导数的应用-函数的极值问题（5题型分类）-2025年高考数学专项复习（解析版）

专题13导数的应用•-函数的极值问题5题型分类

彩题生江总

题型1:函数极值、极值点的辨识

题型5：根据函数的极值点求参数

、/

题型2：函数（导函数）的图象与极值（点）关系

专题13导数的应用一函数的极值

问题5题型分类

题型4：根据函数的极值求参数

/\题型3：求巳知函数的极值、极值点

彩先正宝库

1、函数的极值

函数在点看附近有定义，如果对与附近的所有点都有/（x）＜/（x。），则称/（%）是函数的一个极大值，

记作坳大值=〃％）.如果对与附近的所有点都有/（X）＞/（%）,则称/（%）是函数的一个极小值，记作

y极小值=/（%）.极大值与极小值统称为极值，称及为极值点.

求可导函数/（X）极值的一般步骤

（1）先确定函数/（X）的定义域；

（2）求导数（无）；

（3）求方程广。）=0的根；

（4）检验了'（X）在方程广（幻=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么

函数y=/（x）在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数＞=/（元）在这

个根处取得极小值.

注：①可导函数/（X）在点X。处取得极值的充要条件是：X。是导函数的变号零点，即（@）=0,且在X。左侧

与右侧，/（X）的符号导号.

②/@）=0是与为极值点的既不充分也不必要条件，如/«）=/,八0）=。，但％=。不是极值点.另外，

极值点也可以是不可导的，如函数/（x）=|x|,在极小值点毛=0是不可导的，于是有如下结论：％为可导函

数f@）的极值点n/'（%）=0；但/（与）=。幺%为/（%）的极值点.

彩健题海籍

(一)

函数极值、极值点的辨识

解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上

为正，哪个区间上为负，在哪个点处与X轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负

值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值.

题型1:函数极值、极值点的辨识

x2

1-1.(2024・辽宁)设函数满足/((x)+24(x)=J,〃2)=J则x>0时，/(x)

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值

【答案】D

【详解】函数/⑺满足V/(%)+2双x)=《，

X

.­.p/(x)],=-^,令/(x)=x2"x),

则9(X)=£I⑵=4"(2)=；,

由一尸(力+24(x)=史,得尸(尤)=--2,(力,令°(x)=炉-2尸(x),

XX

则°,(x)=e「2尸(x)=e"；2),

二夕⑴在(0,2)上单调递减，在(2,+e)上单调递增，

°(x)的最小值为0(2)=e2-2F(2)=0,/.(p{x)>0.

X%>0,.-./'(%)>0,.-./(x)在(0,+8)单调递增，

\/(%)既无极大值也无极小值，故选D.

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则.

【方法点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读

题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题

的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导

函数的"形状"变换不等式"形状"；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导

函数的〃形状〃，联想到函数/(％)=//(1),再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.

1-2.(2024高三•全国•专题练习)已知e为自然对数的底数，设函数/(x)=(e“-1)，1-)［左二)”则.

A.当k=l时J(x)在x=l处取到极小值B.当k=l时J(x)在x=l处取到极大值

C.当k=2时j(x)在x=l处取到极小值D.当k=2时，(x)在x=l处取到极大值

求导函数可得/(x)=ex(x-1)+(ex-1)=(xex-1)

/(l)=e-1^0,/(2)=2e2-1^0,

则/(x)在x=l处与在x=2处均取不到极值，

当k=2时，函数f(x)=(ex-l)(xT)2.

求导函数可得f(x)=ex(x-1)2+2(ex-1)(x-1)=(x-1)(xex+ex-2)

,当x=l,/(x)=0,且当x>l时，当x0<x<l时(xO为极大值点)，f(x)<0,故函数/(x)在(l,+oo)上是增

函数；在(X0,l)上是减函数，从而函数/(X)在X=1取得极小值.对照选项.

故选C.

2

1-3.(2024•陕西)设函数f(x)=-+lnx，贝|()

x

A.x=g为f(x)的极大值点B.x=g为f(x)的极小值点

C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点

【答案】D

【详解】r(x)=-W2+L1=一x-2，

XXX

由/(元)=0得X=2,

又函数定义域为(0,+8),

当0<x<2时，/'W<0,〃盼递减，

当x>2时，f\x)>0,/⑴递增，

因此x=2是函数Ax)的极小值点.故选D.

考点：函数的极值.

