《高等数学IA（二）》课程教学大纲

PAGEPAGE10《高等数学IA（二）》课程教学大纲一、课程基本信息课程名称高等数学IA（二）课程编号440010002课程性质必修课课程类别学科专业基础课开课单位基础教学部数学教研室授课学期第2学期学分/学时4.5/70课内学时70理论授课68上机学时0课内实践0实验学时2课外学时70适用专业工科各专业是否双语否先修课程高等数学IA（一）后续课程线性代数、概率论与数理统计二、课程简介《高等数学IA(二)》是高等学校工科各专业必修的学科专业基础课，其基本概念和基本理论是工科各专业基础课及专业课的必要数学基础。本课程的主要研究内容包括：向量代数与空间解析几何、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数及数学软件应用等方面的知识。通过课程的教学，不仅培养学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本运算技能，还培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、分析和解决问题的能力和数学建模能力，并为学习后续课程提供了必要的数学工具和思维训练。课程还包含丰富的文化资源、历史底蕴，具有强大的育人功能，是培养学生立德树人的重要载体，在专业人才培养中具有重要的地位和作用。三、课程目标及对毕业要求指标点的支撑（一）课程目标通过本课程的学习，学生达到以下目标：课程目标1：理解向量的概念、单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式；掌握向量的运算，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。掌握平面方程和直线方程及其求法。会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。了解曲面方程和空间曲线方程的概念。了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程。了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程。通过对空间平面、空间直线与空间曲面和空间曲线的探究过程，具备抽象概括能力、逻辑推理能力、建模能力；通过对空间曲面和曲线图形的绘制，体会数学之美，提高审美能力。课程目标2：理解点集、邻域、区域，多元函数等概念；理解二元函数的极限与连续性概念；理解偏导数，全微分等概念，了解全微分存在的充分条件、必要条件；掌握复合函数与隐函数的求导法则，会求高阶偏导数；会求曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线；理解多元函数极值及条件极值的概念，会用极值存在的必要条件求极值，会用拉格朗日乘子法求条件极值，并会求解一些有关的实际的极值问题。概念的引入，领会从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；体会到数学来源于实践又服务于实践，是解决实际问题的重要工具。工程技术等科技前沿、经典实例的引入，激发爱国热情、科技报国的使命担当、团队合作能力和实事求是的科学态度。课程目标3：理解二重积分，三重积分的概念，了解重积分的性质；掌握二重积分的计算方法；掌握三重积分的计算方法；理解两类曲线积分的概念，了解两类的线积分的性质；掌握两类曲线积分的计算方法；掌握并会运用格林公式及平面曲线积分与路径无关的条件，会识别和解全微分方程；理解两类曲面积分的概念及高斯公式．会计算两类曲面积分；能应用重积分、曲线积分及曲面积分解决一些几何与物理问题。通过多元积分在生产生活、工程技术中的应用，体会数学的应用价值，体会“大国工匠”精神，具备解决实际问题的能力。通过数学家故事及数学史讲解定理，激发勇于探究的科学精神；以我国古代数学家的科研成就，增强民族自信心和民族自豪感；课程目标4：理解级数收敛和发散的概念，知道级数的基本性质；能利用比较判别法判别正项级数的敛散性；熟练掌握正项级数的比值审敛法；会运用莱布尼兹准则来判断交错级数的收敛性；会利用级数的绝对收敛性来判定任意项级数的收敛性；能熟练求出幂级数的收敛区间；理解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质；了解函数的泰勒级数、知道函数的泰勒级数收敛到函数的充要条件；能记住常见函数的麦克劳林展式，并将一些简单的简单函数用间接方法展成幂级数；*了解傅立叶级数的收敛定理，并能将定义在[-π,π]上或[-L,L]的函数展成傅立叶级数。