《高考数学压轴题通法训练•高分必刷系列》专题12三角函数（全题型压轴题）含答案及解析

专题12三角函数（全题型压轴题）目录TOC\o"1-1"\h\u①三角函数的图象与性质 1②函数的图象变换 2③三角函数零点问题（解答题） 3④三角函数解答题综合 6①三角函数的图象与性质1．（2023春·辽宁大连·高一统考期末）已知函数（，，）在区间上单调，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．2．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知，若对任意实数都有，其中，则的所有可能的取值有（

）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个3．（2023春·湖北恩施·高一利川市第一中学校联考期末）已知函数，且，都有，则的取值范围可能是（

）A． B． C． D．4．（2023春·河南驻马店·高一统考期末）已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．5．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知定义在R上的奇函数与偶函数满足，若，则的取值范围是.6．（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知定义在上的偶函数，当时满足，关于的方程有且仅有6个不同实根，则实数的取值范围是.7．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若，对于任意的都有，且在区间上单调，则的最大值为.8．（2023春·江西宜春·高一上高中学校考期中）已知函数在上有两个不同的零点，则满足条件的所有m的值组成的集合是．②函数的图象变换1．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期中）若把函数的图象向左平移（）个单位长度后，得到的图象，则m的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知函数图象的相邻的对称轴之间的距离为2，将函数的图象向右平移个单位长度﹐再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍﹐纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的解析式为（

）A． B．C． D．3．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）将的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（

）A． B． C． D．4．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）若将函数的图象向右平移个单位后，函数图象关于原点对称，则.5．（2023春·江苏南京·高二校考期末）已知函数的最小正周期为，，且的图象关于点中心对称，若将的图象向右平移个单位长度后图象关于轴对称，则实数的最小值为.6．（2023春·上海普陀·高一上海市宜川中学校考期中）将函数的图像向左平移个单位后得到函数，若函数是上的偶函数，则．③三角函数零点问题（解答题）1．（2023春·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知函数．(1)求函数的单调递增区间；(2)将的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上至少有2个零点.当取得最小值时，对，都有成立，求的取值范围.2．（2023春·四川成都·高一统考期中）已知函数，且的最小正周期为.(1)求函数的单调增区间；(2)若函数在有且仅有两个零点，求实数的取值范围.3．（2023春·四川达州·高一四川省万源中学校考期中）已知，(1)求以及的单调减区间；(2)若在上有唯一解，求的取值范围.4．（2023春·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知函数的最大值为，与直线的相邻两个交点的距离为.将的图象先向右平移个单位，保持纵坐标不变，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数.(1)求的解析式.(2)若，且方程在上有实数解，求实数的取值范围.5．（2023春·福建福州·高一校联考期中）已知函数．(1)求函数的对称中心；(2)先将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，设函数，试讨论函数在区间内的零点个数．6．（2023春·福建福州·高一校联考期末）已知函数的图象上相邻两个最高点的距离为．(1)求函数的图象的对称轴；(2)若函数在内有两个零点，求m的取值范围及的值．7．（2023春·江西·高一统考期末）已知函数，且．(1)求函数的解析式；(2)若函数在区间上恰有3个零点，求的取值范围和的值．8．（2023春·湖北咸宁·高一统考期末）已知的部分图象如图所示，两点是与轴的交点，为该部分图像上一点，且的最大值为4；

(1)求的解析式；(2)将图像向左平移个单位得到的图像，设在上有三个不同的实数根，求的值.④三角函数解答题综合1．（2023春·四川成都·高一四川省成都列五中学校考阶段练习）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.(1)设函数，试求的伴随向量；(2)记向量的伴随函数为，求当且时，的值；(3)已知将（2）中的函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，若存在，使成立，求a的取值范围.2．（2023·全国·高一专题练习）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的联合向量，同时称函数为向量的联合函数．(1)设函数，试求函数的联合向量的坐标；(2)记向量的联合函数为，当且时，求的值；(3)设向量，的联合函数为，的联合函数为，记函数，求在上的最大值．3．（2023春·河南驻马店·高一统考期末）已知向量.(1)当时，函数取得最大值，求的最小值及此时的解析式；(2)现将函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象.已知是函数与图象上连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，求的取值范围.4．（2023春·四川成都·高一统考期末）已知函数，函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，.(1)若，求；(2)若对任意，存在使得成立，求实数的取值范围.5．（2023春·福建泉州·高一校联考期中）已知函数.(1)求函数的最小值；(2)设函数，记最大值为，最小值为，若实数满足，如果函数在定义域内不存在零点，试求实数的取值范围.6．（2023春·湖北武汉·高一校联考期中）对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．记向量的相伴函数为．(1)当且时，求的值；(2)当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

专题12三角函数（全题型压轴题）目录TOC\o"1-1"\h\u①三角函数的图象与性质 1②函数的图象变换 9③三角函数零点问题（解答题） 12④三角函数解答题综合 20①三角函数的图象与性质1．（2023春·辽宁大连·高一统考期末）已知函数（，，）在区间上单调，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】，，，在区间单调，，，，，，，，，，，，，，，，.故选：A.2．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知，若对任意实数都有，其中，则的所有可能的取值有（

