2024-2025学年高一上学期期末复习【第一章 集合与常用逻辑用语】十大题型归纳（基础篇）（含答案）

2024学年高一上学期期末复习第一章十大题型归纳（基础篇）【人教A版（2019）】题型1判断元素能否构成集合题型1判断元素能否构成集合1．（2023上·天津南开·高一统考期中）下列给出的对象能构成集合的有（

）①某校2023年入学的全体高一年级新生；②2的所有近似值；③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式3x-10<0的所有正整数解A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（

）（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．（2023·江苏·高一专题练习）考察下列每组对象能否构成一个集合.(1)不超过20的非负数；(2)方程x2(3)某班的所有高个子同学；(4)3的近似值的全体.4．（2023·高一课时练习）下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它．（1）小于5的自然数；（2）某班所有个子高的同学；（3）不等式2x+1>7的整数解．题型2题型2判断元素与集合的关系1．（2023上·湖北·高一校联考期中）下列关系中不正确的是（

）A．0∈N B．π∉R C．12．（2023上·上海杨浦·高一校考开学考试）若M=x∣x=a2+b,a∈Z,b∈Z①13-2②Z⊆M；③若x1,x④若x1,x2∈M⑤存在x∈M且x∉Z，满足x-2022A．2 B．3 C．4 D．53．（2023上·北京顺义·高一校考阶段练习）已知A=x|x=3k,k∈Z，B=(1)判断3，5是否在集合A中，并说明理由；(2)判断6m-2m∈Z是否在集合B(3)若a∈A，b∈B，判断a+b是否属于集合B，并说明理由．4．（2023上·高一课时练习）设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件：①1∉S；②若a∈S，则11-a(1)求证：若a∈S，则1-1(2)若2∈S，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素．题型3题型3集合相等问题1．（2023上·河北·高一校联考阶段练习）已知集合M=1,0，则下列与M相等的集合个数为（

）①x,y②x,y③x∣x=④{x∣-1<x<2,x∈A．0 B．1 C．2 D．32．（2023上·上海浦东新·高一校考期末）设Q是有理数，集合X={x|x=a+b2（1）{y|y=2x,x∈X}；（2）{y|y=x2,x∈X}；（3）{y|y=1x,x∈X}；（4）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．（2023上·高一课时练习）判断下列集合A、B是否表示同一集合，若不是，请说明理由.(1)A=2,4,6，B=(2)A=2,3，B=(3)A=x|x>3，B=(4)A=y|y=2x,x∈R，4．（2023上·高一课时练习）已知集合A=a,ba,1，B=a题型4题型4集合间关系的判断1．（2023上·福建三明·高一校考阶段练习）若集合A=x|x=2k+1,k∈Z，B=x|x=2k-1,k∈Z，C=x|x=4k-1,k∈A．CA=B B．A⊆C⊆BC．A=BC D．B⊆A⊆C2．（2023·江苏·高一专题练习）已知集合A={1,a}，B={1,2,3}，那么（）A．若a=3，则A⊆B B．若A⊆B，则a=3C．若a=3，则A⊄B D．若A⊆B，则a=23．（2022·高一课时练习）判断下列每对集合之间的关系：(1)A=xx=2k,k∈N(2)C=1,2,3,4，D={xx是(3)E=xx-3<2,x∈N4．（2023·江苏·高一假期作业）指出下列各对集合之间的关系.(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}；(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}.题型5题型5集合的基本运算1．（2023上·江西·高三校联考期中）集合A=n∈Z∣2n-1A．-1,0,2,3 B．0,2,3 C．1,2,3 D．2,32．（2023上·江苏南通·高三统考期中）设全集U=xx=2k,k∈Z，集合M=xx=4k,k∈A．xx=4k-1,k∈Z C．xx=4k-3,k∈Z 3．（2023上·新疆伊犁·高一校联考期中）已知集合A=x(1)当a=2时，求A∪B；(2)若A∩B=B，求a的取值范围.4．（2023上·江苏南京·高一金陵中学校考期中）已知集合A=x5≤x≤7，(1)当m=3时，求A∪B和A∩B；(2)若A∩B=∅，求实数m的取值范围．题型6题型6Venn图表达集合的关系和运算1．（2023上·江苏苏州·高一统考期中）已知集合U=R，集合A=0,1,2,3,B=x

