高考数学专项复习：解析几何（解答题10种考法）专练（解析版）

专题05解析几何(解答题10种考法)

22

[+右=1(〃>6>0)

1.(2023・福建厦门•厦门一中校考模拟预测)已知A,6分别是椭圆C：/b2'的右顶点和

上顶点，以同=逐，直线N8的斜率为

⑴求椭圆的方程；

(2)直线〃/”8,与x,>轴分别交于点M,N,与椭圆相交于点c,D.

(i)求A°CM的面积与△O0N的面积之比；

(ii)证明：1时+|皿为定值.

【答案】⑴4

⑵(i)1(ii)证明见解析

fy2

【解析】(1);A、8是椭圆/十炉―1(">">°),的两个顶点，且1叫=后，

直线48的斜率为一5,由留砌,8(0,6),得第=77寿=石,

b-0b

k7=--=—=—1

又0-aa2,

解得a=2,6=1,

2

了21

—i-y-l

椭圆的方程为4；

1

设直线/的方程为"一寸+加，则屈（2加,0）,N（0,%）,

1

y=——x+m

2

,22

=1

1--4----1-'V消去人

联立方程

整理得了2—2蛆+2加2—2=0,A=4m2-8（m2-4）=32-4m2>0得加2<&

2

设。（再，%），。（X2，%）,...西+%2=2加，xix2=2m-2

,S4OCM=。2利必|S/\ODN=』〃配I

（|）2,2

Sg|2%||2*网|_》2

=1

*4ODN国

；.AOCM的面积与△ODN的面积之比为1；

（ii）证明"CM「+⑷2=（无I_2m）2+K+（尤2-2m）2+货

22

=x；—4mXj+4m2+f一；玉+mI+x2~4mx2+4m2+_g%2+m

525

=—--xyx2-5m（X[+4）+104

=5m2-1（2w2-2）-10m2+10/712=5

\CM^+\MDf=5

22

C:—+^=1（/）＞0）口口「

2.（2023•全国•河南省实验中学校考模拟预测）己知椭圆6b2的左右焦点分别为。是

椭圆的中心，点M为其上的-点满足M周闾=5,Ml=2.

⑴求椭圆C的方程;

（2）设定点T&°）,过点7的直线/交椭圆C于P，°两点，若在C上存在一点A,使得直线4P的斜率与直线

的斜率之和为定值，求，的范围.

“2T

【答案】⑴63

（2）t>V6或/v-V6

1Ml=%|咋J=2,在月中，设ZFMF=0

【解析】（1）设X2

|片阊2=1+^2-2^7^COS^=4C2

2

为cos6=1+]-4c又MC=g（^MFX

+MF2

22

--------2-------------,,

片+4+2「GCOS。）=^-+^--。2

MF2+2MF-MF2

22

,苗。2=工+殳一°2（…）-2/_C2=2O2_C2_5=4

222

2〃—C1=9,va2-6,/.c2=3,.\b2=3

二十匚1

所以椭圆°的方程为：63

（2）设'（％，%），'（再，必），°（工2/2）,直线/的方程为x=+

|22

土+匕=1

63-（22+2）/+2^+/2-6=0

x=Ay+t

2at2-6

2也=--，%%=不演二%必+%,%2=%%+t

4/2/—63

4+x2储+2'%/-万+2

(%-乂)•(％-X2)+(%-%)国一再)

设/一再x0-x2(后一占卜(%一9)

2%%-%（为+%）+24必％+。-X。）（乂+%）

210%几2+（2/x0—12）4+4yo（x。—，）

若P为常数，贝产%-12=0,

2工0%4%-0-7)_2%

2

即6=%,而此时N一6)2(x0-/)-，

—y[h<x。<A/6,—V6<一<>/6rzy—

又t,即"J6或，<一而，

/±±曰[

综上所述，，>遥或,<一《,存在点I’"『人使得直线NP的斜率与直线的斜率之和为定值

2yo

xo~f

22

C：4+1=l(a>b>0)

3(2023・陕西商洛•陕西省丹凤中学校考模拟预测)已知椭圆a-Zr的左、右顶点分别为

48,长轴长为短轴长的2倍，点尸在C上运动，且A/BP面积的最大值为8.

(1)求C的方程;

(2)若直线/经过点°(L°),交C于M,N两点，直线分别交直线、=4于。，£两点，试问△/助

与A/QE的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

【答案】⑴164

4

⑵与"QE的面积之比为定值3

【解析】（1）由题意得2a=2x26,即。=26①.

