高考数学解答题提高一轮复习：构造函数法解决不等式问题（典型题型归类训练）（学生版+解析）

专题04构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)

目录

一、必备秘籍........................................................1

二、典型题型........................................................2

题型一：构造歹(x)=x"/(x)或/(x)=/^("eZ,且"0)型...............2

题型二：构造%x)=<f(x)或E(x)=4^(〃eZ,且此0)型..............3

e

题型三：构造*x)=/(x)sinx或2功=幺立型..........................12

sinx

题型四：构造尸(x)=/(x)cosx或/(%)=以0型..........................4

cos%

三、专项训练.....................................................4

一、必备秘籍

1、两个基本还原

①/'(x)g(x)+/(x)g'(x)="(X)g(X)r②)(X)g(：)—'X)g'(X)=[弋]，

[g(x)rg(o

2、类型一：构造可导积函数

①enx[f'(x)+7矿(创=[e""(x)r高频考点1：ex[f'(x)+/(%)]=[e"(x)T

②/t[矿(x)+叭x)]=[x"(x)y

高频考点1：W'(x)+/a)=H(x)r高频考点2x[xf\x)+2f(x)]=[x2f(x)]'

③尸(x)J(x)=[与r高频考点1；尸(X)["X)=[答了

eeee

④V'(x)—7炉(X)=[/(x)了

一xn+xn

着师生上,矿(无)—/(%)「/(初，一切生上、矿⑴一2/(%)/(x)

局频考点1：」」=图频考点2J、Frr

XXXX

⑤f\x)sinx+/(x)cosX=[/(%)sinx]r

⑥ff(x)cosx-/(x)sinx=[/(x)cosx]r

序号条件构造函数

1尸(x)g(x)+/(x)g'(x)>0F(x)=f(x)g(x)

2八x)+/(x)<0F(x)=exf(x)

3f'(x)+nf(x)<0尸(X)=emf(x)

4xf'(x)+/(x)>0F(x)=xf(x)

5矿(x)+2/(x)W0尸(x)=xRx)

6xf'(x)+nf(x)>0F(x)=xnf(x)

7f\x)sinx+/(x)cos%>0F(x)=/(x)sinx

8/'(x)cosx-/(x)sinx>0F(x)=/(x)cosx

3、类型二：构造可商函数

①八X)-匹)gr(x)-/(x)/(X)

nxLnxJT/八7xL八%」

eeee

小4•'(％)-7炉(x)_r/(x)v

U〃+i—LY〃」

JiJi

一期京上，叶(工)一/(工)/(x)—酬主上cV(x)-2/(x)/(%),

局频考点1：\rv身频考点2：」J=

X"XXX

③r(x)sinx-/(x)cosx=1/叫,

sin2xsinx

fr(x)cosx+f(x)sinx_f(x)

◎----------------------L-----J

COS-XCOSX

二、典型题型

F(x)=/W

题型一：构造4x)=x"(x)或'xn(AieZ,且〃wo)型

1.(2023下•重庆荣昌•高二重庆市荣昌中学校校考期中)定义在R上的偶函数〃x)的导函数为尸(力，且

当x<0时，V'(x)+2〃x)<0.则()

A.小>坐B.9/(3)>/(1)

4e

C.4/(-2)<9/(-3)D.牛>2^1

2.（2023下,四川绵阳•高二盐亭中学校考阶段练习）若函数y=〃x）满足矿（%）＞-，⑺在R上恒成立，

且贝！J（）

A.af（b）＞bf（a）B.af（a）＞bf（b）

C.af^a）＜bf[b}D,af（b）＜bf（a）

3.（2023下•陕西咸阳•高二统考期中）已知定义在R上的函数/（尤），其导函数为尸（力，当x＞0时，

罚（另一〃力＜0,若a=2〃l）,b=f（2）,则“，b,。的大小关系是（）

A.c＜b＜aB.c＜a＜bC.a＜b＜cD.b＜a＜c

4.（2023•甘肃张掖•甘肃省民乐县第一中学校考模拟预测）已知/（X）为偶函数，且当xe[0,+«）时，

+才（x）＜0,其中尸（x）为了⑺的导数，则不等式（1-耳〃彳-1）+2对'（2#＞0的解集为.