A．0 B．0,1 C．2,3 D．0,1,23．（2023上·云南昆明·高一校考阶段练习）已知全集U为实数集，集合A=x-1<x<6，(1)若a=4，求图中阴影部分的集合M；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围.4．（2023上·四川南充·高一校考阶段练习）设全集U=R，集合A=x-2≤x≤6，B=x|x≤-5

(1)求图中阴影部分表示的集合；(2)已知集合C=x|10-a<x<2a+1，若∁UB题型7题型7判断命题的真假1．（2023上·上海·高一校考期中）已知命题：“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（

）①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有P的元素；④M中的元素不都是P的元素.A．1 B．2 C．3 D．42．（2023上·上海闵行·高一校联考期中）下列命题中：①关于x的方程mx②空集是任意非空集合的真子集；③如果x>3，那么x≥0；④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（

）A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④3．（2023·全国·高一课堂例题）判断下列语句哪些是命题，是真命题还是假命题．(1)x>0；(2)等腰三角形两底角相等；(3)若a，b是任意实数且a2>b4．（2023上·高一课前预习）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)偶数不能被2整除；(2)当a-12+b-1(3)两个相似三角形是全等三角形．题型8题型8充分条件、必要条件及充要条件的判定1．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）已知x∈R，若集合M={1,x}，N={1,2,3}，则“x=2”是“M⊆N”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023上·河南南阳·高一校联考期中）已知a,b∈R，则下列选项中，使a+b<0成立的一个充分不必要条件是（

）A．a>0且b>0 B．a<0且b<0 C．a>0且b<0 D．a<03．（2023·江苏·高一专题练习）判断下列各题中p是q的什么条件．(1)p:ab>0，q:a,b中至少有一个不为零；(2)p:x>1，q:x≥0；(3)p:A∩B=A，q:∁4．（2023·江苏·高一专题练习）指出下列各题中，p是q的什么条件：(1)p:数a能被6整除，q:数a能被3整除；(2)p:x>1，(3)p:△ABC有两个角相等，q:△ABC是正三角形；(4)p:ab=ab，题型9题型9全称量词命题与存在量词命题的真假1．（2023上·辽宁鞍山·高一期中）下列命题中为真命题的是（

）A．p1:∃x∈RB．p2:∀x∈RC．p3:∀x∈ZD．p4:∃x∈R2．（2023·江苏·高一专题练习）下列命题中的假命题是（

）A．∀x∈R，x2+1>0 B．C．∃x∈R，x<1 D．∃x∈3．（2023·江苏·高一专题练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的速度方向不定；(3)对任意直角三角形的两锐角∠A,∠B，都有∠A+∠B=90°．4．（2023上·江西宜春·高一校考开学考试）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．(1)至少有一个整数，既能被11整除，又能被9整除；(2)∀x∈R，x(3)∃x∈N*，使(4)∀x∈N，x题型10题型10命题的否定1．（2023上·四川南充·高二校考期末）命题“∃x0>0A．∃x>0,-x2+2x-1≤0C．∀x>0，-x2+2x-1≤0 D．2．（2023上·安徽合肥·高一校联考期末）命题“∀x∈N，x3≥xA．∀x∈N，x3≤x2 C．∃x∈N，x3<x2 3．（2023上·北京大兴·高一统考期末）已知命题p:∀x∈R,x(1)写出命题p的否定；(2)判断命题p的真假，并说明理由，4．（2023上·陕西西安·高二校考期末）判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．(1)末尾数是偶数的数能被4整除；(2)对任意实数x，都有x2(3)方程x2

