《高考数学压轴题通法训练•高分必刷系列》专题14解三角形（选填压轴题）含答案及解析

专题14解三角形（选填压轴题）目录TOC\o"1-1"\h\u①三角形边长相关问题 1②三角形周长问题 2③三角形面积问题 3④三角形与向量、数列等综合问题 4①三角形边长相关问题1．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳市翔宇中学校考阶段练习）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值为（

）A．4 B． C． D．32．（2023春·贵州安顺·高一统考期末）锐角中，内角、、的对边分别为、、，为的面积，且，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023春·四川成都·高一校联考期末）已知中，角对应的边分别为，是上的三等分点（靠近点）且，，则的最大值是（

）A． B． C．2 D．44．（2023春·江西抚州·高一统考期末）若的内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则（

）A．1 B． C． D．25．（2023春·陕西西安·高一长安一中校考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交于点D，且，则的最小值为（

）A． B．12 C． D．96．（2023·全国·高一专题练习）在钝角中，角的对边分别为，则边的取值范围是.7．（2023春·重庆江津·高一校联考期末）已知的内角所对的边分别，角．若AM是的平分线，交BC于M，且，则的最小值为.8．（2023春·黑龙江·高一黑龙江实验中学校考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交于点D，，则的最小值为．9．（2023春·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）在中，内角，，所对的边分别，，，，，若有且仅有一个解，则的取值范围是.10．（2023春·贵州黔东南·高二统考期末）在中，角的对边分别为，若，且，则的最大值为.②三角形周长问题1．（2023·江西赣州·统考模拟预测）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的周长的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2023春·福建龙岩·高一统考期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则周长的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2023春·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）在中，，，垂足为，且，则当取最大值时，的周长为（

）A． B．C． D．4．（2023春·山东枣庄·高一校考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，若，且，则周长的取值范围为.5．（2023春·山东烟台·高一校考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为．6．（2023·江苏·高一专题练习）在中，角的对边分别为为的中点，，则的周长为．7．（2023春·湖北武汉·高一武汉市第十一中学校考阶段练习）设锐角的三个内角，，的对边分别为，，，且，，则周长的取值范围为③三角形面积问题1．（2023·山东济南·统考三模）在中，若，则面积的最大值为（

）A． B． C．1 D．2．（2023·河南·襄城高中校联考三模）在中，内角A，，所对的边分别为，，，，为上一点，，，则的面积为（

）A． B． C． D．3．（2023·四川宜宾·统考三模）在中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若，，则面积的最大值是（

）A． B．2 C． D．4．（2023·河南开封·统考三模）在中，，，，则的面积为（

）A． B． C． D．5．（2023·宁夏中卫·统考一模）的内角的对边分别为a，b，c，满足.若为锐角三角形，且a=3，则面积最大为（

）A． B． C． D．6．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）在中，角，，对应的边分别为，，，，，则的面积为.7．（2023·四川·校联考模拟预测）在中，角的对边分别为，若，且，，则的面积为.8．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为．9．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知三角形的三个内角、、所对的边分别是、、，若，且，则面积的最大值为．10．（2023·上海静安·统考二模）已知中，，且，则面积的最大值为.④三角形与向量、数列等综合问题1．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考二模）已知点为锐角的外接圆上任意一点，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2023·四川内江·校考模拟预测）在中，有，则的最大值是（

）A． B． C． D．3．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）在中，，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（2023·陕西安康·统考一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则.5．（2023·辽宁沈阳·沈阳市第一二〇中学校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且成等比数列，则．6．（2023·全国·高三专题练习）设的内角的对边长成等比数列，，延长至，若，则面积的最大值为.

专题14解三角形（选填压轴题）目录TOC\o"1-1"\h\u①三角形边长相关问题 1②三角形周长问题 6③三角形面积问题 12④三角形与向量、数列等综合问题 17①三角形边长相关问题1．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳市翔宇中学校考阶段练习）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值为（

）A．4 B． C． D．3【答案】B【详解】依题意，，则，，其中，所以当时，取得最大值为.故选：B2．（2023春·贵州安顺·高一统考期末）锐角中，内角、、的对边分别为、、，为的面积，且，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，即，即，因为为锐角三角形，则，所以，，则，因为，由正弦定理可得，由已知可得，解得，则，因此，.故选：B.3．（2023春·四川成都·高一校联考期末）已知中，角对应的边分别为，是上的三等分点（靠近点）且，，则的最大值是（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【详解】因为，由正弦定理得，则，即，所以，，则，

设，则，且，在中，，则，在中，，则，又，即，又由正弦定理知（为的外接圆半径），所以，则，即，又，故当，时，.故选：A4．（2023春·江西抚州·高一统考期末）若的内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【详解】因为，所以，利用正弦定理可得：，所以，又，所以，解得：.故选：C.5．（2023春·陕西西安·高一长安一中校考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交于点D，且，则的最小值为（