能将定义在[0，L]上的函数展成正弦或余弦傅立叶级数。通过级数的教学，具备建模能力及用数学知识解决工程等领域实际问题的能力。课程目标5：应用MATLAB（或Mathematica等）数学软件进行多元微积分的基本运算、可导函数的幂级数展开等。增强应用数学软件对实际问题的理解和分析的能力，提高动手能力及综合素质。（二）课程目标对毕业要求指标点的支撑课程目标支撑毕业要求指标点毕业要求课程目标1指标点1：能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识综合运用解决复杂工程问题。指标点2：能够应用数学、自然科学和工程科学的基本原理，识别、表达、并通过文献研究对复杂工程问题进行分析，并获得有效的结论。指标点4：能够使用科学原理和科学方法针对复杂工程问题进行研究。指标点12：具有自主学习和终身学习的意识，有不断学习和适应发展的能力。1-工程知识2-问题分析4-研究12-终身学习课程目标2指标点1：能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识综合运用解决复杂工程问题。指标点2：能够应用数学、自然科学和工程科学的基本原理，识别、表达、并通过文献研究对复杂工程问题进行分析，并获得有效的结论。指标点4：能够使用科学原理和科学方法针对复杂工程问题进行研究。指标点12：具有自主学习和终身学习的意识，有不断学习和适应发展的能力。1-工程知识2-问题分析4-研究12-终身学习课程目标3指标点1：能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识综合运用解决复杂工程问题。指标点2：能够应用数学、自然科学和工程科学的基本原理，识别、表达、并通过文献研究对复杂工程问题进行分析，并获得有效的结论。指标点4：能够使用科学原理和科学方法针对复杂工程问题进行研究。指标点12：具有自主学习和终身学习的意识，有不断学习和适应发展的能力。1-工程知识2-问题分析4-研究12-终身学习课程目标4指标点1：能够将数学、自然科学、工程基础和专业知识综合运用解决复杂工程问题。指标点2：能够应用数学、自然科学和工程科学的基本原理，识别、表达、并通过文献研究对复杂工程问题进行分析，并获得有效的结论。指标点4：能够使用科学原理和科学方法针对复杂工程问题进行研究。指标点12：具有自主学习和终身学习的意识，有不断学习和适应发展的能力。1-工程知识2-问题分析4-研究12-终身学习课程目标5指标点2：能够应用数学、自然科学和工程科学的基本原理，识别、表达、并通过文献研究对复杂工程问题进行分析，并获得有效的结论。指标点4：能够使用科学原理和科学方法针对复杂工程问题进行研究。2-问题分析4-研究四、课程基本教学内容及对课程目标的支撑（一）课程基本教学内容第一单元向量代数与空间解析几何（学时数：12学时）1.课程主要内容（1）向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积，向量的混合积，两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与方向余弦。（2）曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程、直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件，点到平面和点到直线的距离。（3）球面、柱面、旋转曲面、常用的二次曲面方程及其图形。（4）空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。2.重点和难点重点：平面方程和直线方程难点：空间直线方程3.教学方法（1）板书与多媒体课件相结合，充分发挥线上、线下资源相结合的优势，形象直观地展示几何结构，部分内容采用翻转课堂，话题讨论等师生互动学习方法；（2）生活中的具体案例引入重要概念，引发学习兴趣，主动参与线上话题讨论，培养学生的学习能力、资源整合能力、创新能力；（3）开展分组学习，学生相互督促，提升合作能力和团队意识。4.学生学习预期成果通过本单元知识的学习，学生掌握了空间解析几何中的平面方程与直线方程的求解以及相关的基本概念，增强空间几何结构的形成，为后续多元微积分学的学习奠定基础。5.支撑课程目标课程目标1第二单元多元函数微分学（学时数：18学时）1.