5.（2023上•黑龙江•高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知了（无）是定义域为（y,0）U（0,y）的偶函数,

且〃2）=0,当x＜0时，V，（x）-/（x）＞0,则使得〃x）＞0成立的x的取值范围是.

p（x）=/⑴

题型二：构造％x）=e'"（x）或一浮（"GZ,且〃W0）型

1.（2023上•福建莆田•高三莆田一中校考期中）已知定义域为R的函数/（x）,其导函数为广（力，且满足

r（x）-/（x）＜o,/（o）=i,则（）

A.ef（-l）＜lB./（l）＞eC.fD./（l）＞Vef^

2.（2023上•四川内江•高三期末）己知/''（%）是函数的导函数，，£|=2e,其中e是自然对数的底数，

对任意xeR,恒有尸（x）+2〃x）＞0,则不等式〃力―2e23＞。的解集为（）

-0+co

A.（F,e）B.[°5~|C.Ip]D.（e,+oo）

3.（2023下•河南洛阳•高二统考期末）已知「（%）是定义在R上的函数/（力的导函数，对于任意的实数元,

都有〃尤）=勺0,当x＞0时，f（x）+f'（x）＞0.若〃a+l）Ze2"/（3a）,则实数a的取值范围为（）

11]「1厂

A.B.

L24J[_42_

（1]「1[（1]「1）

C.-QO,--」-,+ooD.-QO,--U-,+oo

I2」14JI4」[2J

P(x\-

题型四：构造尸(%)=/(%)cosx或cos%型

1.(2023•全国•模拟预测)已知定义在(-若]上的函数小)满足=当天的仁]时，不等式

/(尤)$加+/(%)8沫<0恒成立(/(x)为了(尤)的导函数)，若acosl=〃-l),6cosg=/(-ln疵)，

则()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

2.(2023下•山东聊城•高二校考阶段练习)定义在(0,2上的函数/(x),己知尸(%)是它的导函数，且恒有

cosx-/'(x)+sinx-/(犬)<0成立，则有()

C.尼卜可0D.何电(回中

三、专项训练

一、单选题

1.(2023上•上海徐汇•高三上海市第二中学校考期中)己知定义在R上的函数y=/(x),其导函数y=/〈x)

满足：对任意xeR都有/(尤)</'(",则下列各式恒成立的是()

A.f(l)<e-f(0),f(2023)<e2023-f(0)B./(l)>e-/(0),/(2023)>e2023./(0)

C./(l)>e-/(0),/(2023)<e2023-/(0)D./(l)<e./(0),/(2023)>e2023•/(0)

2.(2023•河南开封•统考三模)设定义在(0,+s)上的函数〃尤)的导函数广(x),且满足对''(X)+2"X)=¥，

/(e)=^.则/,]、[sin.、/(tan：的大小关系为()

A./Qp[sin|]</[tan^B.f[sm^<f[^</[tan^

C.小nJD.小

3.(2023下•云南保山•高二统考期末)已知函数丫=〃尤)是定义在R上的奇函数，且当xe(3,0)时不等

式〃x)+#'(x)<0成立，若a=303./(3°3),人=。0gli3)"(log.3),c=logl9-fflog.A贝心，b,c的大

3\37

小关系是()

A.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c

4.(2023•全国•高三专题练习)若函数y=/(x)在R上可导，且满足犷'(力+〃尤)>0恒成立，常数a,b(，>6),

则下列不等式一定成立的是()

A.af(a)>bf(b)B.af(b)>bf^a)

C.af^a)<bf(b)D,af(b)<bf(a)

5.(2023•全国•高三对口高考)已知函数y=/(x)是定义在R上的奇函数，且当尤式y,0)时不等式

f(x)+#'(x)<0成立，若“=3°3./(3°3),b=(logjt3)"(log)I3),c=log3„log3j,则。,瓦。的大小关系是

()

A.c>b>aB.c>a>b

C.a>c>bD.b>a>c

6.(2023•全国•高三对口高考)已知/⑺是定义在(0,+8)上的非负可导函数，且满足刃/(%)40,对

任意正数〃、b,若a<b,则必有()

A.<bf{d)B.bf(a)<af(b)

C.af{a)<f(b)D.bf(b)<f(a)

7.(2023•云南•校联考三模)设函数〃尤)在R上的导数存在，且矿+则当㈤时，()

A.qf(b)<好(a)B.xf^x)+b<bf(b)+x

C.xf^x)+a<af(a)-\-xD.qf(b)>bf(a)