题型2:函数(导函数)的图象与极值(点)关系

2-1.(2024•重庆)设函数AM在R上可导，其导函数为fix),且函数y=(l-x)r。)的图像如题(8)图

所示，则下列结论中一定成立的是

A.函数/")有极大值/(2)和极小值/⑴

B.函数/⑺有极大值/(-2)和极小值/⑴

C.函数/⑴有极大值/⑵和极小值〃-2)

D.函数〃处有极大值/(-2)和极小值/(2)

【答案】D

【详解】了〈一2,1—»0,(1—力广(尤)>。则/'(力>0函数/(%)增；

—x)r(x)<0贝函数”X)减；

1<》<2,1-耳0,(1-》)/(*))。贝|尸(“<0函数减；

x>2,l-x<0,(l—x)/'(x)<0贝/'(x)>0函数/(%)增；选D.

【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于。则

函数递减

2-2.（2024高二下•黑龙江鹤岗•期中）函数〃x）的定义域为（a,b）,导函数尸⑺在（。㈤内的图像如图所示,

则函数在（。⑼内极小值点的个数是（）

【答案】A

【分析】根据极值点的定义，结合导函数的图象，即可判断选项.

【详解】/^x）＞0,函数“X）单调递增，尸（力＜0,函数“X）单调递减，

由导函数/'（X）的图象知：函数〃尤）在（“力）内，与x轴有四个交点：从左向右看，

第一个点处导数左正右负，是极大值点，

第二个点处导数左负右正，是极小值点，

第三个点处导数左正右正，没有变号，所以不是极值点，

第四个点处导数左正右负，是极大值点，

所以函数/（无）在开区间9,方）内的极小值点有1个，

故选：A

2-3.（2024高二上•陕西汉中•期末）定义在区间-1，4上的函数〃X）的导函数尸（无）的图象如图所示，则

A.函数/（x）在区间（1,4）上单调递增

B.函数〃尤）在区间（1,3）上单调递减

C.函数/（X）在尤=1处取得极大值

D.函数/在x=0处取得极大值

【答案】A

【分析】根据函数的单调性和导数值的正负的关系，可判断A、B；根据函数的极值点和导数的关系可判断

C、D的结论.

【详解】在区间（1,4）上/（x）＞0,故函数/（力在区间（1,4）上单调递增，故A正确；

在区间（L3）上尸（无）＞0,故函数在区间（L3）上单调递增，故B错误；

当xe（0,4）时，f\x）＞0,可知函数〃x）在（0,4）上单调递增，故尤=1不是函数了⑺的极值点，故C错误；

当xe（-g,0）时，（（无）＜0,“X）单调递减：当尤e（0,4）时，/（无）＞0,〃x）单调递增，故函数在彳=0

处取得极小值，故D错误，

故选：A.

24（2024高三上•四川自贡•阶段练习）已知函数y=/（x）的定义域为（“⑼,导函数y=/'（x）在（。力）内的

图像如图所示，则函数y=/（x）在内的极小值有（）

【分析】根据导函数得到函数单调性，进而得到了（石）和/（X,）为极大值，/（%）为极小值，从而得到答案.

【详解】y=7'（x）在（a,b）内的图像如下，

当时，/（元）单调递增，时，单调递减，故x=占为函数极大值点，/（石）为极大值,

当时，单调递增，故尤=々为函数极小值点，/（%）为极小值，

当xe（x；,6）时，〃x）单调递减，故x=x,为函数极大值点，〃三）为极大值，

故函数y=〃x）在（。,匕）内的极小值有1个.

故选：A

彩他题祕籍

（二）

求已知函数的极值、极值点

1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程（。）=。根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值

是否与己知有矛盾.

2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零.这个零点必须穿越x轴，否则不

是极值点.判断口诀：从左往右找穿越（导函数与x轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大.

注：（1）可导函数y=A无）在点X0处取得极值的充要条件是/（无。）=0,且在X0左侧与右侧广⑺的符号不同；

（2）若/（X）在（°,6）内有极值，那么兀C）在3,6）内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有

极值.

题型3:求已知函数的极值、极值点

13

3-1.（2024・重庆）设函数/（x）=alnx+丁+?+1,其中在aeR,曲线y=/（x）在点（1,7（D）处的切线垂直

2x2

于y轴

（0）求a的值;

（0）求函数/（X）极值.

