2025年中考数学思想方法复习【数形结合】平面直角坐标系中的数形结合思（解析版）

平面直角坐标系中的数形结合思想

知识方法精讲

1.坐标确定位置

平面内特殊位置的点的坐标特征

(1)各象限内点尸(a,b)的坐标特征：

①第一象限：a>0,6>0；②第二象限：a<0,b>0；③第三象限：a<0,b<0；④第

四象限：a>0,b<Q.

(2)坐标轴上点尸(a,b)的坐标特征：

①x轴上：a为任意实数,b=0；②y轴上：6为任意实数，«=0；③坐标原点：a=0,b

=0.

(3)两坐标轴夹角平分线上点尸(a,b)的坐标特征：

①一、三象限：a=b；②二、四象限：a=-b.

2.轴对称-最短路线问题

1、最短路线问题

在直线工上的同侧有两个点/、B,在直线£上有到N、8的距离之和最短的点存在，可以

通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线C的对称点，对称点与另一点的连线与直线L

的交点就是所要找的点.

2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解

决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

3.坐标与图形变化-旋转

(1)关于原点对称的点的坐标

P(x,y)=>P(-x,-y)

(2)旋转图形的坐标

图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常

见的是旋转特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°

4.数形结合思想

1.数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直

观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用

了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。

2.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问

题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函

数与图象的对应关系；（3）线与方程的对应关系；（4）所给的等式或代数式的结构含有明显

的几何意义。如等式。

3.巧妙运用数形结合的思想方法解决些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形

结合的重点是研究“以形助数

4.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、

最值问题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理,

大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要

争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。

选择题（共2小题）

1.（2021秋•瑞安市月考）如图，这是某所学校的部分平面示意图，教学楼、实验楼和图书

馆的位置都在边长为1的小正方形网格线的交点处，若教学楼位置的坐标是（-2,2）,实验楼

位置的坐标是（2,-1）,则图书馆位置的坐标是（）

1111

1111

1111

11图;书馆：

11

1111

1111

1111

1111

1教庠楼11

111

1111

1111

1111

1111

1111

1111

1111

1111

I

A.（4,1）B.（1,4）C.(3,2)D.(2,3)

【考点】坐标确定位置

【分析】根据已知点坐标得出原点位置，进而得出答案.

【解答】解：如图所示：图书馆位置的坐标是（1,4）.

故选：B.

佟书馆

教学楼

实验楼

【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键.

2.（2021春•姑苏区校级月考）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建

筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1,两栋建筑

第八层由一条长60机的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150机处各有一窗户，两窗户的水

平距离为30沉，如图2,则此抛物线顶端。到连桥N3距离为（)

图1

A.180mC.220mD.240m

【考点】二次函数的应用

【分析】以所在的直线为x轴，以线段N2的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直

角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，则可知顶点。的坐标，从而可得此抛物线

顶端。到连桥距离.

【解答】解：以所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平

面直角坐标系：

设抛物线的解析式为夕=。(工+30)。-30),将(15,150)代入，得：

150=^(15+30)(15-30),

解得：a=—，

9

,-.j；=-|(x+30)(x-30)

=--x2+200，

9

抛物线顶端。的坐标为(0,200),

二.此抛物线顶端O到连桥AB距离为200加.

故选：B.

【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题

的关键.

二.填空题(共10小题)

3.(2020•贺州)某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为*米，出手后铅球

3

在空中运动的高度y(米)与水平距离x(米)之间的函数关系式为y=-4/+6x+c,当

铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为10

米.

【考点】二次函数的应用

【分析】建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令y=0,得关于x的

一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即可.

【解答】解：设铅球出手点为点/,当铅球运行至与出手高度相等时为点8,根据题意建

立平面直角坐标系，如图：

5

—=c

3

51

—=-----x829+8Z?+c

〔312

b=-

解得3.

5

C--

I3

125

..V------X2H----XH---,

■1233

19S

当y=0时，0=-----x2+-X+-,

'1233

解得西=10,x2=—2（不符合题意，舍去）.

.•.该学生推铅球的成绩为107".

故答案为：10.

【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数与一元

二次方程的关系是解题的关键.

4.（2021•二道区校级一模）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥

面相交于N、3两点，拱桥最高点C到4S的距离为8根，AB=24m,D,£为拱桥底部

的两点，且若DE的长为36机，则点E到直线的距离为10m.

