广东省广州市2024-2025学年高二年级上册10月月考 数学试题（含答案）

2024学年第一学期高二10月月考

数学试题

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.

2.请将答案正确填写在答题卡上.

一、单项选择题：本题共小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1,设全集0={123,4.5},集合M={1,3,4},N={2,4,5},则〃n&N)=()

A.。B.«}C.{⑶D.25}

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得.

全集0={1,2,3,4,5},由N={2,4,5},得JN={1,3},”={1,3,4},

所以Mn&N)={l,3}.

故选：C

2.下列函数中，在R上单调递增的是()

A.v7

/、x-l.x<1

/G)=

c")="nlnx,x>1

J.1

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，由正切函数的单调性即可判断A,由指数函数的单调性即可判断B,由暴函数的单调

性即可判断C,由对数函数与一次函数的单调性即可判断D

f(x\=tany--+kn,—+kiiL^eZ

对于()一在上单调递增,

A,/tanxI22)故A错误;

/(x)=QT

对于B,在R上单调递减，故B错误；

对于C,/G)=x2的定义域为且在+°°)上单调递增，故C错误;

x-l,x<1

"x)=,

lnx,x>1

对于D,

当XW1时，函数y=x-l单调递增，且y=x_lW0

当x>l时，ynMx单调递增，且y=lnx〉O

所以函数/(x)在R上单调递增，故D正确.

故选：D

21

X—x+tn-0

3,若0<a(兀，且sina,cosa是方程5的两实根，贝Isina-cosa的值是()

12_12+77

A.25B.25c.-5D.5

【答案】D

【解析】

【分析】根据同角平方和的关系即可结合韦达定理求解.

11.

x2——x+m=0sma+cosa=—,smacosa=m

由于sma,cosa是方程5的两实根，所以5,

(sina+cosaY-J-=1+2sinorcosa=1+2加m=--

又l,25,所以25

(sina-cos(z)2=l-2sinacosa=—

故')25

71

sin«cos«=m=—<0。

由于250<a<7r,所以sma>0,cosa<0n，故2,因此

7

.sma-cosa=一

sina—cosa>0,所以5,

故选：D

4.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件/表示“小于5的偶数点出现”，事件8表示“不小于5的点数出

现”，则一次试验中，事件/或事件3至少有一个发生的概率为()

115

2—

A.3B,3C.2D.6

【答案】A

【解析】

【分析】

由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事

件，进而得出事件/或事件B至少有一个发生的概率即为事件”和事件B的概率之和.

事件A表示“小于5的偶数点出现"，事件B表示“不小于5的点数出现”，

_2_1_2_1

.•/(/)63,P(B)63,

又小于5的偶数点有2和4,不小于5的点数有5和6,

所以事件A和事件B为互斥事件，

则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为

112

--1---—

P(AUB)=尸(4)+尸(2)333,

故选：A.

【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题.

5.已知IJ为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是()

—*-*—————►一.——

K"b,c+b,a-ca+2bfbya-c

—»—»—►-►—>—>—>—►-►—>—>—>—►

c.2a+6,2c+bta+b+cD.a+b+c,c

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间向量基底的概念，空间的一组基底，必须是不共面的三个向量求解判断.

对于A,设N+B=XG+B)+M--3),^a+b=ya+xb+(x-y)c解得》=了=1,

一一一一

所以a+6,c+b,a-c共面，不能构成空间的一个基底，故A错误；

对于B,设G+2B=XB+MG—U),羽了无解，

所以a+2瓦及a不共面，能构成空间的一组基底，故B正确；

x=-l

_一一_V

对于C,^2a+b=x(2c+b)+y(a+b+c)^ya+(x+y)b+(2x+y)ct解得〔》=2,

所以2a+及2c+瓦"+3+c共面，不能构成空间的一个基底，故c错误；

X=1

|||<

对于D设万+B+b-\-c')+yc=xa-\-xb+(x+y)c解得［y=-1

所以a+&a+加+c,c共面，不能构成空间的一个基底，故D错误.

故选：B.