【答案】（回）a=-l

（0）极小值/（1）=3

【分析】（回）因/（尤）=。1皿+^+夫+1,故广（x）=£-J+T由于曲线＞=/（无）在点（LAD）处的切线

13

垂直于》轴，故该切线斜率为o,即（⑴=。，从而。-：+==0,解得。=-1

22

13113

(团)由(团)矢口j(x)=—InxH------1—x+l(x>0),/=----------r+—

2x2x2x22

2

_3x-2x-l_(3x+l)(x-l)人短徂丫_〔v—_1,甲丫一1不立土、+前氏仝土、土Yumn

2/-2/…一一…zr,23…23〜

时，((无)<0故"X)在(0,1)上为减函数；当无e(L+9)时，((无)>0故/(无)在(1,田)上为增函数，故〃无)

在尤=1处取得极小值/⑴=3

本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基

础知识，考查运算求解能力

3-2.(2024高二下•重庆巫溪•期中)已知函数/(x)=e*C?+ax+l).

⑴若曲线y=/(元)在点(2)(2))处的切线与X轴平行，求a的值；

(2)求函数/⑺的极值.

【答案】⑴。=-3

(2)当a=0时，函数丁=/(尤)无极值；

2—/7

当。>0时，"(切极大值=/(F—l)=e-i(“+2),"(初极小值=/(-1)=二；

2—ci

当。<0时，"(x)]极大值=/(T)=―,[/(x)]极小值=/(一a一D=e「"T(a+2)

e

【分析】(1)先由所给函数的表达式，求导数/(X),再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由平行

直线的斜率相等列方程求”的值即可；

(2)对参数。进行分类，先研究人元)的单调性，再利用导数求解/(x)在R上的极值即可.

【详解】(1)frM=ex(x2+ax+l+2x+a)=e%[x2+(tz+2)x+4z+l].

因为曲线y=fM在点(2"(2))处的切线与x轴平行，

所以丁(2)=0,即1(2)=匕2[4+2(。+2)+Q+1]=0,

所以a=—3.

(2)f\x)=ex(x+tz+l)(x+1).

令/'(x)=。，贝!]九=一a-l或九=一1.

①当a+l=l,即a=0时，fr(x)=e%(x+1)2>0,

所以函数>=/(%)在(-°°,+00)上为增函数，函数无极值点；

(2)当一(。+1)v—1,即〃>0时.

(-co,—a-1)—a-K-a-1,-1)-1(-l,+oo)

f'M+0-0+

极

/（无）71极大值71

小值

所以当x=-4-1时，函数有极大值是e-"T（a+2）,

当x=-1时，函数有极小值是2—~〃

③当-(a+l)>—1,即a<0时.

-1—a-1

X(-00,-1)(-1,-a-D(-a-1,+oo)

/'（X）

+0-0+

极极

/（X）7171

大值小值

所以当x=-l时，函数有极大值是2—~a

e

当尤=-a-l时，函数有极小值是e*i（a+2）.

综上所述，当”=0时，函数＞=/（元）无极值；

2—/7

当。＞0时，"（切极大值=/（一。—1）=/-匕+2）,"（初极小值=/（一1）=二；

当a＜0时，"⑶］极大值=/（-1）=一，［〃切极小值=f（-a-l）=e-fl-'（a+2）.

33（2024高三・全国•专题练习）已知函数/（x）=tanx+ln（lT”（gl］求〃x）的极值；

【答案】极大值=°，/（元）没有极小值.

【分析】

Y_1|Y

首先对函数求导解得/。）=/一/2,然后结合〃（x）=x-l+cos2x的单调性，判断函数的单调性,

从而求得函数的极值；

【详解】因为函数"x）=tarM+ln（17）,尤

LLt、irf(\1—111X—l+COS?%

所以/(*)=—+匚T—+=1=(尤_])cos2尤

设/z(x)=x-l+cos2x,〃(x)=1—2cos%sinx=1—sin2%>0,

所以M“在15，"上单调递增.

又〃(。)=。，

所以当xe1时,3)<0；

当尤£(0,1)时，/?(x)>0.

又因为(x_l)cos2%<0对XG恒成立，

所以当xe1号可时，川")>0,即〃x)在区间［-'8］上单调递增,

当xe(O,l)时,r(x)<0,即外力在区间(0,1)上单调递减,

故/(*)极大值=4°)=。，"尤)没有极小值・

3-4.(2024・广西南宁•一模)设函数〃x)=(x-a)(x—6)(x-c),a,b,cwR,尸(x)为/(x)的导函数.

