第一章数学的萌芽

数学史主讲人张跃辉1.源自河谷的古老文明

——数学的萌芽

数学也和其他人类文明一样，最早出现于尼罗河中下游的古埃及、幼发拉底河与底格里斯河两河流域的古巴比伦、黄河流域的中国和恒河流域的印度就国外数学发展的源头而言，一般还应首推古埃及与古巴比伦河谷文明与早期数学古代埃及古巴比伦古代中国1.1古埃及的数学

埃及文明上溯到距今6000年左右，从公元前3500年左右开始出现一些小国家，公元前3000年左右开始出现初步统一的国家。1、古王国时期：前2686－前2181年。埃及进入统一时代，开始建造金字塔，是第一个繁荣而伟大的时代。2、新王国时期：前1567－前1086年。埃及进入极盛时期，建立了地跨亚非两洲的大帝国。直到公元前332年亚历山大大帝征服埃及为止。

埃及人创造了连续3000多年的辉煌历史，发明了铜器、创造了文字、掌握了较高的天文学和几何学知识，建造了巍峨宏伟的神庙和金字塔。

古代埃及简况古代埃及狮身人面像胡夫金字塔胡夫金字塔结构透视图

A、入口B、梯型走廊C、地下室D、维护通道E、上升通道

F、王后墓室G、通气孔H、大长廊I、接待室J、国王墓室

K、重力缓解室

胡夫金字塔建于埃及第四王朝第二位法老胡夫统治时期（约公元前２６７０年），被认为是胡夫为自己修建的陵墓。在古埃及，每位法老从登基之日起，即着手为自己修筑陵墓，以求死后超度为神。胡夫大金字塔的４个斜面正对东、南、西、北四方，误差不超过圆弧的３分，底边原长２３０．５米，倾角为５１度５２分。塔高１４６．６米（现高约１３７米），塔底面呈正方形，占地５．２９万平方米。

胡夫金字塔的塔身由大小不一的２３０万块巨石组成，每块重量在３吨至３０吨，石块间合缝严密，不用任何粘合物。这座金字塔的入口在北侧面离地１８米高处，经入口的一段甬道下行通往深邃的地下室，上行则抵达国王殡室。殡室长１０．４３米、宽５．２１米、高５．８２米，与地面的垂直距离为４２．２８米，室内仅一红色花岗岩石棺，别无他物。另外塔内已知还有王后殡室和地下墓室。

权威考古学家的最新发现显示，金字塔是由劳工建造的，而建成一座金字塔的工程至少要花费３０多年的时间。考古人员还在金字塔附近地区发现了劳工们的集体宿舍等生活设施的遗迹和劳工墓地，并在死者随葬品中发现了大量测量、计算和加工石器的工具。木乃伊

古埃及人都相信人是有灵魂的，要保持肉身的存在才可以复生。富人建陵墓。穷人把尸体埋入沙堆，国王则建金字塔。奴隶把收割的小麦抬走去集市卖牛采摘葡萄在为奴隶主酿酒反映了古代埃及农业比较发达，物产丰富，埃及气候炎热，奴隶们都不穿上衣，也几乎没衣服可穿。农业方面成就种植大麦、小麦和亚麻手工业方面成就冶炼制造手工业方面成就纺织铁匠木匠理发师

古代埃及文字象形文字古埃及象形文字表示的日历古代埃及的一年由360天组成，被分成3个季节（洪水季、冬季、夏季），每个季节由4个月组成，每个月30天。在年末，有5天组成了"epagomenal"节（相当于春节），因此，一年总共为365日。年份是由现任法老开始掌权的第一年算起，因此，2年是指他掌权后的第二年（其实，就是像我国古代各朝的纪年方法，如贞观元年）。每个季节的4个月份都以1至4命名。兰德纸草书莫斯科纸草书公元前3000年起，古埃及人就已经有了象形文字，其中最具代表性的是伴侣们使用的伴侣文（又称祭祀文），写在纸草上保存下来1.1古埃及的数学兰德纸草书埃及的数学原典就是由象形文字书写而成，其中，对考察古埃及数学有重要价值的是“兰德纸草书”，这部纸草书是在埃及古都---底比斯(Thebes)的废墟中发现的．1858年由兰德(A．H．Rhind)购买，尔后，遗赠给伦敦大英博物馆．因此，叫做兰德纸草书．这种纸草书长约550厘米、宽33厘米，摹本出版于1898年．

