2025年中考数学复习：圆中证切线、求弧长、求面积、新定义探究问题（8题型）（解析版）

抢分秘籍10圆中证切线、求弧长、求面积、新定义探究问题

（压轴通关）

目录

【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略

【误区点拨】点拨常见的易错点

【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）

中考预测

圆中证切线、求弧长、求扇形面积问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有

一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1.从考点频率看，证明切线是数学的基础，也是高频考点、必考点，圆通常还会和其他几何图形及函

数结合一起考查。

2.从题型角度看，以解答题的第六题或第七题为主，分值8〜10分左右，着实不少！

<I抢分通关

题型一证切线'求面积

典例精讲

【例1】（2024•湖北襄阳•一模）48是OO的直径，4437=45。，AT=AB,87与OO相交于点C.

图1图2

⑴如图1,求证：/T是。。的切线；

（2）如图2,连接/C,过点。作ODL/C分别交/T,/C于点。，E,交NC于点尸，若48=2收，求图

中阴影部分的面积.

【答案】⑴见解析

(2)2

【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理、垂径定理以及扇形面积；

(1)根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出/a3=90。，再根据切线的判定方法进行解答即可;

(2)根据垂径定理，平行线的性质以及扇形面积的计算方法进行计算即可.

【详解】(1)证明：・・・47=/5,

:.NATB=ZABT=45。，

ZTAB=180。—45。—45。=90。,

即AB上AT,

•・•45是。。的直径，

.•.ZT是。。的切线；

(2)解：如图，连接OC,

:.ZACB=90°f

即/。_1_取，

'：ACLOD,

OD//BT,

AOD=ZB=45°,

/.AD=AO=-AB=亚，

2

♦：BC=TC,AO=BO,

OC//AT,

ZCOF=90°-45°=45°,

1/r厂\厂1厂厂457rx(亚)

=-x|V2+2V2)x72——xV2xV2-----------———

21>2360

3-唱

2嗫

通关指导

本题考查切线的判定，圆周角定理、垂径定理以及扇形面积；根据等腰三角形的性质切线的判定

方法进行解答即可；根据垂径定理，平行线的性质以及扇形面积的计算方法进行计算即可.

【例2】(2024,湖北十堰•一模)如图，CD是O。的直径，点8在。。上，点A为DC延长线上一点，过点O

作。交的延长线于点E,且=

⑴求证：NE是OO的切线；

⑵若线段与。。的交点厂是OE的中点，的半径为6,求阴影部分的面积.

【答案】⑴证明见解析

(2)671--

2

【分析】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质,

扇形的面积的计算等知识点.正确地作出辅助线是解题的关键.

(1)连接03,根据圆周角定理得到8。，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到=90。，

根据切线的判定定理即可得到结论；

(2)连接3尸，根据直角三角形的性质得到AF=O尸，推出AOBF是等边三角形，得到4。歹=60。，根据

扇形和三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】(1)证明：连接少，

•.,CD是OO的直径，

BC1BD,SPZCBD=90°,

OE//BC,

:・/DGO=/CBD=90。,

:・/BGE=/DGO=90°,/D+/0OG=90。,

*.•ZD=ZE,

：./DOE=/DBE,

'：OE=OB,

：.ND=ZOBD,

・•.ZOBD+ZDBE=ZD+/DOG=90°,

・•・/OBE=90。,

〈OB是。。的半径，

J/E是。。的切线；

(2)解：连接3尸，

VZOBE=90°,尸是。E的中点，

:,BF=OF,

;。。的半径为6,/0GO=90。，

JBF=OF=OB=6,ZBGO=180°-ZDGO=90°,

**•AOBF是等边三角形，

・•.ZBOF=60°,

・・・ZOBG=90°-ZBOF=30°,

OG=-OB=3,BG=ylOB2-OG2=>^2-32=3出,

2

60x71x62

••・阴影部分的面积为：Smp-SOBG=--X3V3X3=6TI

扇形。6尸3602

阴影部分的面积为6兀-逋.

2

名校模拟

1.（2024・广东佛山•一模）如图，点E是正方形/3C。的边8c延长线上一点，且NC=CE,连接/E交CD

于点O,以点。为圆心，。。为半径作00,00交线段/O于点尸.

⑴求证：NC是。。的切线；

⑵若/8=2近+2,求阴影部分的面积.

【答案】⑴见解析

(2)2A/2+2--^

【分析】(1)作。GL/C,根据正方形的性质得到/CUE=4EC,由NC=CE,得至【J/E/CNAEC,

由角平分线的性质定理，得到8=OG,即可求解，

(2)根据正方形的性质，设。。=。，根据。。=0£>+行0£),求出的长，根据NE/C=/£>/£-ADAC,

2

求出N。。厂的度数，根据S阴影=S&ABC~S扇形尸»即可求解,

本题考查了，切线的判定，正方形的性质，角平分线的性质定理，扇形的面积，解题的关键是:熟练掌握

相关性质定理.