8.(2023下•湖北•高二校联考期中)已知函数/(©的定义域为R,7'(%)为/(九)的导函数，且/(%)+/(力>。，

则不等式(》+2)〃彳+2)=2/1)的解集是()

A.(-2,1)B.(T,-2)D(1,+8)

C.-l)u(2,+◎D.(-1,2)

9.(2023下•湖北武汉•高二武汉市洪山高级中学校联考期中)设函数的定义域为R,尸(%)是其导函

数，若3/(x)+T(x)>0,/(1)=1,则不等式〃x)>e33的解集是()

A.(0,+8)B.(L+oo)C.(-8,0)D.(0,1)

10.(2023下•湖北武汉•高二华中师大一附中校考期中)〃尤)是定义在R上的奇函数，当x>0时，有

矿(x)+2〃x)>0恒成立，则()

A./(1)>4/(2)B./(-1)<4/(-2)

C.4〃2)<9〃3)D.4/(-2)<97(-3)

专题04构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)

目录

一、必备秘籍.................................................................1

二、典型题型.................................................................2

题型一：构造歹(x)=x"/(x)或/(%)=△?(”eZ,且〃wO)型..................2

题型二：构造%x)=<f(x)或E(x)=4^(〃eZ,且此0)型.................3

e

题型三：构造*x)=/(x)sinx或2功=幺立型...............................12

sinx

题型四：构造尸(x)=/(x)cosx或/(%)=以立型...............................4

cos%

三、专项训练.............................................................4

一、必备秘籍

1、两个基本还原

①/'(x)g(x)+/(x)g'(x)="(X)g(X)r②)(X)g(：)—'X)g'(X)=[弋]，

[g(x)rg(o

2、类型一：构造可导积函数

①enx[f'(x)+7矿(创=[e""(x)r高频考点1：ex[f'(x)+/(%)]=[e"(x)T

②x"T[xf'(x)+nf(x)]=[x"f(x)]'

高频考点i：#'(x)+/a)=wa)r高频考点24v,w+2/(x)]=[x2/«r

八…X)以马r(x)-/(x)/(X)

eeee

①矿(x)-叭X)=[7(x)了

一xn+xn

高频考点1:矿⑴/⑴=〔也了高频考点2且迎产。=[/*]，

XXXX

⑤f\x)sinx+/(x)cosX=[/(%)sinx]r

⑥f\x)cosx-/(x)sinx=[/(x)cosx]r

序号条件构造函数

1尸(x)g(x)+f(x)g'(x)>0F(x)=f(x)g(x)

2r(x)+/(x)<oF(x)=e^(x)

3f'(x)+nf(x)<0F(x)=emf(x)

4xf'(x)+f(x)>0F(x)=xf(x)

5xf'(x)+2f(x)<0歹(x)=xRx)

6xf'(x)+nf(x)>0F(x)=xnf(x)

7/'(x)sinx+/(x)cosx>0F(x)=/(x)sinx

8ff(x)cosx-f(x)sinx>0F(x)=f(x)cosx

3、类型二：构造可商函数

f\x)-nf{x}f(x)高频考点1:上立一于(x)[/(,,

①小=〔小〕

ee

xf(x)-可⑺=f(x)

②n+1Ln」

JiJi

矿(x)-2/(x)"(x)

高频考点1：矿5)](,=①必'高频考点2：3=[2]

XXXX

/'(x)sinx—/(x)cosx/(x),

③.=L.J

sin2xsinx

r(x)cosx+/(x)sinx=1/(x)了

⑥

COS2XCOSX

二、典型题型

p(x\=>(x)

题型一:构造％x)=x"(x)或X"(〃ez,且〃wo)型

1.(2023下•重庆荣昌•高二重庆市荣昌中学校校考期中)定义在R上的偶函数/(x)的导函数为尸(x),且

当x<0时，犷'(x)+2〃x)<0.则()

A.迪>翌B.9/(3)>/(1)

4e

C.47(-2)<9/(-3)D.迫>匕丹

9e

【答案】D

【详解】由当x<0时，V'(x)+2/(x)<0,

得//(力+24(x)>0,

设g(x)=f/(x),则(x)=(x)+(x)>0,

所以g(x)=d〃x)在(-8,0)上单调递增，

又函数”X)为偶函数，

所以g(x)=//(x)为偶函数，

所以g(X)=在在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，

所以g(e)<g(2),即e2/(e)<22/(2),所以竽<理，A选项错误；

g(3)<g(l),即32"3)<『〃1),所以9〃3)<〃1),B选项错误;

g(—2)>g(—3),BP(-2)2/(-2)>(-3)2/(-3).所以4〃-2)>9〃-3),C选项错误；

g(e)>g(3)=g(—3),即e2〃e)>(-3)2〃-3),所以迪D选项正确；

故选：D.