课程主要内容（1）多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限与连续的概念，有界闭区域上多元连续函数的性质。（2）多元函数的偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件。（3）多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数。（4）多元函数的极值和条件极值，多元函数的最大值、最小值及其简单应用。2.重点和难点重点：多元函数的偏导数、全微分、多元复合函数求导法则，多元函数极值及条件极值。难点：用极值存在的必要条件求极值，用拉格朗日乘子法求条件极值，并会求解一些有关的实际的极值问题。3.教学方法（1）通过多媒体课件和传统教学相结合，充分发挥线上、线下资源相结合的优势，阐明课程与教学基本原理，丰富学生课程与教学的基本知识结构，掌握基础知识，培养学生对相关数学概念、定理及结论的理解能力与逻辑思维能力；（2）通过类比教学法，逐步引导学生从一元函数的极限、连续、求导到多元函数的极限、连续、求导,发现两者之间的内在联系，新知识易于迁移到陌生的问题情境中，激发学生的自主学习热情，提高学习兴趣。（3）通过图示法来直观展示多元复合函数的结构图,探求其内在的规律性,恰当简捷地解决多元复合函数的偏导问题，有利于培养他们确立科学的态度和掌握科学的方法。（4）通过课堂汇报、数学软件强化知识应用意识，提高学生的总结能力和解决实际问题的能力。4.学生学习预期成果通过本单元知识的学习，学生理解二元函数概念、极限与连续，掌握二元函数的偏导数、全微分、极值最值的求解方法。运用多元函数理论，能够独立分析、解决与专业相关的实际问题。5.支撑课程目标课程目标2第三单元多元函数积分学（学时数：26学时）1.课程主要内容（1）二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用。（2）两类曲线积分的概念、性质及计算，两类曲线积分的关系，格林（Green）公式，平面曲线积分与路径无关的条件，二元函数全微分的原函数。（3）两类曲面积分的概念、性质及计算，两类曲面积分的关系，高斯（Gauss）公式，*（斯托克斯（Stokes)公式，散度、旋度的概念及计算）。（4）曲线积分和曲面积分的应用。2.重点和难点重点：二重积分、三重积分、两类曲线积分、两类曲面积分、格林（Green）公式，高斯（Gauss）公式。难点：三重积分的计算。3.教学方法（1）通过多媒体课件和传统教学相结合，充分发挥线上、线下资源相结合的优势，阐明课程与教学基本原理，丰富学生课程与教学的基本知识结构，掌握基础知识，培养学生对相关数学概念、定理及结论的理解能力与逻辑思维能力；（2）通过类比教学法，逐步引导学生由定积分求曲边梯形面积到二重积分求曲顶柱体体积，并将二重积分的概念与定积分的概念作比较，加深理解，培养学生分析、总结能力；（3）通过启发教学法，发展学生思维，培养学生独立思考，分析问题和解决问题的能力，真正体现以学生为中心的理念，培养学生的反思能力；（4）通过合作探究法，数学软件实现，发展学生的合作能力和学以致用能力；4.学生学习预期成果通过本单元知识的学习，理解6种多元积分的概念、几何意义与基本性质，熟练掌握不同坐标系下多元积分的计算方法，并能够应用多元积分解决简单几何问题和物理问题。5.支撑课程目标课程目标3第四单元无穷级数（学时数：12学时）1.课程主要内容（1）常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与级数收敛的必要条件，几何级数与p-级数及其收敛性。（2）正项级数收敛性的判别法，交错级数与莱布尼茨定理，任意项级数的绝对收敛与条件收敛。（3）函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数及其收敛半径、收敛区间和收敛域，幂级数的和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数的和函数的求法，初等函数的幂级数展开式。（4）*函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数，狄利克雷（Dirichlet）定理，函数在[－L，L]上的傅里叶级数，函数在[0，L]上的正弦级数和余弦级数。2.重点和难点重点：数项级数的审敛法，幂级数的收敛性。难点：数项级数的审敛法。3.