【考点】二次函数的应用

【分析】建立平面直角坐标系，。E在X轴上，y轴经过最高点C,设抛物线的解析式为

y=〃(x-18)(x+18),OH=k,用含左的式子表示出点Z和点C的坐标，再代入抛物线解析

式，得方程组，解得。和左的值，则左的值即为所求的答案.

【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，。内在x轴上，歹轴经过最高点C,

,/DE=36m，

D(-1890),5(18,0),设抛物线的解析式为>=Q(X-18)(X+18),

AB=24m,

AH=BH=nm,

设OH=k,则C(一12,左),

v拱桥最高点C到AB的距离为8m,

/.C(0,左+8),

将点A和点C的坐标代入抛物线解析式得：

心=研-12-18)(-12+18)

［左+8=研0-18)(0+18)'

解得：”一国，

左=10

.,.点E到直线AB的距禺为10//1.

故答案为：10m.

【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系，从而求得抛

物线的解析式是解题的关键.

5.(2020秋•瑞安市期末)如图1是某校园运动场主席台及遮阳棚，其侧面结构示意图如图

2所示.主席台(矩形/BCD)高/D=2米，直杆。E=5米，斜拉杆EG,EH起稳固作用，

点〃处装有一射灯.遮阳棚边缘曲线9G可近似看成抛物线的一部分，G为抛物线的最高

点且位于主席台边缘3c的正上方，若点E,H,C在同一直线上，且。尸=1米，EG=4米,

NAEG=60°,则射灯H离地面的高度为4.5米.

【考点】二次函数的应用

【分析】以N8所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，过点G作

60，/。于点6,求得点G(2VL5),BQ6,0),C(2V3,2)的坐标，用待定系数法

求得抛物线和直线EC的解析式，将两者联立，解得点〃的坐标，则点〃的纵坐标即为所

求.

【解答】解：如图所示，以所在直线为x轴，/D所在直线为/轴，建立平面直角坐标

•.•/£)=2米，DE=5米,DP=1米，

£>(0,2),£(0,7),尸(0,3),

又•.•GQ_L4D,£G=4米，ZAEG=60°,

GQ=sin60°xEG

V3

=—x4

2

=2百(米)，

:.EQ=MGQ。

=J16-12

=2(米)，

:.AQ=AE-EQ

=7-2

=5(米)，

:.GQ拒,5),8(2百，0),C(2A/3,2),

•.•点G为抛物线的顶点，

二.设抛物线的解析式为y=a(x-2行y+5(0X0),将点尸(0,3)代入，得：

3=0(0-2两2+5,

解得〃=」，

6

二抛物线的解析式为y=-」(x-26)2+5,

6

设直线EC的解析式为y=fcc+6gw0),将E(0,7),C(2右，2)代入，得:

‘7=6

2=2限+6,

解得，'=一石°,

6=7

直线EC的解析式为7=--x+7,

j/=--（x-2V3）2+5

6

联立r，

5V3r

y=x+7

16

解得卜=。，或卜=86（舍去），

j=4.5[y=T3

H（43,4.5）,

二射灯H离地面的高度为4.5米.

故答案为：4.5.

【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系

数法是解题的关键.

6.（2021•长春模拟）为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球

所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分.已知铅球出手处/距离地面的高度是1.68米,

当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是7

米.

【分析】建立坐标系，设抛物线的解析式为＞=。（》-2）2+2,由待定系数法求得抛物线的

解析式，令夕=0,得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取

舍即可.

由题意得：/(0,1.68),2(2,2),点2为抛物线的顶点,

设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+2,

把/(0,1.68)代入得：

4。+2=1.68,

解得。=-0.08,

y=—0.08(尤—2)2+2,

令＞=0,得-0.08(X-2)2+2=0,

解得%=7,x2=-3(舍)，

.•.小丁此次投掷的成绩是7米.

故答案为：7.

【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系、熟练掌握待

定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键.

7.(2020秋•路南区期末)一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4相处起跳投篮，球沿

一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5机时，达到最大高度3.5%，然后准确落入篮框

内.已知篮圈中心距离地面高度为3.05加，在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的

«-----4m―

【考点】二次函数的应用

【分析】由题意，先求得抛物线的顶点坐标，再设其解析式为了="?+3.5；由图象得出篮

圈中心的坐标，代入抛物线解析式，求得a的值，则问题得解.