(1)当a=b=c=0时，过点尸(1,0)作曲线y=/(x)的切线，求切点坐标;

⑵若加b,b=c,且和f(x)的零点均在集合-2,3中，求〃x)的极小值.

327

【答案】⑴切点坐标为(0,0),

2，-8~

,、256

2----.

27

【分析】(1)把〃=6=c=0代入，求出尸(无)并设出切点坐标，利用导数的几何意义列式求解作答.

(2)根据给定条件，求出〃%)和尸(司的零点，分类探讨求出〃再利用导数求出极小值作答.

【详解】(1)当a=b=c=0时，/(x)=x3,求导得—(%)=3兀2,

设过点尸(1,0)作曲线y=/(x)的切线的切点为(与,常)，则广(尤°)=3x：,

于是切线方程为y-M=3看(X-X。)，即片3d-2年，因为切线过点尸(1,0),

3327

即有0=3尺-2年，解得%=0或%=2,所以切点坐标为(0,0),

2，-8-

(2)当a1b,Z;=c时，f^x)=^x-a){x-bf—(tz+2Z?)j;2+b(2a+b^x-ab1,

求导得尸(x)=3(x-b)[-出了)，令"了)=0,得x=l^x=”了,

/8口^*72a+b为□+«人。212a+ba-b

依题忌"，b,一--都在集合12,-2,鼻|中，且a1b,a=——

51。JJJ

、“42a+ba-b八2a+b7l^2a+b_2

当a>b时，a----------=------->0,且〃-------<a-b,贝rl|a=2,Z?=-2,

3333-3

wT2a+ba-b八„2a+b7rM,2a+b2>“人口='

当〃<Z?时，a----------=-------<0,且。------->a-b,贝!Ja=-2,b=2,---------=—,不符合题思,

33.333

因此a=2,b=—2,/(x)=(x—2)(%+2)2,/'(%)=(x+2)(3x—2),

22

当％v—2或1〉一时，f\x)>0,当一2Vxe—时，f(x)<0,

33

于是函数4%)在(f,-2),+8)上单调递增，在[-2,g)上单调递减,

所以当X=g时，函数/(X)取得极小值为=

3-5.(2024・河北•模拟预测)已知函数/(x)=4-aln(x+b).

(1)证明：当“>。,6=。时，/(X)有唯一的极值点为%,并求/(%)取最大值时吃的值;

(2)当6>0时,讨论〃x)极值点的个数.

【答案】⑴证明见解析，%=1

(2)答案见解析

【分析】(1)当°>0,8=0时，求得广(天)=02。,得出函数〃x)单调区间及有唯一的极值点为

%=4〃，由/(xo)=2a-2aln(2a),a>。，令t=2a,设g«)>0,求得g'(t)=-lnf,得出g«)取

得最大值1,即可求解；

(2)当10时，求得尸(x)=+6,当时，由尸(x)>0,得到〃尤)极值点的个数为。个；当。>0

2y/x(x+b)

时，设"(x)=%2—2ox+b,分4a2—4X0和4/一4〃>0,两种情况，结合二次函数的性质，求得函数的单

调性和极值点的概念，即可求解.

【详解】(1)证明：当。>0,6=0时，/(x)=Vx-6zlnx,可得"％)的定义域为(0,+8),

H,/x1a«-2a人r”\n由2

且尸=__='-----,令/（尤）=0,解得X=4.2,

2-Jxx2x

当0<x<4/时，r（x）<0,f（x）单调递减；

当x>4〃时，f'M>0,〃x）单调递增，

所以当尤=4/时，〃尤)有唯一的极小值，即f(x)有唯一的极值点为％=4。2,

由/(毛)=/(4a2)=-\/4«2—aln(4«2)=2a—2aln(2a),a>0>

令t=2a,设g«)=rTlnf,f>。，可得g'«)=-inf,

由g'(/)=0,解得f=l,

当0<r<l时，g'(r)>0,g⑺单调递增；当t>i时，g'«)<0,g⑺单调递减,

所以当r=l,即。==时，g⑺有唯一的极大值，即g⑺取得最大值1,

2

所以当/(%)的最大值1时，x0=4a=l

1a_x-2a\fx+b

(2)解：当b>o时，的定义域为［0,+s),且尸(x)=

2\[xx+b2y[x（x+b）

①当aWO时，/(犬)>0时\/%6(0,+勾恒成立，此时〃x)单调递增，

所以〃x)极值点的个数为0个；

②当a>0时，设h(6)=x-2a&+b,即/z(x)=x?-2<u+b(x20)

(i)当4/一4640,即0<a4C时，可得〃(x)20,即/'⑺NO对Vxe(0,+<»)恒成立，即/⑺在(0,+s)上

无变号零点，所以此时极值点的个数为。个；

(ii)当4a2一46>0,即a>四时，

设以龙)的两零点为百,%2,且工1<工2，xx+x2=2a>0,xxx2=b>0,可得石>0,冗2〉°

即f,(X)在(0,+8)上有2个变号零点,所以此时极值点的个数为2个;

综上所述，当aV扬时，/(*)的极值点的个数为0；

当°>昭时，〃x)的极值点的个数为2.