【详解】(1)解：过点。作。GL/C,交/C于点G,

:正方形/3CD,

DA//CB,ODLAD,

：.ADAE=AAEC,

；AC=CE,

NEAC=ZAEC,

：.ZEAC=NDAE,

：.OD=OG,

.•.点G在OO上，

/C是。。的切线，

(2)解：：正方形/BCD,

AZOCG=ZDAC=45°,DC=AB=272+2»

OD=OG,

设OD=a,贝!]0。=缶，

及

:.DC=Q+6）a=2+2,解得：fl=2,

OD=a=2

•：ZEAC=/DAE=-ADAC=-x4J=225,

22

:.ZDOA=90°-22.5°=67.5°,

ccc1八c67.5兀。。21/_r-_\_67.5TCX22_rr_3

S阴影=SANB。—S扇形小尸=-xDAOD--=-xpV2+2jx2—=2yj2+2--TI,

乙JUU乙JUU।

故答案为：2五+2-8.

4

2.（2024•辽宁沈阳•一模）如图，直线/与。。相切于点点尸为直线/上一点，直线尸。交。。于点/、

8,点。在线段尸M上，连接3C,S.CM=BC.

⑴判断直线BC与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若4B=2BP,。。的半径为6cm,求图中阴影部分的面积.

【答案】⑴直线8C是OO的切线，理由见解析

⑵(12万-9抬"卜m?

【分析】(1)首先证明A。"%OMC(SSS),得出NC8O=NCMO=90。，即可得出直线BC是。。的切线；

(2)利用切线的性质定理以及勾股定理和锐角三角函数关系得出ZPOM=60°,则ZMOA=nO°,以及AM

的长，再利用三角形面积公式以及扇形面积公式得出答案即可.

【详解】(1)解：直线8C是OO的切线，

理由：连接"。，CO,

•.•直线/与O。相切于点”，

/.NPMO=9Q°,

在△OBC和AOMC中

BC=MC

<CO=CO,

BO=MO

AOBC知OMC(SSS),

NCBO=ZCMO=90°,

:48为直径，

・,・直线是O。的切线；

（2）过点。作ON_L/M于点N,

AB=2BP,

PB=BO=MO,

即

2

又；NPMO=90°,贝lJsinNOPM=^=；

：.ZMPO=30°,

：.ZPOM=60°,则/MC%=120。，

120^-x62

=12^(cm2

扇形ZOA/360

VZMOA=120°,ONIAM,

：.ZMON=/AON=60°,

NO=：x6=3(cm),

AW=COsin60。=事x6=3百(cm)

/M=6V§cm，贝iJ又4。材=-xNOxAM=-x

22

..・图中阴影部分的面积为：S扇形4皿-5“。.=（12万-96）Icm2

【点睛】此题主要考查了扇形面积公式以及切线的性质和判定和锐角三角函数关系应用以及全等三角形的

判定及性质等知识，熟练应用切线的性质和判定定理是解题关键.

题型二证切线、求线段或半径

典例精讲

【例1】（新考法，拓视野）（2024•广东深圳•一模）如图，已知是。。的直径.点尸在胡的延长线上,

点D是。。上一点.连接P。，过点2作BE垂直于尸。，交的延长线于点C、连接并延长，交BE于

点E,S.AB=BE

⑴求证：尸。是OO的切线；

4

⑵若P^=2,tan5=-,求。。半径的长.

【答案】⑴见详解

（2）3

【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出BE,再根据垂线、平行线的性质得出

ODLCD,由切线的判定方法即可得出结论；

（2）在直角三角形。。尸中由锐角三角函数的定义以及勾股定理列方程求解即可.

【详解】（1）证明：如图，连接OD,

OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

■：AB=BE,

NBAE=NBEA,

ZODA=ZBEA,

：.OD//BE,

BC±CD,

ODLCD,

•••OD是O。的半径，

二尸。是。。的切线；

(2)解：由(1)可知，OD//BE,

:"B=/POD,

4PD4

在RtAPOD中，tan/POD=tanB=—,即---=—,

3OD3

设尸。=4%,贝l]O0=3x,

:.OP=yJPD2+OD2=5x，

/.PA=2=5x-3x,

解得x=l,

OD=3x=3,

即半径为3.

通关指导

本题考查切线的判定，圆周角定理以及解直角三角形，勾股定理，掌握直角三角形的边角关系，

圆周角定理以及切线的判定方法是正确解答的关键.