当点尸为C的上顶点或下顶点时，4BP的面积取得最大值,

—x2bxQ=8二

所以2,即“r人=8②.

联立①②，得0=4,6=2.

（2）

△/BZ）与的面积之比为定值.

由⑴可得”（一2，。），*2,。），

由题意设直线/：工=叼+1，"（％，/）川（工2，%）

x=my+1,

位+E=1/2\2

联立1164一'得（4"+1b+8即一12=0

则A=64m2+48（4加2+1）>0

8m12

%+>2=--2^，必>2=一/一

4m+114m+1,

孙%=箝1+%）

所以2^

y=—^--（x+2）

直线4M的方程为%+2,

令x=4,得尤1+2,即（X]+2J

小4,工、

同理可得<，X2-2）.

故A4BD与"QE的面积之比为

s△四:四办

_4必|_4必卜2-2）|_14M（"必T）

=4x心必％-必

SQAQE3丛|%（』+2）||力（町+3）"沙必+3%

13

]（必+》2）一必

/必+]%4

二4x=4x

39~~

5（%+%）+3%3

4

即△/应>与A2°E的面积之比为定值§.

22

£:三+《=1（°>6>0）——

4.（2023•山西大同•统考模拟预测）已知椭圆a6的离心率为2,且直线、=芯+6是

抛物线。2：/=人的一条切线.

（1）求椭圆G的方程;

（2）过点3J的动直线上交椭圆C1于48两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T,使得以

NB为直径的圆恒过定点T?若存在，求出？的坐标；若不存在，请说明理由.

r2

G：--HV=]

【答案】（1）2

（2）存在；（°』）

fy=x+b

【解析】（1）由i/=4x得x?+（26-4）x+/=°

直线V=x+6是抛物线Cz：V=4x的一条切线.所以A=Onb=l

cV2r-X221

—=—na=72Ci:---1-y=1

a2,所以椭圆2

(2)

当直线上与％轴平行时，以45为直径的圆方程为

当直线£与歹轴重合时，以为直径的圆方程为f+/=1

所以两圆的交点为点（°』）猜想：所求的点7为点（°」）.

证明如下.当直线工与x轴垂直时，以为直径的圆过点（°」）

,1

y—kx—

当直线上与X轴不垂直时，可设直线L为：3

k1112左

y=kx--X.+x=——-——

,312-18F+9

x22_i_-16

由|万+'一得（z1842+9卜2―126-16=0,设工（西,必），2（%，%）则18丁+9

-=xx

"•窃=(再/1一1卜(%2,%-=+(必一1)(%1)i2+网

则I

16-16412k16

+一=(1+F)-----x

918左2+9318k2+99

所以而，无，即以N2为直径的圆过点（°」）

所以存在一个定点T,使得以为直径的圆恒过定点T.

》-—I

5.（2023•江苏南京•南京市第九中学校考模拟预测）椭圆E的方程为48，左、右顶点分别为

/（-2,0）,网2,0）,点尸为椭圆£上的点，且在第一象限，直线/过点P

⑴若直线/分别交x,y轴于C,。两点，若PD=2,求尸C的长；

⑵若直线/过点（T"）,力交椭圆£于另一点。（异于点/,B）,记直线4P与直线8。交于点试问点

“是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由.

【答案】⑴20；

⑵点M在定直线x=Y上，理由见解析.

【解析】⑴设尸（%，％），。（。，%）,

22

迎+至=12\2，

则48①，%+(%-%)=4②,

由①②可得£=

y（＞＞。，，患=|%-%|即Ur收

=।y°=4i,PC|=2V2.

1^1|

⑵依题可设直线/的方程为》=叫一1，尸（冲耳），0（%，%）,

x=my-1

22

%+>-1

----1-----1,整理得Q加2+1)/一4〃沙-6=0,

联立方程组〔48

A=16m2+24（2加2+1）>0

4m-6

y=~V,(x+2)y=%(x-2)

直线4P的方程为玉+2,直线8°的方程为％-2

、，一先（丫6r_2yIx2-4y1+2x1y2+4y2

y—I4乙）AQ一—~~r

联立方程组〔9-2,得（国+2）%-（迎-2）必，

因为（再+2）%-（工2-2）弘=x1y2+2y2-x2yi+2y1

=（加%T）%+2%—（my,-1）必+2%=3%+%

22―4%+2不%+4%=2必（my2-1）-4y1+2（my1-1）%+4y2=4myty2-6y1+2y2

.丫_4加%%—6y+2%

°-

4m_-6

由“+%=病工1,得%%得2呻%=-3（%+%）.