【解答】解：•.•当球运动的水平距离为25*时，达到最大高度3.5%，

二抛物线的顶点坐标为(0,3.5),

设此抛物线的解析式为歹=如2+3.5，

由图象可知，篮圈中心与y轴的距离为：4-2.5=1.5（如，且篮圈中心距离地面高度为3.05”？，

二.篮圈中心的坐标为(1.5,3.05),代入y=#+3.5,得:

3.05=axl.52+3.5,

/.ci——0.2，

'.y——0.2.x2+3.5.

故答案为：了=-0.2/+3.5.

【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求

抛物线的解析式是解题的关键.

8.（2020秋•江都区期末）道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1）,

图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一

部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E,点尸）以及点/,点8落在同一条抛物线上，

若第1根栏杆涂色部分（所）与第2根栏杆未涂色部分（尸。）长度相等，则环的长度是04

CQD

图1

【考点】二次函数的应用

【分析】设8为坐标原点，3/所在的直线为X轴，8C所在直线为y轴，建立平面直角坐

标系，设抛物线解析式为：y=ax2+bx+c,先分别将点8和点/的坐标代入，求得。的值

并用a表示b,设EF=PQ=m，用含加的式子分别表示出点E和点P的坐标，代入解析式,

从而得出关于•和山的方程组，求解即可.

【解答】解：设8为坐标原点，A4所在的直线为x轴，8c所在直线为y轴，建立平面直

角坐标系，如图：

设抛物线解析式为：y=ax2+bx+c,

将5（0,0）代入得：。=0,

二.y=ax2+bx，

••・84=2米，

4(2,0),

0=(7x22+2ZJ,

b——2。，

y=ax2-2ax，

设EF=PQ=m,

则颐0.4,冽），P（0.8,l-m）,

将点E和点P坐标分别代入抛物线解析式得:

Jm=«x0-42-2tzx0.4

[1-m=tzx0-82-2tzx0.8

m=0.4

解得：＜5.

a=—

I8

.•.E尸=0.4米，

故答案为：0.4米.

【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，由实际问题正确建立数学模型是解题的

关键.

9.（2020•鹿城区二模）图1是一个高脚杯截面图，杯体CAD呈抛物线状（杯体厚度不计）,

点&是抛物线的顶点，AB=9,防=26，点/是所的中点，当高脚杯中装满液体时,

液面CD=46,此时最大深度（液面到最低点的距离）为12,将高脚杯绕点/缓缓倾斜倒

出部分液体，当=30。时停止，此时液面为GD,则液面GD到平面/的距离是

10V3_；此时杯体内液体的最大深度为

【考点】二次函数的应用

【分析】以N为原点，直线跖为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系

数法求得抛物线的解析式；将高脚杯绕点下倾斜后，仍以/为原点，直线跖为x轴，直线

为y轴，建立平面直角坐标系，分别用待定系数法求得直线/的解析式和直线G。的解

析式，过点M作于点尸，用三角函数求得液面GD到平面/的距离；过抛物线最低

点。作0£/〃，再将。£的解析式与抛物线的解析式联立，得出关于x的一元二次方程，由

判别式求得q,最后用三角函数求得答案.

【解答】解：以/为原点，直线跖为x轴，直线为》轴，建立平面直角坐标系，如图:

A(0,0),3(0,9),C(-26，21),。(2百，21),

设抛物线的解析式为：>="2+9,

将。（2百，21）代入得：

21=ax（2gy+9,

解得：a=1,

y=尤？+9.

将高脚杯绕点尸倾斜后，仍以/为原点，直线跖为x轴，直线为y轴，建立平面直角

坐标系，如图：

由题意得：

/（0,0）,F（6，0）,E（Y，0）,5（0,9）,C（-2A/3,21）,。（26，21）,

由题可知，直线/与x轴的夹角为30。，GD//1,

•/经过点尸（6，0）,且/£7叼=30。，

.•.设直线/的解析式为：y=^-x+b,

3

将尸（G，0）代入，解得6=-1,

_V3

..y=—X-1,

3

XvGD///,

…^GD-&-3'

设直线GD的解析式为y=^-x+p,

将。（2右，21）代入，解得p=19,

,_V3

..y——x+19,

3

.\Af（0,19）,N（0,—l）,

过点M作MP，/于点尸，

•/ZEFH=30°,ZFAN=90°,

...ZANF=60°，

:.MP=MN

=[19-(,l)]xX,

=1073.

