多元函数条件极值-解析版

专题6多元函数条件极值

多元函数条件极值是学生数学学习的一个心病，卡壳点极多.众所周知，消

元需要结构判断与变形技巧，然而技巧也是知识，面对多元函数条件极值，只有

准确的审题和正确的解题思路并不意味着题目的解决，需解决题目还必须正确和

专业地完成一些技术性的具体操作.这些操作没有创新性，只需要你的专业性和

专注力.对大多数学生而言，这两方面都存在着解题障碍与思维痛点.多元函数

条件极值求解中有许多智慧点，掌握它才能破解难题，积累技巧，丰富智慧.

一、二元函数条件极值结构识别

问题1：已知正实数a,b满足9a2+炉=1,则的最大值为.

【解析】卡壳点：看不出结构特点，也不会换元处理.

应对策略：把握条件与目标变量结构之间的联系.

问题解答：解法1利用不等式作《、干，可得馈丫=

-+-\23a十匕J-+-、2

xy23aN

力.故^^的最大值为3

3V23a-\-b12

【反思】在识别出条件与所求目标之间是调和平均数与平方平均数的联系后,

直接利用基本不等式就可以解决问题.

解法2由9a2+>=i可得M41.

6

同理3a+匕>2y[3y[ab.

以上两处不等式的等号均在3a=5时取得.

abab_y[ab1V2

故

3a+b、2V3VaF2V3、2V3-V612

故ab的最大值为圣

3a+b

【反思】只需要运用两次基本不等式就可以破解,但要注意等号成立的条件.

211

由9a2+炉=1可得就《g则

6\3CL~rb/72

所以总的最大值为噂.解读：在整体思想的支配下，把M视为一个变量去

3a+b12

探究所求目标与条件之间的联系.

解法4令3a=sin6,b=cosO,9e（0,1）,则sinOcosQ

sin0+cos0

_f-z._-i

令sine+cos9=t,te（1,V2],贝Usin。•cos6=---.

sinOcos6

sin0+cos0

由于函数在区间（1,迎］上单调递增，故当t=/时，取最大值去.

【反思】二元函数"9。2+块=1"转化为一元函数最直接的方法就是三角换元.

二、二元函数消元基方方法运用

问题2：已知a>0,b>0,且一一十一一=1,则a+b的最小值是，止匕时

a+2a+2b

【解析】卡壳点：看不出所求目标与条件式在结构上的联系，也不会消元转

应对策略：已知两个量之和为定值1时，学会用均值法减元或将目标整体设

为末知元.

问题解答：解法1令一=：一七，1,于是a+2=^-,a~\~~2b=

a+22a-\-2b2--t

两式相加得2a+2b+2=i—+i—=

——t--rt

3,

令^―-=u,整理得〃/+「+---=0.

—严24

4

方程有实根，则/=1一411《一4》0,即虱2一6虱+1》0,解得观》时史

\24/2

=3+2V2.

于是2a+2b》1+2A/^,a-\-b1+V2,a+b的最小值是1+A/^.

从而=+V—=1，化简得a2—2V^a+2=0,解得a=&.

解法2令a+b=3b=t—a,代人条件得2a+4(七—a)+a+2=

(a+2)[a+2(t—a)].

即4t-a+2=—a2—2G+2at+43整理得M+q—2t)a+2=0.

方程有实根，则/=(2t—1)2—8》0,解得

代回原方程可得a?—2&a+2=0,解得£1=鱼.

【反思】均值消元的前提条件是题设中有两变量和为定值的特征，借助均值

法可以将二元函数化归为一元函数，此时至少有两个途径：一是化成二次方程，

2+t

然后用判别式法建立目标函数的不等关系式;二是利用导数工具求最值,如令片

=u,求a=o,从而求得二元函数的最值.

三、二元函数化数式结构识别

在多元函数条件极值问题中，代数式是基本的特征，因此判断代数式的结构

特征成为解决问题的关键，然而，学生在代数式结构判断方面意识不强，导致求

解受阻甚至失败.

