2025年中考数学复习 第一讲 一次方程（组）（考点解析+试题讲义）（解析版）

第二章方程（组）与不等式（组）

第1讲一次方程（组）

N。考向解读

❹专题精练

第1讲一次方程（组）

一❶考点精析一

一❷真题精讲一

考向-----元一次方程的定义

考向二解一元一次方程

考向三阅读理解、定义、规律问题

考向三一元一次方程的应用

考向四二元一次方程（组）的定义

考向五解二元一次方程组

考向六二元一次方程组的应用

第1讲一次方程（组）

本板块内容以考查解一元一次方程和二元一次方程组、及一元一次方程与二元一次方程的应

用为主,既有单独考查,也有在一次函数、二次函数的应用中解一元一次方程、二元一次方程

组的工具性的考查,年年考查,是广大考生的得分点,分值为15分左右。预计2024年各地中

考还将继续考查各种方程（组）的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握.

一❶考点精析一

一、方程和方程的解的概念

1.等式的性质

（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式.

（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式.

2.方程:含有未知数的等式叫做方程.

3.方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方

程.

二、一元一次方程及其解法

1.一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1,这样的整式方程叫做一元一

次方程.它的一般形式为ax+b=0（aw0）.注意：x前面的系数不为0.

2.一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解.

3.一元一次方程ax+b=0（a/0）的求解步骤

变形名称具体做法

去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数

去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号

移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边

合并同类项把方程化成ax=-6的形式

系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解为x=--

a

注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式

两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据.移项本质上就

是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0,而另一边是它改变符号后的项,

所以移项必须变号.

三、二元一次方程（组）及解的概念

1.二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二

元一次方程.

2.二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解.

3.二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组.方程组中同一个

a,x+hy=c,

字母代表同一个量，其一般形式为：.

a2x+b2y=c2

4.解二元一次方程组的基本思想

解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程.

5.二元一次方程组的解法

（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入

另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.

（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知

数，化二元一次方程组为一元一次方程.

四、一次方程（组）的应用

1.列方程（组）解应用题的一般步骤

（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式一一方程；（4）解方程（组）；

（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）.

2.一次方程（组）常见的应用题型

（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=鬻乂100%；售价=标价X折扣；销售

额=售价X数量.

（2）储蓄利息问题：利息=本金X利率X期数；本息和=本金+利息=本金X（l+利率X期数）;

贷款利息=贷款额X利率X期数.

（3）工程问题：工作量=工作效率X工作时间.

（4）行程问题：路程=速度X时间.

（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程.

（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程.

（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.

（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度.

一❷真题精讲一

考向-----元一次方程的定义

只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程.它的一

般形式是G+6=0（。8是常数且。70）.

1.（2019•内蒙古呼和浩特•中考真题）关于X的方程加%2叱1+（加一1）x.2=0如果是一元一次

方程，则其解为.

【答案】xW或x=-2或x=-3.

【分析】利用一元一次方程的定义判断即可.

【解析】解：关于x的方程加/向+（加T）犷2=0如果是一元一次方程，

2m-l=l,即加=1或加=0,方程为x-2=0或一1一2=0,

解得：X=2或x=—2,当2m-l=0,即时，方程为:一—2=0解得：x=-3,

故答案为x=2或x=-2或x=-3.

【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键.

考向二解一元一次方程

解一元一次方程的主要步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1.

2.（2020•浙江杭州•中考真题）以下是圆圆解方程------二=1的解答过程.

23

解：去分母，得3（x+l）-2（x-3）=1.

去括号,得3x+l-2x+3=1.

移项，合并同类项，得x=-3.

圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程.

【答案】圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程见解析

【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案.

【解析】解：圆圆的解答过程有错误，

正确的解答过程如下：3（x+1）-2（x-3）=6.去括号，得3x+3-2x+6=6.

移项，合并同类项，得x=-3.

【点睛】此题主要考查一元一次方程的求解，解题的关键是熟知一元一次方程的求解方法.