过抛物线最低点。作。£/〃，上为于MP的交点,

设直线QL的解析式为y=^-x+q,

y=x2+9

由＜73得：

...只有一个交点。,

ML=（19-石-）xsin60°

故答案为：104，—V3

【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法、二次

函数及解直角三角形等知识点是解题的关键.

10.如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于/、3两

点，拱桥最高点C到48的距离为9加，AB=36m,D、E为拱桥底部的两点，目DEIIAB,

点E到直线AB的距离为7m,则DE的长为48m.

【考点】二次函数的应用

【分析】首先建立平面直角坐标系，x轴在直线。£上，y轴经过最高点C,设N3与y轴

交于H,求出OC的长，然后设该抛物线的解析式为：y=ax2+k,根据题干条件求出a和

后的值，再令y=0,求出x的值，即可求出。和E点的坐标，DE的长度即可求出.

【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，x轴在直线。E上，y轴经过最高点C.

设与y轴交于点X,

AB=36m,

AH=BH=18m,

由题可知：

OH=Jm,CH=9m,

OC=9+7=16cm,

•..0(0,16)、5(18,7).

设该抛物线的解析式为：j=ax2+16,

将3(18,7)代入得:

7=18x18a+16,

1

Cl=---9

36

.•.抛物线：y=-±x^+16,

36

当y=0时，即：0=-—X2+16,

36

x=+24,

.”(24,0),。(-24,0),

OE=OD=24m,

/.DE=OD+OE=24+24=48优，

故答案为：48.

【点评】本题主要考查二次函数综合应用的知识点，解答本题的关键是正确地建立平面直角

坐标系，此题难度一般，是一道非常好的试题.

11.(2020秋•兴城市期末)某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴,

出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线了=-2/+4x(单位:

米)的一部分，则水喷出的最大高度是2米.

【考点】二次函数的应用

【分析】水喷出的最大高度就是水在空中划出的抛物线了=-2/+4尤的顶点纵坐标，将

了=-2f+4无写成顶点式即可得出顶点坐标，从而求得答案.

【解答】解：由题意可知，水喷出的最大高度就是水在空中划出的抛物线了=-2x?+4x的顶

点纵坐标，

y=-2x2+4x

=-2(X2-2X)

=-2(1)2+2,

.•・顶点坐标为(1,2),

二.水喷出的最大高度是2米.

故答案为：2.

【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，将实际问题与数学模型联系起来是解题

的关键.

12.(2020秋•甘南县期末)在抛物线形拱桥中，以抛物线的对称轴为y轴，顶点为原点建

立如图所示的平面直角坐标系，抛物线解析式为〉="2,水面宽48=6相，与y轴交于

点C,。。=3机，当水面上升1根时，水面宽为_2指—机.

【考点】二次函数的应用

【分析】根据题意可得点3的坐标，将点3的坐标代入抛物线解析式＞="2,解得“的值,

从而可得抛物线的解析式；当水面上升加时，即纵坐标＞=-2时，从而可得关于x的方程,

解得x的值，则可求得答案.

【解答】解：,.•/3=6加，OC=3m,

二点B坐标为（3,-3）,

将3（3,-3）代入y=o?得：

—3=ax32,3

1

CL------，

3

12

/.V=——X.

3

二.当水面上升1冽时，即纵坐标y=-2时，有：

12

2-x

3

/=6,

西=-^6，x2=屈.

水面宽为：V6-(-^6)=2A/6(W).

故答案为：2戈.

【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是

解题的关键.

三.解答题（共12小题）

13.（2021秋•沐阳县校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，

一条圆弧经过网格点/、B,C,请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：

(1)利用网格找出该圆弧所在圆的圆心。点的位置，写出D点的坐标为_(2,0)_

(2)连接CD,若扇形D/C是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为

(3)连接2C,将线段2C绕点。旋转一周，求线段BC扫过的面积.

【考点】点、线、面、体；圆锥的计算；坐标与图形变化-旋转；垂径定理

【分析】(1)线段与3c的垂直平分线的交点为。；

(2)连接NC,先判断N/OC=90。，则可求就的弧长，该弧长即为圆锥底面圆的周长，

由此可求底面圆的半径；

(3)设的中点为E,线段的运动轨迹是以。为圆心。C、OE分别为半径的圆环面

积.