这部纸草书是根据底比斯人统治埃及时(约公元前1800年以后)写成的，著者阿梅斯(Ahmes)曾写道，此书是根据埃及王国时代(公元前2000---前1800)的材料写成的．

兰德纸草书用很大的篇幅来记载2/N(N从5到101)型的分数分解成单位分数的结果。为什么要这样分解以及用什么方法去分解，到现在还是一个谜。这种繁杂的分数算法实际上阻碍了算术的进一步发展。这部纸草书的出现，对埃及的文化产生了重要影响，对数学的发展和传播起到了一定的作用．传授“数”的秘密和分数计算．

全书分成三部分，一是算术；二是几何；三是杂题．共有85题．记载着埃及人在生产、生活中遇到的实际问题．例如，对劳动者酬金的分配；面积和体积的计算；不同谷物量的换算等等．其中，也含有纯数学知识问题．例如，分数的难题计算等等．莫斯科纸草书

由俄罗斯收藏者于1893年获得的．约20年后，即1912年转藏于莫斯科图书馆．这部纸草书长约550厘米、宽8厘米，共记载着25个问题．由于卷首遗失，书名无法考证．

埃及很早就用十进记数法，但却不知道位值制，每一个较高的单位是用特殊的符号来表示的。例如111，象形文字写成三个不同的字符，而不是将1重复三次。埃及算术主要是加法，而乘法是加法的重复。

他们能解决一些一元一次方程的问题，并有等差、等比数列的初步知识。占特别重要地位的是分数算法，即把所有分数都化成单位分数(即分子是1的分数)的和。纸草书还给出圆面积的计算方法：将直径减去它的1/9之后再平方。计算的结果相当于用3.1605作为圆周率，不过他们并没有圆周率这个概念。根据莫斯科纸草书，推测他们也许知道正四棱台体积的计算方法。总之，古代埃及人积累了一定的实践经验，但还没有上升为系统的理论。在埃及数字中没有5及其倍数的表示方式（如5，50，500等），而且也没有数字间的减法。左栏的最后一个符号通常是指“很多”的意思。但是，当它和其它数字符号在一起使用时，是指“1000000”

这些符号就像罗马字母一样组成各种数字,如1996应表示为：古埃及人是用象形文字来表示数的

1.1.1古埃及的记数制与算术十进位制，但不知道位值制古埃及人所创建的数系与罗马数系有很多相似之处，具有简单而又纯朴的风格，并且使用了十进位制，但是不知道位值制(记数系统是叠加制)．根据史料记载，上述象形文字似乎只限于表示107以前数．由于是用象形文字表示数，进行相加运算是很麻烦的，必须要数“个位数”、“十位数”、“百位数”的个数．但在计算乘法时，埃及人采取了逐次扩大2倍(duplication)的方法，运算过程比较简便．

乘法：古埃及人采用反复扩大倍数的方法，然后将对应结果相加．例如兰德纸草书(希特版)第32页，记载着12×12的计算方法，是从右往左读的．右边用现代数字表示，这就是倍增法(duplatio)．由下表可知，计算的方法是把12依次扩大2倍，那么12×12为12的4倍加上12的8倍，恰是12的12倍，并把要加的数在右侧(现代阿拉伯数字在左侧)标记斜线，算得结果144．/116/10160/580合计256在更早的时期，埃及人也曾采用“减半法”来计算乘法．首先是将一乘数扩大10倍，然后再计算10倍的一半．例如纸草书(卡芬版)第6页，计算16×16，是按如下方法计算的，即减半法(mediatio)．