3.（2020•湖北恩施•中考真题）在实数范围内定义运算“☆"：a^b=a+b-\,例如：

21^3=2+3—1=4.如果2'A;x=l,则x的值是（）.

A.-1B.1C.0D.2

【答案】C

【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解.

【解析】解：由题意知：2^x=2+x—l=l+x,又2^x=l,，l+x=l,...x=0.故

选：C.

【点睛】本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，

根据新定义的运算规则求解即可.

4.（2020•广西玉林・中考真题）观察下列按一定规律排列的n个数：2,4,6,8,10,12,...；

若最后三个数之和是3000,则n等于（）

A.499B.500C.501D.1002

【答案】C

【分析】根据题意列出方程求出最后一个数，除去一半即为n的值.

【解析】设最后三位数为X—4,X—2,x.由题意得:x—4+x—2+x=3000,

解得x=1002.0=1002+2=501.故选C.

【点睛】本题考查找规律的题型，关键在于列出方程简化步骤.

考向三新定义、阅读理解、规律问题

5.（2020•西藏中考真题）观察下列两行数：

1,3,5,7,9,11,13,15,17,—

1,4,7,10,13,16,19,22,25,—

探究发现：第1个相同的数是1,第2个相同的数是7,…，若第n个相同的数是103,则

n等于（）

A.18B.19C.20D.21

【答案】A

【分析】根据探究发现：第1个相同的数是1,第2个相同的数是7,…，第〃个相同的数

是6（〃-1）+1=6〃-5,进而可得〃的值.

【解析】解：第1个相同的数是1=0*6+1,第2个相同的数是7=lx6+l,

第3个相同的数是13=2x6+1,第4个相同的数是19=3x6+1,…，

第〃个相同的数是6(〃-1)+1=6〃-5,所以6〃-5=103,解得〃=18.

答：第〃个相同的数是103,则〃等于18.故选：A.

【点睛】此题主要考查了数字变化规律，确定出相同数的差值，从而得出相同数的通式是解

题的关键.

ab

6.(2018•湖南常德•中考真题)阅读理解：«,b,C,d是实数，我们把符号称为2x2

d

ab

阶行列式，并且规定:=axd-bxc、例如:

d

32ax+by=C[

=3x(-2)-2x(-l)=-6+2=-4.二元一次方程组\xx的解可以利

-1-2

a2x+b2y=c2

x2

/其中D=axb]cia

用2x2阶行列式表示为：\，2=，Dy

4b?。2b]

y=—

■D

2x+y=1

问题：对于用上面的方法解二元一次方程组《):一时，下面说法错误的是()

3x-2y=12

21

A.D==-7B.2=—14

3-2x

x=2

C.Dy=27D.方程组的解为‘c

3=一3

【答案】c

【分析】根据阅读材料中提供的方法逐项进行计算即可得.

21

【解析】A、D==2x(-2)-3x1=-7,故A选项正确，不符合题意;

3—2

11

B、D==-2-1x12=-14,故B选项正确，不符合题意;

x12-2

21

C、D==2x12-1x3=21,故C选项不正确，符合题意;

y312

D、方程组的解：x=—?-=——=2,y=--==-3,故D选项正确，不符合题意，故选C.

D-7D-7

【点睛】本题考查了阅读理解型问题，考查了2x2阶行列式和方程组的解的关系，读懂题意，

根据材料中提供的方法进行解答是关键.

7.（2020・湖北中考真题）对于实数m,〃，定义运算加*〃=（加+2）2—2〃.若2*a=4*（-3）,

贝.

【答案】-13

【分析】根据给出的新定义分别求出2*a与4*（—3）的值，根据2*。=4*（—3）得出关于a

的一元一次方程，求解即可.

【解析】解：=0+2）2—2〃,

.\2*a=（2+2）2-2a=16-2a,4*（-3）=（4+2）2-2x（-3）=42,

•；2*a=4*（-3）,.•.16-2a=42,解得13,故答案为：-13.