高一上学期期末复习第一章十大题型归纳（基础篇）【人教A版（2019）】题型题型1判断元素能否构成集合1．（2023上·天津南开·高一统考期中）下列给出的对象能构成集合的有（

）①某校2023年入学的全体高一年级新生；②2的所有近似值；③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式3x-10<0的所有正整数解A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】根据集合的定义判断即可.【解答过程】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确；对于②：2的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误；对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误；对于④：不等式3x-10<0的所有正整数解有1、2、3，能构成集合，故④正确；故选：B.2．（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（

）（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解题思路】根据集合中元素的确定性判断可得答案.【解答过程】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合.故选：C.3．（2023·江苏·高一专题练习）考察下列每组对象能否构成一个集合.(1)不超过20的非负数；(2)方程x2(3)某班的所有高个子同学；(4)3的近似值的全体.【解题思路】根据集合的定义和特征依次判断即可.【解答过程】（1）对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合.（2）方程x2-9=0在实数范围内的解是x=3或（3）“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合.（4）“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.4．（2023·高一课时练习）下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它．（1）小于5的自然数；（2）某班所有个子高的同学；（3）不等式2x+1>7的整数解．【解题思路】（1）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合；（2）根据集合元素的确定性进行判断即可；（3）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合.【解答过程】（1）小于5的自然数为0、1、2、3、4，元素确定，所以能构成集合，且集合为0,1,2,3,4；（2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合；（3）由2x+1>7得x>3，因为x为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个，所以用描述法表示为xx>3,x∈Z题型2题型2判断元素与集合的关系1．（2023上·湖北·高一校联考期中）下列关系中不正确的是（

）A．0∈N B．π∉R C．1【解题思路】根据常见的数集及元素与集合的关系判断即可.【解答过程】因为N为自然数集，所以0∈N，-3∉R为实数集，所以π∈Q为有理数集，所以13故选：B.2．（2023上·上海杨浦·高一校考开学考试）若M=x∣x=a2+b,a∈Z,b∈Z①13-2②Z⊆M；③若x1,x④若x1,x2∈M⑤存在x∈M且x∉Z，满足x-2022A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】利用集合的特征性质对选项进行判断.【解答过程】若M=x∣x=a对于①，13-2对于②，当x=a2+b,a∈Z,b∈Z中a=0时，x∈Z，所以对于③，若x1,x则x1+x2=对于④，若x1,x2∈M且x2≠0对于⑤，存在x∈M且x∉Z，满足x-2022例如x=3-22∈M，x-1若x-n=a2故x-2022①②③⑤正确.故选：C.3．（2023上·北京顺义·高一校考阶段练习）已知A=x|x=3k,k∈Z，B=(1)判断3，5是否在集合A中，并说明理由；(2)判断6m-2m∈Z是否在集合B(3)若a∈A，b∈B，判断a+b是否属于集合B，并说明理由．【解题思路】（1）根据集合A中元素的特征判断求解；（2）根据集合B中元素的特征判断求解；（3）设a=3p,p∈Z，b=3q+1,q∈Z，进而根据集合B中元素的特征判断求解.【解答过程】（1）∵3=3×1，∴3在集合A中，令3k=5，则k=53∉Z（2）6m-2=32m-1+1，且2m-1∈Z，故6m-2m∈Z（3）设a=3p,p∈Z，b=3q+1,q∈Z，则a+b=3p+q所以a+b属于集合B.4．（2023上·高一课时练习）设集合S中的元素全是实数，且满足下面两个条件：①1∉S；②若a∈S，则11-a(1)求证：若a∈S，则1-1(2)若2∈S，则在S中必含有其他的两个元素，试求出这两个元素．【解题思路】（1）根据集合S中元素的性质，循环迭代即可得出证明；（2）由2∈S可得-1∈S，由-1∈S可得12∈S，由12∈S可得2∈S，由此可知会循环出现2,-1,1【解答过程】（1）证明：因为1∉S，所以1-a≠0，由a∈S，则11-a可得11-11-a故若a∈S，则1-1（2）由2∈S，得11-2由-1∈S，得11-而当12∈S时，因此当2∈S时，集合S中必含有-1,1题型3题型3集合相等问题1．（2023上·河北·高一校联考阶段练习）已知集合M=1,0，则下列与M相等的集合个数为（

