导数的应用-函数的零点问题（5题型分类）-2025年高考数学一轮复习（解析版）

专题15导数的应用■函数的零点问题5题型分类

彩题总

题型1：利用导数研究函数的零点个数

题型5：导数与“隐零点”问题

题型2：根据零点个数求参数

专题15导数的应用一函数的

零点问题5题型分类

题型4：零点与不等式的证明问题

题型3：根据零点个数求值

彩先潟宝库

1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数

的值或取值范围.

求解步骤：

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与X轴(或直线^=左)在某区间上的交点

问题；

第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；

第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.

2、函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令/G)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间m，6］上是连续不断的曲线，且/(a)<0,还必

须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不

同的值，就有几个不同的零点.

3、求函数的零点个数时，常用的方法有：一、直接根据零点存在定理判断；二、将/(x)整理变形成

f(x)=g(x)-〃(x)的形式，通过g(x)，Mx)两函数图象的交点确定函数的零点个数；三、结合导数，求函

数的单调性，从而判断函数零点个数.

4、利用导数研究零点问题：

(1)确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定

极值点和单调区间从而确定其大致图像；

(2)方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过

构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；

(3)利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想

研究；③构造辅助函数研究.

彩傩题和籍

(­)

函数零点的求解与判断方法

(1)直接求零点：令外)=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间口，句上是连续不断的曲线，且八.)负6)<0,还必须结合函

数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同

的值，就有几个不同的零点.

(4)结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数.

注：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征(包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的

探索、参数的分类讨论等)，需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过

极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，

分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考

的地方

题型1：利用导数研究函数的零点个数

1-1.(2024高三下•江苏常州•阶段练习)已知/(x)=sin"x,g(x)=lnx+mex("为正整数，meR).

(1)当〃=1时，设函数〃卜)=/-1-2/(x),XG(0,7t),证明：〃(x)有且仅有1个零点；

(2)当〃=2时，证明：/+g(x)<(让+加林—I.

1-------

【答案】(1)证明见解析；

⑵证明见解析.

【分析】(1)对〃(x)进行二次求导，根据二阶导数的单调性，确定一阶导数的正负，从而判断原函数的单

调性，结合零点存在定理，即可求证.

Qin9V

(2)根据题意，只需证汹三+lnx+l-xe，<0即可，结合sin2x<2x,(x>0)结合同构函数，即可容易证明.

2

【详解】(1)当〃=1时，/i(x)=x2-l-2sinx(0<x<7t)

t己9(x)==2x-2cosx,贝I］夕'(无)=2+2sinx>0

所以0(尤)=〃(x)在区间(0,7t)上单调递增

而9(0)=-2<0,夕］|^=兀>0

所以存在毛,使得/仁)=0,即〃(%)=0

当xe(O,Xo)时,9(x)="(x)<0,单调递减

当xe(天,兀)时，夕(x)=〃(x)>0,〃(x)单调递增

2

又〃(0)=—1<0,/z(xo)</z(O)<O,//(K)=TI-1>0

所以〃(x)在(0,尤o)上没有零点，在伉㈤上有一个零点，

综上所述，函数力卜)在(0㈤内只有一个零点.

(2)当〃=2时，//(x)=2sinxcosx=sin2x,

要证于+g(x)<(x+")e“-L

cin9V

BPffi--±+lnx+l-xe%<0,

2

令〃(x)=sin2x-2x(x>0),贝iJH'(x)=2cos2x-2«0,

所以“(x)在(0,+8)单调递减，H(x)<H(0)=0,即sin2x<2x,

Qin2x

要证------HInx+1-xex<0只需证x+Inx+1-xex<0，

2

令〃(x)=e*-x-l,则“(x)=eT,

二〃(x)在(-8,0)单调递减,在(0,+co)单调递增，

/.//(x)＞//(0)=0,即e'2x+l,

x+laxx

e＞x+lnx+1,BPxe＞x+Inx+1-

所以x+hu+l-xer0成立，

原命题得证.