*=4〃职%-6/+2%=-6（%+%）_6%+2%=_12%-4%=_4

所以03乂+%3%+%3,+%

故点/在定直线x=-4上.

22A

）+勺=1（。>6>0）—p（J3ol

6.（2023•河南洛阳•模拟预测）已知椭圆C：a2b2的离心率为2,右焦点为㈠‘九A

B分别为椭圆C的左、右顶点.

⑴求椭圆C的方程;

⑵过点0°,°）作斜率不为°的直线/,直线/与椭圆C交于P,0两点，记直线/尸的斜率为匕，直线8。的

%

斜率为公，求证：&为定值；

⑶在（2）的条件下，直线*与直线80交于点M,求证：点M在定直线上.

—Hy=1

【答案】（1）4'

（2）证明见解析

⑶证明见解析

[c百

e=­=—r。

<a2\a=2

【解析】⑴依题可得=6,解得〔0=8,所以

—y=1

所以椭圆C的方程为4-

（2）设尸«，％）,因为直线/过点且斜率不为0,

,2

X+22

所以可设/的方程为"3+1,代入椭圆方程77+；；一得（「+4）/+2）-3=0,

2t3

其判别式A=4L+12（广+4）＞。，所以i-E2一三

y+为23

=%t卯1%=一（必+%）

两式相除得M必3,即2’」

因为48分别为椭圆C的左、右顶点，所以点A的坐标为（一2,0）,点3的坐标为（2，°）,

%%

k==k2

所以'国+2%+3,%2—2夕2—]

3（—+%）

K="（优f=2一第=必+3为=]_

左2%（物+3）3（%+%）1,3%+9%3

左11

（3）由（1）知幻3,设匕=机，则e=3加，

所以直线/P的方程为尸妙+2加，直线时的方程为y=3mx-6my

y=mx+2mJx=4

可得[y=6加

联立y=3mx-6m

所以直线AP与直线BQ的交点M的坐标为（46加）,

所以点放在定直线x=4上.

7.（2023•北京海淀・中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知曲线°：（5一"面+（加-2）y2=8（机eR）.

（1）若曲线C是椭圆，求力的取值范围.

（2）设机=4,曲线C与y轴的交点为4,2（点/位于点2的上方），直线/：了=履+,与曲线C交于不同的

两点M,N.设直线/N与直线相交于点G.试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若

不是，说明理由.

U5

【答案】⑴r

（2）在定直线〉=1上，理由见详解.

5-m>0

m-2>0

I,5

5一…一2,解得

【解析】（1）因为曲线C是椭圆，所以

（2）是在定直线＞=1上，理由如下:

当”=4时，此时椭圆C：/+2/=8,设点N（再,乂）,M（9,力）5"±2）与直线/联立得

（1+2左2*+16而+24=0

△=（16左丫一4x24（1+2左2）>0-左2>,16k24

Xi+x9=----------------7,X.巧=----r

2,且121+2k2'121+2左2

x+x=-l/ax

所以3-

J/AR/no'//N：y_2=^-----x,lBM:y+2=^-----x

易知/（0,2）、以0-2）,贝u占x?

3

一］（再+X2）+2X2

>一2_（%一2）•%_kxxx2+2X2

y+2（%+2）・再kxx+6x3

12x一］（再+%）+6/

两式作商得是定值,

故G在定直线歹二1上.

22

E:=-=1(a>0,6>0)

8.(2023•河南•襄城高中校联考三模)设双曲线b',的左、右焦点分别为耳居,

闺闵=26，且£的渐近线方程为•"一±5.

(1)求£的方程;

(2)过《作两条相互垂直的直线4和4,与5的右支分别交于4,C两点和3,。两点，求四边形4BCD面

积的最小值.

