导数的概念与切线方程（原卷版）-2025年天津高考数学一轮复习

第11讲导数的概念与切线方程

（6类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2024年天津卷，第20题,16利用导数证明不等式利用导数研究不等式恒成立问题由导数求求在曲

分线上一点处的切线方程（斜率）函数的最值（含参）

2023年天津卷，第20题,16求在曲线上一点处的切线方程（斜率）利用导数证明不等式利用导数研究

分不等式恒成立问题

2022年天津卷，第20题,16求在曲线上一点处的切线方程（斜率）利用导数研究不等式恒成立问题利

分用导数研究函数的零

2021年天津卷，第20题,16求在曲线上一点处的切线方程（斜率）

分利用导数研究能成立问题函数极值点的辨析

2020年天津卷，第20题,16

利用导数证明不等式

分

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为16分

【备考策略】L理解、掌握导数的定义，能够运用导数求解基本初等函数的导数

2.能掌握导数的几何意义与切线的性质

3.具备数形结合的思想意识，会求在一点与过一点的切线方程

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数求导数的切线方程。

12.考点梳理*

知识讲解

知识点一.导数的定义

1.函数y=/(x)在x=xo处的导数：

称函数y=/(%)在％=%0处的瞬时变化率A?叱“久°+£-/(⑹=A照言为函数y=/(%)在X=%0处的

导数，记作/(&)或：T|久=为即/(%。)=lim丝=lim"x2-f(x。)

△x-8△%Ax—>00△%

2.函数y=/(%)的导数:

f(%+△%)-/(x)

G)==lim

fy△%T8△x'

3.利用定义求导数的步骤:

①求函数的增量:Ay=/(x0+△%)-/(%o)；

②求平均变化率："=回竺匕3

△%△%

③取极限得导数：fGo)=lim?

Ax^ooAx

知识点二.导数的几何意义

函数y=/U)在点尤=xo处的导数的几何意义是曲线y=/(x)在点P(xo,兀⑹)处的切线的斜率.也就是说，曲线

y=/(x)在点尸(沏，的))处的切线的斜率是"总.即k=Jim"工艺-"-=?匕)相应地，切线方程为匚

AK—TH

/ko)=〃xo)(x-Xo).

曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多.

与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线.

知识点三.导数的运算

1.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)

函数导函数函数导函数

y=c(c是常数)y,=Qy=sinxy'=cosx

y=xa(a为实数)y'=axL2y=cosxy'=—sinx

片十

yr=axlnaJxlna

x

y=a(a>0,a?l)y=logax(a>0,a#l)

特别地(ex)，=ex特别地(Inx)，=:

2.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)](x)士g，(x)；

(2)[f(x)-g(x)]'=?(x)g(x)+f(x)gr(x)；

(3)‘，戈"Y"(了)(g⑴关o).

Lg〈町」Lg⑴」

3.复合函数的导数

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yJux-

即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

规律：从内到外层层求导，乘法链接

考点一、导数的定义

典例引领

1.(2025高三•全国・专题练习)设函数/(久)可导，尸⑴01则忠/(':7⑴=.

2.(2024・湖北黄石•三模)已知函数/(x)=log2*,则lim，⑴,⑵=

即时检测

1.(2025•四川内江•模拟预测)已知函数f(x)=+则由⑴的值为()

J2Ax^O△%

A.eB.-2C.--D.0

2

2.(23-24高三上•上海青浦•期中)已知a£R,曲线y=/(久)经过点(1,2)且在该点处的切线方程为a久+y-5=

0,则lim/(1+ft)~2^

九TOh

3.(2024.全国•模拟预测)已知符号“lim”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①lim酗=1；②

%T0X

1.1

lim(l+x)x=e,则依据两个公式，类比求lim”维匹=_____；lim(l+sin2%)sinxcosx=_______.

、TOXx-»0

4.(20-21高三上・北京•期中)为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物

浓度进行测量.设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c=f(t),甲、乙两人服用该药物后，血

管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示.

①在tl时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；

②在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；

③在山/3］这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同;

④在两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.