6,向量0=(2」/)，b=(x-l,x,O)(x>l)且止而，若(ma-则实数加的值为

13131313B13

A.7B,8C.7或8D.7或8

【答案】A

【解析】

【分析】求出机"―"=G机—"+1，机—羽机)，根据空间向量的模长公式以及数量积的坐标表示，列式计

算，即可求得答案.

由向量。=(2,1,1),B=(x—l,x,O)(x>l)

ma-b=+

可得

幺士人W=(ma-b^Vb即(mN—3)3=0

(x-l)2+x2=13

得［(2吁x+l)(x-1)+(吁x)x=。，结合x>i,解得>3,则加F.

故选：A

CF=-CC1

s

7.如图所示，在棱长为2的正方体4CD—451G2中，£为5C的中点,3,则异面直线

E5与BQ所成角的余弦值为()

3底4后

C.26D.h

【答案】c

【解析】

EF=(-l,0,j

【分析】建立空间直角坐标系，=(2,2,0),进而求出线线角的向量公式即可求出

结果.

如图，以D为原点，分别以℃，,〃所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

A(0,0,2),男(2,2,2),E(l,2,0),E[0,2,g

因为正方体的棱长为2,则

所以〃4=(2,2,0),又

EFD[B]|-2+0+0|23_3V26

cos(EF,D\Bj=_.，-

亚：岳一而一26

2xjl+2V2x-----

3

8.△48C的内角48.C的对边分别为“、6、c.已知sin2+sin/(sinC-cosC)=0,k2，c=也，则

C=

兀兀771

A.12B.6C,4D,3

【答案】B

【解析】

试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可

详解：sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

vsinB+sinA(sinC口cosC)=0,

AsinAcosC+cosAsinC+sinAsinC□sinAcosC=0,

.'.cosAsinC+sinAsinC=0,

••,sinC#0,

.,.cosA=DsinA,

.,.tanA=D1,

兀

2<A<7i,

3兀

・•.A=4,

c_a

由正弦定理可得sinCsinN,

•­•a=2,c=6,

.」V2x—

csinZ2—1

.•,sinC=a=22,

,■,a>c,

71

.■.C=6,

故选B.

点睛:本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦

定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方

便、简捷一般来说，当条件中同时出现防及〃时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦

函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

二、多项远择题：本想共3小题，每小恩6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.

9.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.则

下列结论正确的是（）

A.a=0.030

B.身高落在〔I2。，140)内的人数为50人

C.若从身高在MO"。)，［130,140)三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取］7人,则身

高在［130,140)的学生选取的人数为彳人

D.若将学生身高由高到低排序，前15%的学生身高为A级，则身高为142厘米的学生身高肯定不是A级

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，得到方程求出°的值，即可判断A,再根据频率

分布直方图计算B、C,根据百分位数计算规则判断D.

届止西七八七吉七⑶-P/co.005+0.035+a+0.020+0.010)x10=1俎003痂人下他

由频率分布直万图可得13I7,解得。-也。3,故A正确；

^_„［120,140),,,.4^100x(0.03+0.02)x10=50.„丁*

身图落在L,内的人数为')人,故B正确；

样本中，0,120)，120,130),［130,140)的频率之比为0.035:0.03:0.02=7:6:4,

4

所以身高在口"，14。)的学生选取7+6+4人,故c正确；

将学生身高由高到低排序，第15%分位数设为x,则(140-x)x0.02+0.01xl0=0.15,解得X=137.5,

因为142>137.5,故身高为142厘米的学生身高肯定是A级，故D错误;

故选：ABC

中，〃为c°的中点，。为上靠近点4的五等分点，则o

B2AM=AB+2AD+AA1

―■1—•3—■3—■

AQ=-AB+^AD+-AA1

D5AQ=AB+AD+4AA}

【答案】BD

【解析】

【分析】运用空间向量的基底表示，结合平面向量的三角形法则和线性运算规则可解.

AM=AB+BC+CM=AB+AD+-（CD+CC.}=AB+AD--AB+-AA.=-AB+AD+-AA.

2、2222

日口2/A/=48+2/Z）+//I_LL人A-H-5「nr将

即i,故A错误P、B正确；

而+羽=怒+［布=石+［（^+电+京）

=9+!何+而_石）=:方+!而+^麴

^5AQ=AB+AD+AAAX故c错误，D正确.