彩健题淞籍（二）

根据函数的极值、极值点求参数

根据函数的极值（点）求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为。和极值这两个条件列方程组，利用

待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.

题型4:根据函数的极值求参数

4-1.（2024高三上•四川绵阳•阶段练习）已知函数/（尤）=:尤+

326

⑴若/（X）在（g,2）上存在单调减区间，求实数m的取值范围；

⑵若"X）在区间（九+8）上有极小值，求实数机的取值范围.

【答案】（1）根＜、

2

【分析】（]）求出函数/⑴的导数/'（X）,利用/'（幻＜0在§,2）上有解，分离参数求解作答.

（2）由（1）的信息，分析函数的极值情况，再建立不等式求解作答.

|vyi1

【详解】（1）函数/（尤）=彳尤?+V-无+求导得广意）=，+,如-1,

因为函数/⑺在（（2）上存在单调减区间，则不等式/+,vx-\＜0在（g,2）上有解，

即在（上2）上成立，而函数y=在（上2）上递减，显然二＜工一x＜（,于是，

x2x22x22

所以实数机的取值范围是加＜].

（2）由（1）知，/（》）=0,即9+如一1=0,解得x二^一相+J"+4,

1222

当了＜%或%＞九2时，/'（兀）＞0，当不〈尤〈尤2时，/'（无）＜0，

即函数fM在（73,画）,（移+00）上单调递增,在（XpX2）上单调递减，因此函数了（九）在巧处取得极小值，

于是F+J2+£＞/即标荷＞3机,当机40时，不等式成立，当机＞0时，解得0＜g,则加＜，，

所以实数加的取值范围是〈正.

2

42（2024・湖南•模拟预测）已知函数〃力=办3+所在％=1处取得极大值%则6=（）

A.8B.-8C.2D.-2

【答案】B

【分析】先求函数的导数，把极值点代入导数则可等于0,再把极值点代入原函数则可得到极值，解方程组

即可得到从而算出a的值.

【详解】因为/(%)=渥+法，所以/(%)=3加+》,

所以r(l)=3a+b=0,〃l)=a+6=4,解得°=-2,6=6,

经检验，符合题意，所以。-6=-8.

故选：B

4-3.(2024高三下,贵州•阶段练习)已知函数〃尤)=；必-。+4无+am尤在x=a处取得极小值，则实数a的

取值范围为()

A.[l,+oo)B.(1,+co)C.(0,1]D.(0,1)

【答案】B

【分析】求出函数的导函数，结合已知条件和导函数的零点即可判断.

【详解】因为函数/(x)=gx?-0+a)x+alnx,

则:3=11+力3="-")(1),

要使函数在x=。处取得极小值，则。>1,

故选：B.

4-4.(2024•陕西商洛•三模)若函数/(x)=x3+a?+(a+6)x无极值，则。的取值范围为()

A.[-3,6]B.(-3,6)

C.(-<»,-3]u[6,+oo)D.(一℃,—3)(6,+co)

【答案】A

【分析】直接对函数求导，再利用极值的定义即可求出结果.

【详解】因为/0)=/+依2+(4+6口，所以/0)=3/+2以+0+6,因为/(x)无极值，所以

(2a)2-4x3x(a+6)<0,解得—3VaV6,所以。的取值范围为13,6].

故选：A.

4-5.(2024高三下•湖南长沙•阶段练习)函数8(*)=里■在区间上,")(feN*)上存在极值，贝心的最大值

为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】利用导数讨论函数的单调性和极值即可求解.

