tz'

当EG=45〃时，CE=17EG=25.5m.

3

故小明到电线杆CD的距离EC为255m.

(2)由(1)得理_/^=.EF_=且.

AECEAB-EF17

又；NHEG=NAEC,

：.AHEGS/XAEC,

,.--G-H-s™EH11h3'•

ACAE17

又•.•AC=40机，

：.GH=AC-3-=

1717

故GH的长度不会改变，G”=3加.

17

(3)由(2)可知8旦=EF

ACAB-EF

EFEF

当小明跳起时，EF变大,(也.-1)变小，GH变大，当小明跳到最高点时，GH最大长度为10%.

EF

40

■——1

EF

解得E「=2/n.

故从起跳到落下的过程中，头顶距离地面的最大高度为2%

19.(11分)综合与探究

【定义】我们把关于x的一元二次方程与c/+6x+a=0(ac#0,a#c)称为一对“友好方

程”.

【示例】如27+7x-3=0的“友好方程”是-37+7尤+2=0.

(1)写出一元二次方程12?-7x+l=0的“友好方程”是%2-7x+12=0.

【探究】

(2)已知一元二次方程12?-7x+l=0的两根为x=1,xc」，请求出它的“友好方程”的两个根•

X1324

【猜想工

(3)当△=庐-4<ac20时，方程的两根xi,X2与其"友好方程"星+云+^-。的两根无3,

网之间存在的一种特殊关系为互为倒数.QcWO,a#c)

【证明】

方程右+法+。=0的两根为X,=fNb2-4ac,-b-Vb2-4ac

X12aX22a

方程c/+6x+a=0的两根为xr2

=-bWb2-4ac,①%4=-b-Vb-4ac

X32c2c

(4)请完成上述填空①，并补全证明过程.(备注：证明一组关系即可)

【拓展】

(5)已知关于x的方程20247+6尤-c=0的两根是皿=-1,Xn=-A-,请利用上述结论，直接写出

22024

关于x的方程c(x-1)2-bx+b=2024的两根.

【分析】(1)根据“友好方程”的定义写出对应的友好方程即可；

(2)因式分解法求出每个方程的两个实数根，原方程与“友好方程”的根得出规律；

(3)再用求根公式去验证即可；

(3)先根据“友好方程”的根的特点得出-c/+bx+2024=0,即c7-法-2024=0的两根为xi=-1,

X2=2O24,将待求方程变形为C(x-1)2-b(x-1)-2024=0,把x-1看作整体即可求解.

【解答】解：(1)一元二次方程127-7x+l=0的“友好方程”为：/-7尤+12=0,

故答案为：x2-7x+12=0；

(2)x2-7x+12=0,

(x-3)(x-4)=0,

解得xi=3,%2=4；

(3)根据(2)的结论，猜想当△=b2-4砒，0时，cuc2+bx+c=0的两根xi、犯与其“友好方程"cf+fcv+a

=0的两根X3、心之间存在的一种特殊关系为互为倒数，(〃cW0,

故答案为：互为倒数；

(4)证明如下：

2

...方程a?+a+c=0的两根为x,「b+'M%'-4ac,-b-\'b-4ac；

12a22a

"友好方程"c/+6x+a=0的两根为x4=_bHb2_4ag,

x32c2c

22222

•r..r.--b+Vb-4ac.-b-Vb-4acb-(b-4ac)4ac},-b-Vb-4ac.

2a2c4ac4ac2a

-b+db：-4ac=b：-（b?-4ac）=4ac=]

2c4ac4ac

即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数,

故答案为：x4=-b7L7ac；

2c

(5)关于x的方程2024x2+bx-c=0的两根是xi=-1,~」，

22024

2

...该方程的“友好方程”-c/+bx+2024=0,即ex-b尤-2024=0的两根为xi=-1,x2=2024,

贝1Jc(x-1)2-bx+b=2024,BPc(x-1)2-Z?(x-1)-2024=0中x-1=-1或x-1=2024,

该方程的解为xi=0,&=2025.

20.(11分)综合与探究

如图，在平行四边形4BC。中，E,F分别是边BC,C。上的点，AE与BF交于点P.

(1)【特例感知】

如图(a),若四边形ABCD是正方形，当时，则线段AE与8尸的数量关系是AE=BF；

(2)【深入探究】

如图(b),若四边形ABC。是菱形，且则线段AE与8尸满足怎样的数量关系？请证明

如图(c),若四边形ABCO是菱形，E为BC的中点，ZAPB=ZC=600,请求出旭的值；

BF

(4)【联系拓广】

如图(d),在平行四边形ABCD中，AD=3,AB=4,ZC=60°,尸是CD边的中点，当点E在直线

BC上运动，且直线AE与直线所夹的锐角为60°时，请直接写BE的长.

【分析】(1)根据同角的余角相等得乙再由ASA证明△A2E四△BCF即可得到

(2)两种方法：通过辅助线构造△AEMgZ\BFC(ASA)证得AE=B凡或通过辅助线构造

BCFCASA)证得AN=BR再由AN=AE即可证明结论.

(3)通过延长AB构造△EAGS/SPBC,进而得到迺望，结合AG=WA3求出答案.

BFBC2

(4)先通过作辅助线R7求出2尸的长度，然后证明△A2/SZ\BFC,由胆求出A/和8/,进

BFBCFC

MSAAGZ为等边三角形得到AG和GB的长度，再证明△BAES