【点睛】本题考查利用导数证明函数的零点个数，以及利用导数证明不等式恒成立，解决第二问的关键是

利用$/2工＜2武工＞0)进行放缩，以及利用同构xe"=小膜构造函数进行证明，属综合困难题.

1-2.(2024•江西九江•二模)已知函数/(x)=eX-a*(aeR),g(x)=x-l.

(1)若直线＞=g(x)与曲线＞=/(x)相切，求a的值；

⑵用表示〃?，〃中的最小值，讨论函数〃(x)=min"(x),g(x)｝的零点个数.

2_i

【答案】e

4

(2)答案见解析

【分析】(1)根据已知切线方程求列方程求切点坐标，再代入求参即可；

(2)先分段讨论最小值，再分情况根据单调性求函数值域判断每种情况下零点个数即可.

【详解】(1)设切点为(％,%),Vf\x)=e-2ax,二〃％)=6频一2%

[e%0-2aXr.=1,

・・()

•x02*

\e-axQ=x0-1,

消去〃整理，得(e%+l)(x。-2)=0,♦・.x0=2

(2)①当、£(—e,l)时，g(x)<0,/z(x)=min{/(x),g(x)}«g(x)<0,J在(-oo,l)上无零点

②当x=l时，g(l)=0,/⑴=e-〃.

若a«e,7(1)^0,此时〃(x)=g(l)=0,x=l是%(x)的一个零点,

1------

若a>e,/(1)<0,此时〃(x)=/■⑴<0,x=l不是力(x)的零点

③当xe(l,+oo)时,g(x)>0,此时〃(尤)的零点即为/'(x)的零点.

令/(X)=/_0%2=0,得a=二,令夕(幻==，则夕'(x)=^―,

XXX

当l<x<2时，0(x)<O；当x〉2时，9’(%)〉0,「・°(x)在(1,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，且当

Xf+8时，夕⑴―+00

2

⑴若"0(2),即时，/(X)在(1,+8)上无零点，即“X)在(1,+8)上无零点

2

(ii)若"研2),即°=?时，〃X)在(1,+8)上有一个零点，即〃(x)在(1,+功上有一个零点

2

(iii)若矶2)<。<9⑴，即?<Q<e时，/(x)在(1,+划上有两个零点，即力(、)在(1,+到上有两个零点

(iv)若a>夕⑴,即a)e时,/(力在(L+8)上有一个零点,即〃(%)在。,+8)上有一个零点

综上所述，当或a>e时，〃(%)在R上有唯一零点；

当a=7或Q=e时，人(“在R上有两个零点；

当?<q〈e时，〃(x)在R上有三个零点

1-3.(2024•山东•一模)已知/(x)=asinx—%+」一(%>-1),且。为/(%)的一个极值点.

x+1

(1)求实数。的值；

⑵证明：①函数/(x)在区间(-1,+8)上存在唯一零点；

11«1

②；-----<^sin—<1,其中〃wN*且〃>2.

2n+1Sk

【答案】⑴。=2

⑵证明见解析

【分析】(1)先求得/'(x)=acosx-l一1[y,由0为了⑴的一个极值点，可得/(0)=0,进而求解；

(2)①当-l<x40时，由/'(x)W0,可得〃x)单调递减，由Vxe(-l,0],可得/(x)河(0)=1,此时函

数/(X)无零点；当0<》苦时，设g(x)=acosx-l-岛了，结合其导数分析单调性，结合g，⑼>0,

g'D<0和零点存在性定理，可知存在使得g'(x)=0,进而得到尸(x)单调性，结合/'(0)=0

得到/（X）在（O,x。）上单调递增；结合/（%）>0,厂目<0,存在”卜。，3,得到函数/（X）的单调性，

可得而“X）在园上无零点；当日用时，由/'（x）<0,可得在单减，再结合零点存在

定理，可得函数/（x）在（右，上存在唯一零点；当xN兀时，由/'（x）<0,此时函数无零点，最后综合即可

得证.