180/108002160/4320合计1120除法：埃及人很早就认识到除法是乘法的逆运算，并蕴含在实际计算之中．例如，计算1120÷80(见兰德纸草书第69页)．求解的基本思路是10倍的80加4倍的80，恰好是1120，即1120中含有14个80．

分数：古埃及人对分数的记法和计算都比现在复杂得多．例如，他们把2/3理解为“二个部分”，并且能使“二个部分”变成整体的部分叫做“第三部分”．例如“二个部分”即2/3,——“第三部分”即1/3“三个部分”即3/4,——“第四部分”即1/4这样，通过二个部分与第三部分；三个部分与第四部分的结合来表示出一个整体．现在的西欧，有时也用第三(third)、第四(fourth)、第五(fifth)等语言来表达三分之一、四分之一这类分数的含义．按此规律理解，五分之一可认为与四个部分结合成一个整体的第五部分．从语言的角度，五分之二(twofifths)就无法表达了．

随着分数范围的不断扩大，计算方法的不断改进，埃及人用“单位分数”(分子是1的分数)来表示分数对一般分数则拆成“单位分数”表示．例如，(用现代符号表示)这种求解方法也称“暂定前提”(falseassumption)法，即：首先，根据所求的量而选择一个数．在兰德纸草书第26题中，选择了4．因为4的1/4是容易计算的…在用“阿哈算法”求解的问题中，也含有求平方根的问题在兰德纸草书中，因为求含一个未知量的方程解法在埃及语中发“哈喔”(hau)音，故称其为“阿哈算法”．“阿哈算法”实际上是求解一元一次方程式的方法．兰德纸草书第26题则是简单一例．用现代语言表达为：一个量与其1/4相加之和是15,求这个量

古埃及人是按照如下方法计算的：把4加上它的1/4得5,然后将15除以5得3,最后，将4乘以3得12,则12即是所求的量.1.1.2古埃及的代数埃及人对“级数”也有简单的认识在纸草书中，用象形文字写出一列数7，49，343，2401，16807，并与之对应一列词：“房子”，“猫”，“老鼠”，“大麦”，“俄斗”，最后，给出和数为19607．实际上，这是公比为7的等比数列．对此，有的数学史家解释为：“有7个人，每人有7只猫，每只猫能吃7只老鼠，而每只老鼠吃7穗大麦，每穗大麦种植后可以长出7俄斗大麦．”从这个题目中，可以写出怎样的一列数，它们的和是多少？这种题目就涉及到求数列和的问题．埃及人曾采用s＝(8d/9)2(其中s是圆的面积、d是圆的直径)来计算圆的面积．由此得到：能把π值精确到小数点后一位，在那个时代，应该说是一件了不起的事，巴比伦人在数学高度发展时期，还常常取π＝3．

埃及人能应用正确的公式来计算三角形、长方形、梯形的面积．把三角形底边二等分，乘以高；同样，把梯形两平行边之和二等分，乘以高分别作为三角形和梯形的面积．另外，埃及人还能对不同的面积单位进行互相换算．在埃及埃特夫街的赫尔斯神殿的文书中，记载着很多关于三角形和四边形面积计算问题．1.1.3古埃及的几何学在计算体积方面，经考察兰德等纸草书发现，埃及人已经知道立方体、柱体等一些简单图形体积的计算方法，并指出立方体、直棱柱、圆柱的体积公式为“底面积乘以高”．有材料证实，在埃及几何中，最突出的一项工作是发现截棱锥体的体积公式，(锥体的底是正方形)，此公式若用现代数学符号表示为：其中h是高，a和b是下、上底的边长．著名数学史家贝尔(E.T.Bell,1883-1960)形象地将这古埃及数学杰作称为“最伟大的埃及金字塔”.