【例2】(2024•辽宁沈阳•模拟预测)如图，在“BC中，44c3=90。，点。是上一点，且

2

点。在3C上，以点。为圆心的圆经过C,。两点.

3

⑵若sin3=g,。。的半径为3,求/C的长.

【答案】⑴见解析

(2)6

【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，正确地作出

辅助线是解题的关键.

(1)连接OD,根据等腰三角形的性质得到/OCD=/ODC,求得NDOB=NOCD+NODC=2NBCD,等量代

换得到NBOD=ZA,求得/助。=90。,根据切线的判定定理即可得到结论；

(2)根据三角函数的定义得到03=5,求得3C=OB+OC=8,设/C=3x,AB=5x,根据勾股定理得到

BC=8,于是得到结论.

【详解】(1)证明：连接OD,

•・•OC=OD,

:.ZOCD=ZODC,

/DOB=ZOCD+NODC=2ZBCD,

/.ZBCD=-ZBOD,

2

•••ZBCD=-ZA,

2

/.ZBOD=ZA,

vZACB=90°f

ZA+ZB=90°,

:.ZBOD+ZB=90°f

ZBDO=90°,

•.•0。是。O的半径，

「•直线45与。O相切；

(2)•.・sinB=^=3，00=3,

OB5

OB=5,

/.BC=OB+OC—8,

AC3

/l：Rt△ylCS中，sinB=-----=—,

4B5

.,.设ZC=3x,AB=5x,

BC=y/AB2-AC2=4.x=8，

..x=2,

AC=3x=6.

名校模拟

1.（2024•广东珠海•一模）如图，是OO的直径，AC=BC,E是的中点，连结CE并延长到点R

4吏EF=CE.连结小交。。于点。，连结80,BF.

c

⑴求证：直线3尸是OO的切线.

⑵若/尸=5,求5。的长.

【答案】⑴见解析

（2）BD=2

【分析】（1）证明AOCE0AAFE（SAS）,可得NOBF=NCOE=9Q°,可得结论;

（2）由勾股定理求得和5尸，再根据等面积法即可求得80.

【详解】（1）证明：连接。C,如图所示：

是。。的直径，

ZACB=90°,

;AC=BC,OA=OB,

：.OCA.AB,

：.ZBOC=90°,

・・・E是0s的中点，

：.OE=BE,

在△OCE和△Ara1中，

OE=BE

</OEC=/BEF,

CE=EF

：.AOCE^ABFE(SAS),

・・・ZOBF=ZCOE=90°,

・・・直线3户是。。的切线;

(2)由(1)知8尸=OC=L/8,ZA8尸=90°,

2

设。。的半径为r,则4B=2r,BF=r,

在尸中，由勾股定理得48?+5尸2=/尸，

即(2r)2+r2=52,解得r=加,

即/8=26，BF=sB，

'：AB为直径，

/.ZADB=90°,

sMRF=—ABxBF=—AFxBD,

MBF22

即,x2V?x指'=，x5xBD,

22

解得BD=2.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形

的性质等，正确的作出辅助线是解题的关键.

2.(2024・湖北随州•一模)如图，四边形/3C。是。。的内接四边形，NB是直径，C是访的中点，过点C

作CELAD交AD的延长线于点E.

⑴求证：CE是。。的切线；

(2)若3C=6,NC=8,求的长.

【答案】⑴见解析

【分析】此题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握

相关性质与判定是解题的关键.

(1)根据"连半径，证垂直”即可，

(2)先由"直径所对的圆周角是直角"，证"3C是直角三角形，用勾股定理求出A8长，再通过三角形相似

即可求解.

【详解】(1)证明：连接OC

E

C

D

O

为加5的中点,

,•CD=BC，

：.N1=/2,

又：OA=OC,

：./2=，3,

Z1=Z3,

AE//OC,

又：CE_L/E,

ACELOC,0c为半径,

:.CE为OO的切线,

(2):/台为。。直径,

ZACB=90°,

*.*BC=6,AC=8,

AB=10f

又,.・Z1=Z2,/AEC=ZACB=90°,

：.AAECS"CB,

ACEC8

,EC——,即nn——=——

CBAB610

24

・・・EC=——

5

­CD=CB，

：.CD=BC=6,

在RtZ^DEC中，由勾股定理得:

18

DE=ylcD2-CE

5

题型三圆与(特殊)平行四边形综合问题

典例精讲

【例1】（新考法，拓视野）（2024•广东江门一模）如图，矩形N8CD中，NB=16,AD=6.E是CD的中

点，以NE为直径的。。与N8交于尸，过尸作FGLBE于G.

⑴求证：FG是。。的切线.

⑵求COS/E8/的值.

