高考数学专项复习：空间向量、直线与圆练习（较易）（含答案解析）

空间向量、直线与圆练习(较易)

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在圆(x-2)2+(y+3)2=2上与点(0,—5)距离最大的点的坐标是()

A.(5,1)B.(4,1)

C.(V^+2,A/^-3)D.(3,—2)

2.经过点4-1,4)且在x轴上的截距为3的直线方程是().

A.x+y+3=0B.x—y+3=0C.x+y-3=0D.x—y—3=0

4.直线/：x+y+l=0的倾斜角为()

5.已知直线4：x+ay+5=0,l2：ax+y+T=0,若l、〃％，则实数。的值为()

A.1或一1B.-1C.1D.0或一1

6.圆(x—l『+(y+2)2=4关于直线了=丘一3对称，则左的值是()

A.-1B.-2C.1D.2

二、多选题

7.平面上三条直线x-2y+l=0,x-l=0,x+Ay=0,若这三条直线将平面划分为六个部分,

则实数左的值为()

A.-2B.-1C.0D.1

8.过四点(0,0),(4,0),(7,1),(4,2)中的三点的圆的方程为()

A.(x-2)2+(y-l)2=5B.(x-2)2+(j；-3)2=13

试卷第1页，共2页

4789

C.(X-§)7+"_§)9=22D.(x--)9+(j-l9)=-

三、填空题

9.如果实数x,歹满足不等式(x-2)2+V=l,那么上写的取值范围是___.

x-1

10.写出截距相等且过点(1,2)的直线方程.

11.与向量1=(2,-1,3)共线的单位向量是.

12.已知直线1过圆x?+(y—3)2=4的圆心，且与直线x+y+l=0垂直，贝I1的方程

是.

四、解答题

13.如图，四棱锥P-4BCD中，底面43C。是正方形，PAV^ABCD,且P/=4B=2,

M,N分别为PC,48的中点.

(1)证明：AGV〃平面产/。；

⑵求平面MNB与平面NBC的夹角的余弦值.

14.已知直线/经过直线4：2x+y-5=O与4：x-2y=0的交点.

(1)若点/(5,0)到/的距离为3,求直线/的方程.

(2)求直线/的方程，使直线和直线4关于直线4对称.

15.(1)求过直线4：5x+2尸3=0和仆315尸8=0的交点，且与直线尤+4y-7=0垂直

的直线方程.

(2)已知某圆经过/(-2,2),8(6,0)两点，圆心M在直线2x-y=l上，求该圆的方程.

16.已知直线/的方程是(a-3)x+(2a+l)y-3=0,求证：对于任意aeR,直线/均经过定

点，并求此定点的坐标.

试卷第2页，共2页

参考答案:

题号12345678

答案DCADACABCAB

1.D

【分析】根据几何知识可知，圆(x-2>+3+3)2=2上与点(0,—5)距离最大的点为圆心与

点(0,—5)所在直线和圆的较远交点，联立直线方程和圆的方程即可解出.

【详解】因为点(0,—5)与圆心(2,—3)所在的直线方程为歹=x—5,解方程组

[(一)5+3”2得1-2或经检验点⑶.2)符合题意.

故选：D.

2.C

【分析】求出直线的斜率，然后代入点斜式即可.

【详解】由题意知，所求直线经过点4-1,4),点(3,0),

代入直线的斜率公式可得，4=二二2,

—1—3

所以所求的直线方程为>-4=-l(x+l),

化简可得,x+y-3=0.

故选:C

【点睛】本题考查直线方程的求法;属于基础题.

3.A

【分析】根据直线的截距式方程，可得直线4的横、纵截距分别为a,1,直线4的横、纵

截距分别为6,七，逐项根据截距的正负判断即可.