问题3：已知实数a,b满足be(0,1)且a—5=1,则二?+义的最小值是

【解析】卡壳点：看不出条件与所求目标代数式之间的结构联系.

应对策略：充分挖掘代数式结构特点，寻找与数学模型相似的结构.

|可题解答:解法1(基本不等式)因为1=Q—b=ct—1~\~--b-所以“=ct—

444

1+--b.

4

11

CL—15—4b

从而

>45/(54+,19

5

当且仅当1）时取等号.

故士+1的最小值是:

a-15-4b

解法2（导数法）由已知得a—1=儿/（匕）=三+^=：+^'be

(0,1).

对/（匕）求导得尸（b）=—a+—=0,

当5-45=±25,即b=|时,/3嬴=/(1)=]

o\ozO

故工+1的最小值是:

a-15—4匕

1+2

解法3（权方和不等式）三十^=三+1;9

5,>

4~b(a-l)+Q-b)5

1

当且仅当1=存时取等号.

a-14~b

故工+1的最小值是:

a-15-4b

【反思】（1）此题的条件与所求目标中的代数结构隐藏得比较深，若要顺利求

解，首先要善于判断，其次要学会将已知条件向着所求目标不断变形.

⑵不同思维层次的读者会有不同的方法，上面给出的三种解法仅供参考.

四、多元函数消元途径探究

多元函数条件极值的另一个特征是变量多，要消元，变多元为一元，再用一

元函数求最值的方法求解，或整体看作一元处理.不同结构特征的代数式消元的

方法也不同，然而部分学生针对不同类型的多元结构，消元的基本方法储备不足,

运用不熟，导致消元失败或找不到问题求解的基本思路.

问题4：已知正实数a,B满足+求新的最大值.

(2a+b)b(2b+a)a

【解析】卡壳点：看不出条件与目标间的联系.

应对策略：充分挖掘所求目标与条件代数式结构之间的联系.

问题解答：解法1(结构剖析+基本不等式)

a2b

口,2a+b+2b+a

2(2a+b)—(26+a)2(2b+a)—(2a+b)

_3「X3

2a+b2b+a

_ll2b+a2(2a+b)l2V2

232。+/)+2b-\~a4?3

22224

((2b+a)2=2(2a+b)2,(a=^~,

当且仅当彳a,2b即《工普时，取等号.

(2a+b2b+ayb-CL

【反思】找出所求目标与条件代数式结构之间的联系是关键.化简过程的前

三个等号中，第一个等号容易想到.第二个等号建立在

a=A(2a+b)+A(2b+a)

12>的基础上，即将分子线性表示为两个基本量2a+b

2b=〃i(2a+b)+〃2(2b+a)

『X由2〃1+〃2=0,解

与2b+a之间的数量关系，由

x：>4=一』；41+2〃2=2

%2

得第三个等号在于化简呈现出对勾函数形式，为使用基本不等式奠

〃23.

定基础.最后在求最大值时，要解一个复杂的二元分式方程组，这也会成为解题

障碍.

解法2(换元+基本不等式)

令A七,=一D，则mila7b=--a--+।----=——1+।--z-r-=1y+।--r---±--

a2a+b2b+a2+t2t+l2t2+5t+2

令a=t-1(为求最大值，考虑其大于0),

则gQ)=l+,：,=1+—1+-^—=2--,

2小+如+92U+5+96V2+93

2

当且仅当“2=3即1)2=?,即已一1)=3且劭=三十即

2v72\a722a+b2b+a

2_22V2-24

a二一，时取等号.解读：解法2第二行的前三个等号中，第一个等号容

{b=­T-a

易想到，第二个等号是建立在前面的分式为一次齐次式基础上的变量换元，第三

个等号是将分式运算后的假分式转化为真分式的过程，然后根据‘I；的分子

分母特征再次换元，为下一步化简呈现出对勾函数形式及使用基本不等式奠定基

础.在求最大值点时，要解一个复杂的二元分式方程组，这也会成为运算障碍.

