2025年中考数学思想方法复习【分类讨论】圆中的分类讨论思想（解析版）

圆中的分类讨论思想

知识方法精讲

1.圆周角定理

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上.②角的两条边都与圆相交，二者缺一不

可.

（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能

技巧一定要掌握.

（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形

的顶点和底角的关系进行转化.②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”——圆心角

转化.③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条

件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.

2.圆内接四边形的性质

（1）圆内接四边形的性质：

①圆内接四边形的对角互补.

②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.

（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周

角定理结合起来.在应用时要注意是对角，而不是邻角互补.

3.点与圆的位置关系

（1）点与圆的位置关系有3种.设O。的半径为心点尸到圆心的距离8=力则有：

①点尸在圆外

②点尸在圆上Qd=r

①点尸在圆内QdO

（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的

关系可以确定该点与圆的位置关系.

（3）符号“Q”读作“等价于”，它表示从符号的左端可以得到右端，从右端也可

以得到左端.

4.三角形的外接圆与外心

(1)外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.

(2)外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.

(3)概念说明：

①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角

三角形的外心在三角形的外部.

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接

圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个.

5.直线与圆的位置关系

(1)直线和圆的三种位置关系：

①相离：一条直线和圆没有公共点.

②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，

唯一的公共点叫切点.

③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线.

(2)判断直线和圆的位置关系：设。。的半径为心圆心。到直线/的距离为乩

①直线I和。。相交

②直线I和。。相切=d=r

③直线I和。。相离八

6.切线的性质

(1)切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径.

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

(2)切线的性质可总结如下：

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个,那么它一定满足第三个条件，这三个条件是:

①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直.

(3)切线性质的运用

由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.简记作：

见切点，连半径，见垂直.

7.切线的判定与性质

（1）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径.

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

（3）常见的辅助线的：

①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；

②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”.

8.分类讨论思想

每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们

所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统

一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不

同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，

即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这

种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。

选择题（共9小题）

1.（2021秋•崇川区校级月考）N3是。。的弦，ZAOB=60°,则弦所对的圆周角是（

）

A.30°B.60°C.150°或30°D.60°或140。

【考点】圆周角定理

【分析】由。。的弦所对的圆心角44。8=60。，根据圆周角定理与圆的内接四边形的

性质，即可求得弦所对的圆周角的度数

【解答】解解：•••QO的弦AB所对的圆心角NAOB=60°,

.•.弦4s所对的圆周角的度数为：-ZAOB=30°180°-30°=150°.

2

故选：C.

【点评】此题考查了圆周角定理.此题难度不大，注意弦所对的圆周角有一对且互补.

2.（2020秋•滦阳市期末）已知A48C是半径为2的圆内接三角形，若BC=2百，则//的

度数为（）

A.30°B.60°C.120°D.60°或120。

【考点】垂径定理；圆周角定理；特殊角的三角函数值

【分析】首先根据题意画出图形，然后由圆周角定理与含30。角的直角三角形的性质，求得

答案.

【解答】解：如图，作直径助，连接CD,则ZBCr>=90。，

•.•A48C是半径为2的圆内接三角形，BC=273,

BD=4,

:.CD=』BD。-BC2=2,

:.CD=-BD,

2

NCBD=30°,

NA=/D=60°,

ZAr=180°-ZA=120°,

的度数为：60。或120。.

【点评】此题考查了圆周角定理与含30。角的直角三角形的性质.此题难度适中，注意掌握

数形结合思想的应用.

3.是。。的弦，ZAOB=80°,则弦所对的圆周角是（）

A.40°B.140°或40°C.20°D.20°或160°

【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质

【分析】此题要分两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时；当圆周角的顶点在劣弧上时；通

过分析，从而得到答案.

【解答】解：当圆周角的顶点在优弧上时，根据圆周角定理，得圆周角：

ZACB=-ZAOB=-x80°=40°；

22

当圆周角的顶点在劣弧上时，根据圆内接四边形的性质，得此圆周角:

ZADB=180°-ZACB=180°-40°=140°；

所以弦A8所对的圆周角是40。或140。.

故选：B.

【点评】注意：弦所对的圆周角有两种情况，且两种情况的角是互补的关系.

