2025年中考数学热点题型复习专项训练：三角形的证明与计算（原卷版）

专题03三角形的证明与计算

目录

热点题型归纳.........................................................................................1

题型01三角形与全等.................................................................................1

题型02三角形与相似.................................................................................3

题型03三角形边角计算...............................................................................6

中考练场............................................................................................10

热点题型归纳

题型01三角形与全等

【解题策略】

六个全等模型

c

直角一线三等角

两个正方形等边三角形含半角（/8DC-120

手拉手模型

【典例分析】

例.（2023•北京・中考真题）在中、Z5-ZC=a（O°<a<45°）,4AUBC于点跖。是线段MC上的动点（不

与点M,C重合），将线段DM绕点。顺时针旋转2a得到线段DE.

⑴如图1,当点£在线段/C上时，求证：。是MC的中点；

（2）如图2,若在线段的上存在点尸（不与点3,M重合）满足。尸=DC,连接/E,EF,直接写出N/EF的大小,

并证明.

【变式演练】

1.（2024•陕西西安•模拟预测）如图，在“3c和VADE中，延长3C交DE于足BC=DE,ZBAD=ZCAE,

ZACF+/4ED=18Q°.求证：AB=AD.

2.（2022•安徽•模拟预测）如图，在等腰RtZ\4BC与等腰RtZ^CDE中，NACB=2DCE=90°,连接RD,/E相交于

点F，连接AD，BE,CF.

(1)探究线段/E,2。有何关系？写出结论并说明理由.

⑵若BC=3,CD=\,求3E2+/Q2的值.

BF-AF

(3)直接写出八二的值.

CF

3.(2023•河北石家庄•一模)如图，在中，AB=AC,ZBAC^9Q°,。为线段8C上一点，连接4D,将线段4D

绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,作射线CE.

⑴求证：ABAD应CAE,并求/8CE的度数；

(2)若尸为中点，连接的，连接CF并延长，交射线A4于点G,当BD=2,DC=1时.

①求*'的长；

②直接写出CG的长.

题型02三角形与相似

【解题策略】

【典例分析】

例.（2023•湖南常德•中考真题）如图，在。8C中，AB=AC,。是3c的中点，延长D4至£,连接

（1）求证：ABAE出ACAE；

⑵在如图1中，若AE=AD,其它条件不变得到图2,在图2中过点。作。尸，于R设X是EC的中点，过点〃

作〃GII/8交阳于G,交DE于M.

求证：①AF・MH=AM•AE；

②GF=GD.

【变式演练】

1.（2023九年级•安徽・专题练习）如图，在等腰Rt448C中，ZACB=90。,E为8c边上一点，。为ZC延长线上一

点，且CE=CD,连接AD,DE,AE,延长NE交8。于点G,。为AD的中点，P为射线OE上一点，连接。P,交

/G延长线于点。，且PD=BD.

BP

Q

D

(1)求证："CE%ABCD；

AJ7

(2)若G为8。的中点，求若的值；

EG

(3)在(2)的条件下，当尸时，求证：DE?=EG-BD.

2.(2023•上海虹口•一模)如图，在A4BC中，已知点。、E分别在边3C,48上，EC和4D相交于点凡ZEDB=ZADC,

DE2=DFDA-

⑴求证：AABDSAECD；

(2)如果44c3=90。，求证：FC=^EC.

3.(2024•上海普陀*一模)已知：如图，在“3C中，点。在边8c上，ZADE=ZB,ZEAF=ZFDC,DE与AC交

于点F.

E

B

⑴求证：就=至

(2)连接B尸，如果/炉=/尸./C,求证：ADBC=AEBF.

4.(2023•浙江绍兴•模拟预测)在“03和△COD中，ZAOB=ZCOD=90°,直线NC与AD交于点M.

(1)如图1,若NO48=/OCZ)=45。，求证：AC=BD；

(2)如图2,^ZOAB=ZOCD=30°,写出8D与/C的数量关系，并说明理由；

(3)如图2,若NOAB=NOCD=a,请直接写出8。与/C的数量关系(用含。的式子表示).

题型03三角形边角计算

【解题策略】

勾股定理常见折叠模型:

例:

A

【典例分析】

例.（2022・四川资阳•中考真题）如图，在。8c中（，8<5C）,过点C作CZ）〃/8,在。。上截取CD=C8,上截

取CE=/8,连接DE、DB.

D

AC

⑴求证：/XABC咨AECD；

(2)若NA=90。,48=3,BD=2卡，求ABCD的面积.

【变式演练】

1.（2023•湖北黄冈•一模）如图，在中，//8。=90。,/。=30。，点£）在8c上，且AD=/B,E为/。的中

点，连接3E并延长，交NC于点足

A

F

E

BD

(1)求//FE的度数;

(2)若ZC=4,求的长.

2.(2023•浙江温州•模拟预测)如图，在RtZ"3C中，ZACB=90°,AE平分NCAB交CB于点E,CZ)_L/3于点D,

交/E于点G,过点G作G/〃3c交于尸，连接E尸.

⑴求证：CG=CE；

(2)若NC=3cm,BC=4cm,求线段。G的长度.

3.(2023•安徽•模拟预测)某校数学兴趣小组对四边形进行了如下探究：在四边形Z8CD中，对角线相交于点

O.

图2

(1)如图1,若AC,BD,求证：AD1+BC2=AB1+CD\

(2)如图2,^AC=a,BD=b,ZAOB=a为锐角），求四边形/3CD的面积；（用含风瓦。的代数式表示）

(3)如图3,若=ZB+CD,ZABC=NBCD=60°,AC=2,求四边形ABCD的面积.

4.（2024•山西朔州•一模）综合与实践

在AABC中，=/C,。为边8c的中点，以。为顶点作/MW=48.

（1）如图1,当射线OV经过点A时，交边NC于点E,不添加辅助线，则图①中与V4DE相似的三角形有.（填

序号）

①AABD②△ZDC③“BC④ADCE

（2）如图2,将NMLW绕点。沿逆时针方向旋转，0MDN分别交线段于点£,（点E与点A不重合），求证:

/\BDFs/\DEF.

（3）在图2中，若4B=AC=5,BC=6,当皿户的面积等于AABC的面积的;时，求线段Eb的长.

中考练场

1.(2023•青海西宁•中考真题)如图，在Y48co中，点E,尸分别在C。的延长线上，且BE=DF,连接E尸与

/C交于点连接的，CE.

⑴求证：AAEM%ACFM；

(2)若/CLEF,AF=38，求四边形/ECF的周长.

2.(2023・四川甘孜•中考真题)如图，在RtA/BC中，AC=BC=3也，点、D在4B边上,连接CD,将CA绕点C逆

时针旋转90。得到CE,连接BE,DE.

⑴求证：ACAD③CBE；

(2)若/。=2时，求CE的长；

(3)点。在N8上运动时，试探究/。2+3£)2的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理

由.

3.(2023•山东潍坊・中考真题)如图，在。BC中，CD平分/ACB,AE1CD,重足为点E,过点E作E产〃8C、

交AC于点、F,G为BC的中点，连接FG.求证：FG=-AB.

2

4.(2023•山东聊城•中考真题)如图，在四边形/BCD中，点E是边上一点，且BE=CD,NB=NAED=NC.

(1)求证：ZEAD=ZEDA；

⑵若NC=60。，DE=4时，求的面积.

5.(2023•广西•中考真题)如图，AABC是边长为4的等边三角形，点。，E,尸分别在边AS,BC,G4上运动，满

定AD