悠悠球的理论力学分析

1、悠悠球的简单力学分析及讨论假设悠悠球的质量为 m对质心的转动惯量为|L。细绳长为，不计形变及质量。轴承摩 擦系数为卩，内外半径分别为L细绳全部缠绕在轴承上时半径为R,忽略轴承的质量及转动惯量。假设悠悠球进行一个简单运动：以一定初速度被甩出，方向竖直向下，到达 底端经过一段时间的睡眠后收回。下面分五个过程进行定量计算。（图均为过质心的截面图）过程分析1. 设出手的过程人做功 W该功量全部转化为悠悠球的动能，使其绕瞬心0点定轴转动,角速度.由动能定理:即話=州=2仏+冰°气得：| 2W后面的计算并不用到这个角速度，这里只是定量分析一下能量转换的关系。2. 此后悠悠球在重力的作用下加速下落

2、，运动方式类似纯滚动。随着细绳逐渐被抽出，缠绕的细绳越来越接近球的中心，其角速度迅速增大。忽略空气阻力及一切能量耗散，设在细绳完全抽出的瞬时角速度为。由动能定理:得:其质心速度3. 此时细绳会突然急剧张紧，在极短时间内产生一个竖直方向的冲量，使得悠悠球质心速度变为零，平动动能耗散为其他形式的能量，这就是物理中所学过的“范性过程”规定向下为正，其冲量为:IF = O-mvel= -mvcl2 （训+mgl）c + mr2同时，由于轴承不完全光滑，该过程轴承对悠悠球的冲量矩为（类比小球与粗糙平面的斜碰撞，平面对其的切向冲量为法向冲量的三）：2 (W+mgl)设范性过程结束时悠悠球角速度为L；.；巾

3、动量矩定理:2得:L 二-|imrrD12 (W+mgl)L +加-叫)z |inirr0(V(i-V2 (W+mgl)h + mr24. 此后由于悠悠球离合器中的钢珠受很大的离心力的作用，压缩弹簧使离合器打开，悠悠球绕质心作定轴转动，并且角速度在摩擦力矩的作用下逐渐变小。由动量矩定理 有微分关系式:dLd(o(e= -|imgrD积分，初始条件2pnir, |2(W+mgl) |imgrotJe + mr:可见1厂随时间线性减小。当其减小到离合器的临界角速度时，钢珠的离心力和弹簧作用的压力相互平衡。只要继续减小，离合器就会卡住轴承从而使悠悠球沿细绳向上运动，达到“收球”的目的。设经过时间T达

4、到离合器临界角速度.，代入上 式有得oo+ mrr 2(W+ mgl) Fh + m理2""Jc +mr2T即为悠悠球的空转时间，称为睡眠时间。5.这是悠悠球整个运动的最后一个过程，可以认为是第一个过程的逆过程。设悠悠球收回前一瞬间角速度为不计能量损耗，由动能定理:至此，悠悠球的运动全过程分析结束。下面以推导出的（*）式简要讨论影响睡眠时间的因素。结果讨论T_ L (吨02L气-2叫1Jc + mR32(W+mgl)1飞齢懿鮒）的影响d从表达式易知减小而增大。故为了尽可能延长睡眠时间，应使1尽可能小。但为了最后能将其收回，应有L综上得|-时，t最大。；-a Jr2. W （

5、初始做功）的影响将式子略微变形，写作T= i 的+减皿?_ ；timgrD_g J'一nmgrD显然括号里为正，故T随W的增大而增大。但W不可过大，否则容易造成绳断等安全 隐患。3. _ （轴承内径）及 瓦轴承摩縣数） 的影响显然，T随逼自！的缩小而增大。这直观上很好理解：I 越小，范性过程以及空转过程中轴承对悠悠球的摩擦冲量矩就越小，从而角速度衰越慢，睡眠时间越长。4. 其余变量由于和T的函数关系较为复杂，求导繁杂，限于篇幅不再一一分析。实例计算下面以一种悠悠球的实际参数带入公式进行数值运算，对比睡眠时间的理论计算值与 实际值。产品名称：火力战士 s产品编号： 671513规格： 5

6、67*457*458备注：轴承系统：尼龙轴承规格：4x6x4 回收系统：十字离合器外环材质：有色透明 PC重量：68g球体:材质：PC上线有效宽度：13.5mm球绳:专用纯棉球绳最大空转时间:1分35秒最大直径:62mmD为悠悠由参数表知m=68g , ； - .1二二-匚匚:二。查表知滑动轴承的为0.01-0.02，取 .!二；绳长|取1m ;作为简化，将悠悠球视作匀质圆盘，得球直径；W较难确定，暂时估算为使悠悠球获得5m/s的质心速度及相应角速度所做的功,即二一：，根据经验R约为3r ；幵则取使T最大此时悠悠球收回手中时动能正好为0。将以上参数带入（* ）式，得:T=9L73s这与参数表中的 95s较为接近，说明利用该公式可以粗略计算悠悠球的最大睡眠时间。此外在计算中发现两点:1.在3过程中时时相麹水2 1即范性过程中由轴承摩擦力矩造成的悠悠球角速度损失很小，几乎可以忽略不计，这是因为力臂一短和摩擦系数U较小；2. V相当大，即为了悠悠球能回到手中，离合器在其角速度还比较大时就卡住