广东省惠州市2025届高三第一次调研考试暨惠州高二期末考试数学试卷

惠州市2025届高三第一次调研考试试题

数学

2024.07

全卷满分150分，时间120分钟.

注意事项:

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答

题卡上.

2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案

信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.

3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本

试卷上无效.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.

=(xlx2-3x<0kJ5=(xllnx>0)/CA

1,已知集合r-J,则山15:()

A.1x|0<x<l}B.C.{x[0<x<3}D.1x|l<x<3}

2.若i(l—z)=l,则z+^=()

A.-2B.-1C.1D.2

3.在等差数列｛q〃｝中，已知。1=2,。2+。3=13,则〃4+。5+。6等于（

A.40B.42C.43D.45

4.〔2d—十］的展开式中常数项是（）

A.14B.-14C.42D.-42

5.在正三棱柱4SC-44G中，若48=2,44=1,则点4到平面/田。的距离为（）

百D.26

~T

6.在△45。中，内角4瓦。所对的边分别为。，仇。.向量万=（〃+。/）4=3-%。一。）.若万//，,

则角C的大小为（）

2兀

D.

T

7.设点45在曲线y=log2X上.若48的中点坐标为(5,2),贝『AB|=()

A.6B.2丽C.4百D.4君

7T5兀

8.已知函数/(x)=sin(3ox——)sin(2ox+—)在区间(0,兀)恰有6个零点，若3>0,则。的取值范围

46

为()

人(铝)B.(*C.(置］D.暇曰

二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.现有甲、乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表(满分100分).设

事件〃表示“从甲机构测评分数中任取3个，至多1个超过平均分”，事件N表示“从甲机构测评分数中任

取3个，恰有2个超过平均分”.下列说法正确的是()

机构名称甲乙

分值90989092959395929194

A.甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分

B.甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差

C.乙机构测评分数的中位数为92.5

D.事件互为对立事件

10.设公比为q的等比数列｛4｝的前"项积为北，若％为=16,则()

A%=4B.当q=1时，q=±41

C.log2|7^|=18D,a；+a；232

ii.在平面直角坐标系xQv中，动点尸(x,y)的轨迹为曲线c,且动点尸(xj)到两个定点

片(-1,0),乙(1,0)的距离之积等于3.则下列结论正确的是()

A.曲线。关于y轴对称B.曲线C的方程为f+/+］="J+9

C.△片桃面积的最大值］D.|的取值范围为［0,2］

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.双曲线/―心？=i的一个焦点是(2,o),则左=.

13.若点4(cose,sin。)关于歹轴对称点为5(cos(e+£),sin(e+£)),写出。的一个取值为.

14.已知函数，(x)的定义域为[0,1],对于0W项</<1，恒有/(占)〈/(%),且满足

“X)+/(l-x)=l,/(|)=1/(x)，则/(*)=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(x)=》111%+<7》+2在点(1,7(1))处的切线与直线》-2>+2=0相互垂直.

(1)求实数。的值；

(2)求/(x)的单调区间和极值.

16.某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复

试.

(1)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布N(〃,cr2),其中〃=65,b=10,试估计初试成绩不低

于75分的人数；(精确到个位数)

(2)复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.已

33

知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为一，后两题答对的概率均为一，且每道题回答正确与

45

否互不影响.记该考生的复试成绩为匕求y的分布列及期望.

附：若随机变量X服从正态分布N(〃,cr2),则：尸(〃—b<X<〃+<T)=0.6827,

尸(〃一2cr<X<//+2cr)=0.9545,P(//-3a<X<〃+3。)=0.9973.

7T

17.在三棱锥尸—4SC中，尸C,平面A8C,尸C=3,NZC8=—.分别为线段4B,8C上的点，且

2

(I)证明：DE1平面PCD；

(2)求平面P4D与平面PCD夹角的余弦值.

2

18.如图，已知椭圆6：3+/=1和抛物线G：/=2加(P>0),。2的焦点R是C的上顶点，过歹的

直线交。2于M、N两点，连接N。、并延长之，分别交G于A、B两点，连接该&OMN、AOAB

的面积分别为k0脑心sdOAB•

(1)求。的值；

(2)求丽.丽的值；

S

(3)求黄”的取值范围.

'△OAB

19.如果数列｛%｝对任意的"cN*，an+2-an+l>an+l-an,则称｛%｝为“速增数列”.