①x,y②x,y③x∣x=④{x∣-1<x<2,x∈A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究n为奇数、n为偶数可计算③，由N定义可得④，依次判断即可求得结果.【解答过程】对于①，x,y∣对于②，x,y∣y=x-1+1-x中x-1≥0,1-x≥0,对于③，当n为奇数时，x=-1；当n为偶数时，x=0，所以x∣x=(-1)对于④，{x∣-1<x<2,x∈N所以与M相等的集合个数有2个.故选：C.2．（2023上·上海浦东新·高一校考期末）设Q是有理数，集合X={x|x=a+b2（1）{y|y=2x,x∈X}；（2）{y|y=x2,x∈X}；（3）{y|y=1x,x∈X}；（4）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解题思路】将x=a+b2分别代入（1）、（2）、（3）中，化简并判断p,q与a,b【解答过程】对于（1），由2(a+b2)=p+q2，得对于（2），由a+b22=b+a对于（3），由1a+b2=a对于（4），-1-2∈X，但方程-1-2=x故选：B.3．（2023上·高一课时练习）判断下列集合A、B是否表示同一集合，若不是，请说明理由.(1)A=2,4,6，B=(2)A=2,3，B=(3)A=x|x>3，B=(4)A=y|y=2x,x∈R，【解题思路】根据集合相等的概念，逐项判断即可.【解答过程】（1）A=2,4,6，B=（2）2,3，3,2表示不同的点，故A=2,3（3）A=x|x>3，B=（4）不是同一集合，A是数集，B是点集.4．（2023上·高一课时练习）已知集合A=a,ba,1，B=a【解题思路】结合A=B，寻找元素的对应关系，a=0显然不成立，故只能b=0，化简集合A,B，解得参数a即可求解a2021【解答过程】因为A=B，集合B中有一元素为0，a=0显然不成立，故只能b=0，此时A=a,0,1，B=a2,a,0，故满足经检验A=B=-1,0,1故a2021题型4题型4集合间关系的判断1．（2023上·福建三明·高一校考阶段练习）若集合A=x|x=2k+1,k∈Z，B=x|x=2k-1,k∈Z，C=x|x=4k-1,k∈A．CA=B B．A⊆C⊆BC．A=BC D．B⊆A⊆C【解题思路】根据集合的表示含义即可得到答案.【解答过程】已知A=x|x=2k+1-1,k∈Z，显然k,k+1可表示整数，而2k只能表示偶数；所以CA=B．故选：A．2．（2023·江苏·高一专题练习）已知集合A={1,a}，B={1,2,3}，那么（）A．若a=3，则A⊆B B．若A⊆B，则a=3C．若a=3，则A⊄B D．若A⊆B，则a=2【解题思路】求出集合A判断AC；利用集合包含关系求出a判断BD.【解答过程】当a=3时，A={1,3}，显然A⊆B，A正确，C错误；由A⊆B，得a∈B，而a≠1，因此a=2或a=3，BD错误.故选：A.3．（2022·高一课时练习）判断下列每对集合之间的关系：(1)A=xx=2k,k∈N(2)C=1,2,3,4，D={xx是(3)E=xx-3<2,x∈N【解题思路】（1）分析A，B集合中元素的关系，即得解；（2）列举法表示集合D，即得解；（3）列举法表示集合E，即得解【解答过程】（1）由题意，任取y=4m∈B，有y=2×(2m),2m∈N，故y∈A，且6∈A,6∉B，故B⊂≠A（2）由于D={xx是12的约数}={1,2,3,4,6,12}故C⊂（3）由于E=xx-3<2,x∈N故E⊂4．