高考数学专项复习：三角恒等变换【九大题型】原卷版

专题4.3三角恒等变换【九大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1两角和与差的三角函数公式】..............................................................3

【题型2两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】................................................3

【题型3辅助角公式的运用】......................................................................4

【题型4角的变换问题】...........................................................................4

【题型5三角函数式的化简】......................................................................5

【题型6给角求值】...............................................................................5

【题型7给值求值】...............................................................................6

【题型8给值求角］...............................................................................6

【题型9三角恒等变换的综合应用】................................................................7

►考情分析

1、三角恒等变换

考点要求真题统计考情分析

⑴会推导两角差的余弦

公式

2022年新课标II卷：第6题，

⑵会用两角差的余弦公三角恒等变换是三角函数的重要工

5分

式推导出两角差的正弦、具，是高考数学的热点、重点内容.从近

2023年新课标I卷：第8题，

正切公式几年的高考情况来看，主要考察三角函

5分

(3)掌握两角和与差的正数的化简求值、三角函数的变换等内容，

2023年新课标II卷：第7题，

弦、余弦、正切公式，并一般以选择题、填空题的形式出现，试

5分

会简单应用题难度中等或偏下；但在有关三角函数

2024年新课标I卷：第4题，

(4)能运用两角和与差的的解答题中有时也会涉及到三角恒等变

5分

正弦、余弦、正切公式推换、合并化简，此时试题难度中等，复

2024年新课标II卷：第13题，

导二倍角的正弦、余弦、习时需要同学熟练运用公式，灵活变换.

5分

正切公式，并进行简单的

恒等变换

►知识梳理

【知识点1三角恒等变换思想】

1.三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式

(1)角的代换

代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用

尤为突出.

常用的角的代换形式：

①Q=(G+£)/；

②Q=£・(夕-Q)；

③Q=,[(Q+£)+(Q/)]；

@a=-[(a+6)-(£-[)]；

⑤器/七-外言/)；

@a-y=(a-f))+(/3-y).

(2)常值代换

用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其

中要特别注意的是'T'的代换.

(3)辅助角公式

通过应用公式asina+6cosa=-\/a2+b2sin(a+0)威asina+bcosa=\/a2+b2cos(a—夕)将形如

asina+bcosa(a,6都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数，iAi区sin(a+9)[或

"TPcos(a—0)].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个

三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.

【知识点2三角恒等变换的应用技巧】

1.两角和与差的三角函数公式的应用技巧

(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.

(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.

2.两角和与差的三角函数公式的逆用及变形

运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如

tana+tanjB=tan(a+夕)•(1—tanatanQ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓

展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.

3.辅助角公式的运用技巧

对asinx+bcosx化简时，辅助角的值如何求要清楚.

4.角的变换问题的解题策略：

(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个"已知角"的和或差的形式；

(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式

把“所求角”变成“已知角”.

(3)常见的角变换：2a=(a+6)+(a—/?),a=+a,y+ct=y-f^--a'j,

a=(a+£)—£=(a—£)+力，(?+Q+(〃-a)=、等.

【知识点3三角恒等变换几类问题的解题策略】

1.给值求值问题的解题思路

给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求

出相应角的三角函数值，代入即可.

2.给角求值问题的解题思路

给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角

之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数

而得解.

3.给值求角问题的解题思路

给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.

4.三角恒等变换的综合应用的解题策略

三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化

为小尸然皿5+°）+6的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想

解决相关问题.

【方法技巧与总结】

1.tana±tan£=tan(a±£)•(1千tanatan£).

攻宣八f21+cos2a.21—cos2a

2.降累公式：cos-oc=-------------,sin2a=--------------

1+sin2a=(sina+cosa)2,1—sin2a=(sina-cosa)2,sina±cosa=y^sin(a±.

3.

►举一反三

【题型1两角和与差的三角函数公式】

【例1】（2024,江西九江,三模）若2sin（仇+2）=cos（a-2），贝!）tan（a—已）=（）

A.-4-V3B.-4+V3C.4-V3D.4+V3

【变式1-1]（2024•湖南•模拟预测）已知a€&TI）,tan（多一a）=：,贝[sina=（）

【变式1-2]（2024•安徽合肥•模拟预测）已知cos（10。一a）=cos（50。一a）+cos（50。+a）,则tana=（）

A.叵B.-农C.V3D.-V3

33

【变式1-3]（2024•黑龙江哈尔滨,模拟预测）已知sinasin（a+§=cosasin停一a）,则tan（2a+=（）

A.2—V3B.-2—V3C.2+y/3D.—2+V3

【题型2两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】

【例2】（2024•四川•模拟预测）已知a,0,yC（。弓），若sina+siny=sin£,cos0+cosy=cosa,则a—£=

()

TTTTTTTl

A.B.D.

