高考数学专项复习：分类打靶函数应用与函数模型（6大核心考点）（讲义）（解析版）

专题05分类打靶函数应用与函数模型

【目录】

......................................................................................................................................................................1

........................................................................................................................................................................2

.......................................................................................................................................................................2

考点一：二次函数与塞模型....................................................................10

考点二：分段函数模型........................................................................12

考点三：对勾函数模型........................................................................14

考点四：指数函数模型........................................................................17

考点五：对数函数模型........................................................................18

考点六：函数模型的选择......................................................................20

本节内容，常以其他学科或与社会生活息息相关的背景来命题，如现实中的生产经营、企业盈利与亏

损等热点问题中的增长、减少问题，在这些背景中发现、选择、建立数学模型，如二次函数、指数函数、

对数函数模型，对现实问题中数据进行处理以解决问题，体现数学知识的实用性.

考点要求考题统计考情分析

2021年北京卷第8题，4分【命题预测】

二次函数模型，分段函数模型

2020年上海卷第19题，14分预测2024年高考，可能结

合函数与生活应用进行考

2023年/卷第10题，5分

察，对学生建模能力和数学

指数函数、对数函数模型2021年甲卷（文）第6题，5分应用能力综合考察.

2020年山东卷第6题，5分

反比例函数模型

二次函数模型

分段函数模型

分类打靶函数应用与函

指数函数模型

数模型

对数函数模型

幕函数模型

对勾函数模型

1、几种常见的函数模型:

函数模型函数解析式

一次函数模型/W=ax+b(a,b为常数且aR。)

反比例函数模型

/（x）=-

x（左为常数）

二次函数模型1

f(x)=ax+bx+c(a；6,c为常数且。片。)

指数函数模型x

/(x)=ba+c(tz；6,c为常数，bwO,a>0,«^1)

对数函数模型

f(x}=b\ogax+c{a；b,c为常数，b#0,a>0,

塞函数模型n

f(x)=ax+b(a；6为常数，

2、解函数应用问题的步骤：

（1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；

（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数

学模型；

（3）解模：求解数学模型，得出结论；

（4）还原：将数学问题还原为实际问题.

3、解答函数应用题应注意的问题

首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，

往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，

领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立

解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.

其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立

函数关系.

其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问

题一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可

能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些

非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛

读”即可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精

读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率.

1.（2021•甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和

小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据-满足L=5+/gk.已知某同学视力

的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为（）（啊W1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

【解析】在£=5+/g厂中,1=4.9,所以4.9=5+/gk,即/g1=-0.1,

解得展叱=—=丽1=-^~0.8，

1.259

所以其视力的小数记录法的数据约为0.8.

故选：C.

2.（2021•北京）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的

深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm）.24力降雨量的等级划分如下：

等级24〃降雨量（精确到0.1）

..........

小雨0.1〜9.9

中雨10.0〜24.9

大雨25.0〜49.9

暴雨50.0〜99.9

............

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200"〃〃，高为300m机的圆锥形雨量器.若一次降雨过

程中，该雨量器收集的24〃的雨水高度是150mm（如图所示），则这24〃降雨量的等级是（）

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【答案】B

【解析】圆锥的体积为「=工劭二,尸7人，

33

因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，

所以圆锥内积水部分的半径为200=50加加，

22

将r=50,h=150代入公式可得K=125000万（加加，，

图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，

平底上积水的体积为％=S”,且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积,

所以S=万•（gX200）2=10000万（7〃田）,

则平地上积水的厚度h='SO。。万=12.5（mm）,

100007

因为10<12.5<25,

由题意可知，这一天的雨水属于中雨.

故选：B.

3.（2020•山东）基本再生数凡与世代间隔7是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者

传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模

型：/«）=e”描述累计感染病例数/⑺随时间f（单位：天）的变化规律，指数增长率r与&,T近似满足

R0=l+rT.有学者基于已有数据估计出4=3.28,7=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病

例数增加1倍需要的时间约为（）（历2。0.69）

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【解析】把凡=3.28,7=6代入&=1+厂7,可得r=0.38,：./«）=,

当/=0时，/（0）=1,则e"3M=2,

两边取对数得0.38/=勿2,解得/=坦“1.8.

0.38

故选：B.

4.（2019•新课标H）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航

天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联

系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日4点的轨道运行.L2

点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为月球质量为AG，地月距离为R,4点到月球

的距离为厂，根据牛顿运动定律和万有引力定律，厂满足方程：」^方+牛=（尺+力”.