【解答】解：(1)过点(2,0)作x轴垂线，过点(5,3)作与3C垂直的线，

两线的交点即为。点坐标，

£>(2,0),

故答案为：(2,0)；

(2)连接/C,

•.•/(0,4),8(4,4),C(6,2),

AD=2^/5,CD=2V5,^C=2Vw,

vAC2=AD2+CD2,

ZADC=90°,

的长=!*2/><2退=囱万，

4

•.・扇形ZMC是一个圆锥的侧面展开图,

垂:兀=27ir,

V5

r=——，

2

故答案为：好

2

(3)设3C的中点为E,

£(5,3)，

DE=3近，

:.S"x(CD2-。炉)=2",

二.线段扫过的面积是27.

【点评】本题考查圆锥的展开图，垂径定理，能够由三点确定圆的圆心位置，理解圆锥展开

图与圆锥各部位的对应关系是解题的关键.

14.(2021秋•尊城区校级期中)【初步探究】

(1)如图1,在四边形48CD中，ZS=ZC=90°,E是边3C上一点，AB=EC,BE=CD,

连接/£、DE.请判断A4ED的形状，并说明理由.

【问题解决】

(2)若设DE=c,CD=a,CE=b.试利用图1验证勾股定理.

【拓展应用】

(3)如图2,在平面直角坐标系中，已知点/(2,0),点2(4,1),点C在第一象限内，若AABC

为等腰直角三角形，求点C的坐标.

【考点】四边形综合题

【分析】(1)证明ZUBEMAEC。(S/S),由全等三角形的性质即可求解;

(2)根据四边形/3CD的面积的两种不同表示方式，即可得至1」/+加=。2.

(3)分NC4B=9Q°、ZABC=90°>ZACB=90°,三种情况求解即可.

【解答】解：(1)A4即是等腰直角三角形,

证明：•.•在AAftE1和AECD中,

AB=CE

<ZB=ZC=90°,

BE=CD

KABE=AECD(SAS),

AE=DE,NAEB=NEDC,

•.•在RtAEDC中，ZC=90°,

ZEDC+ZDEC=90°,

NAEB+/DEC=90°,

­,•ZAEB+NDEC+ZAED=180°,

ZAED=90°,

A4m是等腰直角三角形；

(2)由(1)可知A4E。是等腰直角三角形，AE=DE=c,CD=BE=a,CE=AB=b,

;B、E、C在同一条直线上，MZC=Z5=ZAED=90°,

四边形ABCD是直角梯形，

'''smniABCD=^(BA+DCyCB=^(a+b)(a+b),

又S四边形/BCD=2X,

111

-[b++b)=2x—+—c2,

即a1+b2=c2.

(3)如图，当/C/B=90。，=时，过点C作W_L/O于点尸，过点5作

于点£,

•・•点4(2,0),点5(4,1),

/.BE=\,04=2,0£=4,

AE=2,

•/ZCAB=90°,BE1AO,

NCAF+ZBAE=90°,ZBAE+NABE=90°,

ZCAF=ZABE,

•;AC=AB,ZAFC=ZAEB=90°,

AACF=ABAE(AAS),

CF=AE=2,AF=BE=\,

OF=OA-AF=\,

.•.点C坐标为(1,2),

如图，当445C=90。，45=5。时，过点5作5£_LO4,过点。作CF_LBE,

•・•NABC=90°,BELOA,

NABE+ZCBF=90°,/ABE+ZBAE=90°,

ZBAE=/CBF,

•;BC=AB,/AEB=NCFB=90。，

\BCF=AABE(AAS),

BE=CF=\,AE=BF=2,

EF=3,

.•.点。坐标为(3,3),

如图，当/4C5=90。，C4=8。时，过点C作。。_LCM于点。，过点B作_LC。于点尸，

•/ZACD+ZBCF=90°,ZACD+ZCAD=90°,

ABCF=ZCAD,

vAC=BC,ZCDA=ZCFB,

:.\ACD=\CBF{AAS),

CF=AD,BF=CD=DE,

•・,AD+DE=AE=2,

2=AD+CD=AD+CF+DF=2AD+1,

/.DA=—i

2

35

:.CD=~,OD=~,

22

.•.点c坐标c1,,

综上所述：点C坐标为：(1,2)、(3,3)、(|,1).

【点评】本题是四边形综合题目，考查了坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、等腰

直角三角形的判定与性质、勾股定理、尺规作图以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练

掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型.