【详解】函数g(x)=喏的定义域为(。,+动，

一・(尤+l)—lnx,<_1

'(\_x+l_xmx,

So\xv)--7^2---7

(尤+1)x+1)

令/(x)=x+l—xlnx,/f(%)=1—In%—1=—Inx,

所以当xe(O,l)时,r(x)>0,当x«l,内)时,((x)<0,

所以f(无)=x+l-xln尤在(0,1)单调递增，(1,+8)单调递减，

所以13)皿=1(1)=2>0,

又因为当xe(0,1)时，lnx<0,-xlnx>0,则/(%)=x+l-xlnx>0,

/(3)=4-31n3=lne4-ln27>0,

/(4)=5-41n4=lne5-ln256<In243-ln256<0,

所以存在唯一%e(3,4),使得/5)=。，

所以函数在尤e(。,％)时f(x)>0,口(毛,+8)时/(刀)<0,

所以函数g(x)在。%)单调递增，(%,+W单调递减，

所以要使函数g(x)=E=在区间［r,”)(reN*)上存在极值，

所以/的最大值为3,

故选:B.

题型5:根据函数的极值点求参数

5-1.(2024高三上•辽宁鞍山•阶段练习)已知函数〃x)=2e'-1-2》-办2〃为实数.

(1)。=0时，求/(x)的极小值点；

(2)若x=0是/(x)的极小值点，求a的取值范围.

【答案】⑴0

(2)

【分析】(1)将a=0代入求得了(无)的解析式，利用导数判断出的单调性即可求得极小值点为0；

(2)根据/(尤)解析式求导，对参数。的取值进行分情况讨论，分别判断出不同情况下的单调性，求出满足

题意的情况即可得出。的取值范围..

【详解】(1)a=0时，"x)=2e'-l-2x,xeR〃x)=2e，-2,

令1(x)>。，解得x>0,所以/⑴在(0,+s)上单调递增;

广(丁)<0时，x<0,所以/(尤)在(-8,0)上单调递减，

所以〃盼的极小值点为o(也可写x=0)

(2)易知尸(x)=2e，-2-,且广(0)=。,

令g(x)=2e*—2-2ar,xeR,则g'(x)=2e*-2a,且g'(0)=2-2a,

①aV0时g'(x)>0,g(x)也即/'(x)在R上单调递增，

所以当xey,0),g(x)=,(x)<g(0)=尸(0)=0"(x)单调递减,

同理当xe(0,+8),g(x)=/Xx)>/'(0)=0,/(x)单调递增

%=0是/(功的极小值点，符合题意

②ae(0,1)时，令g'(x)=0,解得x=Ina,

当xe(lna,+oo)时,g'(x)>0,g(x)单调递增，且g(0)=0,

xe(lna,0)时，g(x)<g(0)=0,即/(无)<0,所以/⑺单调递减，

xe(0,+oo),g(x)>g(0)=0,gpf'(x)>0,所以f(x)单调递增,

》=0是/(工)的极小值点，符合题意

③0>1时，xe(0/na),g，(x)<0,g(x)单调递减，

g(x)<g(0)=0,"x)单调递减,

这与犬=。是/(无)的极小值点矛盾，舍去

④a=1时，f\x)=2e*-2-2尤,xeR,

令g(x)=2ex-2-2x,xeR,贝ijg，(x)=2e*—2；

xe(0,+oo),g'(x)>0,f'(x)单调递增,

xe(f,0),g'(x)<g'(0)=0,此时/'(x)单调递减，

所以/'(x)在x=0处取得极小值，也是最小值，

即当xeR,((幻>1(0)=0,可得/(%)在R上单调递增，

此时x=0不是/(x)的极小值点，舍去

综上可知，。的取值范围为(-甩1)

【点睛】关键点点睛：在求解。的取值范围时，关键是求得了'(x)=2e，-2-2ax,xeR以后进行构造函数再

重新求导，对参数”的取值根据导函数的特点进行合理分类讨论，解出符合题意的。的取值范围即可.

5-2.(2024高三上■河南洛阳•开学考试)己知函数〃x)=cosx+依sinx

(1)若a=l,求曲线y=/(x)在点(兀J(兀))处的切线方程；

(2)若尤=0是的极大值点，求。的取值范围.

【答案】(i)m+y-兀2+1=0

(2口，;

【分析】(1)根据导数几何意义可求得切线斜率-(冷，结合/(兀)=-1可得切线方程；

(2)将问题转化为存在&e(O,+8),使得当尤«f,0)时，f^x)>0；当xe(O,石)时，/'(x)<0；令

g(x)=f,(x),可求得g<0)=2a—l,分别讨论g'(0)>0、g'(0)=0和g'⑼<0的情况,结合g'(x)的正负

可得尸(x)的单调性，结合/(。)=0可确定了'(X)的正负，从而确定〃x)单调性，由此可得到符合题意的范

围.