【答案】⑴见解析

（2）1

【分析】（1）连接DF交4E于点O,由圆周角定理推论得到ZAFE=90°,根据矩形ABCD,得到四边形ADEF

是矩形，得到/尸=。£,点。是OO的圆心，根据D£=CE,证明/尸=3/，根据4。=。£,得到。尸〃8E,

推出尸G，。尸，即得FG是。。的切线；

4

（2）证明AF=8,EF=6,NBFE=90。,根据勾股定理得到=10,根据余弦定义即得cosNE氏4=不

【详解】（1）连接。下交/E于点O,

AE是。。的直径，

ZAFE=90°,

•.•四边形/BCD是矩形，

ABAD=AADC=90°,

，四边形ADE尸是矩形，

AF=DE,OF=OA=OD=OE,

・,•点。是。。的圆心，

•・•£是CQ的中点,

DE=CE,

*：DC=AB,

JAF=BF,

;AO=OE,

OF//BE,

■:FGLBE,

・•・FG1OF,

・・・bG是。。的切线;

(2)VAB=16,

：.BF=-AB=8,

2

•；EF=AD=6,ZBFE=1SO°-ZAFE=9O°,

•*-BE=y/EF2+BF2=10，

BF4

cosZEBA==—.

BE5

通关指导

本题主要考查了圆，矩形，三角形综合.熟练掌握圆的基本性质和圆周角定理推论，矩形的判

定和性质，三角形中位线的判定和性质，切线的判定，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数等知识,

是解题的关键.

【例2】（2024•安徽马鞍山•一模）如图，四边形ABCD是。。的内接四边形，直径。E平分NADC.

⑵过点/向圆外作=且/b=C。，求证：四边形尸为平行四边形.

【答案】⑴证明见解析

⑵证明见解析

【分析】本题考查的是圆的相关性质-圆周角定理推论、同圆中弧弦间的关系，平行四边形的判定,

（1）先证明靛=曲及函5=反£＞，证出访=也即可证出结论；

（2）先证明/尸〃AD,再证明/尸=2。即可证出结论.

【详解】（1）证明：:DE为。。直径，

\EBD=ECD，

•••直径DE平分NBDC,

ZBDE=ZCDE,

:.BE=CE>

\EBD-BE=ECD-CE^

:.BD=CD<

BD=CD；

(2)证明：•:QDAF彳MB,ACB=ADB

AADB=ZDAF

AF//BD

■：AF=CD,BD=CD

AF=BD

四边形NBQ尸为平行四边形.

名校模拟

1.（2024・云南•模拟预测）如图，线段与。。相切于点3,交。。于点其延长线交。。于点C,

连接8C,N48C=120。，。为O。上一点且弧。8的中点为连接4D,CD.

⑴求//C3的度数；

⑵四边形/BCD是否是菱形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由;

（3）若ZC=6,求弧CD的长.

【答案】⑴30。

⑵四边形/BCD是菱形，理由见解析

⑶;

【分析】（1）根据切线的性质及角的和差求出/08C=30。，再根据等腰三角形的性质求解即可；

（2）根据圆的有关性质得出/。。/=/2。1/=30。刀"=8”,根据三角形内角和定理求出

NCAB=30°=NACB=ZDCM,进而推出AB=BC,AB\\CD,根据圆周角定理得ZCDM=ZCBM=90°,利用

证明RtACDM■之RtACBM,根据全等三角形的性质推出CD=Z8,结合45||CD,推出四边形/BCD是

平行四边形，再结合=进而判定四边形/BCD是菱形；

（3）根据菱形的性质及等腰三角形的性质推出乙CMC=30。,NODC=30。,根据三角形内角和定理及角的和差

推出ZADC=120°,ZADO=90°,ZCOD=120°,根据含30°角的直角三角形的性质求出OC=2,再根据弧长

计算公式求解即可.

【详解】（1）如图，连接。8,

・・,线段与。。相切于点8,

/.OBVAB,

450=90。，

vZABC=120°,

?.ZOBC=ZABC-ZABO=30°,

•・・OB=OC,

:・NACB=/OBC=30。；

(2)四边形/BCD是菱形，理由如下:

・・•弧。3的中点为

ZDCM=ZBCM=30°,DM=BM,

/CAB+ZABC+/ACB=180°,

・・・/CAB=30°=/ACB=ZDCM,

AB=BC,AB\\CD,

丁MC为。。的直径，

ZCDM=ZCBM=90°,

在RLCDM和Rt.CBM中，

(CM=CM

[DM=BM'

^CDM^^CBM(HL),

JCD=CB,

：.CD=AB,

又||CD,

・•・四边形/BCD是平行四边形，

,:AB=BC,

.••四边形/BCD是菱形；

(3)如图，连接OD,

AB

・・,四边形力5co是菱形，

JAD=CD,

：.ZDAC=ZDCA=30°,

：.ZADC=180。—ADAC-NDCA=120。，

•：OD=OC,

：./ODC=/OCD=30。,

：.ZADO=/ADC-NODC=90°,ZCOD=180°-ZOCD-ZODC=120。，

：.OA=2OD=2OC,

AC=OA+OC=6,

：.OC=2f

.mrf—钙120万x24

・・弧CD的长=-------=—7T.