【详解】由截距式方程可得直线4的横、纵截距分别为。，-6,直线4的横、纵截距分别为6,

选项A,由4的图象可得可得直线4的截距均为正数，故正确；

选项B,由乙的图象可得。<0.6>0,可得直线4的截距均为正数，由图象不对应，故错误；

选项C,由乙的图象可得。<0.6<0,可得直线4的横截距均为负数，纵截距为正数，由图象

不对应，故错误；

答案第1页，共7页

选项D,由4的图象可得。>0,6>0,可得直线4的横截距为正数，纵截距为负数，由图象

不对应，故错误.

故选：A.

4.D

【分析】根据斜率与倾斜角的关系求解即可.

【详解】由题x+y+l=0的斜率左=-1,故倾斜角a的正切值为-1,

3

又ae[0,万），故口=二万.

4

故选：D.

5.A

【分析】由两直线平行，得lxl=a2,解得0,然后检验两直线是否重合即可.

【详解】直线4：x+ay+5=0,/2：ax+y+7=0,lx//l2,

则1x1=/,解得a=±l,

经经验，当。=±1时，两直线均不重合，

故实数。的值为1或-1.

故选：A.

6.C

【解析】依题意圆心在直线y=h-3上，代入计算可得；

【详解】解：因为（》-1丫+（了+2）2=4圆心（1,-2）,又圆（x-i『+（y+2『=4关于直线

了=6-3对称，所以圆心（1,-2）在直线y=6-3上，所以-2=左-3,解得人=1

故选：C

7.ABC

【分析】三条直线x-2y+l=0,x-1=0,x+ky=0将平面划分为六个部分转化为直线

苫+到=0与直线工_2〉+]=0平行或直线1+白=0与直线》_]=0平彳亍或者直线1+力=0经

过直线工-2了+1=0与直线》_1=0的交点（1,1）,分别根据三种情况可求得结果.

【详解】因为平面上三条直线》-2），+1=0,》-1=0,》+划=0将平面划分为六个部分，

所以直线x+@=0与直线x-2y+l=0平行或直线x+@=0与直线~1=0平行或者直线

苫+0=0经过直线尤-2夕+1=0与直线》一1=0的交点（1,1）,

当直线x+如=0与直线》-2了+1=0平行时，

答案第2页，共7页

；=Aw；，角星得k=-2,

1—21

当直线无+@=0与直线x-l=O平行时，可得上=0,

当直线x+如=0经过直线x-2y+l=0与直线x-l=0的交点（1,1）时，1+左=0,解得木=-1.

所以左=-2或左=0或左=—1.

故选：ABC

8.AB

【分析】可以把点代入圆的方程，验证点是否在圆上，再判断各选项.

【详解】对于A,点（0,0）,（4,0）,（4,2）在圆（》-2）2+3-1）2=5上，故A正确；

对于8,点（08）,（4,0）,（-1,1）在圆5-2）2+3-3）2=13上，故B正确；

对于C,点（0,0）,（-1,1）都不在圆。-》+3-：）2=22上，故c错误；

QQ

对于D,点（4,0）,（-1,1）都不在圆（龙-1）2+3-1）2=不上，故D错误；

故选：AB.

4、

9.[§,+8）

【详解】试题分析：设左=片，则＞=依-（左+3）表示经过点尸（1，-3）的直线，左为直线的

X-1

斜率，所以求左=二的取值范围就等价于求同时经过点尸（1,-3）和圆上的点的直线中斜率

x-l

的最大值与最小值，从图中可知，当过点尸的直线与圆相切时取最大值和最小值，此时对应

的直线斜率分别为心B和七4,其中eB不存在，由圆心C（2,0）到直线＞=丘-（左+3）的距离

国言叽I,解得左浮则左=71的取值范围是

考点：直线与圆的位置关系及其应用.

答案第3页，共7页

【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中涉及到点到直线的

距离公式，直线的斜率公式、直线与圆的位置关系的判定，当d>7•时，直线与圆相离，当

d=:■时，直线与圆相切，当时，直线与圆相交，着重考查了学生分析问题和解答问题

的能力，以及转化思想的应用，解答中熟练掌握直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关

键，试题有一定的难度，属于中档题.