【详解】(1)当a=l时，/(x)=cosx+xsinx,贝！J/'(九)二—sinx+sinx+%cosjr=«xcos尤，

f(7C)=71COS71=—71,又/(兀)=COS兀+7tsin7l=—1,

.•.y=/(x)在点(兀,/(兀))处的切线为：,+1=-兀(％-兀),即值+y—储+1=0.

(2)由题意知：/'(%)=(。一l)sinx+办cosx,.=0恒成立；

1=0是〃%)的极大值点,

・•・存在%£(。,+8),使得当次£(-石,0)时，>0；当x«0,x,)时，r(x)<0；

令g(%)=/'(%)=(a-l)sinx+orcosx,

贝Ug'(x)=(2a-l)cosx—办sinx,g'(。)=2a-l.；

①若g'(0)>0，即时，存在％26(。,”)，使得当x«0,%2)时，g'(x)>。，

・••[(同在(0,马)上单调递增.，则当％£(0,%)时，/'(%)>/'(0)=。，

\/⑴在(0,%)上单调递增，不合题意;

②若g'(o)=。，即［=；时，g'(%)=-;xsinx；

令h(x)=g'(%)=——xsinx,则”(%)=--sinx--xcosx=--(sin.r+%cos

222'

.•.当xe(-g,oj时，//(x)>0；当时，〃(x)<0；

.•血x)在[-别上单调递增；在力上单调递减；又/<0)=0,

二当xe]-/?时，%(x)=g'(x)WO,；.g(x)在(一上单调递减，

g(O)=/'(O)=。，；・当无｝寸，/^)>0,当xe(0,3时，_f(x)<0,

\/⑴在(-用上单调递增，在由上单调递减，符合题意；

③若g'(O)<。，即■时，存在泡€(0,”)，使得当彳€(-毛,天)时，g'(x)<o,

.•.8(”在(-演,£)上单调递减,

g(O)=r(O)=O,.•・当工«-玉,0)时,f^x)>0；当xe(O，w)时，/(%)<0；

\/(X)在(-玉,0)上单调递增，在(O，w)上单调递减，符合题意；

综上所述：实数。的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题考查导数几何意义、根据极值点定义求解参数范围的问题；本题求解参数范围

的关键是将问题转化为对于函数在x=0左右两侧的单调性的讨论问题，进而再次转化为关于尸(x)在x=0

左右两侧的正负的讨论问题.

5-3.（2024高三上•安徽阜阳•阶段练习）已知函数〃x）=p+"-alnx.

⑴若。=1,求函数〃元）的单调区间；

（2）若函数/（》）存在唯一的极值点，求实数a的取值范围.

【答案】⑴"X）的单调递减区间是（。,1），单调递增区间是。,口）

⑵（-oo,0]U，，+=°]

【分析】（1）根据导数与函数单调性的关系，利用分解因式整理导数，结合导数与零的大小关系，可得答

案；

（2）由函数存在为唯一极值点，可得导数等于存在唯一零解，根据分解因式的结果，讨论各个因式与零的

大小关系，可得答案.

【详解】（1）“X）的定义域是（。,+8）,广⑺=二+"，=一f+（痴+1卜一4-二>一1乂痴一耳,

exxxexxex

当a=l时，/⑺=区咚-@,令尸（冷=0得x—l=0或者e，-x=0，

令g（x）=e*—x（x>0）,g<x）=e，-1>0,g（x）>g（0）=e-l>0,

所以尸（x）=。只有一个实根x=l.

当x<l时，r（x）<0,/（x）单调递减；当尤>1时，/^x）>0,/（x）单调递增.

综上所述，/（X）的单调递减区间是（。,1）,单调递增区间是。,笆）.

（2）函数有唯一的极值点时，导数尸（x）=一"）有唯一的正实根x=l,

且在两边取值正负号相反.所以ae"-x之0或者ae%-尤K0在（。,+e）上恒成立.

显然aW0时，ae"-％W0符合要求.

当a>0时，aex-x>01等价于。之?，令/?（司=三，=

g（x）在（0,1）上单调递减，在（1,欣）单调递增，X=1时取最大值J

因此a»g（x）.

综上所述，实数a的取值范围是（-s,0]U

【点睛】本题的解题关键在于熟练应用导数与函数单调性关系这一知识点，对于导数的整理方法一般分为

分解因式以及再次求导研究其单调性两种方法.