②由⑴中/（无）在单增，所以Vxe/£|,有〃x）>/（O）=l,可得$加>。1+1-。］令

x=a（八2）,利用放缩法可得sin我，再结合sinx<x，分别利用累加发可得盲sin^j-Q，

n11

Ysin—<1-^<1,即可求证.

占匕n

【详解】（1）由/（x）=asinx-x+^—（x>-1）,

x+1

则/（x）=acosx-l-----—-,

」」（x+l）2

因为。为了（X）的一个极值点，

所以/'⑼=°一2=0,所以。=2.

当a=2时，r(x)=2cosx_l_(二>,

当T<x<0时，因为函数/'（无）在（-1,0）上单调递减,

所以/'（另<2-1-1=0,即/（x）在（-1,0）上单调递减;

[2

当0<Y时，^W^cosx-l-^,则g，(x)=_2smx+还产

f-2+」

T<0

因为函数g'（x）在（0胃上单调递减，且g'（0）=2>0,s〔尹

由零点存在定理，存在,使得g'(x)=。,

且当xe（O,尤0）时，g'（x）>0,即/（无）单调递增,

又因为r（o）=o,

所以受武。,/）,>0,“X）在（o,x。）上单调递增；.

综上所述，/（x）在（-1,0）上单调递减，在（0,%）上单调递增,

1------

所以0为/(X)的一个极值点，故。=2.

(2)①当T<xWO时，r(x)<2-l-l=0,所以单调递减,

所以对Vxe(T,O],有此时函数/(尤)无零点;

当0<x<5时，设g(x)=2cosr-l-(尤+]>,

2

贝！|g，⑺=-2sinx+日百T，

因为函数g'(x)在向上单调递减,且g'⑼=2>0,

由零点存在定理，存在使得g'(x)=O,

且当无e(O,x°)时，g,(x)>0,即/(无)单调递增,

当时，/(尤)<0,即/(X)单调递减.

又因为/'(0)=0,

所以Vxe(O,x°),H(尤)〉0，“X)在(0,%)上单调递增;

因为/伉)>0，<,

所以存在国e(xog),

当xe(x°,xj时，/%)>0,/(x)单调递增，

当可西春时，八尤)<0,“X)单调递减.

所以，当xe(O,再)时,〃x)单调递增,/(x)>/(O)=l；

当彳•匹:时，/⑺单调递减,，3>，[5)-2-万+女+]

此时“X)在(0,?上无零点;

当xeg,兀，<0

时，/(x)=2cosx-l-^^^2，

所以/(x)在|■，兀J单减,

1------

又/（7l）=O-KH-------<o,

12/兀+1

由零点存在定理，函数/（X）在e，兀）上存在唯一零点；

当x2兀时，/（x）=2sinx一x+」一<2—兀+1<0,此时函数无零点;

综上所述，在区间（T+8）上存在唯一零点.

/巴]=拒_1_____!___>0/\

②因为[+]],由（1）中/（x）在[（）,?上的单调性分析,

知玉>：,所以在[0,：J单增，

所以对Vxe]o,£|,有/(尤)>〃0)=1,

即2sinx—xH------>1,所以sinx>—|x+1---------

x+12Vx+1

人1/，7e.1«1111111

令％=-7(左22),贝Usin——>———H----->---->-z-------

左2l)k22(左2^2+1J上2+1k2+kII+i

n111

所以Zsinyy

k=2k2~小

设力(x)=sinx-x,xG0,—

贝ij//(x)=cosx-l<0,

所以函数〃(x)=sinx-x在上单调递减,

则/23=51口]_]<0(0)=0,

BPsinx<x,xe\0,^-,

【点睛】关键点睛：本题第（2）②，关键在于先证明sinx>；\+l-士],令x=’（左22）,利用放缩法

可得sing>，-土，再结合累加法即可得证.

1-4.(2024•山东•一模)已知函数/(x)=asinx-ln(l+x).

⑴若对Vxe(-l,O］时，/(x)>0,求正实数。的最大值；

(2)证明：£sinyy<ln2；

k=2k

⑶若函数g(x)=/(x)+e，+Jasinx的最小值为〃z,试判断方程一皿1+k=0实数根的个数，并说明理

由.