【点睛】本题考查解一元一次方程、新定义下实数的运算等内容，理解题干中给出的新定义

是解题的关键.

考向四一元一次方程的应用

列方程解实际应用题的一般步骤：

（1）审：审清题意，分清题中的已知量、未知量；（2）设：恰当设出关键未知数；

（3）歹心找出适当等量关系，列方程；（4）解：解方程；

（5）验：检验所解值是否正确或是否符合实际意义；（6）答：规范作答，注意单位名称.

8.（2023•浙江温州•统考中考真题）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5

倍,碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g.设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g）,Mg），

可列出方程为（）

5533

A.—x+y=30B.x+—y=30C.—x+y=30D.x+—=30

【答案】A

【分析】根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g列方程.

【详解】解：设蛋白质、脂肪的含量分别为xg,yg,则碳水化合物含量为（1.5x）g,

贝!］：x+1.5x+y=30,gp1-x+）?=30,

故选：A.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出

合适的等量关系，列方程.

9.（2023•黑龙江齐齐哈尔•统考中考真题）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校

为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150cm的导线，将其全部截成10cm和20cm两种长

度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（）

A.5种B.6种C.7种D.8种

【答案】C

【分析】设10cm和20cm两种长度的导线分别为根，根据题意，得出了=‘尸，进而

根据三〉为正整数，即可求解.

【详解】解：设10cm和20cm两种长度的导线分别为xj根，根据题意得，

10x+20y=150,

为正整数，

.\x=l,3,5,7,9,ll,13

则。=7,6,5,4,3,2,1,

故有7种方案，

故选：C.

【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程求整数解是解题的关键.

10.（2019•贵州黔东南•中考真题）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某

次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是

______元.

【答案】20001

【分析】设这种商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即

可.

【解析】设这种商品的进价是x元，由题意得，（1+40%）XX0.8=2240,

解得:x=2000,故答案为2000.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用-销售问题，弄清题意，熟练掌握标价、折扣、

实际售价间的关系是解题的关键.

考向五二元一次方程（组）的定义

（1）二元一次方程应满足：①含有2个未知数；②含有未知数的项的次数都是1;③是整

式方程.

（2）由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组.

11.（2020.湖北省中考模拟）下列方程中，是二元一次方程组的是

x+y=42a-3b=22%2=4x+y=7

A.<B.C.D,<

2x+3y=75x-4c=12x+y=5xy=5

【答案】A

【解析】根据定义可以判断:

x+y=42a—3b=22

A、<[2x+3姓7'满足要求；中含有a,b,c,是三兀方程;

5x-4c=12

X2=4x+y=7

C、〈中含有一,是二次方程；D、2厂中含孙，是二次方程.故选A.

x+y=5f—k5

【点评】二元一次方程组的三个必需条件:（1）含有两个未知数；（2）每个含未知数的项

次数为1；（3）每个方程都是整式方程.

x+y=2x=1

12.（2020•浙江绍兴•中考真题）若关于x,y的二元一次方程组《建0的解为

b=1

则多项式/可以是（写出一个即可）.

【答案】答案不唯一，如X-y.

X=1

【分析】根据方程组的解的定义，\1应该满足所写方程组的每一个方程.因此，可以

b=1

x=l

围绕《1列一组算式，然后用X,"代换即可.

b=1

x+y=2x=1

【解析】:关于x，y的二元一次方程组〈A=0的解为1,而1-1=0,

b=1

...多项式/可以是答案不唯一，如x-y.故答案为：答案不唯一，如X-F

【点睛】此题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解，正确理解方程组的解与每

个方程的关系是解题的关键.

考向六解二元一次方程组

二元一次方程组的两种解法：①加减消元法；②代入消元法.

13.(广西桂林•中考真题)若[3x-2y_l|+Jx+y-2=0,则x,y的值为()

x=l[x=2fx=0[x=l

A・〈B.<C.<D.<

y=4[y=0[y=2[y^l

【答案】D

分析：先根据非负数的性质列出关于x、y的二元一次方程组，再利用加减消元法求出x的

值，利用代入消元法求出y的值即可.

