2025年中考数学热点题型专项训练：反比例函数与几何综合（原卷版）

专题12反比例函数与几何综合

目录

热点题型归纳.........................................................................................1

题型01K的几何意义..................................................................................1

题型02特殊几何图形存在性问题.......................................................................3

题型03反比例与相似三角形综合.......................................................................6

中考练场.............................................................................................7

热点题型归纳

题型01K的几何意义

【解题策略】

「反正丽函薮函豪卫点的巫标痔菱形的强质厂廨直备三鬲一瓶「三扇形而砥函函应和恒瓦―反克丽南薇系教了的冗荷

|意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质.

【典例分析】

例1.（2023・江苏宿迁・中考真题）如图，直线y=x+l、＞=x-l与双曲线^=夕左＞0）分别相交于点4B、C、D.若四

边形48co的面积为4,则左的值是（）

A—4

V2C.一D.1

4~T5

例2.（2023・四川宜宾•中考真题）如图，在平面直角坐标系X切中，点4、5分别在x轴上，8。，了轴.点〃;N

分别在线段BC、/C上，BM=CM,NC=2AN,反比例函数歹=：（、>0）的图象经过M、N两点，尸为x正半轴上一

点，且。P:8P=1:4,A//W的面积为3,则左的值为（）

4545—14472

A-TB-Tc•石D.—

25

【变式演练】

k

•福建泉州•模拟预测）如图，反比例函数%>0）图象经过正方形OABC的顶点A,BC边与y轴交于点D,

1.（2024y=TX

若正方形048。的面积为12,BD=2CD,则发的值为（）

O\X

,181610

A.3B.—C.—D.—

553

2.（2023・安徽•二模）如图，A,2两点分别为。。与x轴，丁轴的切点.AB=2®，C为优弧45的中点，反比例函

数y=±（x>0）的图象经过点C,则人的值为（）

A.3+2收B.8C.16D.32

3.（2023・安徽・模拟预测）如图，等腰小3C的顶点分别在反比例函数”=?（%＞0）和%=，（履＞。）的图象上,

©BC当处若®。轴，点B的横坐标为3,则…二

3

4.（2023・四川成都•模拟预测）如图，直线》=-二1+3的图象与V轴交于点A,直线＞="+以左〉0）与1轴交于点5,

4

39

与歹=一二1+3的图象交于点M,与＞=一（％＞0）的图象交于点当黑向/：S4MC=5:3时，k=_______.

4x

题型02特殊几何图形存在性问题

【解题策略】

著者了至尊三鬲形的河蔻布■桂原丁丽须三鬲形的乳兔和桂尻「折蓟而桂康厂芍藤定蓬二解函的关键亮氨臻孽握三鬲-

形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.

i典柯芬而

例.（2023•山东•中考真题）如图，直线y=|x与双曲线=交于A,B两点，点A的坐标为（如-3）,点C是

双曲线第一象限分支上的一点，连接8c并延长交无轴于点D,且8C=2CD.

(1)求左的值并直接写出点8的坐标；

(2)点G是y轴上的动点，连接GB,GC,求G3+GC的最小值；

(3)P是坐标轴上的点，。是平面内一点，是否存在点P,。，使得四边形/3P。是矩形？若存在，请求出所有符合

条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式演练】

I.(2023•湖南邵阳•一模)如图，直线48与x轴交于点A,与丁轴交于点8.03是一元二次方程--工-30=0的一个

3

根，且=：，点。为4g的中点，E为1轴正半轴上一点，BE=2^/10,直线。。与BE相交于点尸.

⑴求点A及点D的坐标；

⑵反比例函数y=幺经过点/关于V轴的对称点尸，，求左的值；

X

(3)在直线A8上是否存在点P,使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2.(2023•山东济南•二模)如图，一次函数了=尤+8的图象与反比例函数y=f(x<0)的图象交于B两点.

⑴求此反比例函数的表达式及点8的坐标；

⑵在y轴上存在点P,使得4P+BP的值最小，求4P+BP的最小值.

(3)M为反比例函数图象上一点，N为x轴上一点，是否存在点M、N,使△儿0N是以为底的等腰直角三角形?

若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由.

1”

3.(2023・四川成都・三模)如图，直线y=：x-3与x轴交于点/,与了轴交于点8,与反比例函数y=—在第一象限内

2X

的图象交于点C(%1).

⑴求反比例函数的表达式；

⑵点。在点。上方的反比例函数＞=8的图象上，的面积为9,求点。的坐标；

k

⑶在(2)的条件下，点M在x轴上y=—的图象上，若以点M,N,8为顶点的四边形是平行四边形，求点"的坐标.

4.(2022•山东济南•一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b与反比例函数＞=£(x＞0)的图象交于点

/(3,〃),与了轴交于点3(0,-2),点尸是反比例函数y=?x>0)的图象上一动点，过点P作直线P0〃了轴交直线

y=x+b于点。，设点尸的横坐标为3且0<t<3,连接/尸，BP.