故选：BD.

11.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形/8C。为正方形瓦EG,”分别为尸4尸0，尸G四的中点.在

此几何体中,给出下列结论，其中正确的结论是（）

PA11BDG

A,平面EFGH//平面ABCDB,直线平面

C,直线后尸〃平面P5CD,直线£尸〃平面2DG

【答案】ABC

【解析】

【分析】由线面平行的判定定理可得跖〃平面4BC。，EH//平面4BCD,进而得出平面

EFGH//平面4BCD,故A正确；由中位线可知班//尸幺，进而由线面平行的判定定理，可得

尸2//平面BAG,故B正确；由EE//8C,可得跳7/平面P5C,故c正确；EF//BC

80口8£>=8所以直线£厂与平面8。6不平行，故D错误.

作出立体图形如图所示.连接瓦RG,//四点构成平面£74汨.

对于A,因为E,尸分别是尸4尸。的中点，所以EE//ZO.又平面4BCD,4Du平面4BC。，所

以EF//平面48cZ).同理，EH//平面ABCD又EFAEH=E,EFCZ平面EFGH,EHu平面

EFGH,所以平面£尸6"//平面48。，故A正确；

对于B,连接/C,8D,Z)G,8G,设NC的中点为m，则M也是AD的中点，所以“G//R4,又

狼＜=平面8。6,尸幺＜2平面加6,所以尸Z//平面ADG,故台正确；

对于C,由A中的分析知M//N。，AD/IBC,所以EF//BC,因为平面/冬C,BCu平面

PBC,所以直线跖//平面P5C,故C正确；

对于D,根据C中的分析可知EE//8C再结合图形可得，BCCBD=B,则直线所与平面BOG不平

行，故D错误.

故选：ABC

【点睛】本题考查了线面平行、面面平行的判定定理，考查了逻辑推理能力和空间想象能力，属于中档题

目.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若己=(一1，4-2),人=(2,-2,〃)，若1//B,则4+〃的值为

【答案】5

【解析】

【分析】利用空间向量平行的坐标表示即可得解.

因为万=(―1,4一2),3=(2,-2,〃)，方/区,

所以〃/0,则2—2〃，解得4=1,〃=4,

所以％+〃=1+4=5

故答案为：5.

13.已知"=G2/，3)，"=(—1,2,1),则万与B夹角的余弦值为.

叵，

【答案】6##6

【解析】

【分析】由空间向量的数量积公式求解即可.

2,1,3),^=(-1,2,1)

,_[a-b2+2+3V21

..COS<Q,b〉=rzn--―1=-----------

同仰V14xV66

V21

故答案为：6

14.口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件4="取出的两球同色”，

8="取出的2球中至少有一个黄球"，C="取出的2球至少有一个白球"，。="取出的两球不同色”，

E=”取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为.

①A与。为对立事件；②8与c是互斥事件；③c与£是对立事件：④尸(CU£)=1；⑤

P(B)=P©

【答案】①④

【解析】

【分析】在①中，由对立事件定义得A与。为对立事件；有②中，2与0有可能同时发生；在③中，

C与E有可能同时发生；在④中，P(CUE)=P«)+P(E)-P(C£)=1；在⑤中从而尸⑴)

丰P(C).

口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，

事件4="取出的两球同色"，B="取出的2球中至少有一个黄球”，

C="取出的2球至少有一个白球"，D="取出的两球不同色"，E="取出的2球中至多有一个白球”,

①，由对立事件定义得A与0为对立事件，故①正确；

②,2与°有可能同时发生，故2与°不是互斥事件，故②错误;

③，C与£有可能同时发生，不是对立事件，故③错误；

④，P（C）=＞百与，P（E2）=及

从而P（CU£）=P（c）+p⑴）-尸3）=1,故④正确；

⑤，C#B,从而尸（B）手P（C）,故⑤错误.

故答案为：①④.

【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，考查对立互斥事件，解题时要认真审题，注意对立事件、

互斥事件等基本概念的合理运用.

四、解答题，本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的

倍数”，事件C：“两个数均为偶数”.