10.2x-y=0或x+y-3=0

【分析】分直线过原点与不过原点两种情况讨论，过原点时，直接求出直线斜率即可得直线

方程；不过原点时，设出直线方程，把点坐标代入即可求得直线方程

【详解】当直线过原点时，则直线的斜率左=咨=2,故直线的方程为了=2x；

当直线不过原点时，设直线方程为±+上=1,

aa

i9

把点(1,2)代入，得—+—=1,解得0=3,

aa

所以直线的方程为x+y=3；

综上所述，直线的方程为2x-y=0或X+V-3=0.

故答案为：2x-y=0或无+y-3=0.

1包”吗或巫巫在

7141471414

【分析】求出|回，然后用m除以同，得一个单位向量，再求得其相反向量即得.

【详解】：同=万互干才=而，所以与@共线的方向向量为土击(2,-1,3)=

一JIZ工V14上3m、

［土---,+---,土----).

71414

所以与向量a共线的方向向量为(理,-3,萼)或(-理，曹，-誓).

12.x-y+3=0

【分析】根据题干可得到直线所过的点，由垂直关系得到直线的斜率，进而得到直线方程.

【详解】圆N+&-3)2=4的圆心为点(0,3),

又因为直线I与直线x+y+1=0垂直，

所以直线/的斜率左=1.

由点斜式得直线/：了一3=x—0,化简得x—y+3=0.

故答案为x—y+3=0.

【点睛】这个题目考查了已知两直线的位置关系求直线方程的应用，题目基础.

答案第4页，共7页

13.(1)证明见解析

(2)f

【分析】(1)(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】(1)因为底面4BCZ)是正方形，P/_L底面48cD,所以48,40,4尸两两垂直,

以A为原点,AB,ND,NP方向分别为x,%z轴建立空间直角坐标系，如图所示:

X

则4(0,0,0),3(2,0,0),尸(0,0,2),C(2,2,0),N(l,0,0),M(1,1,1),MN=(0-1-1)；

平面P/D的一个法向量是方=(2,0,0)；

所以刀•旃=0，所以刀工加，

因为上WO平面尸所以〃平面P4D.

(2)设平面ACV5与平面N3C的夹角为。，平面跖V3的法向量为而=(x/,z),

——►,、MN-m=—y—z=0

又NS=(l,0,0),贝！］〈一，取了=1,贝！|z=-l,平面初\®的法向量为

NB-m=x=0

w=(0,1,-1),

平面A®C的一个法向量为万=(0,0,2),

I--I\m-AP|-2|72

所以cosO^cos机/尸=^^=一=一，

11\rMAP2V22

即平面MNB与平面NBC的夹角的余弦值为它.

2

14.(1)尤=2或4x-3y-5=0；(2)2x+y-5=0.

【分析】(1)首先求出直线<与乙的交点坐标，讨论直线/斜率不存在时，是否符合，当直

线/斜率存在时，设/号-1=左"-2),利用点到直线的距离公式列方程即可求解；

(2)首先利用直线乙和直线4斜率之积等于-1得出4即可求解.

答案第5页，共7页

(2x+y-5=0fx=2

【详解】(1)由；，解得,

[x-2y=0n。=1

所以4与4的交点坐标为(2,1),

①当/斜率不存在时，

直线/：X=2,此时点N(5,o)到/的距离为3成立，所以/:x=2,

②当/斜率存在时，则设/：y-l=Nx-2),

整理可得：kx-y-2k+l=0,

\5k-2k+l\4

点/(5,0)到/的距离d==3解得:

病+R3

止匕时/:4%—3>—5=0,

综上：/的方程为x=2或4x—3歹一5=0.

(2),•,%、％=7,所以/]_14

又因为直线/经过4与4的交点,

所以/与4重合，

所以直线/方程为：2x+y-5=0.

15.(1)4x-y-5=Q；(2)(x-3)2+(j-5)2=34.

【分析】(1)计算交点，然后假设所求直线方程，代点计算即可；

(2)假设圆心坐标，然