（7?+r）2r12

3〃+3〃〜

设由于a的值很小，因此在近似计算中3a3,贝。的近似值为（）

R(l+«)2

I肛RB•&R

A.----KD

c・瞪R-澈R

【答案】D

【解析】•.•«=-1.r=aR,

R

、、产口士工口MM、M

外满足万程：——+T2=Z（RN+T）T

（氏+/）2F2R3

1R?r

---------------+=(1+—)^i,

,rrrR

1+2—+—

RR2

ii

把a=—r代入，得：-----+—^M=(l+a)M^

R(l+«)2M]a22

M]1.(1+or)3—1a(a~+3tz+3)

—7-=[(1+a)----------T]M.=--------M.=-----------------；--M.

a2(1+a)(1+a)21(1+a)21

5

M23a3+3a4+a

矶-—(1+cr)2

r=aR=3—.

13M

故选：D.

5.（多选题）（2023•新高考I）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

£=20x/g二，其中常数p。（0>0）是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级:

Po

声源与声源的声压级

距离ImIdB

燃油汽车1060~90

混合动力汽1050〜60

车

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车107〃处测得实际声压分别为n，p2,P3,贝M)

A.pr-p2B.p2>10T?3C.p3=100pQD.pv,100/>2

【答案】ACD

9

【解析】由题意得，60”20/gd,90,1000A”pinWpQ,

Po

5

2

50”20/g—„60，10j70„p2„1000/20,

P。

20/g卫=40,23=1000，

Po

可得夕广.夕2，Z正确；

p2„10/73=lOOOpo，B错误；

P3=lOOPo，。正确；

95

P1,,102Po=100x102Po“]00P2，小，100）2，。正确.

故选：ACD.

6.（2018•浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，

值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别

x+y+z=100

为x,y,z,贝ijJ1，当z=81时，x=,y=.

5x+3j+-z=100

【答案】8；11

x+y+z=100

x+y=19

【解析】5x+3y+；z=100当z=81时，化为:

5x+3y=73

解得x=8,y=11.

故答案为：8；11.

7.（2020•上海）在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车

辆密度是该路段一定

时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v=9,x为道路密度，q为车辆密度，交通流

X

量v=f(x)=<—(£。<一。

—k(x—40)+85,40„x„80

ci）若交通流量v>95,求道路密度x的取值范围;

（2）已知道路密度x=80时，测得交通流量v=50,求车辆密度q的最大值.

【解析】（1）按实际情况而言，交通流量V随着道路密度X的增大而减小,

故"=/（X）是单调递减函数,

所以左>0,

当40,,%80时，v最大为85,

1名QO

于是只需令100-135•（?*>95,解得x<§,

故道路密度X的取值范围为（0,y）.

（2）把x=80,"=50代入？=/>（工）=一左（%一40）+85中,

7

得50=—H40+85,解得左二，.

8

180

100X-135-(1)T-X,0<X<40

:.q=vx=<

7

——(x-40)x+85x,40„x,,80

8

①当0cx<40时，V=100-135-(1)T<100,

q=vx<100x40=4000.

7

2

②当40”%,80时，q是关于x的二次函数，q=--x+120xf

对称轴为苫=出，此时4有最大值，^1-2x（—）2+120x—=^22>4000.

78777

综上所述，车辆密度4的最大值为生|

8.（2023•上海）为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数”S=区,其中4为建筑物暴露在

空气中的面积（单位：平方米），《为建筑物的体积（单位：立方米）.

（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R,高度为//,暴露在空气中的部分为上底面和侧面，试求该建

筑体的“体形系数”S；（结果用含7?、”的代数式表示）

（2）定义建筑物的“形状因子”为了=匕，其中/为建筑物底面面积，£为建筑物底面周长，又定义T

为总建筑面积，即为每层建筑面积之和（每层建筑面积为每一层的底面面积）.设〃为某宿舍楼的层数，层

高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为s=E&+-L.当/=18,7=10000时，试求当该

T3n

宿舍楼的层数"为多少时，“体形系数”S最小.

【解析】（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得:

22

Fo=2TTRH+7TR-V0=TTRH,

_殳_兀R(2H+R)_2H+R

一斤一-TCBJ-H--HR

3后

（2）由题意可得S=H-------，nGNf

100003n1003n

所以S，=4_3=9&20。

200G3n2600/72

令9=0,解得〃=

所以S在［1,6.27］单调递减，在［6.27,+8）单调递增,

所以S的最小值在〃=6或7取得，

所以在"=6时，该建筑体S最小.

9.（2021•上海）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利

润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%.

（1）求今年起的前20个季度的总营业额；

（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%?

【解析】（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，

则首项％=1.1,公差"=0.05,

S20=204+2"2；T)”=20x1.1+10x19x0.05=31.5,

即营业额前20季度的和为31.5亿元.