（2023·江苏·高一假期作业）指出下列各对集合之间的关系.(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}；(5)A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}.【解题思路】（1）由集合A和集合B的代表元素判断；（2）利用数轴求解判断；（3）由等边三角形和等腰三角形的关系判断；（4）由n∈N*判断；（5）由任意k∈Z是否符合集合元素的公共属性判断.【解答过程】（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.（2）集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A⊊B.（3）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A⊊B.（4）两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N⊊M.（5）A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}，因为任意k∈Z，k＝2×(－k)＋3k∈A，所以A＝{x|x＝2a＋3b，a∈Z，b∈Z}＝Z，因为任意k∈Z，k＝4k－3k∈B，所以B＝{x|x＝4m－3n，m∈Z，n∈Z}＝Z，所以A＝B＝Z.题型5题型5集合的基本运算1．（2023上·江西·高三校联考期中）集合A=n∈Z∣2n-1A．-1,0,2,3 B．0,2,3 C．1,2,3 D．2,3【解题思路】写出集合A中的元素，然后由交集定义计算．【解答过程】由题意知，n-1=-2,-1,1,2，所以n=-1,0故A=-1,0,2,3，所以A∩B=故选：B.2．（2023上·江苏南通·高三统考期中）设全集U=xx=2k,k∈Z，集合M=xx=4k,k∈A．xx=4k-1,k∈Z C．xx=4k-3,k∈Z 【解题思路】根据补集的定义和运算即可求解.【解答过程】由题意知，M={x又U={x所以∁U故选：B.3．（2023上·新疆伊犁·高一校联考期中）已知集合A=x(1)当a=2时，求A∪B；(2)若A∩B=B，求a的取值范围.【解题思路】（1）a=2时，直接求A∪B即可；（2）由A∩B=B得B⊆A，分B=∅与B≠∅两类讨论求解即可.【解答过程】（1）由题意可得A={x∣当a=2时B={x∣则A∪B={x∣（2）因为A∩B=B，所以B⊆A，则当B=∅时，a+1≥3a+1，解得a≤0；当B≠∅时，若B⊆A，需a>0a+1≥-1解得0<a≤1.综上，a的取值范围是(-∞4．（2023上·江苏南京·高一金陵中学校考期中）已知集合A=x5≤x≤7，(1)当m=3时，求A∪B和A∩B；(2)若A∩B=∅，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）代入m=3，得出B，然后即可根据交集以及并集的运算，计算得出答案；（2）分B=∅以及B≠∅两种情况讨论求解，即可得出答案.【解答过程】（1）当m=3时，B=x所以，A∪B=xA∩B=x（2）当B=∅时，有m+1>2m-1，则m<2；当B≠∅时，可得2m-1≥m+12m-1<5，或2m-1≥m+1解得2≤m<3或m>6．综上可得，实数m的取值范围是-∞,3题型6题型6Venn图表达集合的关系和运算1．（2023上·江苏苏州·高一统考期中）已知集合U=R，集合A=0,1,2,3,B=x