假定一个棱垂直于底面，把正棱台分成4个部分，即1个长方体、2个棱柱、1个棱锥．两个棱柱分别变为高是原来的1/3.可得公式按如上方法推导公式(1)，是没有超越埃及当时的数学水平的，但是，也没有充分的依据来断定埃及人就使用了这种方法．埃及人对数学的应用

埃及人把数学知识应用到管理国家和教会的事物中，譬如，确定付给劳役者的报酬，求谷仓的容积和田地的面积，征收按土地面积估出的地税，计算修造房屋和防御工程所需的砖数．

把数学应用于酿酒等方面的计算．他们利用术语“比数”(pesu)，即一个单位谷物生产出酒的量或面包的个数，按下面方法计算：

谷物的量×比数=酒量(或面包的个数)．在这些简单的计算中，常常需要进行单位的换算．

把数学应用到天文的计算中．从第一朝代开始，尼罗河就是埃及人的生命源泉，他们日出而作，日落而息，必须掌握四季气候变迁的规律，力求准确预报洪水到来的日期，进行大量的计算．他们还把几何知识与天文知识结合起来，用于建造神庙，使一年里某些天的阳光能以特定方式照射到庙宇里．金字塔的方位也朝向天上特定的方向，而斯芬克斯(即狮面人身像)的面则是朝东的．金字塔代表了埃及人对几何的另一种用法，竭力使金字塔的底为有规则的形状，底和高的尺寸之比也是有特殊意义的．埃及人对数学发展的贡献

埃及人没有把零散的数学知识系统化，使之成为一门独立学科，只是做为一种工具，把形式上没有联系的简单法则，用于解决人们在日常生活中所碰到的问题．使用了十进位制，但是不知道位值制(记数系统是叠加制而不是位值制)．埃及人对数学的主要贡献简略地归纳：(1)基本完成了特定方式的四则运算，并且把它们推广到分数上，已经有了求近似平方根的方法．(2)他们能够用算术方法处理一次方程和某些类型的二次方程问题．(3)他们已经有了算术级数和几何级数的知识．(4)在几何方面，得到了某些平面图形和立体图形的求积方法．(5)得到较好的圆周率值(在那个时期)，正确认识了把圆分为若干相等部分的问题．(6)他们已经熟悉了比例的基本原理，某些数学史家还认为埃及数学有三角函数的萌芽．1.2古巴比伦的数学两河流域（美索不达米亚）文明上溯到距今6000年之前，几乎和埃及人同时发明了文字－“楔形文字”。古巴比伦王国：前1894－前729年。汉穆拉比（在位前1792－前1750）统一了两河流域，建成了一个强盛的中央集权帝国，颁布了著名的《汉穆拉比法典》。亚述帝国：前8世纪－前612年，建都尼尼微（今伊拉克的摩苏尔市）。新巴比伦王国：前612－前538年。尼布甲尼撒二世（在位前604－前562年）统治时期达到极盛，先后两次攻陷耶路撒冷，建成巴比伦“空中花园”。公元前6世纪中叶，波斯国家逐渐兴起，并于公元前538年灭亡了新巴比伦王国。古巴比伦简况

巴比伦的含意是古代闪族语的“神之门”。约三千八百年前巴比伦帝国公元1901年曾在伊朗古部苏萨城发掘出一支2.23米高的黑色玄武岩圆柱，即世界第一部成文法律

汉谟拉比（前1948－前1905）法典第215条：如果医生做一项较大的手术或治疗眼病时，他应能收到10枚银币。如果病人是一个自由人，他应付5枚银币，如果是个奴隶，他的主人应代付2枚银币。如果病人因为手术死亡或失明，那么医生的双手就会被砍掉。巴比伦古城遗址在伊拉克首都巴格达以南90公里1978年，伊拉克政府曾开始古城重建工程古巴比伦人知道了很多疾病，如不同种类的发热、中风和瘟疫；一些泥板书上还描述了眼、耳、皮肤和心脏的疾病，以及风湿和性病。古巴比伦医学是宗教巫师的特权，他们向天神负责；普通医生对他们所做的手术成功与否负责。古巴比伦的医学巴比伦外科手术工具，约制于公元前2300年。