【答案】(1)4-

32

⑵9

221

E:=一4=l(a>0,6>0)y=±—x

【解析】(1)由题意，得«b~的渐近线方程为a

xbi

y=+——=—

因为双曲线E的渐近线方程为2,所以。2,即。=26,

又因为内闾=2而工庐=2病7=2石，所以方=1,则。=2,

X?21

—y=1

故E的方程为4

(2)根据题意，直线'I%的斜率都存在且不为0,

设直线/"=碓一石）/k一"到其中让0,

/7闪>!_£>彳-<k-<A

因为4,/2均与E的右支有两个交点，所以L2,k2,所以4

7—y=]（1_4*）%2+8舟2、_20*_4=0

将4的方程与4联立,可得''

一8限2-20左24

设/（X],必）,。（工2，%），则%+尤2i-4k2,X'Xil-4k2

222

\AC\=-^（xj-x2）+-y2）=71+P"|xj-x21=yjl+kJ（尤i+z）2-4占马

所以

f-8限2Jx*…4A/1+左2_4（1+K）

=A/1+k2

1-4F\l-4k24/一1

1..4（F+1）

用k替换k,可得।4-E,

1..,,141+F4^2+lA2+l

S=-\AC\-\BD\=——J=8-（、/--v

所以ABCD2111124^--l4-H（4A:21-1）（4-F）

A:2=f-l,Ze|—,5|

令”《+1,所以14人

q9〜T]_8>32

ABCD~.-4/+25—25.14+""一fln29-9

则t干I2）4,

1J_

当力-5,即％=±1时，等号成立，

32

故四边形/BCD面积的最小值为9.

22

C•土-匕=1

9.（2023•湖北襄阳・襄阳四中校考模拟预测）己知双曲线”/的离心率为夜，点片（-c,°）,

乙©0）分别是其左右焦点，过点片的直线交双曲线的右支于P,4两点，点尸在第一象限.当直线P/的斜

率不存在时，户a=2拒.

⑴求双曲线的标准方程.

（2）线段尸片交圆。2：（龙+。）2+/=4/于点瓦记APBB,A/名/，VP4尸1的面积分别为s”.S,求

SS

---1----

E邑的最小值.

【答案】⑴》2一〉2=2c

⑵2^5+2

22

【解析】（1）解：因为双曲线1//的离心率为0,

所以,一之一后，又过点名的直线产/的斜率不存在时，忸H=28,

—=2A/2

所以«

解得。=b=6,

22c

所以双曲线的方程为：x-y=2；

(、盘_式=1—.―.

(2)设P(xQ),则/b2，且赧=",

22

M=J(X|+C『+J?=J(xt+c)+^—b

所以Va，

由双曲线定义得M一圈=2a,

所以照|=ex「a,则附=附|-2及=|明

号_四\PA\|P^|\PA\exx+a2+1

所以每=网,同=同.忸可=不7T

_£+A=A1l+2+l=-+2+2>2.p+2=2不+2

所以，邑2X

当且仅当4=e时，等号成立,

5S

所以W‘2的最小值2J5+2.

22

E:=l（a>0,Z>>0）cn

10.（2023・贵州•校联考模拟预测）已知双曲线«6的一条渐近线方程为x-Y3y=0,

焦点到渐近线的距离为L

⑴求E的方程；

⑵过双曲线E的右焦点厂作互相垂直的两条弦（斜率均存在）"、C7）.两条弦的中点分别为尸、Q,那

么直线尸。是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.

X22,

—y=1

【答案】（1）3

⑵直线尸。过定点6°）

【解析】（1）设双曲线的焦点坐标为（±c'°）,

=旦

依题意渐近线方程为X-0=°,即'-3X,

（2）由（工）可知右焦点/（2，°）,

设直线狐：％=町+2（〃*0）,《（士,弘），

x=ny+2

由联立直线与双曲线13

-3)/+4ny+1=0士后,A=I2/+12>0,

化简得

lx——y+2

又・.・CQ_L48,贝|rnn

_f6n2—2n)

-2n2n

k：3〃2_1»_3_2n

PQ—6而6.而不

3〃2一1H2-3,

,2n(6n2)2n

*e•ln-y=-^~-X—「--r-

P3n-l3n-l

(x-3)

化简得

故直线尸。过定点（3，°）.

C:「+J=l（a＞，＞0）

11.（2023•福建福州•福建省福州第一中学校考模拟预测）已知椭圆。b2）的左、右焦点

分别为耳，月，A,8分别是C的右、上顶点，且=。是c上一点，085。周长的最大值为8.

（1）求C的方程；

（2）。的弦。E过耳，直线NE,工。分别交直线x=-4于河，N两点,尸是线段的中点，证明：以尸。

为直径的圆过定点.

【答案】⑴43

⑵证明见解析.