(1)判断数列｛2"｝是否为“速增数列”？说明理由；

(2)若数列｛4｝为“速增数列”.且任意项a“eZ,1=1,4=3,^=2023,求正整数左的最大值;

(3)已知项数为24(左N2,左GZ)的数列也｝是“速增数列”，且也｝的所有项的和等于匕若

cn=2"",〃=1,2,3,…,2左，证明：ckck+x<2.

惠州市2025届高三第一次调研考试试题

数学

2024.07

全卷满分150分，时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答

题卡上.

2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案

信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.

3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本

试卷上无效.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.

=jxlx2-3x<Oy,5=fxllnx>0)AC\U

1.已知集合J>11则山[3=()

A.{x[0<x<l}B,C.{x[0<x<3}D,{x[l<x<3}

【答案】D

【解析】

【分析】解不等式化简集合4,B,再利用交集的定义求解即得.

【详解】由-―3%<0,得0<x<3,即Z={x|0<x<3},由lnx>0,得光>1,即8={x|x〉l},

所以Nc3={x[l<x<3}.

故选：D

2.若i(l—z)=l,贝！12+亍=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的除法可求z,从而可求z+彳.

【详解]由题设有l_z=_=；=_i,故Z=l+i,故Z+彳=(l+i)+(l—i)=2,

11

故选：D

3.在等差数列｛。“｝中，己知。1=2,。2+。3=13,则%+的+恁等于（

A.40B.42C.43D.45

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知求出公差即可得出.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,

因为％=2,%+%=2%+3d=13,所以"=3,

则为+%+4=3al+12d=3x2+12x3=42.

故选：B.

4.12丁—十]的展开式中常数项是（）

A.14B.-14C.42D.-42

【答案】A

【解析】

【分析】

利用二项式展开式的通项公式，即可容易求得结果.

【详解】展开式的通项为&1=0（2//[—丁）=C；27-r（-l）rx于,

由21—g=0,得r=6,那么展开式中常数项是C"7f（_球=]4.

故选：A.

【点睛】本题考查由二项式定理的通项公式求指定项，属基础题.

5.在正三棱柱ABC-481G中，若48=2,Z4=1，则点A到平面A.BC的距离为（

A.叵B.述C.V3D.2G

24

【答案】A

【解析】

【分析】利用七,Be=〃TBC结合已知条件求解即可.

【详解】因为在正三棱柱48C-481G中，若48=2,24=1,

22x

所以A]B=A1C=V2+1=y/5，S&ABC——2x2sin—=V3,

所以y4BC=；8CJ（45）2—[BC]=gx2xg=2,

设点A到平面ABC的距离为d,

因为匕-4BC=%「ABC，

所以§S«4BC,d=§S“BC•AA\>

所以2d=gxl，得d=也.

2

故选：A

6.在△48C中，内角43,C所对的边分别为见仇c.向量万=(a+c,b)后=(6—a,c—a).若万//，,

则角C的大小为()

兀兀兀2兀

A.—B.一C.—D.—

6433

【答案】c

【解析】

【分析】利用共线向量的坐标表示，结合余弦定理求解即得.

【详解】在ANBC中，由/=(a+c,b)，4=(b—a,c-a),pl!q,(a+c)(c-a)=b(b-a),

272_21

整理得/+〃—02=46，由余弦定理得cosC="一°=人,而0＜。＜兀，

2ab2

71

所以。=；.

3

故选：C

7.设点45在曲线y=log2%上.若的中点坐标为(5,2),贝力/切=()

A.6B.2V10C.4百D.475

【答案】B

【解析】

【分析】设幺（司,1。82占）,8（%,1。82%），根据题意，利用对数的运算，求得再,％的值，结合两点间的距

离公式，即可求解.

【详解】设幺（西/082石）,5（》2』。82》2），

x+x

x2——D

2

因为4s的中点坐标为（5,2）,可得〈

logXj+logx_

222—N

2

整理得玉+9=1。,西％2=16,解得石=2,/=8或玉=8,%=2,

不妨设^(2,1),5(8,3),所以以邳=7(2-8)2+(1-3)2=2V10.

故选：B.