4.已知在半径为2的。。中，圆内接的边48=2。，则NC的度数为（）

A.60°B.30°C.60°或120°D.30°或150°

【考点】圆周角定理；解直角三角形

【分析】过圆心作N3的垂线，在构建的直角三角形中，易求得圆心角N/O8的度数，由此

可求出/C的度数.（注意/C所对的弧可能是优弧，也可能是劣弧）

【解答】解：如图，连接。/、OB,过。作于D.

在RtAOAD中，AD=y/5,OA=2,

..…八ADG

..sin/AOD==—9

AO2

/.ZAOD=60°,ZAOB=120°.

点c的位置有两种情况：

①当点C在如图位置时，ZC=-ZAOB=60°；

2

②当点C在£点位置时，ZC==180°--ZAOB=120°.

2

故选：C.

【点评】本题主要考查了垂径定理以及解直角三角形的应用.注意点C的位置有两种情况,

不要漏解.

5.如图，。。的半径为1,是。。的一条弦，且/2=退，则弦48所对圆周角的度数

B.60°C.30°或150°D.60°或120°

【考点】垂径定理；圆周角定理

【分析】连接O/、OB,过。作的垂线，通过解直角三角形，易得出N/O8的度数;

由于弦N3所对的弧有两段：一段是优弧，一段是劣弧；所以弦所对的圆周角也有两个,

因此要分类求解.

【解答】解：如图，连接。/、OB,过。作的垂线;

巧

在RtAOAC中，。/=1,AC=—；

2

ZAOC=60°,ZAOB=nO°；

:.ZD=-ZAOB=60°；

2

•.•四边形4DBE是O。的内接四边形，

ZAEBU180°-ZZ)=120°；

因此弦A8所对的圆周角有两个：60。或120。；

故选：D.

D

【点评】本题考查的是圆周角定理、垂径定理以及圆内接四边形的性质；注意：弦所对

圆周角有两个，不要漏解.

6.（2021秋•孝南区月考）点尸到。。的最近点的距离为2c〃?，最远点的距离为7cm,则O。

的半径是（）

A.或B.2.5cmC.4.5cmD.2.5cvw或4.5c〃？

【考点】点与圆的位置关系

【分析】根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径，此题点的位置不确定所以要分类讨

论.

【解答】解：①当点在圆外时，

•・•圆外一点和圆周的最短距离为2,最长距离为7,

圆的直径为7-2=5,

该圆的半径是2.5；

②当点在圆内时，

•・•点到圆周的最短距离为2,最长距离为7,

.•.圆的直径=7+2=9,

二.圆的半径为4.5,

故选：D.

【点评】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关

键.

7.一个点到圆的最小距离为4cm,最大距离为9c加，则该圆的半径是（）

A.2.5c〃z或6.5c〃？B.2.5cmC.65cmD.5c机或13c〃？

【考点】点与圆的位置关系

【分析】设此点为P点，圆为O。，最大距离为尸8,最小距离为尸/,有两种情况：①当

此点在圆内；②当此点在圆外；分别求出半径值即可.

【解答】解：设此点为尸点，圆为OO,最大距离为PB,最小距离为加，则：

•.■此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大、最小距离

有两种情况：

当此点在圆内时，如图所示，

半径OB=（PA+PB）+2=6.5cm；

当此点在圆外时，如图所示，

半径OB=（PB-尸/）+2=2.5cm；

故圆的半径为2.5cm或6.5cm

故选：A.

【点评】注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键.

8.一个点到圆的最小距离为6cm,最大距离为9c〃z,则该圆的半径是（）

A.1.5cmB.7.5cmC.1.5cm或7.5c%D.3cm15cm

【考点】点与圆的位置关系

【分析】点P应分为位于圆的内部于外部两种情况讨论.当点尸在圆内时，直径=最小距

离+最大距离；当点尸在圆外时，直径=最大距离-最小距离.

【解答】解：分为两种情况：

①当点尸在圆内时，最近点的距离为6cro,最远点的距离为9<?加，则直径是15c%，因而半

径是7.5cm；

②当点尸在圆外时，最近点的距离为6c加，最远点的距离为，则直径是3c加，因而半

径是.

故选：C.

【点评】注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键.