解法3(判别式法)令a=ab,b=-,于是条件转化为丁X+V^=l.

a2u+b22u+a2

整理得(2〃+匕2)(2〃+a2)=6〃+a2+2匕2,即(2a—l)a2+(2u—2)b2

+5u2-6u=0.

两边同乘以小得(2a—l)a4+(5u2—6u)a2+(2u—2)u2=0,此方程为关于

小的二次方程，该方程有解，则由判别式可得(5〃2一6〃)2-4(2〃-1)(2〃-

2)u2>0.

整理得91?一36虱+28>0,解得U4S362-4X9X28=?—也,当且仅当

183

(ab=2-^,(ab=2-^l,

)a.2b_2V2叫心4V2\21fn吟:28vl112时取等节.

(加+加—2—亍，=--v

【反思】不同数学思维层次的学生接受能力不同，有些学生习惯用判别式法

解决，此方法相对比较固定、程序化，容易掌握，只是如前所述，在求最大值点

时，要解一个复杂的二元分式和二元二次方程组，这会成为运算障碍.

⑴将目标代数式表示成条件代数式中元素的线性组合，这是一个重要的方法.

⑵利用待定系数法确定其中的待定系数，比较方便.

五、二元函数极值消元层层剥离

解决多元极值问题的基本思想方法（消元意识+消元技巧+变形能力十运算

能力）是问题突破的基本途径，没有在脑海中建立起这些基本思想方法，就无法

解决此类问题，痛点自然产生.

问题5：若实数X,y满足％》一1,y》—1且2*+2旷=小+4乙求22尸尸+

22y-x的最大值.

【解析】卡壳点：对于指数式结构换元意识不到位.

应对策略：识别条件与所求目标中代数式结构特点，每个结构特点都有相应

的方法.

问题解答：条件式与目标式中最明显的表征就是含有指数形式.

设2苫=（2,2y=b,则a,匕》g且a2+b2=a+b.

记所求代数式为M,则a+b（代数变换，将指数结构转化为代数式

结构）

解法1"=丝+胃=Y箴,

ababa“十匕"

令广如则知=%*=千缶=6+升2）（1-2）.侪次变

换，将分

式结构转化为对勾函数结构）令t+j=s,于是得M=（s+2）（1-：）=l+s-

白（代数变换，简化函数结构）

S

2久+2，=4久+4"转化为（a—/+（5—丁=”指数变换，将条件转化从

而呈现几何结构）

于是点（a,6）在圆心为G，3，半径为了的;圆弧上（包括端点），从而有幸

=tG[V2-1,V2+1],se[2,2V2],故M的最大值是1+誓.

1

+0

-V-2cos

2

2[o,外，（三角变换，将目标二元结构转

解法2令1E

+V-20e

-2sn

2in

化为一元结构）则知=[2+y2(sin0+cos0)][3+v2(sin0+cos0)-2sin0cos0]

2[1+V2(sin0+cos6)+2sin0cos6]

々t=sine+cos6,则t=V^sin（6+G[1,V2],且2sin0cos0=t2—1.（代

数变换，将目标三角函数转化为代数函数）

故时=乎（；亡）+141+?，即M的最大值为1+y.

【反思】⑴面对如此复杂的目标一二二元分式无理函数，观察条件

"x+2y=5",发现其结构可以进行三角换元.

⑵将代数函数转化为三角函数后，必须有三角变换的基本功作为支撑,当然,

这也是训练三角变换的机会.

六、二元函数条件与目标结构挖掘

多元函数条件对所求目标一般都有结构上的暗示，通过对条件与所求目标结

构的挖掘，找到解决问题的思路.

问题7：设％,y为实数，J=Lx2+2%y+4y2=6,求/+4y2的取值范围.

【解析】卡壳点：缺乏对目标结构与条件结构的换元意识与求解方法.