【答案】(1)1

(2)证明见解析

⑶有唯一的实数解，理由见解析

【分析】(1)将不等式恒成立问题转化成求函数的最值，再利用导数与函数单调性间的关系，通过求出函

数的单调区间，进而求出最值，从而求出结果；

(2)利用(1)中结果，得到sinx>ln(l+x),通过令x=-&依>1/eN),从而得到sin-^<ln,再

kkk

通过过累加即可得出结果；

(3)利用函数的单调性求出机的范围，构造函数〃(同=』+'-铲山(1+村(2<加〈目，通过函数的单调性和

零点的存在性原理即可求出结果.

【详解】(1)由题知/'(X)=acosv--------，令〃(x)=acosx---------,所以，'(x)=-asinx+^-y,

又因为xe(-l,O］时，sinx<0,〃为正实数，故〃⑴>0在区间(-1⑼恒成立，

所以函数尸(无)在区间(T0］上单调递增，且/''(O)="l.

①当0<a41时，/'(x)V/'(O)VO在区间(T0］上恒成立，函数“X)在上单调递减，

此时)(x)N/(O)=O,符合题意.

②当a>1时，/,(0)=a-l>0,f^―-=acos-l^-fl<a-cz=O,

由零点存在定理，3xoeQ-l,O^0t,有/'(/)=0,

即函数〃x)在区间(-1,%)上单调递减，在区间(％,0)上单调递增，

所以当xe(x°,0)时，有了⑺<〃0)=0,此时不符合,

综上所述，正实数a的最大值为L

(2)由(1)知，当4=1,X£(—1,O)时，sinx>ln(l+x),

令x=T

(k>l,keN)时,

-1J一甘1k-k▼1,2x2.1.3x3,1,一〃.几

即sinTT<M~-=In—―――,所以sin—<\n-—,sin-y<In---,L,sin—<In-——~,

k1k-\(左一1)(左+1)221x332x4〃+

,.1.1.1।2x2।3x3।nxn

累力口得sm^7+sinm+…+sm万<ln——+ln—H--••+ln

L3K1X3LXH-(n-1+1)'

〃17wVI

即^sin—<In=In-----=In2+In------<ln2+lnl=ln2,

k=2k(13j(24J"1n+ljn+\w+1

n1

所以£sin万<ln2

k=2k

(3)因为g(x)=e，M_ln(x+l),所以因为卜―-」^,令G(x)=-——三,贝l|G，(x)=e，”+1">0

X।1X+l(X十1j

在区间（-1,+«0上恒成立,

所以函数g'（x）在区间（T+⑹上单调递增，又g'（o）=e-l>o,g'[g]=五-2<0,

J—，。）时,有g'（xj=。，即*=七，

由零点存在定理，*1

\27"1十,

因此玉+l=ln±=-lnE+l),而函数g(x)在(-1,占)上递减，在(占,+8)上递增，

所以机Mga'nMgGjMeM+i-lnGi+Du—^+ln^YM^Y+Xi+l,

•XqIXI1.XiI1

又因为西令玉+l=fe[,l],则加=/+；,所以加=—==1="1"1)<0在区间(g,l)

上恒成立,

即加二人；在区间（；/）上单调递减，所以2<加<；+2=g,即冽5

2

加

5Qm

iS//(x)=e1+x-emln(l+x)2<m<—,则〃（工）=』+"—、，令"x）=eW

2l+X

0加

则，（X）=9+X+忘了〉0在区间（-1,+功上恒成立

3>0,

所以函数4（X）在区间（-1,+8）上单调递增，又〃'（0）=e-e"<0,=

m

m

由零点存在定理，*2€（0,打一1）时，〃'（尤2）=0，即寸丐=4^

।、1,1

因此冽=1+%2+加(1+%2),又加=----+ln------,

人]IX4]I1

设加(x)=x+lnr,则机'(x)=1+1>0在区间(0,+司上恒成立,

所以函数加(X)在(0,+力)上递增，

于是1+x?=匚r且111(1+%2)=1+占，

而函数〃(x)在(-1,超)上递减，在(尤2,内)上递增，

1+l2mm

二H(无)1mHa2)=e-eln(l+x2)=ee"'(1+&一(I+xJ)=O,

即函数〃(x)有唯一零点々，故方程eW-ln(l+x)=O有唯一的实数解.