巴比伦空中花园，1886年由一名法国雕版画家制成（前605年，巴比伦）。闻名世界的巴格达喀西门大清真寺古巴比伦的楔形文字一百多年前，人们发现巴比伦人是用楔形文字(Cuneiform)来记数的．他们是用头部呈三角形的木笔把字刻写在软泥板上，然后，用火烧或晒干使它坚如石，以便保存下来进行数学知识交流．由于字的形状象楔子，所以人们称为楔形文字．

现存的巴比伦楔形泥版文书：大都是关于经济问题的，涉及钱币兑换、商品交换、利税计算、粮食分配、遗产划分，等等。古巴比伦楔形文字表示的数字他们用垂直的楔形来表示1，如．用末端二个横向楔形表示10，如．用记号表示35．用记号表示9，后来简化为1/2、1/3等分数有专门的记法。楔形数字的记法巴比伦人已经有了位值制的观念，通常为60进制．这种认识的主要根据是地质学家劳夫特斯(W．K．Loftus)于1854年在森开莱(现在的拉山或拉莎)发掘出汉穆拉比时代的泥板书，上面记载着一串数字，前7个是1，4，9，16，25，36，49，之后中断，而在应该是64的地方，看到的却是1·4，其后接着写出1·21，再后是2·24，直到最后写的是58·1．这个数列只有假定其为60进位时，才能很自然接续，即：1·4＝60＋4＝64=8，1·21=60＋21＝81＝9，……58·1=58×60＋1＝3481＝59．22古巴比伦的60进位法之产生年代是相当久远的．但据有的材料记载，早期的苏默人是不知道60进位制的．从他们所用的数学符号中可以看出，大约在公元前3000年以前，是用以下记号来记数的：1，10，60的记号是用头部是圆形的木笔刻成，而1和60的记号都是半圆形，只是大小不一样，10的记号是圆形，600的记号是10和60的组合.1.2.1古巴比伦的计数制与算术

到了公元前2000年左右，开始使用楔形文字，以此又建立一套数的记号，不妨做如下比较：通过如上二种数码的表示法之比较，不难看出，巴比伦采用60进制是很自然的．应该指出，巴比伦人的位值制有时也不甚明确；因为完整的位值制记数法，必须有表示零的记号，但在早期的泥板书上尚没有发现零号．古巴比伦的算术

由于巴比伦从1到59的数码都是以1和10或更多一些数的记号为基本记号结合而成的，因此，在此范围内的加减法不过是加上或去掉某种记号罢了．

巴比伦人对整数的乘法，采取了“分乘相加”的方法．例如，某数乘以27，他们先乘20，再乘7，然后把结果相加，最后得出结果．他们还造出了一些乘法表．

巴比伦人在做整数除以整数时，采用了乘以倒数的方法，并且还造出了倒数表．

巴比伦人研究了数的平方和开平方、立方和开立方的问题．当方根是整数时，给出了准确的值．对于其它方根，由于采用60进位制，只能是近似值．并造出了简单的平方、平方根、立方、立方根表．巴比伦人也曾给出了求a2＋b型的方根近似公式：到了希腊时期，著名数学家阿基米德(Archimedes)、海伦(Heron)创造出了平方后比原数小的近似公式．1.2.2古巴比伦的代数

在巴比伦人利用楔形文字撰写的原典中，也有解一元二次方程的例子．例如：由两正方形并组成一个面积为1000，一正方形边为另一正方形边的减10，两个正方形的连长各是多少？巴比伦人是按如下方法求解的：(用现代符号表示)设两个正方形边长分别为x，y．

得到一个正整数解为：x＝30．说明巴比伦人在汉穆拉比时代已经掌握了解二元一次和一元二次方程的方法，但仍然是用算术方法求解．巴比伦人对简单的三次和四次方程也求解过．

巴