1803

【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的

判定与性质、菱形的判定与性质、弧长计算公式等知识，熟练运用切线的性质、圆周角定理、等腰三角形

的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、弧长计算公式并作出合理的辅助线是解题

的关键.

2.(2024•河南平顶山•一模)如图，48为。。的直径，点C是行的中点，过点C作O。的切线CB,与BD

的延长线交于点E,连接BC.

⑴求证：NCEB=90。

⑵连接。，当。£>〃48时：

①连接OC,判断四边形OBDC的形状，并说明理由.

②若BE=3,图中阴影部分的面积为（用含有兀的式子表示）.

【答案】⑴见解析

⑵①菱形，理由见解析；②§万

【分析】（1）连接。C,证明0C〃3E,即可得到结论.

（2）①根据（1）的结论和已知条件先证明四边形O30C是平行四边形，根据平行线的性质以及点C是石

的中点，可得NDC3=ND3C从而证明邻边相等，即可得出结论；

②连接0D,如图所示，设交于点尸，证明标1二比二前得乙40c=60。，从而可求出/C8E=30。，

解直角三角形得出08=2,根据CZ）〃/3,从而可得SACO°=SABS，求出扇形COD的面积即可得到阴影

部分的面积.

【详解】（1）证明：如图所示，连接OC,

E

:点C是行的中点，

ACDC>

：.NABC=ZEBC,

,?OB=OC,

：.ZABC=ZOCB,

ZEBC=ZOCB,

：.OC//BE,

；CE是。。的切线.

OCICE,

：.BEICE,即：/CEB=90。；

(2)①如图所示，

E

由（1）可得OC〃BE

CD//AB

：.ZDCB=ZABC,四边形。助。是平行四边形,

又：ZABC=/EBC

：.ZDCB=ZEBC

：.DC=DB,

・•・四边形。瓦）。是菱形,

②连接0。，如图所示，设。交于点尸

E

・••也=砺，

'：CD=BD,AC=DC^

•­AC=DC=BC，

・・・ZAOC=/COD=/BOD=60°,

：.NABC=/CBE=-ZAOC=30°,

2

BE

VcosZCBE=——,BE=3,

BC

.•.8C=.=26则昉=6

2

CD//AB,

•v—v

,,Q4COD—24BCD，

S阴影=%形cc»•

2

.cc60%x22%

,•S阴影=5扇形co。=一一=三"

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，弧弦圆心角的关系，平行线的判定与性质，等腰三角形的

性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积等知识，熟练掌握切线的判断定理以及扇形

面积的求法是解题的关键.

3.(2024•江苏南京•一模)如图，四边形是平行四边形，AB=AC；

(2汝口图②，当CD与G。相交于点E时.

(I)若AD=6,CE=5,求。。的半径.

(II)连接BE,交NC于点尸，若EF-4B=CE2,则N。的度数是

【答案】⑴见解析

(2)(I)纽1；(II)72

8

【分析】(1)连接CO并延长，交。。于点连接证明=得出/C=BC,根据48=/C,

得出4B=3C,即可证明结论；

(2)(I)证明,得出丝=匹，即_L=图二求出/3=9(负值舍去)，设

ABBCAB6

OA=OB=OC=r,则0尸=6亚-厂，根据勾股定理得出r=仅我一¥+32,求出结果即可；

(II)证明A/CESAEC/，得出NCEF=NC4E,证明N&4C=/C3E=//BE,根据=得出

/ABC=ZACB,设NABC=ZACB=x，贝ljABAC=ZCBE=/ABE=-x,根据ZABC+ZACB+ABAC=180°,

2

得出x+x+；x=180。，求出x的值即可.

【详解】(1)解：连接CO并延长，交。。于点连接如图所示:

：.ZAMC+ZACM=90°,

♦:CD与OO相切，

JMCLCD,

：.ZMCD=90°,

JZMCA+ZACD=90°,

：.ZAMC=ZACD,

;AC=AC'

：.ZAMC=ZABC,

：.ZABC=ZACD,

・・•四边形ABCD为平行四边形，

.・・ABHCD,

：.ABAC=/ACD,

・・・ZABC=NBAC,

：.AC=BC,

AB=AC,

：.AB=BC,

・・・四边形4BCQ为菱形.