2.(2023下•四川绵阳•高二盐亭中学校考阶段练习)若函数y=满足矿(x)>-/(x)在R上恒成立,

且a>b,贝!J()

A.af(b)>bf(a)B.af(a)>bf(b)

C.af(a)<bf(b)D.af(b)<bf(a)

【答案】B

【详解】解：设g(x)=^(x)，则g'(x)=x『'(x)+f(x)>0,

由矿(x)>-f(x),可知苗(x)+〃x)>0,所以g(元)在R上是增函数，

又a>b,所以g(a)>g(b),即"(a)>妙0),

故选：B.

3.(2023下•陕西咸阳,高二统考期中)已知定义在R上的函数/(尤)，其导函数为尸(龙)，当x>0时，

才(同一〃力<0,若a=2〃l),b=f(2),c="g),则“，b,。的大小关系是()

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

【答案】D

【详解】令g(x)=&,彳«—,0)50,口)，

X

则g，(尤)=

,/当x>0时，V'(九)一/(九)V。，

即g'(M<。，g(力在(0,+8)单调递减，

‘限半咱,

即/(2)<2〃1)<4/出，

b<a<c.

故选：D.

4.(2023•甘肃张掖•甘肃省民乐县第一中学校考模拟预测)已知“X)为偶函数，且当xe[0,y)时，

f(x)+xf\x)<0,其中尸(x)为的导数，贝|不等式(1一司/(了-1)+2犷(22>0的解集为.

【答案】(一8,-1)

【详解】令函数g(x)=V(x),当xe[0,心)时，g，(x)=/(x)+#(x)<0,即函数g(x)在[0,+s)上单调递减，

由〃尤)为偶函数，得g(-x)=-4(r)=-#(*)=-g(x),即函数g。)是奇函数，于是g(x)在R上单调递减，

不等式(1一x)/(x-l)+2对(2x)>0o2xf(2%)>(x-1)/(x-1)og(2x)>g(x-l),

因此2x<x7,解得x<-l,所以原不等式的解集是(f,-I).

故答案为：

5.(2023上•黑龙江•高三黑龙江实验中学校考阶段练习)己知〃尤)是定义域为(y,0)U(0,y)的偶函数,

且"2)=0,当x<0时，W(x)-〃x)>0,则使得〃x)>0成立的x的取值范围是.

【答案】(―吗―2)"2,+8)

【详解】记g(x)=3,贝ijg'(x)==⑺；,

XX

故当xvO,才⑺-〃x)>0,所以g'(x)>0,因此g(x)在(—8,0)上单调递增，

又当0)u(0M)时，g(~x)=，(T)==_g⑺,

-x—x

因此g(无)为(-8,o)u(o,y)奇函数，故g(无)在(0,+8)上单调递增，

又g(2)=^^=0,因止匕当x<—2和0<x<2时，g(x)<0,

当一2Vx<0和x>2时，g(x)>0,

因止匕〃x)=xg(x)>。，即可得x<-2和x>2,

故/'(x)>0成立的x的取值范围是(t,-2)"2,+8),

故答案为：(t,—2)u(2,+e)

p(x\=/(X)

题型二：构造%x)=e'"(x)或一浮(neZ,且"0)型

1.(2023上•福建莆田•高三莆田一中校考期中)已知定义域为R的函数“X),其导函数为尸(x),且满足

r(x)-/(x)<o,/(o)=i,则()

A.e/'(-l)<lB./(l)>eC.五/(J

【答案】C

/⑺一“尤)