71571

8.已知函数/（x）=sin（30x——）sin（2（ur+—）在区间（0,兀）恰有6个零点，若。>0,则。的取值范围

46

为（）

/313、z197、

A-（了3B.D-GN

【答案】C

【解析】

jr5717兀97113兀17兀19兀

【分析】令/⑶=°'求得/⑴从左到右的零点依次为：市后，荡市而后，尾，结合题

意，列出不等式，即可求解.

jrSjrTT

【详解】函数f(x)=sin(3«x--)sin(2(yx+—),由/(x)=0,得sin(30x—2)=0或

464

5兀

sin(2«x+y)=0,

(1+4左)兀„(1+6左)兀

解得“X）的正零点为--------或---------，左£N,

12G12G

715兀7兀9兀13兀17兀19兀

则函数从左到右的零点依次为:

12/12G’12G’12/12G’12G12G'

17兀19n1719

为了使得/（x）在区间（0,兀）恰有6个零点，只需——<7T<——，解得一<。三一,

12。12®1212

所以实数。的取值范围为（3,《］.

故选：C

二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.现有甲、乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表(满分100分).设

事件”表示“从甲机构测评分数中任取3个，至多1个超过平均分”，事件N表示“从甲机构测评分数中任

取3个，恰有2个超过平均分”.下列说法正确的是()

机构名称甲乙

分值90989092959395929194

A.甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分

B.甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差

C.乙机构测评分数的中位数为92.5

D.事件V,N互为对立事件

【答案】BD

【解析】

【分析】直接由平均数、方差、百分位数及对立事件的概念，逐一对各个选项分析判断，即可得出结果.

【详解】对于A,甲机构测评分数的平均分西=；~—=93,

—93+95+92+91+94

乙机构测评分数的平均分x2=§~—=93,A错误；

对于B,甲机构测评分数的方差

s,=|[(90-93)2+(98-93)2+(90-93)2+(92-93)2+(95-93)2]=9.6,

乙机构测评分数的方差s；=g[(93—93)2+(95-93)2+(92-93)2+(91-93)2+(94-93)2]=2,B正

确；

对于C,乙机构测评分数从小排到大为：91,92,93,94,95,乙机构测评分数的中位数为93,C错误;

对于D,由甲机构测评分数中有且仅有2个测评分数超过平均分，事件不可能同时发生，

但必有一个发生，因此事件互为对立事件，D正确.

故选：BD

10.设公比为q的等比数列｛%｝的前〃项积为北，若%%=16,则()

A.%=4B.当％=1时，q=±4i

c.log2|7^|=18D,a；+a；三32

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据等比数列下标和的性质和应用判断ABC,根据基本不等式的应用判断D.

【详解】A选项：因为a；=%。9=16,所以％=±4,所以A不正确；

B选项：因为q=1,aIa9=16,则a；q8=16,所以/=16,所以q=±C，所以B正确；

C选项：因为4=%的……«9=«5-所以园=|叫=2%所以log2圜=18,所以C正确；

D选项：a；+a；三2a3a7=2%。9=32,当且仅当生=%时，等号成立.所以D正确.

故选：BCD.

11.在平面直角坐标系xQy中，动点尸(x,y)的轨迹为曲线c,且动点尸(xj)到两个定点

片(-1,0),乙(1,0)的距离之积等于3.则下列结论正确的是()

A.曲线C关于y轴对称B.曲线C的方程为炉+/+1=+9

a

C.△为隼面积的最大值：D.QP的取值范围为[血,2]

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据给定的信息，列式求出曲线C的方程，再逐项分析判断即可.

[详解]对于B,依题意，J(x+l)2+y2小_1)2+「=3,整理得八/+1=J4/+9，

因此曲线C的方程为3+,2+1=，4》2+9,B正确；

对于A,方程中的X换成-x方程不变，因此曲线C关于了轴对称，A正确；

对于C,显然=岳帝―，+1)20，则――2/一840,解得：一2<xW2,

______产S]Q

22

令“晶+9=/e[3,5],则y=一~—+^+—=(^-2)+—G[0,2],即|y区V2,

△为PE的面积S=；|大乙||y|=|y|wJ5,C错误；

222

对于D,|OP|=X+/=V4x+9-le[2,4]»因此QP的取值范围为[、历,2],D正确.

故选：ABD

【点睛】结论点睛：曲线C的方程为尸(x,y)=0,①如果E(-x,y)=0,则曲线C关于>轴对称；②如果

E（x,-歹）=0,则曲线C关于x轴对称；③如果尸（-x,-内=0,则曲线C关于原点对称.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.双曲线V—=i的一个焦点是（2,o）,贝1H=.