（2）解：（I）连接4。并延长，交BC于点、P,连接05、OC,AE,如图所示:

・・・/。垂直平分5C,

ZAPC=ZAPB=90°,BP=CP=LBC=3,

・・・四边形/BCD为平行四边形,

ZABC=ZD,AB=CD,AD=BC=6,

・・•四边形ZBCE内接于。o,

・・・ZB+ZAEC=180°f

ZAEC+ZAED=1SO°,

：.ZAED=/ABC,

AB=AC,

：./ABC=ZACB,

：.NABC=AACB=ZZ)=ZAED,

/\ABCs^ADE,

.ADDE

;DE=CD-CE=AB-CE,

.6_AB-5

••—,

AB6

解得：AB=9(负值舍去)，

AP=YAB?-BP。=792-32=672，

设OA=OB=OC=r,则Qp=6亚-r>

'：OB2=OP1+BP1,

即/=(6后-j+32,

解得：厂=生色.

8

即圆的半径为生旦.

8

(II)连接4E,如图所示：

V四边形力5s为平行四边形,

・・.AB//CD,

：.AACE=ABAC,

­BC=BC，

/CEB=ABAC,

・•・/CEB=NACE,

工彘=前，EF=CF

VEFAB=CE2,AB=AC,

.CE_AC

^~CF~~CE'

ZECF=ZACE,

AACES^ECF,

・•・ZCEF=ZCAE,

­CE=CE，

：.ZCAE=ACBE,

.・・ZCEF=ZCBE,

■:凝=前，

：.ZABE=ZCEF,

JZABE=ZCBE,

：.ABAC=ZCBE=/ABE,

•/AB=AC,

：./ABC=ZACB,

设ZABC=Z.ACB=x,贝UNBAC—Z.CBE=/ABE——x,

2

'：ZABC+ZACB+ABAC=180°,

/.x+x+—x=180°,

2

解得：x=72°,

ZD=ZABC=72°.

【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，圆周角定理，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质,

平行四边形的性质，平行线的性质，菱形的判定，解题的关键熟练掌握相关的性质和判定，作出辅助线.

题型四圆内接三角形和四边形

典例精讲

【例1】（2024•湖南•模拟预测）如图，及△48C内接于eO,N/C8=90。，过点C作CF1/3交48于点E,

交于点。，连接■交。。于点G,连接CG,Z）G,/D,设tanNDGF=",（加为常数）.

A

⑴求证：ZAGC=ZDGF；

(2)^：ZGDC-ZGCD=a,ZF=/3,求证：a=2/7；

⑶求半萨的值(用含加的代数式表示)•

【答案】⑴见解析

⑵见解析

AG-AF\+m2

(3)---；­=----

CD24

【分析】(1)连接3G.根据圆周角定理得到是。。的直径，由CF//3,得到方=丽，即可得出结

论；

(2)设/B,CG相交于点河，连接M).由(1)可知N/GC=/DGF,得到4GD=NFGC,再根据

NGAD=NDCG.推出N4DG=NB=〃，由/ADM=4CG=/ADG即可得出结论；

(3)证明△NCGS/X/FC,得到NGZ/^=NC2,解直角三角形得到ZE=MCE,代入计算即可得出结果.

【详解】(1)证明：•.•//C8=90。，

.:43是0。的直径.

如图，连接BG.

ZAGB=90°,

又•••CF_LN3,ABVCD,

:.CB=DB^

ZCGB=ZDGB,

ZAGC=90°-ZCGB,ZDGF=900-ZDGB,

ZAGC=NDGF；

(2)证明：如图，设/8,CG相交于点M,连接Affl.

A

B

由(1)可知NZGC=/DGQ,

/.ZAGC+ZCGD=ZDGF+ZCGD,BPZAGD=ZFGC.

又QZGAD=ZDCG.

/ADG=ZF=fi,

又QZADM=ZACG=ZADG,

./.ZMDG=ZADM+ZADG=2J3.

QZMDG=ZGDC-ZMDC=ZGDC-ZGCD=a,

/.a=ip-

(3)I?：QZACD=ZADC=ZAGC,ZCAF=ZGAC,

:.AACGsAAFC,

ACAF口口，

———~~~9即/GZPu/C?.

ACrAC

又Q/DGF=ZACD,

tanZDGF=tanZACD=m,

4E

：.----=m,即AE=mCE,

CE

,AG-AF_AC~_CE?+AE^_CE'mPE?_k/

,CD2CDr~4CE2---4~

通关指导

本题主要考查圆内接三角形的性质及相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，垂

径定理等，熟练掌握圆内接三角形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

【例2】（2024•天津滨海新•一模）如图，是。。的直径，弦与相交于点P,若//DC=24°.