应对策略：条件结构挖掘，三角换元；目标结构挖掘，三角换元.

22

问题解答：解法1设/+4y2=t,则有扁+为=1.

设％=V?cos。,y=J|sin0,0E[0,2TT],

代回条件式得tcos20+tsin0cos0+tsin20=6.

整理得sin2。=工[—1,1],解得te[4,12].

故%2+4、2的取值范围是[4,12].解法2条件式配方得（%+y）2+3y2=6.

令%+y=V^cosa,V3y=V6sina,贝!J/+4y2=_4sin(2a+2)+8E

[4,12].

故/+4y2的取值范围是[4,12].

解法3令m,则/―2几=6,x2+4y2=m2—4n.

kxy=n,

将变换式汽=租—2丫代人工2+2)7%+4)72=6,消去％得4y2—2my+mz—

6=0.

由/>0得zu248.

又当m=0时，n=-3,此时关于汽，y的方程组["+2、m,有解，

vxy=n

所以0<m248,x2+4y2=m2—4n=m2—2(m2—6)G[4,12].

故/+4y2的取值范围是[4,12].

解法46=%2+2y%+4y2》4\xy\+2xy,当且仅当、=2y时取等号.

当户》0,时，解得0《孙《1；

16>4xy+2xy

当[町<°’时，解得-3<xy<0.

16>—4xy+2xy

所以一3<xy<l,t^x2+4y2=6—2xyE[4,12].

故》2十句/2的取值范围是[4,12].

【反思】从给定的代数式结构中寻找变形突破口是智慧思考之一.

强化练习

1、⑴若正数a，°满足W+W=L则3a+2b的最小值是-------

【解析】⑴令3Q+2b=X(Q+/?)+〃(Q-Z?),

仁二'所“2=r

则

1

5a+b1a-b

于是3a+2/?=-(a+b\+—(a-b\|--——I——--=3+—x------+—x

2，)2、7U+Z7a-b2a-b2a+b

..3+2

⑵若正数a,b满足工+2=1,则二7+三的最小值是

aba-1b-1--------

【解析】令'=cos2",—=sin2tz,

ab

171Hl919cos2a9sin2a

贝!J----------1------------二------------------------1---------------------二-----------------------1--------------------

a-1b-11111l-cos2cifl-sin2df

cosasina

cos2a+9sin2«

sin2acos2a

【反思】目标与条件间线性表示的一般方法是待定系数法.

2、若正实数》,y,z满足％+y+z=2,xy+yz+xz=l,则z的最大值是

【解析】由已知得4=X2+/+Z2+2,贝Ijx2+y2+z2=2(*).

又(z—2)2=d+y2+2孙,,21+力，%2+y2…(z22)(**),

所以z2=2—必―立,2—红,

化简得322—4Z,,0,Oit

3

144

当且仅当x=—=y,z=—时，z取最大值一.

3'33

【反思】条件中蕴含关系式"(x+y+z>=d+;/+Z?+2(肛+yz+xz)",建

立(*)式与(**)式之间的桥梁是一个智慧点.

3、设久>0,y>0,x+2y=5,则牡詈里2的最小值为.

【解析】三角换元.

令JWfosa则原式=(58,2”(5•8+1)=述+生皿"

L=7?sinagsin&osd5(sm2。4)

V2

..4A/3.

【反思】充分挖掘条件代数式的结构.

4、已知a,b,cGR,且3+—^=1,则16abe-1|的最小值

1+a21+4匕2l+9c2

为.

【解析】设一r=x>—7=y>—7=z,则x+y+z=l

1+a-1+4Z?l+9c~

,,1V1Y1、(y+z)(z+x)(x+y)

^(6abc)2=a2-4b2-9c2=——1——1——1——八——八~"..8,

U人y人z)孙z

于是6"c的取值范围是~),-20]U[20,+8),所求的最小值为2&-1.

117

当x=y=z=—时取到等号，此时a2^2,b2=—,c2=-,取值时保证abc>0

329

即可.