33c.66

【变式2-1]（2024•内蒙古呼和浩特•一模）已知sina+cos/?=£,cosa—sin/?=—则cos（2cr-20）=（）

77

A.—B.------

3232

c5V39n5V39

3232

【变式2-2]（2024•山东泰安•模拟预测）若:,则sin28的值为（）

1-tan（0--）2

3344

A--iB-?c--?D-7

【变式2・3】（2024•全国•模拟预测）已知a,/7,y满足a—-y=m且sina=2cos/?cosy,tanStany=—3,

则tana的值为（）

i1

A.-2B.--C.-D.2

22

【题型3辅助角公式的运用】

【例3】（2024•安徽合肥・三模）已知2sina=1+2V5cosa,贝!jsin（2a-J=（）

【变式3-1](2024・四川遂宁•模拟预测)已知cos(a-冷)—cosa=/，则sin(a—£)=()

【变式3-2](2024•湖北•二模)函数/(%)=3cos%-4sin%,当/(%)取得最大值时，sin%=()

【变式3-3](2024•陕西铜川•三模)已知cos(a—cosa=今则sin(2a+()=()

【题型4角的变换问题】

[例4](2024•吉林长春•模拟预测)已知cos2a=-y,sin(cr+0)=一噂,戊£[°寻6e[一卜则/一B=

（）

A.-B.YC.YD.?或当

4

•重庆•模拟预测)已知出£都是锐角，)绊，则的值为()

【变式4-11(2024cosa=sin(a+p=cos2/?

714

A.--B.-C.--D.—

2222

【变式4-2]（2024•福建泉州•模拟预测）已知a,£均为锐角，sin（2a-0）=—cosa+sin^?,则sin（a-/?）=

()

2V5n花V5

AA--B-TC.-D.

33

若今=咚,且

【变式4-3](2024•山西•三模)sin2a=sin(/?—a)aGM.Se罔,则cos(a+S)=

6

()

V5+V2V30cV62遥一企

A.D.D.

66CT6

【题型5三角函数式的化简】

sin80o4-cos50°V6_(

【例5】（2024•全国•模拟预测）sin2502tan25°—)

V6V5V2

A.--Do.---D.

22c.—2

【变式5-1]（2023•全国•模拟预测）化简：上空罗=（)

sinl0°

A.4B.2C.tan20°D.sin20°

【变式5-2]（2023•吉林延边•二模）下列化简不正确的是（）

11

A.cos820sin520+sin82℃osl28==--B.sinl5°sin30°sin75^-

ctan48°+tan72°

ccos215sin215=D.----------------=73

-°-°Tl-tan48°tan72°

【变式5一3】（2024・重庆・模拟预测）卷：：：晨£。。的值为（

2+显1+百c2+V3

A.D.粤

224

【题型6给角求值】

【例6】（2024・辽宁・二模）已知5E（15。一5=12口210。，则sin（60。+a）的值为（）

工12

A.

333

【变式6-1]（23-24高二上•江西景德镇•期中）已知sina=竽,cos（a—/?）=*且0<a<*,0<。<年,

则sinS=（）

【变式6-2]⑵-24高一下•北京顺义•阶段练习）已知aG（0（）且tana=|.

(1)求tan2cr,sin2a,cos2a；

(2)若0为锐角,且cos(a+1)=,,求sin0.

【变式6・3】(2024•浙江台州•二模)已知函数/(%)=V^sin%+cos%.

(I)求函数/(%)的单调递增区间；

(II)若f(a)=€已用］,求sina的值.

566

【题型7给值求值】

【例7】(2024•河北保定•三模)已知锐角a,0(aK0)满足sina+2cosa=sin0+2cos0,则sin(a+0)

的值为()

A.2B.延C.。D.&

10555

【变式7-1](2024•辽宁丹东•二模)已知sina+sin(a+§=苧，则cos(2a+§=()

A.-7B.-7-C.2£D.--2

9999

【变式7-2](2024•贵州贵阳•二模)已知cosa—cos0=亨,sina-sin^=-1,贝!Itan(a+0)的值为()

A.-4V5B.4V5C.-2V5D.24

【变式7-3](2024•辽宁•二模)已知a,0e(0,习，2tana=就黑初，贝!Jcos(2a+夕+§=()

A.—B.--C.-D.--

2222

【题型8给值求角】

【例8】(2023•江苏无锡三模)已知tan"言》tan(a+位=^，若夕6(0,习，则0=()

【变式8-1](23-24高三•全国•期末)已知0<a<£<,,cos2a+cos2s+1=2cos(a—0)+cos(a+0),

贝IJ()

A.a+S=B.a+0=5

C.B—cc——D.S—oc=~

k6产3

【变式8-2](2024•海南海口•模拟预测)已知cos(a+2/?)=?,tan(a+/?)tanA=—4,写出符合条件的一个

角a的值为.