⑴如图①，求/C43的度数;

⑵如图②，过点C作O。的切线，与A4的延长线交于点£,若EP=EC,求的度数.

【答案】⑴66。

(2)45°

【分析】(1)连接3C,根据圆周角定理得出/4BC=//DC=24。，根据直径所对的圆周角为直角得出

ZACB=90°,求出结果即可；

(2)连接OC,根据圆周角定理得出N/OC=2/4DC=48。，根据切线的性质得出NOCE=90。，根据等

1800-42°

腰三角形的性质求出/EPC=ZECP=-------------=69。，最后求出/DAP=ZEPC-NADC=45。即可.

2

【详解】(1)解：如图①，连接5C,

图①

;AC=AC'

：.AABC=ZADC=24°,

•/4B为。。的直径，

乙4c3=90。，

・•・/CAB=90°-/ABC=90°-24°=66°.

(2)解：如图②，连接OC.

JZAOC=2ZADC=48°f

*/EC是。。切线，

ZOC£=90°,

・•・ZOEC=90°—/AOC=90°-48°=42°,

•・・PE=CE,

1800-42°

ZEPC=NECP=--------=69°,

2

，/DAP=ZEPC-ZADC=45°.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，三角

形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握相关的判定和性质.

名校模拟

1.（2024•安徽芜湖•一模）四边形/BCD内接于。。，AB=AC.

⑴如图1,若NBAC=a,求的度数；

(2)如图2.连接8。交/C于点E.

①求证：AE2=AE-AB-BE-DE;

②若NBAC=2NDAC,AB=5,BC=6,求的长.

【答案】(1)90°+1«

⑵①见详解②，

【分析】（1）根据等腰三角形的性质及圆的内接四边形的性质即可；

（2）①先证明^AE-CE=BE-DE,AE-（AC-AE）=AE-AC-Ae=8£・。石即

可得出结论；（2）^ZBAC=2ZDAC=2a,pll]ADAC=ZDBC=a,先证明/C/BD,再根据勾股定理求出

北,3E,CE的长，由①知=求出。E的长，再根据勾股定理即可.

【详解】（1）解：•.・AB=AC,若/BZC=a.

•四边形48co内接于OO,

1eno_91

://DC=180。—NB=180。---------=90。+—a；

22

(2)证明①•••/4。3=4。氏/(24。=/。5。，

△ADEs^BCE,

AEDE

'BE-CE'

AE-CE=BEDE,

AE■(AC-AE)=AE-AC-AE2=BE-DE,

•••AB=AC,

AE•AB-AE?=BE•DE，

AE2=AEAB-BEDE;

ABAC=2ADAC=2a,贝ljNZMC=NDBC=a,

AB=AC=5,

1QAOCi

;./ABC=/ACB=--------=9CP-a,

2

/.AABE=ZABC-ZDBC=9CP-a—a=9CP-2a,

在中/4EB=180O—/C4B—2450=180。—2-(90。—2@=90。,

:.ACLBD,

・「BE1=BC2-CE2=AB2-AE2,

/.62-(5-AE)2=52-AE2,

•••IT

/.BE=yjAB2-AE2=—

5

718

一x—°i

由①知AE・CE=BE・DE,DE=^—^=~,

2420

5

■-CD=JDE'CE、糕2+单=.

【点睛】本题考查了圆的有关性质定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练

掌握相似三角形的判定与性质是本题的关键.

2.（2024•黑龙江哈尔滨•一模）如图1,在。。中，直径48垂直弦CD于点G,连接过点C作CFLAD

于尸，交4B于点、H,交。。于点£,连接DE.

图1图2图3

⑴如图1,求证：NE=2NC；

⑵如图2,求证：DE=CH；

（3）如图3,连接8E,分别交/£»、CD于点M、N,当OH=2OG,HF=s/lQ,求线段EN的长.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

⑶12

【分析】（1）连接/C,根据垂径定理和等弧所对的圆周角相等，结合等角的余角相等即可证明结论；

（2）连接3C,运用同弧（等弧）所对的圆周角相等，结合同角的余角相等和等量代换即可证明；先证明

BC=CH,再证明BC=1）E；

（3）根据已知设出0G和。〃，结合（2）表示3G,进而用x表示半径、直径，结合勾股定理表示C〃,2E,

结合ABGNS^BEA,即可求解.