(1)求左，b的值.

⑵当"BP的面积为3时，求点P的坐标.

⑶设尸。的中点为C,点。为x轴上一点，点£为坐标平面内一点，当以£C,D,£为顶点的四边形为正方形时,

求出点P的坐标.

5.(2023・山东济南•二模)如图，在直角坐标系中，直线了=-：x与反比例函数>的图像交于/(加,3)、3两点.

⑴求反比例函数的表达式；

3

(2)将直线了=-1尤向上平移后与y轴交于点C,与双曲线在第二象限内的部分交于点。，如果△/8D的面积为16,求

直线向上平移的距离；

(3)£是y轴正半轴上的一点，尸是平面内任意一点，使以点N,B,E,尸为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件

的点E的坐标.

题型03反比例函数与相似三角形综合

【解题策略】

著音直残写至标轴的芟点「采反亚的面直解桥式「反反画函薮函国豪写桂版「反IE面函薮维吾二元荷荷顾「三说弘西曲]

积公式，位似的性质等知识，综合性大，利用联立方程组求交点和掌握位似的性质是解题的关键.

I

TaSW]

例.(2023•四川成都・中考真题)如图，在平面直角坐标系xQy中，直线了=-x+5与y轴交于点/,与反比例函数>=勺

X

的图象的一个交点为8(%4),过点3作的垂线/.

(1)求点N的坐标及反比例函数的表达式；

(2)若点C在直线/上，且“BC的面积为5,求点。的坐标；

(3)尸是直线/上一点，连接为，以P为位似中心画△口)£,使它与AP/3位似，相似比为根.若点。，E恰好都落在反

比例函数图象上，求点P的坐标及机的值.

【变式演练】

1.(2023•黑龙江鸡西•三模)如图1,在平面直角坐标系中，矩形O48C的顶点/、C分别在x轴负半轴、y轴正半轴

上，AB.8c的长分别是方程f-12x+32=0的两个根，且/2>2C.

(1)求点B的坐标；

(2)如图2,过点/且垂直于4C的直线交y轴于点尸，在直线即上截取3=/c,过点。作。后工>轴于点E,求经过

点。的反比例函数的解析式；

(3)在(2)的条件下，在了轴上是否存在一点尸，使以。，E,尸为顶点的三角形与入。4c相似？若存在，写出点尸的个

数及其中两个点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

2.(2022•广东广州•二模)如图，已知矩形O/2C,0/在y轴上，0c在x轴上，OA=2,AB=4,双曲线>=夕发>0)

与矩形的边48、3c分别交于点E、F.

(1)若点E是48的中点，求点尸的坐标;

(2)将ABM沿直线M对折，点3落在x轴上的。处，过点£作£GJ_OC于点G.问：AEG。与ADC尸是否相似？若

相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由.

3.(2022・四川成都•二模)如图，在平面直角坐标系中，直线了=3x+b经过点与V轴正半轴交于3点，与

反比例函数y=X(x>0)交于点C,且/C=34B,8D〃x轴交反比例函数y="(x>0)于点D.

XX

（1）求6、左的值;

（2）如图1,若点E为线段5C上一点，设£的横坐标为加，过点E作EF〃BD,交反比例函数》=幺（％>0）于点尸.若

x

EF=^BD,求加的值.

⑶如图2,在（2）的条件下，连接FD并延长，交x轴于点G,连接OZ）,在直线。。上方是否存在点使得AODH与

△ODG相似（不含全等）？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由.

中考练场

I.（2021・四川内江•中考真题）如图，菱形/BCD的顶点分别在反比例函数夕=4和^=与的图象上，若48=60。，

则真的值为（）

左2

2.（2023・重庆・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形/BCD的顶点。在第二象限，其余顶点都在第一象限,

轴，AOA.AD,AO=AD.过点/作4EJ_CD,垂足为E,DE=4CE.反比例函数v=&（x>0）的图象经过点£,与

边A3交于点R连接。E,OF,EF.若邑因尸=?,则左的值为（）

O

E\C

3.（2023•辽宁鞍山•中考真题）如图，在AA8C中，BA=BC,顶点C,2分别在x轴的正、负半轴上，点/在第一

象限，经过点/的反比例函数y=g（x>0）的图象交/C于点£,过点£作EFLx轴，垂足为点?若点£为/C的中点,

BD=2AD,BF-CF=3,则左的值为.

B0\FCx

4.（2023•浙江宁波・中考真题）如图，点43分别在函数>=q（。>0）图象的两支上（4在第一象限），连接交x

轴于点C.点。，E在函数y=2（6<0,x<0）图象上，NE-x轴，3D〃y轴，连接。及8E.若AC=2BC,A48E的

面积为9,四边形/2OE的面积