【变式8-3](2023・贵州六盘水•模拟预测)设a£/6曲皆，且sina+cosa=V2cos^,则a-0=.

【题型9三角恒等变换的综合应用】

【例9】(2024•上海•模拟预测)已知函数f(X)=2cos2y+cos(2x--1.

(1)求函数f(x)的在[0对上单调递减区间；

(2)若函数/(x)在区间[0,m]上有且只有两个零点，求加的取值范围.

【变式9-1](2024•重庆•模拟预测)己知函数/'(无)=sin(3久+⑴)(3>0,0<⑴<])的最小正周期为m且

八。)=/(*

(1)求f(%)的解析式;

(2)设g(%)=/(%)+求函数g(%)在(一也1)内的值域.

【变式9-2](2023•河南•模拟预测)已知函数/(%)=2cosx(sinx+V3cosx)—V3.

⑴若/'(戊+习=与求/(2"盘)的值；

(2)设g(x)=/(乂+①+/(乂一已)—“(久+总)/(刀_)求函数9(久)的最小值.

【变式9-3](2024•云南•模拟预测)已知函数/'(x)=4sintoxsin(a)x+§-百的相邻两条对称轴之间的距

离为泉

⑴求函数八久)在区间S有上的值域；

(2)在锐角△ABC中，角力，B,C的对边分别为a,b,c,且/(A)=百，V2a=43b,c=V6+V2,求△ABC

的面积.

►过关测试

一、单选题

1.(2024•四川宜宾•模拟预测)若cos(a—§+cosa=—1,贝!]cos(a—e)=()

V3„V3「275c2遮

AA.-------D.—C.-----D.------

3333

2.(2024•福建泉州•模拟预测)已知sin(a-S)=2cos(a+S),tan(a—S)=；,则tana—tan£=()

A-1B-1c-iD-1

3.(2024•福建泉州•模拟预测)若a/e(0,n),且胃乎=sin(£—：)[tan(：+0)+1],则()

A.a=6B.a=2pC.a+/?=]D.a+/?=n

4.(2024・陕西安康•模拟预测)若sin(a—20。)=^^万，贝!|sin(2a+5(T)=()

tan20—V3

1177

A.-B.--C.--D.-

8888

5.(2024•江西宜春•模拟预测)已知aE仔,用，tang+a)=[tang-a),则;;黑=()

A.6+4V2B.6-4V2C.17+12V2D.17-12V2

6.(2024•陕西安康•模拟预测)已知a,0e(O,3,且sin/?=cos(a+0)sina,则黑泮黑的值为()

A.1B.|C.|D.-警

7.(2024•黑龙江双鸭山,模拟预测)已知a,。6cos2a-sin2a=：,且3sin£=sin(2a+/?),则a+0

的值为()

A.—B.-C.-D.-

12643

8.(2024•天津北辰•三模)已知函数/(久)=V^sin2%cos2x+cos?2%,则下列结论不正确的是()

A./(%)的最小正周期为］

B.八久)的图象关于点管,()对称

C.若f(x+t)是偶函数，贝i］t=S+F，fcez

124

D.f(x)在区间［0周上的值域为［0,1］

二、多选题

9.(2024・河南周口•模拟预测)设a6(0,钟，06(05),则下列计算正确的是()

A.cos(a+S)Vcos(a—B)

B.若sin(a+2)cos(a+2)=—工，贝！Jtana=2

446

C.若tana+tan夕=」一，贝!j2夕一a=巳

cosa2

D.若cos2a+J_=0,则a+0=2i

1+sin2atan£14

10.(2023・辽宁大连•一模)在△ABC中，若tan等=sinC,则下列结论正确的是()

A.—=1B.0<sinA+sinB<V2

tanF

C.sin2>l+COS2B=1D.cos27l+cos2B=sin2c

11.(2024•江西•二模)已知函数/(%)=Hsincoxcosa%-siMa%+g(a>0),则下列说法正确的是()

A.若3