【详解】（1）证明：连接ZC,

•.•N2是。。的直径，ABLCD,

-,-BC=BD<ZBAD+ZADG=90°

：.ZCAB=ZBAD=-ZCAD=-NCED,

22

AFICE,

：.ZECD+ZADG=90°,

：.NECD=ABAD,

NE=2ZDCE；

(2)连接3C,

A

•・•ABLCD.CEJLAD,

・・・/ECD+ZCHG=/ECD+/CDF=90°,

・・・ZCHG=ZADC,

又•；/ADC=/B,

：.ZCHG=ZB,

・•.CH=CB,

由（1）知：NE=2/ECD,

•*-CD=IDE，

,•*CD=2BC，

•-DE=BC^

：.DE=BC=CH；

（3）连接0cME,WJ：ZAEB=90°,

*.•OH=2OG,

・,•设OG=x,贝IJOH=2x,

HG—OH+OG=3x,

由（2）知，BC=CH,

ABLCD,

：.BG=GH=3x,

OB=BG+OG—4x,

OC=4x,AB-8x,AH=2x,

・.・ZCHB=NAHE,ZCBH=NCEA,且/CHB=/CBH,

：.ZAHE=/CEA,

：.AE=AH=2x,

■■RtZUBE中，BE=JAB2■-AE?=2回x，

RtMGC中，CG=J。。?-OG?=岳x，

RfGC中，CH=JCG?+G〃2=2限，

DE=BC=BD^

：.ZBAD=ZDCE,

/.sin/.BAD=sinZ.DCE,即：,

AHCH

.V103x

"2x"2屈x'

.2V15

9•x=------,

3

；•BE=2V15x=20,BG=3x=2A/15,AB=Sx=,

•；NABE=ZGBN,ZBGN=NAEB=90°,

ABGNSABEA,

.BNBG

------------?—=8

:.EN=BE-BN=12.

【点睛】此题主要考查圆的综合问题，涉及到垂径定理，圆周角定理，弧、弦、角之间的关系，解直角三

角形，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，熟悉圆的相关性质，会结合题意灵活运用勾股定

理和方程思想，会借助相似三角形构建等量关系是解题的关键.

3.（2024•黑龙江哈尔滨•一模）如图1,在。。中，BD为直径,和8C为弦，4B=BC且4BJ.BC.

⑴求N/BD的度数;

(2)如图2,£为。。上一点，连接/E,作EF_L/E于E交8c于尸，连接EC,求证：EF=EC■,

⑶如图3,在(2)的条件下，连接0c交"于G,过尸作网，跖于R交EC延长线于N,若EG=\,CN=2,

求CF的长.

【答案】⑴45。

⑵见详解

（S竽

【分析】(1)利用HL证明RM4BD且MACB。，即可得出乙48。=/C8。，又NABC=/90°,故可得出

ZABD=45°

(2)先求四边形A8FE内角和，进而可得出/E阳+44=180。，等量代换可得出=/EFC,证明

“BE^CBE(SAS),由全等得性质可得出NN=NC,等量代换得出/EFC=/C,由等角对等边得出

EF=EC.

(3)在斯=£1。的条件下，作人或的0人£。6，可得出EG=EW=1,设尸G=MC=x，可得NM=NF=2+x,

利用勾股定理解出x,得出FN=4,NE=5,CN=2,EF=3,过C作CK，FN于K,得出生=里=匹,

CNENNF

进一步利用勾股定理得出CF的值.

【详解】(1)解：连接CD,

•；BD是直径,

・・・ZBAD=ZBCD=9CP,

在Rt^ABD和RtACBD中，

jBD=BD

[AB=CB'

：.Rt^ABD^Rt^CBD（HL）,

/ABD=ZCBD,

ABIBC,

：.ZABC=Z90°,

：.ZABD=ZCBD=45°.

（2）四边形NBFE内角和为：（4—2）x180。=360。,

ABIBC,EFLAE,

：./ABF=90°,ZAEF=90°

ZEFB+ZA=3600-ZABF-ZAEF=180c,

*：ZEFC+ZEFB=1SO°,

:・ZA=/EFC,

在△45£和△CHE中，

AB=CB

</ABE=/CBE

BE=BE

八ABE知CBE(SAS)

：.ZA=ZCf

:・/EFC=/C,

：.EF=EC.

(3)在£尸=£。的条件下，作AEFM注AECG,如下图,

JEG=EM=\,

^FG=MC=x,

贝U7W=NF=2+x,

u：FN1EF

：.ZNFE=90。

在RMEFN中:

EF2+NF2=NE2，

即(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2,

解得x=±2f

x>0

x=2,

:・FN=4,NE=5,CN=2,EF=3,

过C作CK_L—V于K,

又,：FNLEF

CK//FE，

.CKNCNK

EF~EN~NF

：.CK=~,KN=-

55

Q12

：.FK=FN-KN=4--=—

55f

可解得CF=

【点睛】本题主要考查了全等的判定以及性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，四边形内角

和问题等知识，作出辅助线是解题的关键.

4.（2024•河北沧州•一