【解析】1）依题意，/+/=7,

□叔卬周长，叫+|Z阅+4=|。同+2"|。耳|+.4怛4|+3”4.,当且仅当及耳。三点共线时等号成立,

__I_]

所以/=46=3,所以c的方程43~

（2）设。（冷必），石（工2，p2）,直线D£:x=my-1,代入4+3I整理得0加+4”-6殴一9二0

6m-9

A=36/+36（3/+4）＞0,M+%=#百=彳百，

皿产上（＞2）/一4,工］小,且］

易知七-2,令x=-4,得I国-2人同得I%-2人

小7广+一］

从而中点II।2

+J；J；=0

(x+4)(x-x1)+L+3f^-^Z7^(-i)

以尸。为直径的圆为(X21〃

由对称性可知，定点必在X轴上,

（工+4）（1_再）-3%必।%=0

项—2X?—2

令k°得,

%+%=M+%=2加%%-35+%）

再一2x2-2myx-3my2—3"为必一3加（必+%）+9

一]8加18加

3加2+43加2+4_-36m

-9加2_18/+936

3m2+43m2+4

所以（x+4）（x-xJ+3孙=0即x+（4—%）x—4七+3%必=0因为X]=»2M_]

所以/+（5_叼|）彳_叩1+4=0,gp（x+l）（x-my1+4）=0

解得x=T，所以圆过定点㈠⑼.

12.(2023•江苏徐州•校考模拟预测)已知抛物线E：V=4x,过点尸(U)作斜率互为相反数的直线加，”,

分别交抛物线E于48及CO两点.

(1)若9=3而，求直线NB的方程;

(2)求证：/CAP=/BDP

【答案】⑴户,

⑵证明见解析

【解析](工)设"01'乂)，5(%2/2),...尸(1,1),..产=(1一%2」一%)，24=(七一1,弘T),

J3(l-x2)=x1-1J%]=4-3X2

..PA=3BP.13(1一%)=必T1%=4-3%

•，••，•

又...疗=4再，...(4-3%)2=4(4-3%),即3y"8%=-%，

又...£=4Y2,...4y；-8%=0,%=0或%=2,

当%=0时，/=°,...玉=4,必=4；

当归=2时，x?=l,...西=1,必=-2,此时直线的斜率不存在，舍去，

.../(4,4),8(0,0),；.直线的方程为：＞=x.

(2)设直线/3：尸"(工-1)+1,则直线y=-k(x-l)+lj

设4%,%)，次%,%),。(工3，%),。(无4，”)，

」='T)+1

y=k(x-l)+l

94444

2即卜=4xy——y+——4=0凹+%=7%歹2=——4

由y=4x则kk，所以k「k

又」*

|/P|.|3P|=11+5卜x_1)(%=+_(乂+%)+l|=(l+"J+l

\CP\-\DP\

,同理可证：

\AP\\CP\

._\AP\-\BP\=\CP\-\DP\^._\DP\~\BP\；

又...NCPA=NBPD,...△4PCsBPD,...NCAP=NBDP

22

C:二*=l（a>0,b>0）

13.（2023•广东梅州•统考三模）已知双曲线编夕的右焦点，右顶点分别为尸，A,

现叫，朋=1,点M在线段相上，且满足忸"|=网必，直线0加的斜率为1,。为坐标原点.

（1）求双曲线C的方程.

（2）过点厂的直线/与双曲线C的右支相交于尸，2两点，在无轴上是否存在与尸不同的定点E,使得

忸外.0］二忸0|便尸|恒成立？若存在，求出点石的坐标；若不存在，请说明理由.

X———

【答案】（1）3

唔,。

⑵存在,

【解析】⑴设。〜"“（。叫，所以尸（G。），，（。⑼,B（0，b）,

因为点〃在线段上，且满足忸用退阿

V3+1=1

V3b_也

因为直线。加的斜率为1,所以G+1，所以。一

AF=i

因为\\,所以解得。=1,b=也，c=2

X———=]

所以双曲线C的方程为3.

(2)假设在x轴上存在与厂不同的定点心使得忸斗怛鱼=怪°卜产孔恒成立,

当直线/的斜率不存在时，E在x轴上任意位置，都有忸尸“尸。『忸2""[

当直线/的斜率存在且不为0时，设“日°),直线/的方程为*=@+2,

一旦3,

直线/与双曲线C的右支相交于尸，°两点,则33且％*0,

设尸(士,%)，

//-1

<3

由「=@+2,得（3左2—i）/+i2@+9=0

3左2-1/0,A=36左2+36>0,

12k9

所以

EP_FP

因为忸=忸。卜怛以，即£。尸。，所以EF平分NPEQ,嚷+%=0,

_JL+^^=0%।%;0

有再一,x2-t,即立+2-£ky2+2-t,得2攸必+（27）（必+%）=0,

C79人/12左、八1

所以3片-I\3k--1）,由七0,解得2.