A．0 B．0,1 C．2,3 D．0,1,2【解题思路】根据集合的定义及集合间的关系求解即可.【解答过程】阴影部分表示在全集范围内属于集合A不属于B的集合，故图中阴影部分所表示的集合为0,1.故选：B.2．（2023上·湖南衡阳·高一校考期中）如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（

）

A．A∪B B．∁RA∪B C．∁【解题思路】由图发现阴影部分在集合A,B的外部，在R的内部，用集合语言表达即可得到正确选项.【解答过程】由韦恩图可得，图中阴影部分所表示的集合是∁R故选:D.3．（2023上·云南昆明·高一校考阶段练习）已知全集U为实数集，集合A=x-1<x<6，(1)若a=4，求图中阴影部分的集合M；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）由图可知阴影部分表示的是B∩∁（2）分B=∅和B≠∅两种情况求解即可【解答过程】（1）当a=4时，B=5≤x≤11因为全集U为实数集，集合A=x所以∁UA=x由图可知阴影部分表示的是B∩∁所以M=B∩∁（2）当B=∅时，B⊆A成立，此时a+1>3a-1，解得a<1，当B≠∅时，因为B⊆A，所以a+1≤3a-1a+1>-13a-1<6，解得综上，a<73，即实数a的取值范围为4．（2023上·四川南充·高一校考阶段练习）设全集U=R，集合A=x-2≤x≤6，B=x|x≤-5

(1)求图中阴影部分表示的集合；(2)已知集合C=x|10-a<x<2a+1，若∁UB【解题思路】由韦恩图图及含参数的集合交并补的混合运算即可求解.【解答过程】（1）因为A=x-2≤x≤6，B=x|x≤-5所以A∩B=x则图中阴影部分表示∁A（2）因为C=x|10-a<x<2a+1，B=x|x≤-5或x≥3，且所以∁UB=x|-5<x<3所以当C=∅时，10-a≥2a+1，解得a≤3，符合题意；当C≠∅时，10-a<2a+12a+1≤-5或者10-a<2a+1此时不等式组10-a<2a+12a+1≤-5不等式组10-a<2a+110-a≥3的解集为3<a≤7综上，a的取值范围为aa≤7题型7题型7判断命题的真假1．（2023上·上海·高一校考期中）已知命题：“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（

）①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有P的元素；④M中的元素不都是P的元素.A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】由题意可得集合M不是P的子集．由此结合子集的定义与集合的运算性质，逐项判断即可.【解答过程】根据命题"非空集合M的元素都是集合P的元素"是假命题，可得M不是P的子集对于①，集合M虽然不是所有元素都在P中，但有可能有属于P的元素，因此①是假命题；对于②，因为M不是P的子集，所以必定有不属于P的元素，故②是真命题；同理不能确定M有没有P的元素，故③是假命题；对于④，由子集的定义可得，既然M不是P的子集，那么必定有一些不属于P的元素，因此M的元素不都是P的元素，可得④是真命题.故选：B.2．（2023上·上海闵行·高一校联考期中）下列命题中：①关于x的方程mx②空集是任意非空集合的真子集；③如果x>3，那么x≥0；④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（

）A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④【解题思路】根据一元二次方程的定义、空集的性质，结合不等式的性质、有理数的性质逐一判断即可.【解答过程】①：当m=0时，方程变为-2x+3=0，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题；②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题；③：由x>3显然能推出x≥0，所以本序号命题是真命题；④：因为2+3与2-3的和是有理数4，但是2+3故选：B.3．（2023·全国·高一课堂例题）判断下列语句哪些是命题，是真命题还是假命题．(1)x>0；(2)等腰三角形两底角相等；(3)若a，b是任意实数且a2>b【解题思路】（1）根据命题的定义进行判断即可；（2）根据命题的定义，结合等腰三角形的性质进行判断即可；（3）根据命题的定义，结合不等式的性质进行判断即可.【解答过程】（1）因为x>0不能判断真假，所以不是命题；（2）因为等腰三角形两底角相等，所以本语句是命题，而且是真命题；（3）当a=-2,b=0时，显然a2>b因为本语句能判断真假，所以本语句是命题，而且是假命题.4．（2023上·高一课前预习）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)偶数不能被2整除；(2)当a-12+b-1(3)两个相似三角形是全等三角形．【解题思路】根据命题的定义，逐一进行判断即可.【解答过程】（1）若一个数是偶数，则它不能被2整除，根据偶数的定义可知，偶数能被2整除，为假命题；（2）若a-12+b-1要想满足a-12+b-12=0（3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题.题型8题型8充分条件、必要条件及充要条件的判定1．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）已知x∈R，若集合M={1,x}，N={1,2,3}，则“x=2”是“M⊆N”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.【解答过程】若x=2，则M=1,2，所以M⊆N若M⊆N，则x=2或3，显然必要性不满足；所以“x=2”是“M⊆N”的充分不必要条件.故选：A.2．（2023上·河南南阳·高一校联考期中）已知a,b∈R，则下列选项中，使a+b<0成立的一个充分不必要条件是（