其中所有正确结论的序号是—.

考点二、导数的运算与求值

典例引领

1.(2022•全国•高考真题)当x=l时，函数f(x)=aln久+(取得最大值一2,则f(2)=()

A.一1B.-jC.1D.1

2.(2020•全国•高考真题)设函数〃久)=高.若尸(1)=3，则2=.

即幽性测I

1.(2025高三•全国•专题练习)已知函数/。)=2/(3)x—/2+inx(r(x)是/(切的导函数)，则f(l)=_

2.(2024.西藏林芝.模拟预测)已知函数/(无)=用，若尸(1)=2,则a=—.

3.(2025高三・全国・专题练习)在等比数列｛即｝中，％,013=2,若函数/(x)=|x(x-ct1)(x-a2)•••(x-a2025)»

则/'(0)=()

2025

A.—22024B.22024C.~2D.22025

4.(2025高三・全国・专题练习)已知三次函数/(%)=%3+2%-1,若％1+&=0，则/(%i)+

/(%2)=•

考点三、在一点处的切线方程

典例司也

1.(2023•全国•高考真题)曲线y=W在点(1,|)处的切线方程为()

A.y=-xB.y=-xC.y=-x+-D.y=-%+—

y4）2z44z24

2.（2020.全国.高考真题）函数/O）=%4—2/的图像在点（1,/（D）处的切线方程为（）

A.y=—2%—1B.y=—2%+1

C.y=2%—3D.y=2%+1

1.（22-23高三上•天津红桥•期中）已知/（久）=/+/—x+2,则曲线y=/（久）在点处的切线方程

为（）

A.y=x+2B.y=—4x+1C.y=—x+4D.y=4%—1

2.（21-22高三上•天津・期中）曲线y=W在点（1,，处的切线方程为（）

1

A.y=x—1B.y=xC.y=0D.y=-

3.（23-24高三下•天津•阶段练习）已知f（%）=/一］口%在汽=1处的切线与圆C:（%-a/+y2=4相切，则

a=.

4.（23-24高三上•天津滨海新•期中）函数y=Inx-|的导数为二曲线y=Inx-|在x=1处的切线

方程为-

考点四、过一点的切线方程

典例引领

1.（2024高三.全国・专题练习）已知函数f（x）=x2.

⑴求f（x）在区间［2023,2024］上的平均变化率；

（2）求曲线y=f（x）在点（2/（2））处的切线方程；

（3）求曲线y=f（x）过点（2,0）的切线方程.

2.（2021・全国.高考真题）若过点（a,b）可以作曲线y=ex的两条切线，则（）

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ebD.0<b<ea

即时检测

1.（2025・四川内江•模拟预测）若过点0n,n）（zn>0）可以作两条直线与曲线y=［lnx相切，则下列选项正确

的是（）

A.2n<InmB.2n>Inm

C.2m>Inn>0D.2m<Inn<0

2.（2024・贵州六盘水•三模）已知曲线y=M—31n%的一条切线方程为y=—%+zn,则实数m=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（2024高三・全国・专题练习）过点（3,0）作曲线f（%）=的两条切线，切点分别为（//6））,但厅（%2）），

则久1+型=（）

A.-3B.-V3C.V3D.3

考点五、切线的倾斜角与斜率

典例引领

1.（全国•高考真题）曲线丫=短—2x+4在点（1,3）处的切线的倾斜角为（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

2.（重庆•高考真题）曲线丫=2-之久2与丫=；/一2在交点处切线的夹角是.（用弧度数作答）

即时性测I

1.（23-24高三上•云南•阶段练习）已知函数f（x）=/一/（1）/+3的导数为尸（乃，则/（久）的图象在点

（1,/（1））处的切线的斜率为-

2.（23-24高三上.天津•阶段练习）曲线y=|-lnx在x=1处的切线的倾斜角为a,贝服0$卜戊一（）=.

