2025年中考数学思想方法复习【分类讨论】圆中的分类讨论思想（原卷版）

圆中的分类讨论思想

知识方法精讲

1.圆周角定理

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上.②角的两条边都与圆相交，二者缺一不

可.

（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能

技巧一定要掌握.

（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形

的顶点和底角的关系进行转化.②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”——圆心角

转化.③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条

件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.

2.圆内接四边形的性质

（1）圆内接四边形的性质：

①圆内接四边形的对角互补.

②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.

（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周

角定理结合起来.在应用时要注意是对角，而不是邻角互补.

3.点与圆的位置关系

（1）点与圆的位置关系有3种.设O。的半径为心点尸到圆心的距离8=力则有：

①点尸在圆外

②点尸在圆上Qd=r

①点尸在圆内QdO

（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的

关系可以确定该点与圆的位置关系.

（3）符号“Q”读作“等价于”，它表示从符号的左端可以得到右端，从右端也可

以得到左端.

4.三角形的外接圆与外心

(1)外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.

(2)外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.

(3)概念说明：

①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角

三角形的外心在三角形的外部.

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接

圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个.

5.直线与圆的位置关系

(1)直线和圆的三种位置关系：

①相离：一条直线和圆没有公共点.

②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，

唯一的公共点叫切点.

③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线.

(2)判断直线和圆的位置关系：设。。的半径为心圆心。到直线/的距离为乩

①直线I和。。相交

②直线I和。。相切=d=r

③直线I和。。相离八

6.切线的性质

(1)切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径.

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

(2)切线的性质可总结如下：

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个,那么它一定满足第三个条件，这三个条件是:

①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直.

(3)切线性质的运用

由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.简记作：

见切点，连半径，见垂直.

7.切线的判定与性质

（1）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径.

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

（3）常见的辅助线的：

①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；

②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”.

8.分类讨论思想

每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们

所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统

一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不

同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，

即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这

种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。

一.选择题（共9小题）

1.（2021秋•崇川区校级月考）48是。。的弦，ZAOB=60°,则弦所对的圆周角是（

）

A.30°B.60°C.150。或30°D.60。或140。

2.（2020秋•滦阳市期末）已知A48C是半径为2的圆内接三角形，若BC=2拒,贝|N/的

度数为（）

A.30°B.60°C.120°D.60°或120°

3.N8是。。的弦，ZAOB=80°,则弦所对的圆周角是（）

A.40°B.140。或40°C.20°D.20°或160°

4.已知在半径为2的中，圆内接AA8C的边48=26,则/C的度数为（）

A.60°B.30°C.60°或120°D.30°或150°

5.如图，。。的半径为1,是。。的一条弦，且/2=百，则弦48所对圆周角的度数

B.60°C.30°或150°D.60°或120°

6.（2021秋•孝南区月考）点尸到。。的最近点的距离为2c〃?，最远点的距离为7cm,则O。

的半径是（）

A.5cm或9cmB.2.5cmC.4.5cmD.2.5cm或4.5cm

7.一个点到圆的最小距离为4cm,最大距离为9c〃z,则该圆的半径是（)

A.2.5cm6.5cmB.2.5cmC.6.5cmD.5cm或13cm

8.一个点到圆的最小距离为6c冽，最大距离为9c冽，则该圆的半径是（)

A.1.5cmB.7.5cmC.1.5CM或7.5cmD.3cm或15cm

9.（2020秋•丽水期末）已知A48c外接圆的半径为2,BC=2^3,则//的度数是（）

A.120°B.30。或120。C.30。或60°D.60°或120°

二.填空题（共7小题）

10.（2020秋•佳木斯期末）。。的半径为5cm,AB,CD是。。的两条弦，ABI/CD,

AB=8cm,CD=6cm.则AB和CD之间的距离为.

11.（2020•枣阳市校级模拟）在半径为2的。。中，弦N8的长为2,则弦48所对的圆周

角的度数为一.

12.（2021秋•台安县期中）一个已知点尸到圆周上的最长距离是9,最短距离是3,则此圆

的半径是—.

13.平面上一点尸到。。上一点的距离最长为7c加，最短为3c%，则。。的半径为cm.

14在RtAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜

边只有一个公共点，贝-的取值范围是—.

15.（2022秋•武汉期末）如图，PM,PN分别与OO相切于4,3两点，C为OO上异

于N,B的一点，连接/C,BC.若/尸=58。，则N/C3的大小是

AM

16.如图，RtAABC中，ZC=90°,AC=3,点。在边5c上，CD=1,BD=3.点尸是

线段ND上一动点，当半径为1的。尸与A43C的一边相切时，4P的长为.

CD

三.解答题(共2小题)

17.(2021秋•新荣区月考)综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个直角三角板和量角器，把量角器的中心。点放

置在NC的中点上，DE与直角边NC重合，如图1所示，ZC=90°,BC=6,AC=8,OD=3,

量角器交/B于点G,F,现将量角器。E绕点C旋转，如图2所示.

(1)点C到边48的距离为

(2)在旋转过程中，求点。到距离的最小值.

(3)若半圆。与RtAABC的直角边相切，设切点为K,求3K的长.

18.如图1,平行四边形48CD中，AB=8,BC=4,//2C=60。.点尸为射线2C上一

点，以8P为直径作。。交45、DC于E、尸两点.设OO的半径为x.

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