2025年新高考数学压轴题讲义：概率与统计下的新定义（五大题型）（学生版）

专题03概率与统计下的新定义

【题型归纳目录】

题型一：二项式定理新定义

题型二：排列组合新定义

题型三：概率新定义

题型四：统计方法新定义

题型五：信息墙问题

【方法技巧与总结】

解概率与统计下的新定义题，就是要细读定义关键词，理解本质特征，适时转化为“熟悉”问题.总之，

解决此类问题，取决于已有知识、技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累，还需要不断的实践和反

思，不然就谈不上“自然”的、完整的解题.

【典型例题】

题型一：二项式定理新定义

【典例1-1】(2024•湖南衡阳・二模)莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用.所有大于1的正整数〃都可以被

唯一表示为有限个质数的乘积形式：〃=…P?"为"的质因数个数，P,为质数，々21/=1,2,…,左)，

例如:90=2x32x5>对应后=3,==2,必=3，A=5,4=1,々=2,4=1.现对任意〃eN*,定义莫比乌斯函数

\,n—\

〃(〃)=<(-1)<力=&=.••=〃=1

0,存在乙>1

⑴求〃(78),〃(375)；

(2)若正整数X，/互质，证明：〃(孙)=〃(x)〃(y)；

⑶若且〃(〃)=1,记〃的所有真因数(除了1和”以外的因数)依次为可，出，…，缁，证明：

〃(4)+〃(％)+…+〃(％,)=-2.

【典例1-2](2024・安徽合肥・一模)“q~数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设是非零实数，对任意〃eN*,

定义“4-数”(叽=1+q+…+q-1利用“q~数”可定义“q~阶乘”⑺!产0)52%…(心，且⑼!=1.和“4-组合

(ri'}(n)'

数”，即对任意上eN,〃eN*,《W”，,

IQ(叽("一后儿

5

⑴计算:

2

（2）证明：对于任意左,〃eN*,左+14〃

（3）证明：对于任意上eN,”eN*,左+14〃，

【变式1-11（2024・高三•江苏苏州•阶段练习）甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象，设棱长为〃，

若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形,定义随机变量X

的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥（和甲研究的四棱锥一样）的8条棱中任取2条，定义随机变量J的

值为这两条棱的夹角大小（弧度制）；若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条，定义随机变量”的值为这两条棱

的夹角大小（弧度制）.

（1）比较三种随机变量的数学期望大小；（参考数据

/1—\

arctanV5«0.3661,arctan——x0.2677,arctanx0.398）

I2J

（2）现单独研究棱长〃，记（x+l）x[x+g]x…+且〃eN*）,其展开式中含x项的系数为S.,含产

项的系数为4.

①若?=病+加+。，对〃=2,3,4成立，求实数。，b,c的值；

②对①中的实数。，b,。用数字归纳法证明：对任意〃22且〃eN*,?=病+加+。都成立.

题型二：排列组合新定义

【典例2-1】（2024・高三・北京•阶段练习）设"为正整数，集合/={a|a=（4,小…工,）},4e{0,1},笈=1,2,.

对于集合A中的任意元素a=（占/2,…,x“）和/?=（/,%,•••/“），定义

d[a,P）=\xi-y^+\x2-y^+---+\xn-yn\.

⑴当〃=4时，若a=（0,1,0,1）,皆=（1,1,0,1）,直接写出所有使d（a，7）=2,d（/，7）=3同时成立的A的元素7；

⑵当〃=3时，设B是A的子集，且满足：对于3中的任意两个不同元素a,/7,d(c,0W2.求集合B中元素个

数的最大值；

⑶给定不小于2的〃，设&是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素a,/7,♦(G,£)22,写出

一个集合8,使其元素个数最多，并说明理由.

【典例2-2](2024・高三・浙江・开学考试)一般地，〃元有序实数对(为,出，…，％)称为〃维向量.对于两个〃维向

量3=(°],%,-、%),3=3也「一也)，定义：两点间距离d=J(4_+(4_/)+…+("_aJ'利用"维

向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准

点的距离或，与哪个标准点的距离口最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业

务能力分值(%)、管理能力分值(电)、计算机能力分值(%)、沟通能力分值(%)(分值％€?0€{1,2,3,4}代表

要求度，1分最低，5分最高)并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：

业务能力分值管理能力分值计算机能力分值沟通能力分值合计分

冈t-Lj位

(%)(。2)(«3)(«4)值

会计⑴215412

业务员

523515

(2)

后勤(3)235313

管理员

454417

(4)

对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量

£=(弓,°2，。3，。4)的四个坐标.

(1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；

(2)小刚与小明到该公司应聘，己知：只有四个岗位的拟合距离的平方屏均小于20的应聘者才能被招录.