）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【答案】C【详解】由已知得，∵对于任意实数都有成立，即对于任意实数都有成立，∴与的最值和最小正周期相同，∴，即．①当时，，又或；②当时，，又或；③当时，，又；④当时，，又．综上所述，满足条件的的值有6个．故选：C．3．（2023春·湖北恩施·高一利川市第一中学校联考期末）已知函数，且，都有，则的取值范围可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，得，设，由于，且，时，可知在上单调递减，由正弦函数性质可知，故当时，，即时，即时，已知不等式成立，故选项A正确，B错误；对于选项C，当时，，当时，，显然此时的在上不是单调递减，故选项C错误；对于选项D，当时，，显然此时的在上不是单调递减，故选项D错误；故选：A4．（2023春·河南驻马店·高一统考期末）已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】所以得，进而，故，由于对任意的，当时，，恒成立，不妨设，则问题转化成在单调递减，所以其中,解得，故选：B5．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知定义在R上的奇函数与偶函数满足，若，则的取值范围是.【答案】【详解】由已知①，用代换得，因为函数为定义在R上的奇函数，函数为定义在R上的偶函数，所以②，①+②得，①-②得，则，当时，，所以在上单调递增，所以，，所以化为，所以，所以，所以，解得或，又且，所以，所以，则的取值范围是.故答案为：.6．（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知定义在上的偶函数，当时满足，关于的方程有且仅有6个不同实根，则实数的取值范围是.【答案】【详解】根据题意，当时，，因为，可得，所以在单调递增，，又由时，为单调递减函数，且，因为函数是上的偶函数，画出函数的图象，如图所示，

设，则方程可化为，由图象可得：当时，方程有2个实数根；当时，方程有4个实数根；当时，方程有2个实数根；当时，方程有1个实数根；要使得有6个不同的根，设是方程的两根，设，①，当时，可得，可得，此时方程为，解得，不满足，所以无解.②，即，解得，综上可得，实数的取值范围是.故答案为：.7．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若，对于任意的都有，且在区间上单调，则的最大值为.【答案】18【详解】由于，则的图像关于直线对称，则

…①，）…②，①-②得，，令，则，的最小正周期，在区间上单调，，

，解得，当时，，则②式为，又，此时，当

时，，此时不单调，不符合题意，舍去；当时，，则②式为，又，当时，，当时，，此时

，当

时，，此时单调，符合题意，故答案为：18.8．（2023春·江西宜春·高一上高中学校考期中）已知函数在上有两个不同的零点，则满足条件的所有m的值组成的集合是．【答案】【详解】解：，令，则，则当时，显然无解；当时可化为.利用对勾函数的性质与图象可知（如下图所示）：①当时，即，此时或，符合题意；②当时，即或，此时或，符合题意；③当时，即，由可得，易知当时，只有一个解满足，不符合题意；④当时，即，方程有两根，不妨记为，其中，只有一个根，有两个根，故方程有3个解，也不符合题意.∴满足条件的所有m的值组成的集合是：.故答案为：②函数的图象变换1．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期中）若把函数的图象向左平移（）个单位长度后，得到的图象，则m的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】函数的图象向左平移个单位长度后为函数，所以，则又，所以m的最小值为.故选：C.2．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知函数图象的相邻的对称轴之间的距离为2，将函数的图象向右平移个单位长度﹐再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍﹐纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】，由题意知，最小正周期，又，所以，所以；将的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，所以.故选：D3．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）将的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】将的图象向左平移个单位长度后，得到，则，解得，所以当时，的最小值为.故选：C.4．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）若将函数的图象向右平移个单位后，函数图象关于原点对称，则.【答案】/【详解】因为，就函数图象向右平移个单位后得到，又因为函数图象关于原点对称，所以，，因为，所以的值是.故答案为：.5．（2023春·江苏南京·高二校考期末）已知函数的最小正周期为，，且的图象关于点中心对称，若将的图象向右平移个单位长度后图象关于轴对称，则实数的最小值为.【答案】/【详解】，，且，，即，的图象关于点中心对称，，且，即，解得，，取，，，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，此函数的图象关于轴对称，，解得，，当时，得.故答案为：.6．（2023春·上海普陀·高一上海市宜川中学校考期中）将函数的图像向左平移个单位后得到函数，若函数是上的偶函数，则．【答案】【详解】因为将函数的图像向左平移个单位后得到函数，所以，因为函数是上的偶函数，所以，得，且，即，所以.故答案为：.③三角函数零点问题（解答题）1．（2023春·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知函数．(1)求函数的单调递增区间；(2)将的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上至少有2个零点.当取得最小值时，对，都有成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)或【详解】（1）令，的增区间为，则，解得的增区间为（2）由题意得：，因为在区间上至少有2个零点，所以，解得，所以的最小值为，即，因为当时，，，所以的最大值为3，故，，解得：或.2．（2023春·四川成都·高一统考期中）已知函数，且的最小正周期为.(1)求函数的单调增区间；(2)若函数在有且仅有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）函数，因为，所以，解得所以.由得，故函数的单调递增区间为.（2）由（1）可知，在上为增函数；在上为减函数由题意可知：，即解得，故实数的取值范围为.3．（2023春·四川达州·高一四川省万源中学校考期中）已知，(1)求以及的单调减区间；(2)若在上有唯一解，求的取值范围.【答案】(1)；减区间为(2)【详解】（1）因为所以由，得，所以的单调减区间，（2）由，得，则，由，得，因为在上有唯一解，所以，得.4．（2023春·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知函数的最大值为，与直线的相邻两个交点的距离为.将的图象先向右平移个单位，保持纵坐标不变，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数.(1)求的解析式.(2)若，且方程在上有实数解，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为函数的最大值为，所以，又与直线的相邻两个交点的距离为，所以，所以，则.将的图象先向右平移个单位，保持纵坐标不变，得到，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数.（2），在上有实数解，即在上有实数解，即在上有实数解，令，所以，由，所以，所以，则，同时，所以，所以在上有实数解，等价于在上有解，即在上有解，①时，无解；②时，有解，即在有解，即在有解，令，，则，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的值域为，所以在有解等价于.综上：.5．（2023春·福建福州·高一校联考期中）已知函数．(1)求函数的对称中心；(2)先将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，设函数，试讨论函数在区间内的零点个数．【答案】(1)(2)答案见详解【详解】（1），由得，所以的对称中心为（2）将的图像向右平移个单位长度，得的图像，再将该图像所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到的图像，故，作函数在区间的图像如图：