।,I-----------3x—2y—1=0

【解析】丁3x—2y—1+Jx+y—2=0,,〈

[x+y-2=0

3x—2y=l①

将方程组变形为<，①+②X2得，5x=5,解得x=l,

x+y=2(2)

x=l

把x=l代入①得，3-2y=l,解得y=L・・・方程组的解为<1.故选D.

b=1

点睛：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法

是解答此题的关键.

x+2y—z—4

14.(2019•四川内江•中考真题)若x/,z为实数，且<',，则代数式

x-y+2z=l

x2-3_y2+z2的最大值是.

【答案】26.

【分析】先利用加减消元法求出y,x的值，再把x,y代入代数式V—3/+z2,求出z的

值，即可解答

x+2y-z=4(1)

【解析】《-cX,(1)-(2)得，y=l+z,

x-y+2z=1(2)

把y=l+z代入(1)得，x=2-z,

则J-3/+z2=(2-3(l+z『+z2=-22-102+1=-(z+51+26,

当z=-5时，--3必+z2的最大值是26,故答案为26.

【点睛】此题考查解三元一次方程，解题关键在于掌握运算法则

3x+y=S

15.（2023•江苏连云港•统考中考真题）解方程组

2x-y=l

.pr=3

【答案】[

LV=T

【分析】方程组运用加减消元法求解即可.

3x+y=8①

【详解】解:

2x-y=7®

①+②得5x=15,

解得x=3,

将x=3代入①得3x3+y=8,

解得y=_1.

（x=3,

...原方程组的解为;

b=-i-

【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，方法主要有：代入消元法和加减消元法.

x-2y=1①

16.（2023・湖南常德・统考中考真题）解方程组:

3x+4y=23②

卜=5

【答案】c

[y=2

【分析】方程组利用加减消元法求解即可.

【详解】解：将①x2得：2》-4），=2③

②+③得：尤=5

将x=5代入①得：y=2

（x=5

所以.是原方程组的解.

卜=2

【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法

或加减消元法消去一个未知数.

13x+v=2/n—1

17.（2023・四川南充•统考中考真题）关于x,y的方程组,的解满足x+y=l,

[x—y=n

则4r2"的值是（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】D

【分析】法一：利用加减法解方程组，用"，机表示出X/,再将求得的代数式代入x+y=l,

得到〃7，"的关系，最后将4"：2"变形，即可解答.

法二：F无+了一?1①中①-②得至]12加一〃=2卜+力+1,再根据彳+〉=1求出2〃?一“=3代

\x-y=n^i）

入代数式进行求解即可.

3x+y=2m-1①

【详解】解：法一:

x-y=

①+②得4x=2加+〃一1,

2m+n-l

解得x=

4

将x="代入②,解得＞=—!

'：x+y=\,

2m+n-\2m-3n-\

--------------------1----------------------=1,

44

得至！J2加一〃=3,

.4加.2〃_22加.2"—22"一〃=23=8,

3x+y=2m-1①

法二:

x-y=

(T)—(2)得：2x+2y—2m—〃一1,艮:21Tl—n=2(x+y)+1,

*：x+y=l,

2m—〃=2xl+l=3,

...4“+2〃=22m+2〃=22m~n=23=8,

故选：D.

【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数累除法，幕的乘方，熟练求

出私〃的关系是解题的关键.

a=2—ax+by=5

18.（2020•黑龙江穆棱•朝鲜族学校中考真题）若《，1是二元一次方程组＜

b=l

ax-by=2

的解，则x+2y的算术平方根为（）

A.3B.3,—3C.百D.一百

【答案】C

a=2

【分析】将L1代入二元一次方程组中解出x和y的值，再计算x+2y的算术平方根即

b=l

可.

r（3

a=2-ax-^-by=5

【解析】解：将《代入二元一次方程,2中,

、ax-by-2

3x+y=5

得到：。c，解这个关于x和p的二元一次方程组，

2x-y=2

774

两式相加，解x得，将x回代方程中，解得丁=不，

.\x-^-2y=—+2x—=——3,「・x+2p的算术平方根为,故选：C.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，算术平方根的概念等，熟练掌握二元一次方程

组的解法是解决本题的关键.