9.（2020秋•丽水期末）已知A4BC外接圆的半径为2,5C=273,则乙4的度数是（）

A.120°B.30°或120°C.30°或60°D.60°或120。

【考点】三角形的外接圆与外心

【分析】作直径CD,点N在BDC上，点4在数上，如图，根据圆周角定理得到ACBD=90°,

再利用正弦的定义求出乙0=60。，则利用圆周角定理和圆内接四边形的性质得到N/和N4

的度数.

【解答】解：作直径C。，点/在访d上，点4在数上，如图,

CD为直径,

ZCBD=90°,

在RtABCD中，•1-sinD=—,

CD42

ZD=60°,

ZA=ZD=60°,//'=180°-/。=120°,

即NN的度数是60。或120。.

故选：D.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分

线的交点，叫做三角形的外心.也考查了圆周角定理.

二.填空题（共7小题）

10.（2020秋•佳木斯期末）。。的半径为5cm,AB,CD是O。的两条弦，AB//CD,

AB=8cm,CD=6cm.则AB和CD之间的距离为_lc加或7c

【考点】垂径定理；平行线之间的距离；勾股定理

【分析】分两种情形讨论：①如图1中，48和CD在圆心。的同侧，连接。8,。£）,作直

线。于M交CD于点N,由NB//CD,即可推出ON_LCD,则MN为48,CD之

间的距离，通过垂径定理和勾股定理求出OM和ON的长度即可.

②如图2中，48和CO在圆心。两侧，连接08,O。，作直线于M交8于点

N,由/8//CD,即可推出MN_LCD,则MN为。之间的距离，通过垂径定理和

勾股定理求出OM和ON的长度即可.

【解答】解：①如图1,当和CD在圆心。的同侧，连接。8,OD,作直线于

M交CD于点、N,

■：AB11CD,

ONLCD,

'：AB=8cm,CD=6cm,

BM=4（cm）,DN=3（。加）,

OO的半径为5cm,

,OB=OD=5（cm）,

OM=3（。机）,ON=4（cm）,

-：MN=ON-OM,

MN=l（cm）.

②如图2,当和CD在圆心O两侧，连接05,OD,作直线于M交CZ）于点N,

vABI/CD,

ONVCD,

,：AB=8cm,CD=6cm，

BM=4（cm）,DN=3（c冽），

OO的半径为5cm,

/.OB=OD—5（c冽）,

,OM=3（。机）,ON=4（。冽）,

MN=OM+ON,

MN-7（cm）.

二.平行弦45,CD之间的距离为1c加或7c冽.

故答案为：1cm或7cm.

【点评】本题主要考查垂径定理和勾股定理的运用，平行线间的距离的定义，平行线的性质

等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

11.（2020•枣阳市校级模拟）在半径为2的OO中，弦A8的长为2,则弦48所对的圆周

角的度数为_30。或150。_.

【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质

【分析】根据弦长等于半径，得这条弦和两条半径组成了等边三角形，则弦所对的圆心角是

60°,要计算它所对的圆周角，

应考虑两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时，则根据圆周角定理，得此圆周角是30。；

当圆周角的顶点在劣弧上时，则根据圆内接四边形的对角互补，得此圆周角是150。.

【解答】解：根据题意，弦与两半径组成等边三角形，

.•.先48所对的圆心角=60。，

①圆周角在优弧上时，圆周角=30。，

②圆周角在劣弧上时，圆周角=180。-30。=150。.

，圆周角的度数为30。或150。.

【点评】注意：弦所对的圆周角有两种情况，且两种情况的角是互补的.

12.（2021秋•台安县期中）一个已知点P到圆周上的最长距离是9,最短距离是3,则此圆

的半径是6或3.

【考点】点与圆的位置关系

【分析】根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径，此题点的位置不确定所以要分类讨

论.

【解答】解：①当点在圆外时，

・・•圆外一点和圆周的最短距离为3,最长距离为9,

圆的直径为9-3=6,

该圆的半径是3；

②当点在圆内时，

•・•点到圆周的最短距离为3,最长距离为9,

圆的直径=9+3=12，

二圆的半径为6,

故答案为6或3.

【点评】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关

键.

13.平面上一点P到上一点的距离最长为7cm,最短为3cm,则CO的半径为5或2

cm.