【详解】令g(x)=驾，则g，(x)⑺，

v7exe

因为尸(x)-〃x)<0在R上恒成立,

所以g'(x)<0在R上恒成立，故g(x)在R上单调递减,

g(-l)>g(O),即绰1=仪_1)>4=1,故A不正确;

ee

g⑴<g(o),gpZW<ZM,gp/(l)<e/,(o)=e,故B不正确;

ee

/

g[£|<g⑼，Buyj</(o)_1,即故c正确；

g]£|>g⑴，即四,即〃1)<八/(£|,故D不正确；

故选：D

2.(2023上•四川内江•高三期末)己知尸(无)是函数/⑴的导函数，/][=2e,其中e是自然对数的底数,

对任意xeR,恒有/("+2〃尤)>0,则不等式〃力―2e22>。的解集为()

A.(f,e)B.18,；]C.D.(e,+oo)

【答案】C

【详解】依题意，令函数g(%)=e2x/(x),xeR,求导得g'(%)=e2*"<%)+2/(%)]>0,

则函数g(x)在R上单调递增，-2e22>0oe2VW>2e2,

而/(g)=2e,则g(g)=e"(g)=2e2,因此有g(x)>g(；),解得无>g,

所以原不等式的解集为(g,+s).

故选：D

3.(2023下•河南洛阳•高二统考期末)已知尸(x)是定义在R上的函数/'(x)的导函数，对于任意的实数尤，

都有当x>0时，/(x)+r(x)>0.若〃a+l)Ne2*V(3a),则实数0的取值范围为()

e

111「1「

A.B.一-

L24j|_42_

(1]「1[(1]1

C.l-oo,---,+ooID.l-oo,--U—,+00

2

【答案】B

【详解】解：因为〃切=勺4，所以与0=eT(x)=ef〃r),

令g(x)=e*/(x),则g(-x)=g(x),

所以g(无)为偶函数，

当尤>0时，/(x)+r(x)>0,

所以g'(x)=e[〃x)+/'(x)]>0,

所以函数g(x)在(0,+动上单调递增，

根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知g(x)在(-8,0)上单调递减，

因为〃a+l)Ne*V(3a),

所以e"+&(a+l)Ne3"/(3a),

所以g(a+l)Zg(3a),即卜+电3a|,即(a+1)&9a②，

l|J8A2-2a—1<0>则(4a+l)(2a—1)<0,

解得-;Vawg.故数a的取值范围为：一廿

故选：B.

4.(2023上•新疆伊犁•高三奎屯市第一高级中学校考阶段练习)定义在R上的函数/(x)满足/(力+/(力>0,

且有〃3)=3,则〃x)>3e3T的解集为.

【答案】(3,内)

【详解】设/(X)=〃X)•e*,则9(x)=r(尤)e+〃x).e*=e[〃x)+((x)],

〃x)+r(x)>。，

F'(x)>0,

二厂(x)在R上单调递增.

又“3)=3,则F⑶=〃3>e3=3e3.

V〃句>3氏等价于/(力/>303,即P(x)>尸(3),

二x>3,即所求不等式的解集为(3,”).

故答案为：(3,”).

5.(2018上•江西赣州•高三统考期中)函数“尤)的定义域和值域均为(0,+助，/⑺的导函数为广(%),

且满足/(x)<f\x)<2/(x),则；的取值范围是.

【答案】(e-2,e-')

【详解】设旦⑴=竽，则g，(x)J，⑺丁⑺〉。

g(x)在(0,+功上单调递增，所以g(2018)<g(2019),

/(2018)/(2019)/(2018)1

；

、le20i8泮9"2019)e

令〃(》)=",则〃⑺

㊀xex

二/z(x)在(0,+功上单调递减，所以〃(2018)>7/(2019),

“2018)>/(2019)7(2018)

403640382

ee/(2019)e

/(2018)17(2018)1

不上，“2019)£□f(2019)7,

故答案为：(e』eT)

p(x)=/(X)

题型三：构造网x)=/(%)sinx或sinx型

1.(2023下•四川成都・高二期末)记函数f(x)的导函数为了'(X),若Ax)为奇函数，且当时恒

有/(x)cosx+/'(x)sinx＞。成立，则()

【详解】令g(x)=f(x)sinx,则g'(x)=f(x)cosx+f'(x)sinx,

当xe]-1■,()卜寸恒有/(x)cosx+/(x)sinx>0,所以g'(x)>0,

则g(x)=〃x)sinx在1-1■,()]上单调递增，

所以♦-，贝!1—，选项A错误;

2

，则_1/（一

g>8，即/,选项B正确;

,则,又了（无）为奇函数，所以,选项C错误;

由,选项D错误;

故选：B

71

2.（2023•青海海东・统考模拟预测）已知尸（%）是奇函数/（尤）的导函数，且当xw0,加时,

/(x)+/f(x)tanx>0,则()

【答案】A

【详解】当0<x<?寸，cosx>0,则由〃尤)+/'(x)tanx>。，得了(x)cosx+r(x)sinx>0；

7T

当一＜了＜»时,cosx<0,则由/(x)+/'(x)tanx>0,得/(%)8$%+/'(%,111%<0.