【点睛】关键点睛：零点代换：当y=/(x)存在零点，且满足等式时，对应在此点处的等量运算也成立,

1

即若有贝lj有M+l=ln=-ln(xj+1).

玉+1

1-5.(2024高三上•海南省直辖县级单位•阶段练习)已知函数/(x)=f-alnx(aeR).

⑴判断函数/(x)的单调性;

(2)设g(x)=/(尤)-/(尤)-21n/(x),证明：当°=2时，函数g(x)有三个零点.

【答案】⑴答案见解析

⑵证明见解析

【分析】(1)先求得/'(x),对。进行分类讨论，由此求得了(x)的单调区间.

(2)先求得的范围，利用换元法，结合导数以及零点存在性定理证得。=2时，函数g(x)有三个零点.

【详解】(1)根据题意得，/(月=2》一q=空二^,xe(O,+s),

XX

当a<0时，f^[x}>0,〃x)在(0,+。)上单调递增；

当。>0时，r(x)<0,得0<x<浮;

令川(x)>0,得x>警,

故“X)在0,上单调递减，在,+8上单调递增.

(2)当a=2时，/(x)=x2-21nx,

1------

则/，3=2(尤一丁尤+1),

所以当xe(O,l)时，r(x)<0,/(x)单调递减;

当xe(l,+⑹时，/0(x)>0,〃无)单调递增，故/(X)的最小值为"1)=1,

又Xf0,/(x)-+8;Xf+8,/(x)f+oo,

故/(X)G[L+8).

g(x)-f2(x)-/(x)_2In/k)=H_21nx)——21nxj-21n-21nx),

设m=x2-21nx，me[1,+0°),

则〃(加)=加2_冽_2]n加,mG[l,+oo),

2mm2

贝(5)=2加一1-2='--

mm

1+V17

由2ni2一加一2=0,得冽=

-4~

因此，当加e1,—时，h^m)<0,〃(间单调递减;

当mw----,+oo时，h^(m)>0,〃(加)单调递增.

I4J

由于〃(1)=0,故〃</z(l)=0,又〃(2)=20-ln2)>0,

/i+Vn

,2,使得〃(加o)=O,

由零点存在定理，存在/£-4-

7

呼7,2和町=1.

所以力(")有两个零点加0和町=1，即方程/■(%)=加有两个根e

“X)的图象如下,

1----------

Xiix2X

当〃尤)=1时，因为/(x)二=1，

故方程/(x)=l有一个根％=1；

1+V17

当/(x)=%时，其中％e

-4-

因为丁,

故由“X)图角可知，/(x)=%有两个不同的根X],W，且0＜不＜1＜£.

综上，当a=2时，函数g(x)有三个零点.

【点睛】利用导数研究含参数的函数的单调区间的过程中，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重

不漏.分类标准可通过判别式、开口方向、根的大小等等来制定.利用导数研究函数的零点，往往要结合零点

存在性定理来进行.

彩他题淞籍

根据零点个数求参数

函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：

1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从/(X)中分离参

数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过

解不等式确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数

的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各

个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.

1--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

|题型2：根据零点个数求参数

2-1.(2024高二下•浙江台州•期末)已知函数/(x)=alnx+?.

i(1)当”=1时，求曲线y=/(x)在点处的切线方程；

1(2)证明：当时，/(X)有且只有一个零点；

!⑶若〃x)在区间(04),。,+⑹各恰有一个零点，求。的取值范围.