(2)解法一：假设今年第一季度往后的第季度的利润首次超过该季度营业额的18%,

则0.16x(l+4%)">(1.1+0.05〃)•18%,

令/(«)=0.16x(1+4%)"-(1.1+0.05«)-18%,(〃eN*),

即要解/(«)>0,

则当«...2时，/(«)-/(”-1)=0.0064.(1+4%)"一一0,009,

,解得：*10，

即当1,,”,,9时，/(〃)递减；当〃..10时，/伽)递增，

由于/(1)<0,因此的解只能在加.10时取得，

经检验，/(24)<0,/(25)>0,

所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的18%.

解法二：设今年第一季度往后的第n(neN*)季度的利润与该季度营业额的比为a„,

贝U-=104(13+0.0加=1.04-=1+0.04(1一--),

an1.1+0.05〃22+〃22+〃

数列｛an｝满足>a2>a3>a4=a5<a6<a7<...,

注意到，出5=0/78…,a26=0.181...,

.•・今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的18%.

考点一：二次函数与幕模型

・规律总结

1、二次函数模型的应用

构建二次函数模型解决最优问题时，可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法

求最值，也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解，但一定要注意

自变量的取值范围.

2、幕函数模型为了=办'+6（a,b为常数，awO）,

在计算幕函数解析式、求幕函数最值的时候，通常利用幕函数图像、单调性、奇偶性解题.

■题则悖训

例1.（2023•江苏南通•高三统考开学考试）一个动力船拖动载重量相等的小船若干只，在两个港口之间

来回运货.若拖4只小船，则每天能往返16次；若拖7只小船，则每天能往返10次.已知增加的小船只数

与相应减少的往返次数成正比例.为使得每天运货总量最大，则每次拖只小船.

【答案】6

【解析】设每日每次拖x只小船，每日来回了次，每只小船的载重量为河，每日的运货总重量为G,

J4左+6=16J左=一2

由题意设L点+6,则上左+6=10,解得正=24,

所以y=_2x+24,

所以每日运货总重量为G=Mxy=MX（-2X+24）=-2M（x-6）2+72M,

所以当x=6,>=12时，G取得最大值72",

即每次拖6只小船，

故答案为：6

例2.（2023•全国•高三专题练习）为弘扬“中国女排精神”，加强青少年体育发展.学校在体育课中组织学

生进行排球练习，某同学以初速度%=12m/s竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点2加以上的位置最多停

留时间为秒（小数点后保留两位有效数字）.（注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点

=，-la2

的高度”（m）与时间中）满足关系式一卬-5卬,其中g=9.8m/s2,相？225.59.）

【答案】2.09

_1_.

【解析】由题意，竖直上抛的物体距离抛出点的高度”m）与时间*s）满足关系式h=-v”t"5尔t

1

io/h=12t—x9.8Z7

因为%=12m/s,所以2,

1

,12/一一x9.8»9=2.

令h=2,可得2-120(+20=0,

12020

入+力）----，/也——

所以4949,

所以排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留2.09秒.

故答案为：2.09.

例3.（2023•四川泸州•四川省泸县第二中学校考模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全

部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应

政府号召，积极参与帮扶活动.该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政

府将补贴10万元.若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：

Vk82«1.22,^1/73»1.2）（）

A.10%B.20%C.22%D.32%

【答案】B

【解析】由题意，设年平均增长率为x,贝J50（1+xp+10=27°,

x=-1»1.2-1=0.2

所以'15,故年平均增长率为20%.

故选：B

例4.（2023•广西•统考模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系

通常以塞函数形式表示.比如，某类动物的新陈代谢率了与其体重x满足>=履"，其中左和。为正常数，

该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状

态的8倍，则a为（）

1£22

A.4B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】设初始状态为（4必），则X2=®,%=8叽

又弘=侬,%=畸，即8%=左（16玉）”=左.16&#,

8必_hl6axl3

=a-_

必kx；16s=8,24a=23,4tz=3,4.

故选：D.

考点二：分段函数模型

■切他陷结

1、分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变

化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.