）A． B．12 C． D．9【答案】A【详解】由可得，，即，则，则（当且仅当时等号成立）故选：A6．（2023·全国·高一专题练习）在钝角中，角的对边分别为，则边的取值范围是.【答案】【详解】由，得，即，，故不可能为钝角.①当为钝角，则即解得；②当为钝角，则即解得.综上，的取值范围是.故答案为：7．（2023春·重庆江津·高一校联考期末）已知的内角所对的边分别，角．若AM是的平分线，交BC于M，且，则的最小值为.【答案】【详解】的内角所对的边分别，角．由等面积法可得：，∴∴，可得，∴，当且仅当且，即时，等号成立，则的最小值为.故答案为：.8．（2023春·黑龙江·高一黑龙江实验中学校考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交于点D，，则的最小值为．【答案】4【详解】依题意，由，得，整理得，因此，，当且仅当时取等号所以的最小值为4.故答案为：49．（2023春·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）在中，内角，，所对的边分别，，，，，若有且仅有一个解，则的取值范围是.【答案】【详解】由正弦定理可得因此有且仅有一个解，故直线与在上的图象有且仅有一个交点，当时，，而在为增函数，故在上为增函数，因，，故，故答案为：.10．（2023春·贵州黔东南·高二统考期末）在中，角的对边分别为，若，且，则的最大值为.【答案】【详解】因为，，即，所以，由正弦定理可得，即，又由余弦定理，所以（负值舍去），根据正弦定理，可得，，所以，其中，因为，当时，的最大值为.故答案为：②三角形周长问题1．（2023·江西赣州·统考模拟预测）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的周长的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】，由正弦定理得，，由于，所以，所以，由于，所以，所以，所以，则，函数的开口向上，对称轴为，所以.故选：A2．（2023春·福建龙岩·高一统考期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则周长的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为所以，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，由正弦定理得∴，，所以的周长为∵，∴的周长为，故选：B.3．（2023春·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）在中，，，垂足为，且，则当取最大值时，的周长为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】根据题意，设，若，则在线段之外，且，如图：又由，则，则，则，则，又由，当且仅当，即时等号成立，此时取得最小值，则取得最大值，此时，，所以的周长为；故选：A．4．（2023春·山东枣庄·高一校考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，若，且，则周长的取值范围为.【答案】【详解】利用正弦定理由可得，又因为在中，所以；所以可得，即，整理可得，又因为，所以；即，所以；可得，即，易知，可得，所以由可知，所以，因为，所以，因此，，所以，所以周长，即周长的取值范围为.故答案为：.5．（2023春·山东烟台·高一校考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为．【答案】【详解】因为的平分线交于，，所以，即，因为，所以由二倍角公式可得，即，所以，由余弦定理有，所以，整理得，所以，整理得，所以，当且仅当时等号成立，所以三角形周长的最小值为.故答案为：

6．（2023·江苏·高一专题练习）在中，角的对边分别为为的中点，，则的周长为．【答案】【详解】在中，，由余弦定理得，即，整理得，在中，，由余弦定理得，相加整理得，即，因此，解得，所以的周长为.故答案为：7．（2023春·湖北武汉·高一武汉市第十一中学校考阶段练习）设锐角的三个内角，，的对边分别为，，，且，，则周长的取值范围为【答案】【详解】∵为锐角三角形，且，∴，∴，，又∵，∴，又∵，，∴，由，即，∴，令，则，又∵函数在上单调递增，∴函数值域为.故答案为：③三角形面积问题1．（2023·山东济南·统考三模）在中，若，则面积的最大值为（

）A． B． C．1 D．【答案】C【详解】如图，延长至点，使得，延长至点，使得，若，则，，所以，则面积的最大值为1

.故选：C.2．（2023·河南·襄城高中校联考三模）在中，内角A，，所对的边分别为，，，，为上一点，，，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】

如图所示，在中，由，得．又，即，所以，化简得．①

在中，由余弦定理得，，②

由①②式，解得．由，得，将其代入②式，得，解得，故的面积．故选：D3．（2023·四川宜宾·统考三模）在中，角A，B，C所对边分别记为a，b，c，若，，则面积的最大值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【详解】由余弦定理可得，所以.因为，，所以，即，解得.所以，当时，.故选：C.4．（2023·河南开封·统考三模）在中，，，，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】在中，因为，，，由余弦定理可得，，即，所以，解得，或（舍去），所以，故选：A.5．（2023·宁夏中卫·统考一模）的内角的对边分别为a，b，c，满足.若为锐角三角形，且a=3，则面积最大为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】在中，由及正弦定理得：，即，由余弦定理得，在锐角中，，而，因此，当且仅当时取等号，于是的面积，所以当时，的面积取得最大值.故选：D6．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）在中，角，，对应的边分别为，，，，，则的面积为.【答案】/【详解】由正弦定理及得，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴.故答案为：7．（2023·四川·校联考模拟预测）在中，角的对边分别为，若，且，，则的面积为.【答案】/【详解】因为，所以，所以，解得，因为，所以.在中，，，，所以由余弦定理得，所以，所以△ABC的面积为.故答案为：8．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为．【答案】【详解】,，由余弦定理得，所以，即，又，所以在以为焦点，长轴长为6的椭圆上（不在直线上），如图以为轴，线段中垂线为轴建立平面直角坐标系，设椭圆方程为，则，所以，当是椭圆短轴顶点时，到的距离最大为，所以的最大值为，故答案为：．9．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知三角形的三个内角、、所对的边分别是、、，若，且，则面积的最大值为．【答案】【详解】解：因为，所以，即，解得，因为，所以，，即，因为，所以，则，即，当且仅当时，等号成立，所以，故答案为：10．（2023·上海静安·统考二模）已知中，，且，则面积的最大值为.【答案】3【详解】因为，且，由正弦定理得：，所，故答案为：3.④三角形与向量、数列等综合问题1．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考二模）已知点为锐角的外接圆上任意一点，，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以所以，设的外接圆的半径为，则所以，所以，在中