综上所述，存在与尸不同的定点/使得忸斗园=但"尸|恒成立，且42'°]

22

C:--+=1（。＞Z）＞0）

14.（2023•江苏扬州•统考模拟预测）已知椭圆«•b-的左顶点为A,过右焦点尸且平行于

了轴的弦尸°=//=3.

（1）求△,尸°的内心坐标；

⑵是否存在定点。，使过点。的直线/交C于M，N,交PQ于点R,且满足施•而=砺•而？若存在，

求出该定点坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）14J

（2）存在定点/（4,°）

a2=b2+c2,=a+c=3a=2,b=V3,c=1

【解析】（1）a

22

土+匕=1

•••椭圆C的标准方程为43,

pfl,112p,-1p（-2,0）AP="PF=）

不妨取I2JI2J，则22.

4

因为△/尸。中，AP=AQy所以△/尸。的内心在x轴，设直线尸？平分乙尸0,交x轴于7,则T为

ATAPATAT=^-

△,尸。的内心，且万PF3-AT,所以V5+1,贝1JI4）.

（2）•••椭圆和弦尸。均关于x轴上下对称.若存在定点，则点。必在x轴上.,•设

y=k（x-t）

＜《+d=i

当直线/斜率存在时，设方程为y=-x-），ME/J，N（X2，%）,直线方程与椭圆方程联立〔43~

（4左2+3）x?-8『仅+4（左2/-3）=o

消去了得

8Et__4产_3）

二48（左2+3—左2户）＞0,玉+x

A24左2+3'*"-442+3①

则

•・•点A的横坐标为LM、R、N。均在直线/上，MRND^MD-RN

（1+公）（1_再）«—々）=（1+后2）«_项）（工2-1）

、8Et4仔/_3）

2/—（1+/）（M+x,）+2Mx=02t—（1+/）------F2x----------=0

V127124^2+34左2+3整理得才=4,

因为点。在椭圆外，则直线/的斜率必存在..•.存在定点A"。）满足题意

15（2023・广东佛山・统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点°为坐标原点，M（T,0）,N（l,0）,。为线

\PM\_PN

段MN上异于M,N的一动点，点尸满足I。叫QN

(1)求点尸的轨迹£的方程；

(2)点4c是曲线E上两点，且在X轴上方，满足/M//NC,求四边形/跖VC面积的最大值.

22

X-1

【答案】⑴43

⑵3

..\PM\_PN2

【解析】(1)「°叫QN,.•.卢切=2|0必，俨叫=2|。”

:.\PM\+|PN|=2(\QM\+|°M)=2=4

二尸点轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，

22

三+乌=1(。〉6〉0)222

222

设椭圆方程为。6,贝IJQ=2,C=1,,.b=a-c=3f

22

工+匕=1

二点尸的轨迹E的方程为：43.

(2)连接C。，延长交椭圆E于点8,连接BM,AN,CM,

由椭圆对称性可知：因引叫又...四边形为平行四边形,

:.CN//BM,\CN\=\BM\^S&BOM=S&CON且4M,8三点共线

二.四边形AMNC的面积S=S/CM+S.COM+S«CON=^^ACM+^^COM+^^BOM=S^ABC,

设直线48:x=my-l,/（再,%）,8（%,%）（%>0）,

[22

土+匕=1

43

x=my-1得.（3加2+4）>2_6加y-9=0

由

6m9

必+歹2必歹一

3m2+42=3m2+4

sll+m2-^48（3m2+3）120+加之）

•'•\AB\=Vl+m24（"+为了一4%%=

3m2+43m2+4,

又/M//NC,.•.点C到直线43的距离即为点N到直线45的距离,

.•.5=3朋4=1241+机2

2

d=.3m2+4

••・点N到直线AB的距离Vl+m2,

h+1_4_________।------------------

加'IS=12\—^-=12O=4A/3-J-4+-=4A/3-+J

设3加2+4=%,则3,此4,Y，V3/vtt丫Q2）4,

—1S1——1=—1

又,-4,二.当，4,即％=°时，四边形NMNC面积取得最大值，最大值为3.

E:=+4=l（a>6>0）

16.（2023・四川成都•成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆6-过点

且左焦点为百HM.

⑴求椭圆£的方程；