⑴小刚测试报告上的四种能力分值为瓦=(4,3,2,5),将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业

1、2、3、4的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；

(ii)小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业1、2、3、4的推荐率(p)分别为

14^3_9_2_f_d：、

43543543J43^"-d；+d；+d；+%试求小明的各项能力分值.

题型三：概率新定义

【典例3-1](2024・浙江・一模)混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测

策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管

检测的人中至少有一人为阳性.假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为

P(O<P<1).目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数/(X)=§+XX,这里X指该组样本N个

人中患病毒的人数.

⑴证明：£[/(X)]>2^-2V;

(2)若OvpvlCT4,10WK420.证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人

为阳性.

【典例3-2】(2024•辽宁・模拟预测)条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念.近年来，随着人们对

随机现象的不断观察和研究，条件概率和条件期望已经被广泛的利用到日常生产生活中.定义：设X,丫是离

散型随机变量，则X在给定事件丫=了条件下的期望为

=y)=比x「p(x=x,.|r=j)=*,其中｛x15x2,•••,%„｝为x的所有可能取值集合，

Z=1Z=1

尸(x==力表示事件“x=x”与事件“丫=》”都发生的概率.某射击手进行射击训练，每次射击击中目标

的概率均为p(0<p<l),射击进行到击中目标两次时停止.设j表示第一次击中目标时的射击次数，〃表示第

二次击中目标时的射击次数.

(1)求尸(J=2,〃=5),尸(〃=5)；

(2)求£©〃=5),£©〃=矶〃22).

【变式3-1](2024•福建漳州•一模)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，发送每个信号数字之间

相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.

⑴记发送信号变量为X，接收信号变量为y,且满足P(x=o)=；,尸(y=i|x=o)=g,尸(y=0|x=i)=：,

求/。=o)；

(2)当发送信号0时，接收为0的概率为1，定义随机变量〃的“有效值"为'=xJ座(〃=碧)(其

4z=i

中乙是〃的所有可能的取值，:1,2,…,〃)，发送信号“000”的接收信号为“弘%%”，记4为乂，%,%三个

数字之和，求J的“有效值(1g3no.48,1g2Mo.30)

题型四：统计方法新定义

【典例4-1](2024・全国•模拟预测)某校20名学生的数学成绩x,(i=1,2,…,20)和知识竞赛成绩乂(i=1,2,…,20)

如下表：

学生编号i12345678910

数学成绩X,100999693908885838077

知识竞赛成绩%29016022020065709010060270

学生编号i11121314151617181920

数学成绩X,75747270686660503935

知识竞赛成绩力4535405025302015105

20

计算可得数学成绩的平均值是方=75,知识竞赛成绩的平均值是歹=90,并且-可-=6464,

z=l

2020

£5-7)=149450,£伍-可(%-力=21650.

z=li=l

(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数(精确到0.01).

⑵设NeN*,变量无和变量》的一组样本数据为｛(即片)Ii=1,2,…,N｝,其中七(i=1,2,…,N)两两不相同,

%(i=L2,…,N)两两不相同.记若在｛x,|〃=l,2,…,N｝中的排名是第4位,%在｛%|〃=1,2,…,N｝中的排名

是第S,位，i=l,2,…,N.定义变量x和变量V的“斯皮尔曼相关系数”(记为。)为变量x的排名和变量V的排

名的样本相关系数.

6N

⑴记4=K-Sj,，=1,2,…,N.证明：P=l-N(N之一个^片，

(ii)用⑴的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”(精确到0.01).

(3)比较(1)和(2)(ii)的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势.

n

V(x.-y]

汪：参考公式与参考数据.〃=I,一“=;»=-^——2-------；76464x149450«31000.

加门迂(yfI6

Vi=li=l

【典例4-21(2024・全国•模拟预测)冰雪运动是深受学生喜爱的一项户外运动，为了研究性别与学生是否喜爱

冰雪运动之间的关系，从某高校男、女生中各随机抽取100名进行问卷调查，得到如下列联表(加440,冽eN).

喜爱不喜爱

男生80-m20+加

女生60+冽40—m

(1)当〃?=0时，从样本中不喜爱冰雪运动的学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随

机抽取3人调研不喜爱的原因，记这3人中女生的人数为求4的分布列与数学期望.