15.(2021秋•孝南区月考)如图，在平面直角坐标系中，点/(a,0)是x轴上一点，点3(0,6)

是y轴上一点，且满足/+5〃-4尤-66+9=0.

(1)求出4,2两点坐标；

(2)连接A4,以线段A4为直角边，在氏4右侧作等腰直角三角形R4N,点/为直角顶点,

连接CW,求ACMN的面积；

(3)点尸是x轴上一动点，点。为y轴上一动点，若尸、0各自同时从原点出发沿x轴正

半轴、y轴正半轴运动，点P运动的速度是每秒1个单位，点。运动的速度每秒2个单位;

【分析】(1)由题意得出(a-2b)2+(6-3)2=0,根据非负数的性质求出6的值即可得

出答案；

(2)过点N作NCLx轴于点C,证明AA^C=AASO(44S),由全等三角形的性质得出

NC=CM=6,根据三角形的面积公式可得出答案；

(3)设经过/秒时AOP0的面积正好是(2)中ACMN的面积的;，由题意得OP=f,OQ=2t,

根据三角形面积公式可列出方程求出t的值.

【解答】解：(1)Va2+5b2-4ab-6b+9=Q,

(a-2炉+(6-3)2=0,

a—2b=0,6—3=0,

a=6,6=3,

.•./(6,0),8(0,3)；

(2)过点N作轴于点C,

•・•/AOB=/BAN=ZACN=90°,

AOAB+AOBA=90°,ZOAB+ZNBC=90°,

AOBA=ANAC,

BA=AN,

:.\NAC=\ABO{AAS）,

/.NC=OA=6,

.,.%N="NC=；X6X6=18；

（3）设经过/秒时AO尸0的面积正好是（2）中AO/N的面积的g,

由题意得。尸=/,OQ=2t,

:・S&op9=』t-2t=t：

2

1

/.t?=—x18=9,

2

:.t=3（负值舍去），

3秒时△。尸。的面积正好是（2）中A6UN的面积的g.

【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定

和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参

数构建方程解决问题.

16.（2021秋•荔城区校级期中）等腰RtAABC中，Z8/C=90。，点/、点8分别是x轴、

y轴两个动点，直角边/C交x轴于点D,斜边交y轴于点£.

(2)如图(2),当等腰RtAABC运动到使点。恰为/C中点时，连接。£,求证：

BD=AE+DE；

(3)如图(3),在等腰RtAABC不断运动的过程中，若满足始终是N/8C的平分线，

试探究：线段。/、OD、3。三者之间是否存在确定的数量关系？若有，请直接写出结论;

若没有，请说明理由.

【考点】三角形综合题

【分析】(1)过点C作轴于点尸，证明A4C尸=A480(44S),由全等三角形的性质

得出CF=O/=2,AF=OB=3,求得OF的值，就可以求出。的坐标；

(2)过点C作CGLNC交y轴于点G,先证明A4CG=A48。，由全等三角形的性质得出

CG=AD=CD,AG=BD,再证明AZ)CE三AGCE就可以得出结论DE=GE;

(3)在08上截取O/f=0D,连接/〃，由对称性得=ZADH=ZAHD,可证

ZAHD=ZADH=NBAO=ZBEO,再证明KACE=ABAH就可以得出结论.

【解答】(1)解：过点C作轴于点/，

NAFC=90°,

:.ZCAF+ZACF=90°.

・••A4BC是等腰直角三角形，ABAC=90°,

/.AC=BC,

-ZCAF+ZBAO=90°fZAFC=ABAC,

/.ZACF=ZBAO.

在AACF和\ABO中,

'/AFC=ABAC

</ACF=/BAO,

AC=AB

:.MCF=NABO(AAS),

CF=OA=2fAF=OB=3,

，=3—2=1,

/.C(-2,-l)；

(2)证明：过点。作CGLZC交》轴于点G,

®(2)

:.ZACG=ZBAC=90°f

ZAGC+ZGAC=90°.

vZCAG+ZBAO=90°f

ZAGC=ZBAO.

vZADO+ZDAO=90°,ZDAO+ZBAO=90°,

ZADO=/BAO,

ZAGC=ZADO.