2、构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏

・题型特训

例5.（2023•全国•高三对口高考）已知4?两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A

地前往B地，到达B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x（千

米）表示为时间,（小时）的函数，则下列正确的是（）

60r（0<Z<2.5）

%=^150（2.5<?<3.5）

A.x=6OZ+5OZ（O<?<6,5）B[150-50f（3.5<f<6.5）

60t,(0W/42.5)

"6Of(O</<2.5)x=<150,(2.5<^<3.5)

X=</\

c[150-50f(f>3.5)150-50(r-3.5),(3.5<^<6.5)

【答案】D

【解析】因为42两地相距150千米,

所以当汽车以60千米/小时的速度从A地前往5地时,

旦25

需要60小时，此时汽车离开A地的距离为：

x=60/(0<t<2,5)

到达B地停留1小时，此时汽车离开A地的距离为：

x=150(2.5<Z<3.5)

当汽车以50千米/小时的速度从B地前往A地时，

150c

----=3

需要50小时，此时汽车离开A地的距离为:

x=150-50(r-3.5)(2.5<?<6.5)

60/,(0<Z<2.5)

x=<150,(2.5<t<3.5)

150-50(/-3.5),(3.5<Z<6.5)

所以由题意有:

故选：D.

例6.(2023•全国•高三对口高考)2005年10月27日全国人大通过了关于修改个人所得税的决定，工

薪所得减去费用标准从800元提高到1600元也就是说原来月收入超过800元部分就要纳税，2006年1月

I日开始超过了1600元才需要纳税，若税法修改前后超过部分的税率相同，如下表：

级数全月应纳税所得额税率(%)

1不超过500元5

2500〜2000元10

32000~5000元15

某人2005年9月交纳个人所得税123元，则按照新税法只要交税()元.

A.43B.2280C.680D.不能确定

【答案】A

【解析】设工资为x元，

当0WXW800,纳税为0元；

当800<xM1300,纳税为(x-800)x5%元;

当1300<xW2800,纳税为500x5%+(x-1300)xl0%元；

当2800<x<5800,纳税为500x5%+1500xl0%+(x-2800)*15%元；

0,0<x<800

y

——40,800<x<1300

20

V=5Y

——105,1300<x<2800

10

——245,2800<x<5800

所以，纳税为120,

Y

---105=123

而25<123<175,令10,可得x=2280元，

由x-1600=680>500,则按新税法只要交税500x5%+(680-500)x10%=43元

故选：A

例7.(2023•云南•统考二模)下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：

11-50

一次购买件数5-10件51-100#101-300件300件以上

件

每件价格37元32元30元27元25元

张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具(

A.116件B.BO件C.107件D.106件

【答案】C

【解析】设购买的件数为x,花费为了元,

37JC,1<x<10

32x,l1<x<50

30x,51<x<100

27x,101<x<300

则25x,x>300,当x=107时，了=2889<2990,

当尤=108时，y=2916>2900,所以最多可购买这种产品107件,

故选：C.

考点三：对勾函数模型

—律放结

1、解决此类问题一定要注意函数定义域；

2、利用模型/(x)=ax+2求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件.

—型师训

例8.(2023•湖南•湖南师大附中校联考一模)某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割

机，并立即投入生产.预计该机第一年(今年)的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保

养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是

()

A.6年B.7年C.8年D.9年

【答案】B

【解析】设第"年的维修保养费为“”万元，数列｛"J的前〃项和为s”，该机的年平均耗费为"，

据题意，数列卜,｝是首项为12,公差为4的等差数列.

5+981n{n-Y\98।98

p=-..=—12H+-^——^x4+982H+—+10>22n——+10=38

2nn

2〃——

当且仅当〃，即"=7时，。取最小值38.

所以这台冰激凌机的使用年限是7年.

故选:B.

例9.（2023•江苏南通•高三江苏省如东高级中学校考期中）某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积

为48m2,房屋正面每平方米的造价为1200元（包含门窗），房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造

价为5800元.如果墙高为3m,且不计房屋背面和地面的费用，则最低总造价是（）

A.57600元B.63400元C.69200元D.57600也元

【答案】B

_48

【解析】设房屋的正面边长为侧面边长为总造价为z元，则初=48,即'一或，

z=3xx1200+6yx800+5800=3600x+57600X4+5800

所以x

46。。「竺等+58。。*400

3600x=------------

当X时，即当X=8时，Z有最小值，最低总造价为63400元.

故选：B

例10.（2023•全国•高三专题练习）某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是06万

元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比

上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（）

A.8B.10C.12D.13

【答案】B

【解析】设该企业需要更新设备的年数为X（XCN*）,设备年平均费用为了万元，

2+4+6+…+2X「（2+2X）

=x(x+l)

则无年后的设备维护费用为2

100+0.5x+x(x+l)1003.I100343

y=--------------------------=%+——+—>2.x-----+—=—

所以X年的平均费用为Xx2\X22(万元),

当且仅当x=1。时，等号成立,

因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为1°.

故选：B.