【答案】(1)丁=11+.1-；

I(2)证明见解析

!(3)——<a<0

!e

【分析】(1)根据导数的几何意义求解即可；

(2)分析/(x)=alnx+:在xe(O,l)和x=l,xe(1,+s)时的正负判断即可；

(3)根据(2)可得心0,又八x)="e，+2Ax2,设g(》)=前，+2x-x?,根据g(l)=ae+1=0时为临界

xe

I条件，分与-！<。<0两种情况，分别求导分析g(x)=ae'+2x-x2的单调性，进而得到

ee

ig(x)=ae，+2x-/的正负区间，进而得到〃x)的单调区间，同时结合零点存在定理求解即可

【详解】(1)由题意，〃x)=lnx+?,/'(尤)=：+三三，故/'(1)=1+：,又〃1)=0,故曲线y=f(x)|

|在点处的切线方程为了=(1+1门-1),即了=+

X—1Y-1

(2)由题意，因为故当x〉l时，/(x)=QlnrH->0,当时，/(X)=Q1HXH—<0,当|

IX=1时，/⑴=0，故当〃>0时，/(%)有且只有一个零点X=1

(3)由(2)可得a<0,/(x)=alnr+^,故(⑴，+?="+?T?

\g(x)=aex+2x-x2,贝(j

[①若aW-1，则g(x)=ae，+2x-M4-eAi-(x-l)2+1,在xe(l,y)上为减函数，故

1------

g(x)<-e11-(l-l)2+l=0,故/⑴在x£(l,+8)上为减函数，/(力</。)=0不满足题意;

②若」<a<0,gr(x)=tzex+2-2%

e

i)当%£(l,+oo)时,gr(x)<0,g(x)单调递减，且g(l)=ae+l〉O,g(2)=ae2<0,故存在手£(1,2)使得

e

g(x)=O,故/(X)在(1,%)上单调递增，在(%,+8)上单调递减.又/(%)>/⑴=0,e4>e>p且

111_i

1\1一[一1-Qa1

二.lne:+,；=-1+」■_,设夕(％)=e》-x(x>0),易得“(x)=e、一1>0,故夕(1)

(>ee^eeVe「「

/_£\(_J_A

在(0,十8)单调递增，故9(x)>W0)=e°-0>0,故ee->e-[故/e0<。.故/(%)在Le。上有一个零

V7V7

点，综上有了(X)在区间(1,+8)上有一个零点

ii)当xe(0,l)时，g'(x)=aex+2-2x,设〃(x)=g1x)=ae*+2-2x,则1(x)=ae*-2<0,故g'(x)为减

函数，因为g'(0)=a+2>0,g,(l)=ae<0,故存在玉e(0,1)使得g'(x)=0成立，故g(x)=ae"+2x-x?在

(0,%)单调递增,在(再,1)单调递减.又g(0)=a<0,g(l)=«e+l>0,故存在々武。』)使得g(%)=。成立,

故在(0,动上g(x)<0,〃x)单调递减，在(孙1)上g⑺>0,〃x)单调递增.又/⑴=0,故

£L1J.L

小)<小)=0,且e'y,/p]=aln£+y=l+=l=二^1>"二1>0,故

、)aaa

v7ee°eeeeee

「口卜0,故存在三€口,1]使得〃x)=0,综上有〃X)在区间(0,1)上有一个零点.

综上所述，当-!<。<0时，“X)在区间(0,1),(1,+8)各恰有一个零点

e

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，同时考查了利用导数分析函数的单调性与最值，同时结合零点

存在定理判断函数零点的问题，需要根据题意确定临界条件分类讨论，再分析导函数的单调性，进而得到

导函数的正负区间，从而得到原函数的单调性，并根据零点存在性定理分析，属于难题

2-2.(2024高三•全国•专题练习)已知函数角0=券+1113)-2(0>0),若函数/(x)在区间(0,+e)内存

在零点，求实数。的取值范围.

【答案】a>l.

【分析】方法一：直接求导，分情况讨论函数单调性及最值情况，进而可得零点情况，进而可得参数取值

1------

范围；

方法二：构造函数法并分离参数求得参数范围.