在A4CG和AABD中，

ZAGC=ZADO

<ZACG=ABAC,

AC=AB

:.\ACG=AABD(AAS),

CG=AD=CD,AG=BD,

-ZACB=ZABC=45°,

ZDCE=NGCE=45°,

在ADCE和\GCE中,

DC=GC

<ZDCE=ZGCE,

CE=CE

,匣)CE=NGCE0AS),

DE=GE,

BD=AG—AE+EG—AE+DE,

^BD=AE+DE；

(3)解：结论：BD=2(OA+OD).

理由如下：在05上截取O〃=OD,连接

CL^\E

图(3)

由对称性得AD=AH,ZADH=NAHD.

ZADH=ZBAO,

NBAO=ZAHD,

•・•即是/45C的平分线，

ZABO=ZEBO,

・・•NAOB=ZEOB=90°,

在\AOB和\EOB中,

AABO=/EBO

<OB—OB,

ZAOB=ZEOB

\AOBtAEOB(ASA),

/.AB=EB,AO-EO，

ZBAO=NBEO,

ZAHD=ZADH=/BAO=ZBEO.

NAEC=ZBHA.

在NAEC和NBHA中,

NAEC=ZBHA

<ZCAE=NABO,

AC=AB

:.AACE=ABAH(AAS),

AE=BH=204,

DH=2OD,

:.BD=2(OA+OD).

【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质的运用，等腰直角三角形的

性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键.

17.(2021秋•瑞安市月考)如图，在平面直角坐标系中，点4-4,0),C(3,0),£>(0,4),

/6，。。于点6,交y轴于点8.

(1)求证：\AOB=ADOC.

(2)点E在线段45上，作OF_LOE交于点尸，连结EP.

①若£是的中点，求AOE》的面积.

②连结当AZ5斯是以为腰的等腰三角形时，求B的长.

【考点】三角形综合题

【分析】(1)由直角三角形的性质得出NA4O=/ODC,根据44s可证出A4O8=ADOC;

(2)①证明=厂(NS4),由全等三角形的性质得出。£=。/，由勾股定理求出

CD=5,求出OE的长，由三角形面积公式可得出答案；

②分两种情况：当。£月时，当。£=跖时，由三角形的面积和勾股定理可求出答案.

【解答】(1)证明：・・•/(一4,0),C(3,0),2)(0,4),

OA=OD=4,

■：AGLCD,ODLAC,

NAOB=ZDOC=ZAGC=90°,

...ZBAO+ZACG=/ACG+ZODC=90°,

NBAO=NODC,

在A4O5和NDOC中，

ZBAO=ZODC

<ZAOB=/DOC,

OA=OD

:.AAOB=ADOC(ASA)；

(2)①解：vOE1OF,

即ZEOF=90°,

NAOE+ZEOB=ZEOB+/DOF=90°,

ZAOE=/DOF,

由(1)可知CM=OD,ZEAO=ZFDO,

\AOE=ADOF(ASA),

OE=OF,

•.•00=4,OC=3,

:.CD=yj0D2+OC2=V42+32=5,

,\OE=OF=-CD=-,

22

01八厂八厂15525

由22228

②解：当Z)£=D尸时，

OE=OF,OD=OD,

ADOE=NDOF(SSS),

ZDOF=ZDOE=45°,

:.OF平分ZCOD,

过点尸作W_LCO于点〃，FN1OD于■点、N,则&0=KV,

&-OD-FN04

S/^DOF_2_OD_4

S'COFIoc.PM℃3

2

S^DOF_DF_4

■方一家

当=M时，则。G=FG.

•.-Si.X./Lci^nu=2-ACOD2=-AGCD,

ACOD7x428

z.AG=----------=------=——,

214

，DG=CD-CG=5——

55

4417

:.CF=CD-DG-FG=5=—.

555

综合以上可得CF的长为"或”.

75

【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与

性质，勾股定理，三角形的面积，坐标与图形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是

解题的关键.

18.(2021秋•诸暨市期中)【了解概念】

在凸四边形中(内角度数都小于180。)，若一边与它的两条邻边组成的两个内角相等，则称

该四边形为邻等四边形，这条边叫做这个四边形的邻等边.

【理解应用】

(1)邻等四边形/3CD中，NN=30。，ZB=70°,则NC的度数=130。:

(2)如图，四边形48CD为邻等四边形，为邻等边，且乙4=/DPC,求证：AADP^ABPC;

【拓展提升】

(3)在平面直角坐标系中，为邻等四边形NBCO的邻等边，且边与x轴重合，己知

4(2,0),C(m,2^3),。(5,3人)，若在边上使NDPC=NBAD的点尸有且只有1个，求

m的值.