5、已知正实数％,y满足xy+2%+3y=42,则孙+5%+4y的最小值为

【解析】解法1令取+5x+4y=〃，且孙+2x+3y=42,

两式相减得y=〃一3%-42,

代回得3*+(49—M)X+168—3M=0.

该方程有解，所以判别式非负，BPw2-62M+385..0,(w-55)(«-7)..O,u..55.

u-n什42—2x

解法2y-------,u=xy+5x+4y=xx”+5x+4x—

x+3x+3x+3

3X2+49X+168

,从而有3/+(49-M)X+168-3〃=0有解，所以判别式非负,

x+3

即W2-62M+385..O,(w-55)(w-7)..O,M..55.

【反思】把握整体结构，转化模型.

2222

6、设P为椭圆a+&=l(a>b>。)上的点，点4B分别为双曲线a-^=1

两渐近线上的动点，且标=2而伍为常数)，设。为坐标原点，若AZOB面积的最

大值为《签与某，则工十:的取值范围是

a+b4|A|ab

【解析】设4(劭?,加n)，B^an,-bri),则根据定比分点公式，有

/加+4〃7m-An

P\a-----,/?------

I1+21+2

点P在椭圆上，所以即m2+力/=工（1+㈤2,于

[1+2）[1+2）2

是3（1+彳）2..2同同川，即向““.

由面积坐标公式知S=3玉%,其中A（%,yJ,5（%2，%），

可得AAOB的面积为a。1〃2时„ab+J）,

因此进而工+1=〃+/77a2-^-Sab+b2

—+—

aba1+b2a1+Z?2

令X，〉1,M-+-7x+8x+1_8x—6

bab

此函数当xe（l,2）时单调递增，当xe（2,y）时单调递减，因此所求取值范

围是（7,9].

2,72

【反思】充分挖掘题设信息中隐藏的条件等式巴士=•.

这是一个综合性很强的问题，在关键性一步"（*）"中利用了"1"代换技术，使

问题顺利求解."1"代换技术，就是构造出"1",然后利用公式或给定的信息进行变

形或运算的技术."1"代换技术在三角函数变换和代数式变形中有十分重要的作用,

体现了优化意识、简洁意识.

7、设实数%yz满足Xy+yz+zx=l,求S=4O%2+2Oy2+10z2能取到的最小

整数值.

【解析】已知孙+yz+zx=l,当％=。时，yz=l,贝[J有S=20/十]。%?

..20底yz=20底.

当y=0时，xz=l,贝I」有S=40X2+10Z2..40%Z=40.

当z=0时，xy=l,贝U有S=40/+20/..40底移=40板.

下面讨论孙zw0的情况.

由基本不等式知，存在参数a,/?,7>0,^2=2xy+2yz+2zx

(1、/、

ccx2H—1y2+/3y~9+—z,2+yz■2+-x-,2

aIB7\r7

«+-1x?+|/7+—1|/+,+]■z2

lY)a

当且仅当ax=y,By=z,/z=x时等号成立，此时有%=1.

1,7

a+—=4%

/

a+a/3=4k

令/3+-=2k,则

a(3+-=2k

17a

7+——=k

4左+1

a=-------,

2k+l

8F-1

解得B=

4左+1'

8k3-5k-1

Y=8左2—1

代人协/=1,化简得8人3—7左一2=0,解得1.054（氏<1.055.

22222

所以S=40x+20y2+lOz=—(4fcc+2ky+fc)...—

kk

又18＜上＜19,所以S能取到的最小整数值为19.

k

【反思】多变量消元的技术分析.

8、设久，y为实数，若4%2+y2+%y=i,求2%+y的最大值.

【解析】解法1（方程思想）

设2x+y=/,则y=/-2x.

代人4r+=1,有6x?—3/x+厂—1=0,

将它看作一个关于x的二次方程，则由判别式大于等于0,可得

△=（3户）-46