3x-my=5x=1

19.（山东滨州・中考真题）若关于x、y的二元一次方程组《c',的解是《

2x+ny=6

3(a+b)-m(a-Z?)=5

则关于a、b的二元一次方程组《的解是________

2(a+b)+n(a-b)=6

3

Cl———

2

【答案】

b=--

2

3x-mv=5X=1

【分析】方法一：利用关于x、y的二元一次方程组〈c-/的解是Vc可得m、n

2x+ny=ob=2

的数值，代入关于a、b的方程组即可求解；方法二：根据方程组的特点可得方程组

3(a+Z))—m(a-b)=5a+Z?=1

2(a+b)+〃(a—b)=6的解是‘j=2'再利用加减消元法即可求出.

⑵3x-+m…y=5的解』X=1

【解析】详解：：关于x、y的二元一次方程组《〔一

x-13x-my=5

将解〈c代入方程组,c可得-1,n=2

b=22x-^-ny=6

3(6z+/?)-m(6z-Z))=54a+26=5

，关于a、b的二元一次方程组《整理为：＜4”6解得:

2(。+6)+〃(。一6)二6

3

Cl——

2

b=--

2

⑵3x+-m町y=65的叫X=1

方法二：：关于x、y的二元一次方程组＜

b=2

3

Cl——

3(a+/))-m(a-b)=5a+b=1a+b=l2故答案为:

方程组〈2(a+b)+n(a-b)=6的解是‘j=2解j=2得

b=——

2

3

Cl——

2

b=--

2

【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体

现明显.

考向七二元一次方程组的应用

由实际问题抽象出二元一次方程组的主要步骤：①弄清题意；②找准题中的两个等量关系;

③设出合适的未知数；④根据找到的等量关系列出两个方程并联立成二元一次方程组.

20.（2023•湖南•统考中考真题）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三

十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何.”设有％只鸡，》只兔.依题意，可列方程组为（）

x+y=35,x+y=94,

A.B.

4x+2y=944x+2y=35

x+y=35,x+y=94,

2x+4j=942x+4y=35

【答案】c

【分析】根据等量关系“鸡的只数+兔的只数=35”和“2x鸡的只数+4x兔的只数=94唧可

列出方程组.

【详解】解：设有x只鸡，y只兔，

x+y=35

由题意可得:

2x+4y=94

故选：C.

【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找出等量关系.

21.（2023•黑龙江・统考中考真题）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生

活，计划出资500元全部用于采购4,B,。三种图书，/种每本30元，3种每本25元，C

种每本20元，其中N种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方

案有（）

A.5种B.6种C.7种D.8种

【答案】B

【分析】设采购/种图书x本，8种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元

列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可.

【详解】解：设采购/种图书x本，8种图书y本，C种图书z本，其中5WxV6,y>0,z>0,

且x/,z均为整数，根据题意得，

30x+25y+20z=500,

整理得，6x+5y+4z=100,

①当％=5时，6x5+5y+4z=100,

70-4z

•・尸

•.•y>0,z>0,且弘z均为整数，

.•.当70-4z=10时，y=2,；.z=15；

当70-4z=30时，y=6,：.z=10；

当70-4z=50时，y=10,z=5；

②当x=6时，6x6+5y+4z=100,

64-4z

…二，

•.•y>0/>0,且八2均为整数，

.♦.当64-4z=20时，y=4,/.z=n；

当64-4z=40时，y=8,z=6；

当64-4z=60时，>=12,：.z=l；

综上，此次共有6种采购方案，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的

关键.

22.（2023・湖南张家界•统考中考真题）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学

活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，

则多出三辆车，且其余客车恰好坐满.现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所

不：