C

D

ApB

【考点】相似形综合题

【分析】（1）分三种情况考虑：①由8C为邻等边，②由ND为邻等边，③由CD为邻等边,

根据邻等四边形的定义即可求解；

（2）根据相似三角形的判定解答即可；

（3）分两种情况：①若点2在点/右侧，如图1,过点。作DGLx轴于点G,过点C作

C7f_Lx轴于点〃，由48为邻等边，则有ND48=N/8C=ND尸C,可证人4。尸6.尸。，

可得32="，设点尸（%0）,由三角函数可求Z8/D=60。，可求3、C横坐标之差为2,

BCBP

3（机+2,0）,将/尸，BP,AD,BC,代入得：w2-（m+4）M+2（m+14）=0,由于在边48

上使48C=/A4D的点尸有且只有1个，即上述方程有且只有1个实数根，运用根的判别

式即可求得答案；

②若点B在点/左侧，如图2,过点。作DGLx轴于点G,过点C作轴于点X,

根据A/tPQsASCP,可得迎=丝，同①方法即可求得答案.

BCBP

【解答】解：（1）①若为邻等边，贝!]/。=/8=70。，

ND=360°-ZA-ZB-ZC=190°

不为凸四边形，所以舍去；

②若40为邻等边，则/。=44=30。，

ZC=360°-Z^-Z5-ZC=230°（舍）；

③若CQ为邻等边，则NC=N。，

ZC=ZD=（360°-ZA-ZB）^2=130°,

二.ZC=130°.

故答案为：130；

（2）证明：・・•四边形/BCD为邻等四边形，45为邻等边，

/A=NB,

・.•/A=NDPC,

/A=NB=ZDPC,

•/+ZADP+ZAPD=180°,ZAPD+ZDPC+ABPC=180°,

ZADP=ZBPC,

AADP^ABPC；

(3)①若点B在点/右侧，如图1,过点。作。轴于点G,过点。作轴于点

H,

vAB为邻等边，

ABAD=NABC,

ZDPC=/BAD,

ABAD=/ABC=ZDPC,

•・•ABAD+NADP+ZAPD=180。，ZAPD+ZDPC+ZBPC=180。，

/ADP=ZBPC,

MDP^ABPC,

.AP_AD

"拓一而‘

设点尸(〃,0),

•.•4(2,0),。(5,3百)，

/.G(5,0),

:.DG=364G=3,

NDAG=60°,

ZDPC=/BAD=60°,

AD=

sinZDAGsin60°

由(2)知，NADPsNgpc,

/CBP=/PAD=60°，

'：C(m,25/3)，

CH=2y[3,

...BH=

tanZCBPtan60°sinZCBPsin60°

BP=m+2—n,AP=n—2,

..AP_AD

,前一而‘

n-2_6

..—f

4m+2-n

n2—(rn+4)n+2(m+14)=0,

・・•在边45上使/。尸。=NA4。的点尸有且只有1个，即上述方程有且只有1个实数根，

/.△=[-(m+4)]2-4xlx2(m+14)=0,

m=±4A/6,

•・•点8在点/右侧，

/.m=4A/6；

②若点5在点4左侧，如图2,过点。作。G，工轴于点G,过点。作CH轴于点〃,

•••4(2,0),。(5,3折,

ZDAG=60°,

NDAB=ZCBA=ZCPD=120°,

•・•ZDAB+NAPD+ZADP=180。，ZAPD+ZCPD+/CPB=180。，

ZADP=NCPB,

\APD^\BCP,

.AP_AD

"拓一而‘

由①得：8(冽+2,0),C(m,2V3),尸(%0),

AP=2—n,BP=n—m—2,AD=6，BC=4,

2-n_6

..--,

4n-m-2

n1—(m+4)n+2(m+14)=0，

•・・在边45上使=的点尸有且只有1个，即上述方程有且只有1个实数根，

.•.△=[—(加+4)了—4x1x20+14)=0,

/.m=±4^/6,

・・•点5在点4左侧，

m=-4A/6；

综上所述，m=±4>/6.

【点评】本题是相似综合题，考查新定义图形，仔细阅读题目，抓住定义中的性质，会验证

新定义图形，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，一元二次方程根的判别式，利用相

似三角形的性质构造关于n的一元二次方程是解题关键