【详解】解：方法一：由/(x)=3+x-/"(ax)-2(a>0)可得八——a),

eex

设y=----a,x>0,a>0,贝！]y=--(:一,令y=0nx=1,

xx"

.•)在工€(0,1)单调递减，在xe(l,+oo)单调递增，

故九"="1)=1-a.

①当0<a<l时，令/(x)=Onx=l,当xe(O,l)时，单调递减，当xe(l,+s)时，单调递增,

/Wmin=f(!)=«f-l->0,此时/(X)在区间(0,+00)内无零点；

②当a=l时，/(l)=a-l-lna=0,此时/(x)在区间(0,+网内有零点；

③当<7>1时，令/〈X)=,_](----<7)=0,解得x=X]或1或4，旦0<再<1<%,

ex

此时/(X)在xe(o,xj单减，尤单增，xe(l,X2)单减，工日与+⑹单增，

当x=X]或X?时，/(x)极小值=0,此时/(X)在区间(0,+co)内有两个零点；

综合①②③知〃x)在区间(0,+功内有零点n/l.

方法二：由题意可得

eT+i+加㈤=历3)一x+2,即ex+M"{ax]-[-x+l+Zn(ar)]-1=0,

因为e*Nx+1当无=0时等号成立，

所以-x+1+历(ar)=0,即女=—，

易知g(x)在(0,1)单减，在(1,+8)上单增,所以g(x)2g⑴=1,

又x趋近于。和正无穷时，g(x)趋近于正无穷，

所以。21.

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成

立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)

值问题处理.

1------

2-3.(2024・四川成都•一模)已知函数/(x)=[ge*+a]ex-(a+l)x.

(1)讨论〃x)的单调性；

⑵若/(无)有两个零点，求。的取值范围.

【答案】(1)见解析；

【分析】(1)对函数〃x)求导，再对。进行分类讨论，根据/''(x)>0和/'(x)<0,即可得函数的单

调性；(2)根据(1)的单调区间，对。进行分类讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到。的取

值范围.

【详解】(1)由/(x)=[e、+a卜-(a+l)x

Ir

/^)=(e-l)(e+fl+l),

①当〃2-1时，e"+a+l>0，

由/'(x)〉0,得X£(0,+GO),

由/'(x)<0,得XE(—co,0).

"(%)的单增区间为(0,+。),单减区间为(-%0).

②当4<一1时，令/'(%)=0,%=0或%=111(-。一1).

当ln(—Q—1)=0,即a=—2时，/'(x)=(e*-1)>0

J/(%)在(―叫+⑹单增，

当ln(-Q_l)>0,即Q<—2时，

由/'(X)>。得，x£(—8,0)U(ln(—a—l),+8),

由得，%£(0,ln(-q-1)).

・•・/(x)单增区间为(-8,0),(in(-q-1),+8),

/⑺单减区间为(0,皿-〃-1)).

1------

当ln(-a-l)<0,即一2<0<—1时，

由/'(x)>0得,xe(-oo,ln(-a-l))U(0,+oo),

由/'(X)<0得，x£(ln(—a—l),O).

/(x)的单增区间为(一-In(-0-1)),(0,+8),

“X)的单减区间为(皿-"1),0).

1

(2)由/⑼…子

1

(i)当时，只需/(0)<0,即-时，满足题意；

(ii)当a=—2时,在(-%+8)上单增,不满足题意；

当。<-2时，〃x)的极大值〃0)<0,不可能有两个零点；

当时，的极小值/⑼<0,xf+oo,/(x)->+co,只有/(in(-a-l))=0才能满足题意，即j

----=0有解.

22

Q+3

令〃(Q)=—,aG(-2,-1),则“(a)=一2(q+l)〉0，

〃⑷在(-2,-1)单增.

V//(-2)=||

二〃(。)>0,方程无解.

综上所述，aw

LJ

【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：

⑴直接法：直接根据题设条件对参数进行分类讨论，构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范I

围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

⑶数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.

2-4.(2024高三上•广东•阶段练习)已知函数/(》)=原-！)/+°。+4.

22

(1)讨论“X)的单调性；

1------

(2)若/(x)有两个零点，求。的取值范围.