（I）写出该试验的基本事件并求事件A发生的概率；

（II）求事件B发生的概率；

（III）事件A与事件C至少有一个发生的概率.

【答案】（I）1=36,P（A）=36（ID3（in）36

【解析】

【分析】（I）用列举法列举出所有的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件A发生的概率.（II）

根据（I）列举的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件3发生的概率.（皿）根据（I）列举的基

本事件，利用古典概型概率计算公式求得事件A与事件C至少有一个发生的概率.

（I）所有可能的基本事件为：

（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）

（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）

（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）

（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）

（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）

共36种

其中“两数之和为8”的有（2,6）（3,5），（4,4）,（5,3）,（6,2）共5种,故尸⑷36.

（II）由⑴得“两数之和是3的倍数”的有（I?），0,5）,（2,1）,（2,4）,（3,3）,（3,6）,（4,2）,（4,5）

12_j_

,（5,1）,（5,4）,（6,3）,（6,6）共］2种,故概率为363.

（III）由（I）“两个数均为偶数”的有9种，“两数之和为8”的有（2,6），（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）共

5种，重复的有0，6）,（4,4）,（6,2）三种，故事件A与事件C至少有一个发生的有9+5—3=11种，概率

11

为36.

【点睛】本小题主要考查古典概型的计算公式，考查列举法求解古典概型问题，属于基础题.

16.如图所示，平行六面体”88—481GA中，

JTIT

AB=AD=1,AA,=2,ABAD=-,ZBAA,=ZDAA.=-

12113

（1）用向量'8，',，幺4表示向量西;

⑵求西.可

（3）求'G的长度.

BDi=AA[+AD—AB

【答案】（1）

(2)2

(3)所

【解析】

【分析】（1）结合图形，利用空间向量的线性运算即可得解；

（2）（3）利用空间向量的线性运算，结合空间向量数量积的定义与运算法则即可解.

小问1详解】

在平行六面体—4与。12中,

西=珂-刀=石+石-刀

【小问2详解】

兀兀

——————AT^AAAG^AD=~.,ZBAA}=ZDAA1=-

mAC=AB+AD,AB=AD=l,AAl=2>23

__,_,AA,-AB=\AA\-\A^\COSAA,AB=2x1xcos—=1

所以N"NZ)=0,1।111।}13

14.AD=|Z^|.|2D|COSZ4]',2D=2X1XCOS-=1

3,

则西•就=（而+而-而•（加+石）

=1^-AB+1^-115+AD-AB+AD'-AB2-AB-AD

=1+14-0+1-1-0=2

【小问3详解】

因为NG=AB+BC+CCj=AB+AD+AAX

所以ZG={AB+AD+AAij

-----►2►2►2►►►►►►

=AB+AD+44+2ABAD+2ABAA^2AD-AA,

=1+1+4+2x0+2x1+2x1=10,

则仆匹卜所

17.成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检

查（满分100分，最低分20分）.根据检查结果：得分在BO/。。]评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在

[60,80）评定为“良,,，奖励2面小红旗；得分在MO,60）评定为“中,,，奖励i面小红旗；得分在[20,40）评

定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图:

频率

0.015------------------------

0.010--------1—

0.005—1-

O20406080100得分

（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；

（2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级中随机抽

取2个班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率.

14

【答案】（1）70分；（2）15.

【解析】

【分析】

（1）利用频率分布直方图，能求出班级卫生量化打分检查得分的中位数.

（2）“良”、“中”的频率分别为0.4,0.2.又班级总数为40.从而“良”、“中”的班级个数分别为16,8.分层抽

样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4,2.由此利用对立事件概率计算公式能求出抽取的2个班

级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率.

（1）得分［20,40）的频率为0.005x20=0.1；得分［40,60）的频率为0.010*20=0.2；

得分［80,100］的频率为0.015x20=0.3.

所以得分［6°，8。）的频率为1-（0.1+0.2+0.3）=0.4

0.1+0.2+^—^x0.4=0.5

设班级得分的中位数为x分，于是20,解得x=7°

所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分.

（2）由（1）知题意“良”、“中”的频率分别为04°2又班级总数为40

于是“良”、“中”的班级个数分别为16,8.