由图可知，当或时，在区间内一个零点；当时，在区间内两个零点；当或时，在区间内没有零点.6．（2023春·福建福州·高一校联考期末）已知函数的图象上相邻两个最高点的距离为．(1)求函数的图象的对称轴；(2)若函数在内有两个零点，求m的取值范围及的值．【答案】(1)(2);【详解】（1）由函数的图象上相邻两个最高点的距离为，可得函数最小正周期为，故，令，则，即函数的图象的对称轴为；（2）由可知，则，函数在内有两个零点，则的图象与直线有2个交点，结合在时的图象可知需满足，

令，则，故两个零点关于对称，则，故.7．（2023春·江西·高一统考期末）已知函数，且．(1)求函数的解析式；(2)若函数在区间上恰有3个零点，求的取值范围和的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）．由知，的图像关于点对称，所以，得．因为，所以，即函数．（2），当时，．函数在区间上恰有3个零点，令，则在上有3个不相等的根．即与在的图像上恰有3个交点，作出与的图像，如图所示，

由图可知，，且，所以．故的取值范围为的值为．8．（2023春·湖北咸宁·高一统考期末）已知的部分图象如图所示，两点是与轴的交点，为该部分图像上一点，且的最大值为4；

(1)求的解析式；(2)将图像向左平移个单位得到的图像，设在上有三个不同的实数根，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）依题意，，故，从而，而为对称轴，故，则，根据可知，，设为的中点，则，则的最大值为2，因此，从而.（2）依题意，，则在存在三个实数根，设，的三个零点满足，从而，故.④三角函数解答题综合1．（2023春·四川成都·高一四川省成都列五中学校考阶段练习）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.(1)设函数，试求的伴随向量；(2)记向量的伴随函数为，求当且时，的值；(3)已知将（2）中的函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，若存在，使成立，求a的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1），所以.（2）依题意，由得，，所以，所以.（3）将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得，再把整个图象向右平移个单位长度，得，所以，若，则，所以令，则可化为，即，因为函数是开口向上，对称轴为的二次函数，所以时，函数单调递减；时，函数单调递增，所以，又当时，；当时，，所以；因为存在，使成立，所以存在使成立，因此只需.

-2．（2023·全国·高一专题练习）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的联合向量，同时称函数为向量的联合函数．(1)设函数，试求函数的联合向量的坐标；(2)记向量的联合函数为，当且时，求的值；(3)设向量，的联合函数为，的联合函数为，记函数，求在上的最大值．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）因为，所以函数的联合向量的坐标为.（2）依题意，由，得，即，又因为，所以，所以.（3）由题知，，所以因为，，所以，，令，所以，问题转化为函数上的最大值问题.因为函数的对称轴为，所以，当，即时，的最大值在处取得，此时；当，即时，的最大值在处取得，此时；当，即时，的最大值在处取得，此时；综上，在上的最大值为.3．（2023春·河南驻马店·高一统考期末）已知向量.(1)当时，函数取得最大值，求的最小值及此时的解析式；(2)现将函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象.已知是函数与图象上连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，求的取值范围.【答案】(1)，(2)【详解】（1），当时，函数取得最大值，即，解得，且，则，此时；（2）由函数的图象沿轴向左平移个单位，得到，由（1）知，作出两个函数图象，如图：

为连续三交点，（不妨设在轴下方），为的中点，由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，根据图像可得，即，由两个