【答案】|

【解析】

【分析】化双曲线方程为标准形式，再结合焦点坐标求出左值.

2

x2y_111

【详解】双曲线-如2=1方程为X--依题意，1+—=4,所以左=一.

1k3

故答案为：—

13.若点N（cos，,sin，）关于歹轴对称点为3（cos（e+m）,sin（0+g））,写出，的一个取值为_.

66

【答案】—（满足8=区+丘丘Z即可）

1212

【解析】

7FJT

【分析】根据43在单位圆上，可得/e+—关于〉轴对称，得出e+—+。=〃+2左肛左EZ求解.

66

【详解】N（cos，,sin。）与8cos|e+W：sin[e+g]关于V轴对称，

7T

即46+—关于丁轴对称，

6

7T

0+—+0-71+24肛keZ,

57r

则3=k兀+——,keZ,

12

5乃

当％=0时，可取。的一个值为一.

12

S775万

故答案为：—（满足。=左"十二■，左£Z即可）.

14.已知函数/（x）的定义域为[0,1],对于04西＜/«1，恒有/（再）4/（%），且满足

/（x）+/（I—x）=1/（%）,则/（*）=-

【答案】—##0.03125

32

【解析】

【分析】根据给定条件，可得当时，/(x)=|,再借助变形/(焉)即可得解.

【详解】函数"X)的定义域为[0,1],由/(x)+/(l—x)=l,得/(g)+/(；)=l,即/(g)=；，

又/(0)+/(1)=1，由代)=y(x),得/(0)=5〃0),解得/(0)=0,则/⑴=1,

于是心=；"1)=；，由对于04再</<1，恒有/(亦/(》2)，得当时，/(x)=1,

「”1、15、1-25、1人125、1625、

因止匕/(-----)——f(------)——5f(------)——Tf(------)——Tf(------)，

202422024222024232024242024

工16251口口一人625、1寸一-1、1

而一<-----<一，即有/(-----)——，所以/(-----)——

52024220242202432,

故答案为：—

32

111111

【点睛】关键点点睛：关键点是根据题意求得了(不)=5，/(—)=—,进而求得当X£[—,申时,

/叫•

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(x)=X111%+口工+2在点(1,7(1))处的切线与直线％-2〉+2=0相互垂直.

(1)求实数。的值;

(2)求/(x)的单调区间和极值.

【答案】(1)CL=—3;

(2)增区间为卜2,+00),减区间为(0遍2),极小值2—e2,无极大值.

【解析】

【分析】(1)根据:x/'(l)=-1,代值计算即可求得参数值；

(2)根据(1)中所求参数值，求得了'(X),利用导数的正负即可判断函数单调性和极值.

【小问1详解】

因为/'(x)=lnx+l+a,在点(1，/⑴)处的切线斜率为左=/'⑴=1+。,

又/(x)在点处的切线与直线x-2>+2=0相互垂直，

所以;x/'(l)=-l,解得°=—3.

【小问2详解】

由⑴得，/，(x)=lnx-2,XG(0,+oo),

令广(力>0,得X*,令/(x)<0,#0<x<e2,

即/(X)的增区间为(e2,+8),减区间为(0述2).

又/(e?)=e?Ine2-3e2+2=2-e2,

所以/(x)在x=e2处取得极小值2-e2,无极大值.

【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和极值，属综合中档题.

16.某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复

试.

(1)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布N(〃,cr2),其中〃=65,(7=10,试估计初试成绩不低

于75分的人数；(精确到个位数)

(2)复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.已

33

知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为一，后两题答对的概率均为一，且每道题回答正确与

45

否互不影响.记该考生的复试成绩为匕求y的分布列及期望.

附：若随机变量X服从正态分布N(〃,b9,贝ij：尸(〃—b<X<〃+b)=0.6827,

尸(〃-2(y<X<ju+2cr)=0.9545,0(〃-3a<X<//+3cr)=0.9973.

【答案】(1)159；

(2)分布列见解析,期望为19.5.

【解析】

【分析】(1)分析可知75=〃+b,计算出尸(X275)的值，乘以1000可得结果；

(2)分析可知随机变量y的取值分别为o、10、20、30,计算出随机变量y在不同取值下的概率，可得

出随机变量y的分布列，进而可求得E(y)的值.