）A．a>0且b>0 B．a<0且b<0 C．a>0且b<0 D．a<0【解题思路】利用充分条件与必要条件的定义，结合特例法与不等式的性质求解即可【解答过程】因为a>0且b>0不能推出a+b<0，所以a>0且b>0不是a+b<0的充分条件，A错；因为a>0且b<0不能推出a+b<0，所以a>0且b<0不是a+b<0的充分条件，C错；因为a<0且b>0不能推出a+b<0，所以a<0且b>0不是a+b<0的充分条件，D错；对于B，由a<0且b<0可得a+b<0，充分性成立，若a+b<0不能推出a<0且b<0，例如a=-2,b=1时，满足a+b<0，而a<0且b>0，必要性不成立，所以a<0且b<0故选：B.3．（2023·江苏·高一专题练习）判断下列各题中p是q的什么条件．(1)p:ab>0，q:a,b中至少有一个不为零；(2)p:x>1，q:x≥0；(3)p:A∩B=A，q:∁【解题思路】（1）（2）根据充分、必要条件分析判断；（3）根据集合的包含关系和运算结合充要条件分析判断.【解答过程】（1）若ab>0可得a,b中至少有一个不为零，即充分性成立，但a,b中至少有一个不为零不能得出ab>0，例如a=1,b=-1，即必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件.（2）若x>1可得x≥0，即充分性成立，但x≥0不能得出x>1，例如x=0，即必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件.（3）由题意可知：A∩B=A等价于A⊆B，∁UB⊆∁所以A∩B=A等价于∁U所以p是q的充要条件.4．（2023·江苏·高一专题练习）指出下列各题中，p是q的什么条件：(1)p:数a能被6整除，q:数a能被3整除；(2)p:x>1，(3)p:△ABC有两个角相等，q:△ABC是正三角形；(4)p:ab=ab，【解题思路】分别判断p能否推出q，q能否推出p即可．【解答过程】（1）因为能被6整除的数一定能被3整除，但能被3整除的数不一定能被6整除，所以p⇒q，但q⇒所以p是q的充分不必要条件．（2）由p:x>1得，x<-1或由q:x2>1得，x<-1所以p⇒q,q⇒p，所以p是q的充要条件．（3）因为△ABC有两个角相等不一定是正三角形，但正三角形一定有两个角相等，所以p⇒q，所以p是q的必要不充分条件．（4）由p:ab=ab得，因为ab≥0不能推出ab>0，ab>0能推出ab≥0，即p⇒q，但所以p是q的必要条件不充分条件．题型9题型9全称量词命题与存在量词命题的真假1．（2023上·辽宁鞍山·高一期中）下列命题中为真命题的是（

）A．p1:∃x∈RB．p2:∀x∈RC．p3:∀x∈ZD．p4:∃x∈R【解题思路】对A：由x2+1≥1>0判断命题为假；对B：当x=0时命题不成立；对C：由Z及N关系判断命题为真；对D：由【解答过程】∀x∈R，x2+1≥1>0，故当x=0时，x+|x|=0，故p2∀x∈Z，|x|∈N，故p3方程x2-7x+15=0中Δ=故选:：C.2．（2023·江苏·高一专题练习）下列命题中的假命题是（

）A．∀x∈R，x2+1>0 B．C．∃x∈R，x<1 D．∃x∈【解题思路】逐个判定命