分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4,2

因为评定为“良”，奖励2面小红旗，评定为“中”，奖励1面小红旗.

所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个

评定为“中”的班级.记这个事件为A

则N为两个评定为“中”的班级.

把4个评定为“良”的班级标记为1，2,3,4,2个评定为“中，，的班级标记为5,6

从这6个班级中随机抽取2个班级用点亿力表示，其中1<'</<6.这些点恰好为6x6方格格点上半部

分不含一对角线上的点),于是有容2种.

-114

_q尸(2)=1—P⑷=1——=—

事件幺仅有(5,6)一个基本事件.所以1515

14

所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为15.

【点睛】本题考查中位数、概率的求法，考查分层抽样、频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运

算求解能力，是基础题.

18.如图，正方形4sCZ)和四边形NCEE所在的平面互相垂直,

CE1AC,EF//AC,AB=42,CE=EF=1求证:

(1)幺尸//平面BDE；

(2)CF，平面ADE.

(3)求平面/CF与平面8DE的夹角大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析(3)90°

【解析】

【分析】(1)连接50,交NC于/,通过证明得到4F//平面8DE.

(2)先证CF,ND,根据线面垂直的判定定理，证明CF,平面5DE.

(3)证明平面/CF,平面得两个平面所成的角为90°.

【小问1详解】

如图：连接80,交NC于连接“E

因为四边形N8CZ)为正方形，且AB=6,所以NC=8Z)=2,所以N〃=l.

又EF=\,EFIIAC,所以四边形幺4®7为平行四边形，所以4F//ME,

又MEu平面RDE,/尸二平面ADE,所以NE//平面RDE.

【小问2详解】

连接脑I

因为平面/C£EJ_平面48CD,平面ZCEEPl平面45cz)=AC,BD±ACt8Du平面4SC。，

所以平面NCE尸，又CEu平面幺CEE,所以W8O.

又CE「C,CMUEF,CM=EF=1,所以四边形”。跖为正方形，

所以CRLME,又BD,MEu平面BDE,BDcME=M,

所以W平面BDE.

【小问3详解】

因为CFLBD,BDLAC,4。，。尸匚平面4。咒,ACcCF=C,

所以平面NCE,又BDu平面BDE,所以平面NW平面ADE.

所以平面43与平面BDE所成的角为90°.

f(x)=V3sin(cox+^)+2sin21、

19.已知函数<2J为奇函数，且图象的

兀

相邻两对称轴间的距离为2.

兀71

X€2’4」时，求

(1)当的单调递减区间;

711

（2）将函数/（“）的图象向右平移k个单位长度，再把横坐标缩小为原来的,（纵坐标不变），得到函数

71兀

N=g（x）的图象，当126」时，求函数g（“）的值域;

/\g（x）=3X€714兀

6,3」上的根从小到大依次为西‘/，.

（3）对于第（2）问中的函数盯，记方程’3在F

n

试确定的值，并求西+2工2+2x3+…+2X,T+xn的值.

71兀

【答案】（1）L2’4

(2)

___20兀

%+2%2+213---H2x〃_]+~~~

(3)〃=5,

【解析】

结合二倍角公式和辅助角公式将函数化简再根据正弦函数的周期性和奇偶性，分别

【分析】（1）/（X）,

求出口和。,然后利用正弦函数的单调性，得解;

（2）先求出函数8卜）的解析式，再根据根据正弦函数的图象与性质，可得解;

sinf4x-j2

（3）由（2）得且口）的解析式，从而得到3解的个数，结合函数图象求解根的对称关系,

可求解.

【小问1详解】

CDX+(p

f(x)=V3sin(cox+/)+2sin2-1

由题意，函数2

=V3sin(a)x+cos(cox+0)=2sin[+0-g

71

因为函数/(X)图象的相邻两对称轴间的距离为5,所以7=兀，可得。=2,

f(x\/(O)=25/nL-^=O

又由函数,〈J为奇函数，可得I,

(P—=kn,keZ八(p——

所以6,因为0<。<兀，所以6,

所以函数"2sin21

jr37r71371

-+2hr<2x