【小问1详解】

由学生初试成绩X服从正态分布"(〃,/),其中〃=65,(7=10,得75=65+10=〃+b,

因此尸(X275)=尸(X2〃+cr)=g[l—尸(〃一bVXV〃+b)]=^^^=0.15865,

所以估计初试成绩不低于的人数为0.15865x1000”159人.

【小问2详解】

y的可能取值为0,10,20,30,

2

贝UP（y=o）=（i—［）x（i—|）2=A，p（y=io）=|x（i-|）+（i-1）xc'x|x|=A

37Q33Q3377

p（y=20）=-XC'X-X-+（1--）X（-）2=—,P（y=30）=-x（-）2=—,

4255452045100

所以y的分布列为:

Y0102030

16927

P

252520Too

1ZfQ07

数学期望为£（y）=0x——+10x——+20x——+30x——=19.5.

、）252520100

7T

17.在三棱锥尸—4SC中，尸。1平面48。,尸。=3,/2。8=—.分别为线段4B,8C上的点，且

2

CD=DE=42,CE=2EB=2.

(1)证明：£>E/平面PCD；

(2)求平面P4D与平面PCD夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

4

（2）

6-

【解析】

【分析】(1)根据尸C1平面A8C并结合ACDE的形状，利用线面垂直的判定定理进行证明；

(2)建立空间直角坐标系，求解出平面4P。、平面尸。C的法向量，再用面面角的向量求法求解即得..

【小问1详解】

由PC,平面Z8C,DEu平面N8C,得PCLDE,

由CE=2,CQ=£>E=J5得ACDE为等腰直角三角形，即CDLOE,

又PCcCD=C,且PCu面尸C£>,C£)u面尸C£),

所以DE/平面PCD.

【小问2详解】

在三棱锥尸—Z8C中，取CE中点口，连接。尸，由（1）知，DF=l,DF1BC,

DFBF23

而NCIBC,于是。尸///C,——=——=—,则NC=—

ACBC32

显然直线C4c3CP两两垂直，以点。为原点，直线C4C5,CP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系,

3—•—­—1

C(0,0,0),P(0,0,3),A(-,0,0),£(0,2,0),^(1,1,0),ED=(1-1,0),DP=(-1-1,3),DA=(-,-1,0),

n-DP=-x-y+3z=0

设平面P4D的法向量为〃=（x,%z）,则＜—1八，令龙=2,得三(2,1,1).

n•DA=—x—y=0

2

由。£1平面尸CO,则平面尸CO的法向量为防，设平面P4D与平面尸CD夹角为8,

_____\n^DEI1J3

因止匕cos6=|cos〈n,DE)\=————产=——,

\n\\DE\V6xV26

所以平面PAD与平面PCD夹角的余弦值为由.

6

2

18.如图，已知椭圆6：亍+必=1和抛物线G：f=2眇（夕〉0）,。2的焦点R是G的上顶点，过歹的

直线交。2于M、N两点，连接NO、MO并延长之，分别交G于A、8两点，连接48,设△。1W、ACMB

（1）求P的值；

（2）求的.而的值;

s

(3)求节幽的取值范围.

)△OAB

【答案】(1)p=2

(2)-3

(3)[2,+oo)

【解析】

【分析】(1)由抛物线。2的焦点坐标求。的值；

(2)设直线的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理求西.西的值；

S2\OM-1(9^1

(3)设直线N。、MO的方程，与椭圆联立方程组表示出乙,马，由铲八」，化简并结合

TOABI。"

基本不等式求取值范围.

【小问1详解】

2

椭圆G：，+/=1的上顶点坐标为(0」)，

则抛物线。2的焦点为E(0,1),故夕=2.

【小问2详解】

若直线与7轴重合，则该直线与抛物线。2只有一个公共点，不符合题意，

所以直线7W的斜率存在，设直线7W的方程为了=丘+1,点〃(项,凹)、N(x2,y2),

y=kx+l

联立＜2A可得x?-4Ax-4=0，△=16左之+16〉0恒成立，贝处%2=—4,

[x=4y-

___22

OM•ON=xxx2+yxy2=xxx2=-4+1=-3.

【小问3详解】

设直线N。、的斜率分别为左、左2,其中左〉0，左2＜°，

联立[；2”:=4可得(%+W=4,解