2

令g(%)=〃%)sin%,则g1x)=/(x)cosx+r(x)sin%,

故g（X）在（。，^上单调递增，在（5,万）上单调递减.

又/（X）是奇函数，所以g（x）=/（x）sinx是偶函数,

3.(2023上•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习)定义在卜号0卜上的奇函数的导函数为

f\x),且当xe]o，S时，/(x)tanx-/(x)>0,则不等式/(x)<2„inx的解集为,

【答案】W[%)

【详解】令/。)=幺乃，因为了(X)是定义在(。,弓]上的奇函数，

sinxI27<2JJR。1

贝”(3铛=上=/”

sin(-x)-sinxsin%

所以尸(X)为偶函数.

当苫已［。,5)时，sinx>0,cosx>0,

由已知f'(x)tanx-/(x)>0,

所以9⑴=八"—=cosx(rwtanx./w)>o,

sinxsinx

则F(无)在/)上单调递增，

由/(%)<2/弓)sinx可化为<——

6smxsin工

6

即厂(%)<F(―),得0<%<不；

/(-7)

当工£sinx<0,则上也〉6

-对sinxsin(-今

O

7T

即FW>F(--),

O

由F(x)为偶函数，则p(无)在卜卦)上单调递减,

/pzt兀兀

26

所以不等式/（x）<2/舟inx的解集为［4,高］。*

故答案为：

F（x）_ZW

题型四：构造尸（%）=/（x）cosx或COSX型

1.（2023•全国•模拟预测）已知定义在（-右鼻卜.的函数/⑴满足〃T）=〃X）,当x40,£|时，不等式

/（尤）sinx+r（x）co&x<0恒成立（尸（力为/（尤）的导函数），若acosl=〃-l）,fecos^-=/（-InVe）,

。=2/（鼻，则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】c

【详解】由题意得函数F（x）为偶函数，构造函数G（X）="»,

COSX

/'(x)cosx+/(x)siwc

所以=

(COSXJcos2x

易知当彳€隰卜寸，G'（x）<0,所以函数G（无）在“）上单调递减.

2

因为“cosl=/(—l)=/(l),则°=四=3(1),

cosl

因为函数G（无）在上单调递减，且

\232

所以,gpZ?>tz>c,

故选：D.

2.（2023下•山东聊城•高二校考阶段练习）定义在（0,3上的函数/（无），已知尸（%）是它的导函数，且恒有

cosx­/'（九）+sinx-/（九）＜0成立，则有（）

【答案】C

【详解】解:令g(x)=犯,

COSX

贝！］g，(x)=cosx"'(x)+sinx"⑺

cos2X

因为cosx・/'(x)+sinx・7(x)v0,

所以/(x)<0,

则g(X)=3在g］上单调递减.

cosX\)

717171

cos—cos—cos—

346

故选：D

三、专项训练

一、单选题

1.(2023上•上海徐汇•高三上海市第二中学校考期中)已知定义在R上的函数y=7(%)，其导函数y=r(x)

满足：对任意xeR都有/(x)</'(x),则下列各式恒成立的是()

A./(l)<e./(0),/(2023)<e2023-/(0)B./(l)>e-/(0),/(2023)>e2023./(0)

C./(l)>e-/(0),/(2023)<e2023-/(0)D./(l)<e-/(0),/(2023)>e2023■/(0)

【答案】B

【详解】记g(x)=0,则，

e(e)e

因为/(x)</'(x)，即r(x)-〃x)>0,

所以g〈X)>0,所以8(力=芈1在R上单调递增，

故如=孚>即用“。23)=管hg(°)=*

整理得/(1)>e-/(O),/(2023)>e2023./(O).

故选：B

2.(2023•河南开封・统考三模)设定义在(0,+s)上的函数〃尤)的导函数((x),且满足矿(X)+2/(X)=F，

〃e)=*.则/g)、/[sin|k/[anj的大小关系为()

<小心D.小

c.