3.（2024高三下•全国•专题练习）已知三次函数/（%）有三个零点的，式2,右，且在点（%,/（%））处切线的斜率

为此（2=1,2,3）,则;+；+；=___________1

K，2k3

4.（2024・河南信阳•模拟预测）动点P在函数y=-例x+1）的图象上，以P为切点的切线的倾斜角取值范

围是（）

A.MB.[o,；]ug,K）C.（消D.加

5.（23-24高三下•山东青岛•开学考试）已知直线y=a与函数/（久）=ex,g（x）=Inx的图象分别相交于A,B

两点.设备为曲线y=/（久）在点A处切线的斜率,B为曲线y=g（x）在点B处切线的斜率，则七伍最大值为（）

A.1B.eC.eaD.-

e

考点六、公切线

典例引领

1.（2024•全国•高考真题）若曲线y=e*+x在点（0,1）处的切线也是曲线y=lnQ+l）+a的切线，则

a=.

2.（2022.全国.高考真题）已知函数/'（%）=/-%,〃（%）="+。，曲线y=f（%）在点处的切线也

是曲线y=g（%）的切线.

(1)若％i=—1,求a；

⑵求a的取值范围.

即时便测

1.(2024・四川成都•模拟预测)已知函数y=百的图象与函数y=/(a>0且。力1)的图象在公共点处有

相同的切线，则公共点坐标为.

2.(2024・辽宁大连•一模)斜率为1的直线Z与曲线y=ln(x+a)和圆/+/=[都相切，则实数a的值为()

A.0或2B.-2或0C.-1或0D.0或1

___AaX-2___

3.(2024•黑龙江大庆•模拟预测)已知函数/(%)=-2x(%>0),函数g(x)=-%2+3ax-a2-3a(aG

R).若过点。(0,0)的直线1与曲线y=/(%)相切于点P,与曲线y=g(%)相切于点Q,当P、Q两点不重合时，

线段PQ的长为-

4.(2024.全国.模拟预测)已知函数/(%)=e*T,g(、)=^ex2,若直线1是曲线y=/(、)与曲线y=g(%)的公

切线，则/的方程为()

A.ex—y=0B.ex—y—e=0

C.x—y=0D.%—y—1=0

IN.好题冲关.

基础过关

1.(22-23高三上•天津•期中)若f⑺=--2久-41nx,则尸(%)>0的解集为()

A.(0,+8)B.(—8,—1)U(2,+8)C.(2,+oo)D.(—8,—1)

2.(21-22高三上•天津南开•阶段练习)已知函数/(x)=挎：一品+1°，”若f(x)2保一刈恒成立,

(ezx+x—1,x<2

则实数小的取值范围为()

A.[|,5-21n2]B.(-00,4-21n2]

C.[[,4—21回D.[1,5-21n2]

3.(22-23高三上•天津•期中)函数/。)=log了的导数为.

2

4.(22-23高三上•河南郑州•阶段练习)已知函数f(x)的导函数，满足"%)=2久尸(1)+炉，则f(l)等

于.

5.(20-21高三上•天津•期中)设曲线y=a久-ln(x+l)在点(0,0)处的切线方程为3x-y=0,则

a=.

6.(22-23高三上•天津河北•期末)函数f(%)=%(lnx—=ax+b(a,bGR),若a=1时，直线y=g(%)

是曲线/（X）的一条切线，则b的值为

7.（20-21高三上•天津南开•期中）已知函数f（x）=金+&,则/"（X）在x=2处的导数尸（2）=

能力提升

1.（22-23高三上•重庆沙坪坝•阶段练习）若曲线y=/+ain%在点（1,1）处的切线方程为、=-4,则@=

（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2021.天津宁河•一模）设曲线y=a%—ln（%2+i）在点（0,1）处的切线方程为y=2%+1,则

a=.

3.（22-23高;上•天津武清•阶段练习）已知函数人幻的图象在点（2,/（2））处的切线方程是x-2y+l=0,若h（x）=",

〃（2）的值为.

4.（23-24高三下•天津•开学考试）函数/⑺=1嗝％+2「蠢的图象在x=1处切线的斜率为.

5.（21-22高三上•天津南开•期中）曲线y