【考点】点与圆的位置关系

【分析】解答此题应进行分类讨论，点尸可能位于圆的内部，也可能位于圆的外部.

【解答】解：当点P在圆内时，则直径=7+3=10”；,因而半径是5c〃z；当点P在圆外时，

直径=7-3=4c加，因而半径是2c加.

故答案为5或2.

【点评】解决本题的关键是首先要进行分类讨论，其次是理解最长距离和最短距离和或差的

意义.

14.在RtAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.若以C点为圆心，r为半径所作的圆与

斜边AB只有一•个公共点，贝什的取值范围是_3<44或厂=2.4_.

【考点】垂线段最短；勾股定理；直线与圆的位置关系

【分析】此题注意两种情况：

(1)圆与相切时；

(2)点/在圆内部，点B在圆上或圆外时.

根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联

系进行求解.

【解答】解：如图，•;BC>AC,

.•.以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边N3只有一个公共点.

根据勾股定理求得48=5.

分两种情况：

(1)圆与相切时，即，=(?。=3><4+5=2.4；

(2)点/在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时/C<7《8C,即3<p.

3<，7或r=2.4.

【点评】本题利用的知识点：勾股定理和垂线段最短的定理；直角三角形的面积公式求解;

直线与圆的位置关系与数量之间的联系.

15.（2022秋•武汉期末）如图，PM,PN分别与OO相切于4,3两点，C为OO上异

于4,B的一点，连接/C,BC.若/尸=58。，则N/C3的大小是_61。或

【考点】圆周角定理；切线的性质

【分析】连接CM、OB,根据切线的性质得到CU_LR4,OB1PB,进而求出N/O8,分

点C在优弧上、点C在劣弧上两种情况，根据圆周角定理计算即可.

【解答】解：连接CM、OB,

•••PM,PN分别与。。相切于4,B两点，，

OA1PA,OB1PB,

ZAOB=360°-90°-90°-58°=122°,

当点C在优弧AB上时，NACB=-ZAOB=-x122°=61°,

22

当点。在劣弧上时，44。3=180。-61。=119。，

故答案为：61。或119。.

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解

题的关键.

16.如图，RtAABC中，ZC=90°,AC=3,点。在边8c上，CD=1,BD=3.点尸是

线段/。上一动点，当半径为1的OP与A43c的一边相切时，/P的长为或巫或

3

5A/10

9

CD

【考点】切线的判定与性质

【分析】分三种情况讨论解答：①0P与NC边相切，②。尸与8C边相切，③。尸与4g边

相切，依据题意画出图形，利用切线的性质，过点尸分别作各边的垂线段，利用比例式即

可求得结论.

【解答】解：①当OP与/C边相切时，如图，

CD

过点P作尸£_L/C,则E为切点，PE=\.

■：BCLAC,

PE//CD.

APPE

"而一五•

VAD=y/AC2+CD2=VFTF=V10,

AP_1

••>=r

AP=y/lQ；

此时，点尸与点。重合.

②当。尸与8C边相切时，如图,

CFD

过点尸作尸尸，BC,则尸为切点，PF=1,

•••BCLAC,

PF//CA.

PF_PD

\4C~AD•

由①得：AD=A/10,

...PD=AD-AP=y/W-AP.

1回—AP

——■，

3VW

解得：Ap=巫;

3

③当。尸与45边相切时，如图，

CD

过点尸作尸G,胡于点G,则G为切点，PG=1.

过点。作。H_LAB于点H,

•/CD=\,BD=3,

BC=4.

/.AB=ylAC2+BC2=5.

•・•NBHD=NBCA=90°,ZB=ZB,

NBDHs曲AC.

BD_PH

~AB~^C

3_DH

•rDHLAB,PGIBA,

PG/1DH.

PG_AP

,而一茄•

1_AP

5

AP=-4io.

综上，当半径为1的。尸与A43c的一边相切时，/尸的长为9或亚或亚.

故答案为：而或巫或题.

39

【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，利用切线的性质得到圆心到直线的距离等于圆

的半径和利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键.

三.解答题(共2小题)

17.(2021秋•新荣区月考)综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个直角三角板和量角器，把量角器的中心。点放

置在NC的中点上，0E与直角边NC重合，如图1所示，NC=90。，3C=6,NC=8,00=3,

量角器交于点G,F,现将量角器。E绕点C旋转，如图2所示.