【答案】C

【详解】H^V，(.r)+2f(^)=^,所以9广(耳+2犷(％)=111》,

设g(x)=xV(x),则g,(x)=x2/,(x)+2V(x)=lnx,

令〃X)=用，则:⑺「”文

设力(犬)=xlnx-2g(%),贝!j/zr(x)=lnx+l-2gz(x)=l-lnx,

「・当0<%<e时，"(x)>0,"(%)单调递增；当元〉e时，”(尤)<0,"(%)单调递减,

丸⑺＜/z(e)=elne-2g(e)=e—2e2x-=0,

2e

:r(x)<o,/(X)在(。,+“)上单调递减,

又sin—<一<tan一,理由如下：

333

如图，设NAO3=g,射线。5与单位圆相交于点6,过点6作BD_L%轴于点

过点A作AC，x轴交射线05于点C,连接AB,

设扇形A03的面积为岳，

则SBOA(3WSBA，gp|oA.BD<|x|oA<|oAAC,

解得BD＜；＜AC,

其中BD=sin-,AC=tan-,故sin」＜—＜tan—,

33333

故选：D

3.(2023下•云南保山•高二统考期末)已知函数y=〃x)是定义在R上的奇函数，且当xe(9,0)时不等

式〃x)+H(x)<0成立，若。=3°3"(3°3),&=(log,3).f(logi3),c=logl9-/pogl91则。，…的大

3\37

小关系是()

A.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c

【答案】B

【详解】构造函数尸(x)=43,则由题意可知当xe(y,0)时F，(x)=/a)+丁(无)<。，

所以函数尸(刈=犷(无)在区间(-双。)上单调递减，

又因为y=/(x)是定义在R上的奇函数，所以F(x)=^/'(X)是定义在R上的偶函数，

所以F(x)在区间(0,+8)上单调递增，

/、

又。=尸(3刃，「=尸(1呜3),c=Flogl9=F(-2)=F(2),

I37

因为1<33〈若，0<l0gli3<1,所以0<l0gli3<3必<2,

所以尸(log7t3)<P(3°3)〈尸⑵，即6<q<c,B正确.

故选：B.

4.(2023,全国•高三专题练习)若函数y=/(x)在R上可导，且满足步(x)+〃x)>0恒成立，常数°力(。>与,

则下列不等式一定成立的是()

A.af(a)>bf(b)B.af{b}>bf(a)

C.af(a)<bf(b)D,af(b)<bf(a)

【答案】A

【详解】令g(x)=4(x),则g'(x)=xf(x)+f(x)>。恒成立，故g(x)在R上单调递增.

a>b,

r.g(a)>g(b),即4(4)>好。).

故选：A

5.(2023•全国•高三对口高考)已知函数y=〃x)是定义在R上的奇函数，且当xe(3,0)时不等式

/(可+?'(耳<0成立，若〃=30-3"(产)/=(log兀3)"(10鼠3),°=陛3:/卜83，，则〃，瓦。的大小关系是

()

A.c>b>aB.c>a>b

C.a>c>bD.b>a>c

【答案】B

【详解】构造函数尸(x)=/(x),则由题意可知当尤«y,0)时F(x)=/(x)+矿(x)<0,

所以函数b(x)=犷(x)在区间(-8,0)上单调递减，

又因为y=〃x)是定义在R上的奇函数，所以尸(冷=犷(可是定义在R上的偶函数，

所以网”在区间(0,+e)上单调递增，

。=网3。-3),Z?=F(log,t3),0"]唱)=爪-2)=爪2),

因为1<3°3〈出，0<logff3<l,

033

所以10gli3<3<2,所以尸(log1t3)<F(3°-)<F(2),

即b<a<c,

故选：B

6.(2023•全国•高三对口高考)已知Ax)是定义在(0,内)上的非负可导函数，且满足矿(比)-/(尤)40,对

任意正数。、b,若。<6,则必有()

A.af(b)<bf(a)B.bf{a)<af(b)

C.af(a)<f(b)D.bf(b)<f(a)

【答案】A

【详解】由V，(无)一/(x)won[9]J(x);丁叽.

若工也不是常函数，则工区在(0,+«0上单调递减，又Kb,则=妙⑷>/他)；

xxab

若*1为常函数，则10"⑷=/伍).综上，af(b}<bf{a}.

故选：A

7.(2023•云南•校联考三模)设函数