【答案】(1)答案见解析；(2)(0,+“).

【分析】(1)求函数的导数，讨论和"0,分别解导数不等式即可得到函数的单调性.

(2)由(1)的单调性，可求得函数的极值，由极值的正负和函数的单调性可得函数的零点个数，从而得

到。的取值范围.

【详解】(1)/'(x)=[+£|(e，+2a).

当“20时，令/得xe1-oo,-，，

令/，(x)〉0,得xe[-；,+oo]

故/(X)在,巴-£|单调递减，在[],+6单调递增.

当a<0时，令/''(x)=0,得X[=一;,x2=ln(-2a).

①当In(-2a)=-2即°=_近时，f'(x)>0,〃x)在R上单调递增.

22e

②当ln(-2a)<-：即一逅<a<0时，〃x)在1111(-2”),-]上单调递减,

22eI2)

在(-oo,ln(-2a)),上单调递增.

③当>-：即.〈一亚时，/(尤)在上单调递减，

22eI2/

在(In(-2a),+8)上单调递增.

(2)当。>0时，由(1)可知/(x)只有一个极小值点x=-g.

且/㈢=4<°，/Q]=a>0,

从而〃尤)-+对因此/(x)有两个零点.

当。=0时，=此时/(x)只有一个零点，不符合题意.

当°=一近时，/(x)在R上单调递增，不可能有两个零点.

2e

当_/<a<0时，/(x)在(in(-2a),-上单调递减，

在(-oo,ln(-2a)),f-p+coj上单调递增,

/[in(-2a)]=ln(-2a)-；*(-2。)+“1口(一2〃)+；

2

=-2aln(_2q)一；In(-2a)+1

+a

-in2i1

其中qln(—2〃)+-<0,ln(-2")—<0,-2aIn(-2^)--<0,

22_2_

则/[in(-2a)]<0,即函数的极大值小于0,

则/(x)在尺上不可能有两个零点；

当”一亚时，"X)在,ln(-2a)]上单调递减，

在1(ln(-2a),+oo)上单调递增，

=-'<0,即函数的极大值小于0,

则/(x)在我上不可能有两个零点；

综上，若〃x)有两个零点，。的取值范围是(0,+").

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的零点个数问题，考查分析问题的能力

和计算能力，属于中档题.

2-5.(2024•浙江•二模)设函数/'(x)=x-sin-^.

⑴证明:当xe[0,1]时,/(x)<0；

⑵记g(x)=/(x)-aln|x|,若g(x)有且仅有2个零点，求。的值.

【答案】⑴证明见解析

(2)-1,0,1

【分析】(1)求出了'(X),利用其单调性和特殊值可得改。€(0,1)使得广(%)=0,再由/⑴=0,/(0)=0可

得答案;

(2)由0=0时，求出g(x)的零点，①当0>0时，利用g(x)范围可得在(0,+巧有1个零点:分；

。<0讨论，利用g'(x)的单调性和函数值可得答案.

【详解】(1)当04x41时，有/'(x)=l-?cos?,/'(无)单调递增，

又/''(0)=1-：<0/(1)=1>0,贝I］可知玉。€(0,1),使得/'(%)=0,

2

所以/(X)在(0,%)单调递减，在(％,1］单调递增，

又/。)=0,/(0)=0,则可知f(x)40；

(2)依题意，函数g(x)的定义域是(F,0)U(0,+8),

当4=0时，g(x)=/(x)=0,即％=5m葭，而"0,

TTYTTJC

x=l时，x=sin—，％=-1时，x=sin—,有两个零点1,一1,符合题意；

22

①当a〉0时，若x<0,有g(—l)=O,且不<-1,有g(x)<0,

又一l<x<0,由(1)可知/(尤)>0,又-aln|x|>0,则g(x)>0

所以g(x)在(-8,0)有1个零点：

若x>0,有g⑴=O,g'(x)=1-,cos£",g<,=1-a,若a=l,

i

W^(x)-x-lnx-sin—>l-sin—>0,