(1)点C到边的距离为—巨

(2)在旋转过程中，求点。到距离的最小值.

(3)若半圆。与RtAABC的直角边相切，设切点为K,求3K的长.

【考点】圆的综合题

【分析】(1)如图1，过点C作于点X,利用勾股定理求得NB,再利用

ABCH=AC-BC,即可求得答案.

(2)当C0_L/B时，点。到48的距离最小，再由。8=8-。C,即可求得答案.

(3)分两种情况：①当半圆。与8C相切时，如图2,设切点为K,连接OK,运用勾股定

理即可求得答案；

②当半圆。与/C相切时，如图3,设切点为K,连接OK,运用勾股定理求得CK,再利

用勾股定理即可求得BK.

【解答】解：(1)如图1,过点C作C77J.N3于点

•••AACB=90°,BC=6,AC=8,

AB=ylAC2+BC2=V62+82=10,

CHVAB,

ABCH=ACBC,

6x8_24

~w~y

即点。到边45的距离为上,

5

故答案为：—.

5

(2)•.•。为NC的中点，

OC=-AC=-x8=4,

22

当。时，点。到AB的距离最小,

244

:.OH=CH-OC=——4=一，

55

4

.•.点O到AB距离的最小值为--

5

(3)①当半圆。与相切时，如图2,设切点为K,连接OK,

ZOKC=90°,

在RtAOCK中，OK=3,0c=4,

:.CK=^l0C2-OK2=742-32=V7,

:.BK=BC-CK=6-5、

②当半圆。与4C相切时，如图3,设切点为K,连接OK,

ZOKC=9G°,

在RtAOCK中，OK=3,0C=4,

:.CK=JOC2-OK2=V42-32=V7，

在RtABCK中，BK=^BC1+CK2=762+(V7)2=届；

综上所述，8K的长为近或回.

【点评】本题是几何综合题，考查了圆的性质，切线的性质，旋转变换的性质，勾股定理,

三角形面积,解题关键是熟练掌握旋转变换的性质等相关知识，运用分类讨论思想解决问题.

18.如图1,平行四边形/BCD中，AB=8,BC=4,N/BC=60。.点尸为射线8c上一

点，以为直径作。。交48、DC于E、尸两点.设OO的半径为x.

(1)如图2,当O。与小相切时，x=4.

(2)如图3,当点尸与点C重合时，

①求线段CE长度；

②求阴影部分的面积；

(3)当。。与平行四边形/BCD边所在直线相切时，求x的值；

（4）OO能否同时过/、。两点，若能，求出x值；若不能，请说明理

【考点】圆的综合题

【分析】（1）由平行四边形的性质可得：AB//CD,/B=CD=8,得出/DCP=N/BC=60。，

再由切线的性质可得。尸，8P,得出NCDP=30。，利用30。所对的直角边等于斜边的一半，

可得CP=1CD=4,推出。。的直径3P=8,即可得出答案；

2

（2）①运用勾股定理即可求得答案；

②如图2,连接OE,利用圆周角定理可得出ZBOE=2ZBCE=60°,过点E作EHLOB于H,

则NOE〃=30。，利用勾股定理可求得EX=6,再运用扇形面积公式和三角形面积公式即

可求得答案；

（3）分两种情况：①当。。与直线CD相切时，由切线性质可得NOFC=90。，进而可得

OB=OF=x,OC=4-x,CF=1（4-x）,再由勾股定理建立方程求解即可；

②当OO与直线相切时，如图4,过点。作O7_L/。于T,连接/C,则OT=O8=x,

证明四边形/COT是矩形，即可得出答案；

（4）。。不能同时过/、。两点.如图5,作/。的垂直平分线交/。于"，交3c于N,

作的垂直平分线交于。，交.BC于P,连接/C,证明点N与点尸不重合，即AW与

PQ的交点不可能在直线3c上.

【解答】解：（1）如图1,,四边形48。是平行四边形，AB=8,BC=4,ZABC=60°.

AB//CD,AB=CD=8,

ZDCP=NABC=60°,

•••O。与。P相切，

DPVBP,

ZCPD=90°,

ZCDP