教学方法（1）通过多媒体课件和传统教学相结合，阐明课程与教学基本原理，丰富学生课程与教学的基本知识结构，掌握基础知识，培养学生对级数概念、定理及结论的理解能力与逻辑思维能力；（2）通过案例分析法，强调理论与实践相结合，促进学生知识整合，提升学生发现问题、分析问题和解决问题的能力；（3）将一些历史上著名的数学典故引入教学内容，既有趣味性，又有启发性，激发学生的学习热情，提升教学效果。4.学生学习预期成果通过本单元知识的学习，掌握常数项级数的敛散性的判别方法；掌握简单幂级数的收敛域、和函数的求法；会将一些简单的函数展开成幂级数。5.支撑课程目标课程目标4第五单元数学实验（学时数：2学时）1.课程主要内容Matlab、Mathematica或wolframalpha等数学软件应用，包括绘制二元显函数、隐函数的图像，多元微积分的基本运算（数值运算；代数运算；计算偏导数与全微分、计算二重积分、三重积分等多元函数积分、级数的和，图示化一些其它数学对象等）。2.重点和难点重点：Mathematica、Matlab或wolframalpha数学软件的操作难点：Mathematica、Matlab或wolframalpha数学软件对具体问题的实现。3.教学方法（1）通过多媒体课件先介绍相关的数学软件理论知识与操作流程。（2）通过作业实操，强化知识应用意识，提高学生的实际动手操作能力。4.学生学习预期成果学会应用Matlab或Mathematica等数学软件解决高等数学中的一些微积分的基本运算，培养学生解决实际问题的能力以及实践能力。5.支撑课程目标课程目标5（二）课程基本教学内容对课程目标的支撑课程教学内容教学方法支撑的课程目标学时安排课内课外学时比例第一单元向量代数与空间解析几何讲授法、案例教学、话题研讨、翻转课堂、线上线下融合课程目标1121:1第二单元多元函数微分学讲授法、案例教学、话题研讨、翻转课堂、线上线下融合课程目标2181:1第三单元多元函数积分学讲授法、案例教学、话题研讨、翻转课堂、线上线下融合课程目标3261:1第四单元无穷级数讲授法、案例教学、话题研讨、翻转课堂、线上线下融合课程目标4121:1第五单元数学实验讲授法、实验教学课程目标521:1合计701:1五、课程考核及对课程目标的支撑（一）课程考核检验学生为中心的混合式教学效果，更好的评估学生的学习效果，加强过程性考核，全面评估学生的知识应用能力和综合素质。措施如下：期末总评成绩采用平时过程性考核与期末考试相结合的评价方法，采用百分制，其中期末考试成绩占70%，平时成绩占30%。课程成绩构成（百分制）课程成绩构成比例考核环节考核/评价细则平时成绩30%作业(10分制)占总评成绩的15%作业次数不少于6次。主要利用学习通等在线学习平台，于课前、课中及课后等整个教学过程中，完成个人或小组任务、话题讨论、在线测评、课后作业、作业互评等考核方式。采用多元化评价方式，考察学生学习掌握综合情况、小组互助、互评、知识总结等能力，并作出及时反馈。目标分值=1.5*作业平均成绩数学实验(10分)占总评成绩的10%数学实验1次。在计算机软件上用正确的代码指令完成高等数学基本的计算。目标分值=1*数学实验成绩测验(10分制)占总评成绩的5%测验次数不少于2次。学生完成在线课程中任务点的测试题，包括章节测验和线上考试等形式，考察学生对课程内容的理解与掌握程度。目标分值=0.5*测验平均成绩期末考试70%闭卷考试（百分制）期末考试试题依据大纲要求具体给出，成绩是通过闭卷考试的卷面成绩给出，满分100分，考核内容基本覆盖各项知识目标，题型包括：单项选择题、填空题、判断题、计算题和应用题，评分依据标准答案和评分标准进行。目标分值=0.7*期末试卷成绩（二）课程考核对课程目标的支撑教学内容考核内容考核方式支撑的课程目标第一单元向量代数与空间解析几何1-1向量及其线性运算1-2数量积向量积1-3平面及其方程1.4空间直线及其方程1-5曲面及其方程1-6空间曲线及其方程1.平时作业2.章节测验3.话题讨论4.期末考试课程目标1第二单元多元函数微分学2-1多元函数的基本概念2-2偏导数2-3全微分2-4多元复合函数的求导法则2-5隐含数的求导2-6多元函数的极值的求法2-7方向导数与梯度1.平时作业2.章节测验3.话题讨论4.期末考试课程目标2第三单元多元函数积分学3-1二重积分的概念与性质3-2二重积分的计算法3-3三重积分3-4重积分的应用3-5对弧长的曲线积分3-6对坐标的曲线积分3-7格林公式及其应用3-8对面积的曲面积分3-9对坐标的曲面积分3-10高斯公式3-11斯托克斯公式1.平时作业2.章节测验3.话题讨论4.期末考试课程目标3第四单元无穷级数4-1常数级数的概念和性质4-2常数项级数的审敛法4-3幂级数4-4幂级数展开式4-5幂级数展开式的应用4-6傅里叶级数1.平时作业2