5-4.（2024高二下•江苏南通・期末）若x=a是函数/（尤）=（尤-°）2（尤-1）的极大值点，则。的取值范围是（）

A.a<1B.a<lC.a>lD.a>l

【答案】A

【分析】求导后，得导函数的零点“，审，比较两数的大小，分别判断在x两侧的导数符号，确定函数

单调性，从而确定是否在了=。处取到极大值，即可求得。的范围.

【详解】解：/（%）=（%-a）2U-l）,xeR

「•/'（%）=（x-a）（3x-a-2）

令/'（尤）=（x-a）（3x-a-2）=0,得：x=a,x=^^

当审，即a<1

此时/⑺在区间（-叫㈤单调递增，（”,等）上单调递减，（等,+8）上单调递增，符合x=a是函数了⑴的极

大值点，

反之，当a>—--,即°>1,此时/（x）在区间（-co,---）单调递增，（一--,"）上单调递减，上单调递

增，x=a是函数/CO的极小值点，不符合题意；

当。=平，即。=1,广（沙20恒成立，函数/⑴在xeR上单调递增，无极值点.

综上得：3<1.

故选：A.

5-5.（2024高三下•江苏南京・开学考试）已知函数〃"=二-：/-5（。€1<）有两个极值点，则实数。的取

值范围（）

A.（一叫1）B.（0,1）

C.[0,1]D.（l,+oo）

【答案】D

【分析】利用多次求导的方法，列不等式来求得。的取值范围.

x

【详解】“X）的定义域是R,f\x）=e-x-a,

令/z(x)=ex—x—a,=e%—1,

所以妆%)在区间(-oo,0),K(x)<0,/z(x)递减；在区间(0,+oo)，/⑺>0/(%)递增.

要使〃力有两个极值点，则尸(。)=M。)=1-。V。，。>1，

此时/'(-a)=e-。一(一a)—l=e1">0,

1y—1

构造函数g(x)=x-ln2Mx>l),g'(x)=l一一=----，

xx

所以g(x)在(l,+oo)上递增,所以g(x)>l-ln2>0,

所以/"'(in2a)ne1"?"-In2a-a=a-ln2a>0,

所以实数a的取值范围。,收).

故选：D

【点睛】利用导数研究函数的极值点，当一次求导无法求得函数的单调性时，可利用二次求导的方法来进

行求解.在求解的过程中，要注意原函数和导函数间的对应关系.

炼习与梭升

一、单选题

1.(2024•全国)若x=-2是函数，(尤)=(/+口-1把人的极值点,则F(x)的极小值为.

33

A.-1B.-2e-C.5e~D.1

【答案】A

【详解】由题可得/''("=(2》+<2)*1+(炉+6-1)/7=口2+(°+2)了+4-1卜1,

因为/'(一2)=0,所以a=-l,/(x)=(x2-x-l)^-1,故为(x)=(d+x_2)/T,

令/'(x)>0,解得x<-2或x>l,

所以〃x)在(―,-2),(1,也)上单调递增，在(-2,1)上单调递减,

所以/(力的极小值为/⑴=(1—1-1)/T=一1,故选A.

【名师点睛】(1)可导函数y=f(x)在点X。处取得极值的充要条件是r(x0)=0,且在X。左侧与右侧尸(x)的符

号不同；

（2）若/（x）在（a,b）内有极值，那么/（X）在（a,b）内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有

极值.

2.（2024高二下.安徽亳州.期末）设函数“X）的定义域为R天（毛片0）是/1⑺的极大值点，以下结论一定

正确的是（）

（）

A.Vxe7?,/x</（X0）B.一玄是/'（一力的极小值点

C,f是-/（尤）的极小值点D.-%是-/（-力的极小值点

【答案】D

【详解】对于A选项函数的极大值不一定是函数的最大值，所以错；对于B中的/'（-X）是将/（x）的图象关

于y轴对称，所以-演是其极大值点,错误；对于C中的-f（无）是将/（X）的图象关x轴对称，所以％才是其极

小值点，错误；而对于D中的-/（-X）是将Ax）的图象关原点对称，故-%是其极小值点，正确.

故选D.

3.（2024高三上•全国・单元测试）设〃力0,若。为函数〃元）=a（x-“y（x-6）的极大值点，贝U（）

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【分析】

先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对“进行分类讨论，

画出/（K）图象，即可得到a,人所满足的关系，由