例11.（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考三模）如图为某小区七人足球场的平面示意图，为球

tanNAPB=——

门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线5米的尸点处接球，此时31,假设

甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点0处射门，为获得最佳的射门角度（即最大），则射

门时甲离上方端线的距离为（）

A.5&B,5屈c.1。亚D.10百

【答案】B

【解析】设=并根据题意作如下示意图，由图和题意得：PH=25,BH=10,

BH102

tan/BPH==———tan/APB=—

所以HP255,且31,

52

------1—3

tanNAPH=tan(ZAPB+NBPH)=_

1--x-$

所以315

x+103

PHPH25,所以255,解得x=5,即/B=5,

设QH=h,，e[0,25],则=飞力+1寸

2222

BQ=^QH+BH=7/?+10；所以在A/Q?中

AQ2+BQ2-AB2炉+150

cos/AQB=

2AQxBQV//4+325/?2+22500,

令%=/Z2+150(150WMV775),所以/=加一150

cosAAQB=/-----=i-

~J（加一150）2+325（%-150）+22500、卫乎+至十】

所以R机2加，

111

--<—<--

因为150W加<775,所以775m150,则要使N/08最大，

cosNAQB=।1,---------

375025,375025,

即\mm要取得最小值，即'机m取得最大值，

--37-5-0-1-2-5-FI1--1<1—<1--

即m2m在775一加一150取得最大值，

「

t—_1f__1__1_

令一机1775'150），f[t}=-3750Z+25/+1,

1Fj____1_1Fj___1_-

所以/⑺的对称轴为：‘一同，所以/⑺在1775'300」单调递增，在[300'150」单调递减,

t111

所以当一小时，/（'）取得最大值，即N/3最大，此时益一同，即加=300,

所以后=15°,所以〃=5后，即为获得最佳的射门角度（即最大），

则射门时甲离上方端线的距离为：5屈.

故选：B.

ABH

考点四：指数函数模型

—律敢结

在解题时，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利

率有关的问题都属于指数模型.

^题型特训

例12.(2023•浙江绍兴•统考模拟预测)人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从

TB(1TB=1O24GB)级另1J跃升至]jPB(lPB=1024TB),EB(lEB=1024PB)乃至ZB(1ZB=1O24EB)级另人国际数

据公司(的研究结果表明，年全球产生的数据量为年增长到若从

[DC)2OO80600ZB,20101.125ZB.2008

年起，全球产生的数据量?与年份/的关系为k,其中4用均是正的常数，则2023年全球产生的

数据量是2022年的倍.

3

【答案】1.5/2

【解析】由题意，1125=0.5/°岭。。8,所以”1.5,所以尸=0.515-*

所以2022年全球产生的数据量为0.5-1-514,则2023年全球产生的数据量0-5-1.515,

0.5.1.5"]§

所以2023年全球产生的数据量是2022年的西工科一,倍.

故答案为：1.5

例13.（2023•福建龙岩•高三上杭一中校考阶段练习）研究表明大气中二氧化碳的含量对地表温度有明

显的影响：当大气中二氧化碳的含量每增加25%,地球平均温度就要上升0.5。C若到2050年，预测大气中

二氧化碳的含量是目前的4倍，则地球平均温度将上升约。仁（参考数据：0.3010）

【答案】3

【解析】设目前大气中二氧化碳的含量为。，

依题意，当二氧化碳的含量为125。时，地球平均温度上升0.5。（2,

当二氧化碳的含量为"1.252时，地球平均温度上升®5x2）℃,

依次类推，当大气中二氧化碳的含量为axL25"时，地球平均温度上升@5x〃）℃,

_1g4_21g2_21g22x0.301

n---------——------~---------~o

1g1.25n5l-31g21-3x0.301

令axl.25"=4a,即1.25"=4,方程两边同时取常用对数，则4,

所以到2050年，地球平均温度将上升约0.5x6=3（oC）.

故答案为：3

例14.（2023•江西•高三校联考阶段练习）研究发现某人的行车速度v（km/h）与行驶地区的人口密度0

ooooo

（人/kM）有如下关系：v=5Ox（O.5+2-^）；若此人在人口密度为。人/kM的地区的行车速度为

70knVh,则他在人口密度为2a人/kM的地区的行车速度是km/h.

131

【答案】65.5/2

【解析】由70=50x（0.5+2-）,得0.9,

v=50x(0.5+2-000004)<2a)=50x0,5+(2-000004a)[=65.5km/h

所以当人口密度为2a人/kM时，他的行车速度‘'L\'」

故答案为：65.5

考点五：对数函数模型

・规律总结

在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数图

像求解最值问题.

■k题型特训

例15.（2023•上海长宁•统考一模）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值v（单位：

y—101g—2_|22

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