⑵定义K?=£(4厂纥1(2Vi<3,2VJ<3,Z,7'6N),其中4/为列联表中第i行第•/列的实际数据，处为

『Bu

列联表中第i行与第J列的总频率之积再乘以列联表的总额数得到的理论频数，如4口=80-%，

=1^x1^x200=70.基于小概率值a的检验规则：首先提出零假设〃。(变量X,/相互独立)，然后

计算K2的值，当K22x“时，我们推断〃。不成立，即认为X和y不独立，该推断犯错误的概率不超过a；

否则，我们没有充分证据推断〃。不成立，可以认为x和y独立.根据K2的计算公式，求解下面问题：

①当机=0时，依据小概率值a=0.005的独立性检验，分析性别与是否喜爱冰雪运动有关？

②当机<10时，依据小概率值e=0.1的独立性检验，若认为性别与是否喜爱冰雪运动有关，则至少有多少

名男生喜爱冰雪运动？

附：

a0.10.0250.005

Xa2.7065.0247.879

【变式4-1](2024・高三・北京・期末)在测试中，客观题难度的计算公式为々=爷，其中£为第i题的难度，段

为答对该题的人数，N为参加测试的总人数.现对某校高三年级240名学生进行一次测试,共5道客观题.测

试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：

题号12345

考前预估难度E0.90.80.70.60.4

测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下:

题号12345

实测答对人数161614144

(1)根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；

(2)从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X,求X的分布列和数学

期望；

⑶定义统计量S」[(K-4)2+(周-5了+，.+©一耳沟，其中E为第i题的实测难度，月为第i题的预估难度

n1

(；1,2,…规定：若S<0.05,则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.判断本次测试的难度预估

是否合理.

题型五：信息埔问题

【典例5-1](2024•高三・河北•阶段练习)信息嫡是信息论之父香农(5桁仞0〃)定义的一个重要概念，香农在1948

年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称

为“信息蜡”，并给出了计算信息燧的数学表达式：设随机变量X所有可能的取值为1,2,…,〃(〃eN*),且

P(X=i)=月>0("1,2,…p,=1,定义X的信息燧H(X)=p,log?A.

i=li=\

(1)当”=1时，计算”(X)；

(2)若p，=L(i=l,2「、〃)，判断并证明当〃增大时，H(X)的变化趋势；

n

(3)若"=2小("7€]\*),随机变量y所有可能的取值为1,2,…,加，且尸(¥=/)=夕/+。2“+1-/(/=1，2「-,加)，证

明:

【典例5-2】(2024・高三・河北・期末)在信息论中，端(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又

被称为信息燃、信源焙、平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件、样本或特征.(燧最好理

解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的嫡越大)来自信源的另一个特征是样本的概

率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把

信息(嫡)定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机

变量，这个随机变量的均值(即期望)就是这个分布产生的信息量的平均值(即熠).燧的单位通常为比特，但也

用Sh、nat、Hart计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.

例如，投掷一次硬币提供了ISh的信息，而掷力次就为加位.更一般地，你需要用log?〃位来表示一个可以

取〃个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的嫡，引入到信息论，因此它又被称为香农滴.

而正是信息烯的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性

而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量4所有取值为1,2,…，力，定义J的信息嫡”(9=-£片1崎E，

i=l

(£々=1,/=1,2,•••,«).

z=l

(1)若〃=2,试探索J的信息幅关于耳的解析式，并求其最大值；

(2)若<=2=吩-罪+1=2只(斤=2,3,…,〃)，求此时的信息燧.

【变式5-1](2024・安徽合肥・模拟预测)在一个典型的数字通信系统中，由信源发出携带着一定信息量的消息，

转换成适合在信道中传输的信号，通过信道传送到接收端.有干扰无记忆信道是实际应用中常见的信道，信

道中存在干扰，从而造成传输的信息失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个取值占,々，…,与的

随机变量，分别记作X和八条件概率尸(Y=x/X=xJ,i,/=l,2,…,〃，描述了输入信号和输出信号之间统

计依赖关系，反映了信道的统计特性.随机变量X的平均信息量定义为：〃(')=-^>('=4)1。&=R

Z=1

当〃=2时，信道疑义度定义为

22

X)=_XZ0(X=,，log4¥=引x=@=_[p(X=%y=jq)log2°(丫=,X=x^

/=1>1

+P(X=x1,y=x2)log2/?(y=x2\X=xJ+P(X=X2,Y=xjlog2p(Y=再|x=%2)

+尸(x=4,y=9)k>g2y=司x

(i)设有一非均匀的骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求扔一次骰子向上的面出现的

点数X的平均信息量(1吗3。L59,10g25。2.32,10g27。2.81)；

(2)设某信道的输入变量X与输出变量丫均取值0,1.满足：

尸(x=o)=o,p(y=i|x=o)=0(y=o|x=i)=p(o<o<i,o<p<i).试回答以下问题；

①求尸(y=o)的值；

②求该信道的信道疑义度”(Kx)的最大值.

【过关测试】

1.(2024•高三•全国•专题练习)定义：int(x)为不超过x的最大整数部分，如int(2.3)=2,int(-2.3)=-3.甲、

乙两个学生高二的6次数学测试成绩(测试时间为90分钟，满分100分)如下表所示：

高二成绩第1次考试第2次考试第3次考试第4次考试第5次考试第6次考试

甲687477848895

乙717582848694

进入高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的数学测试成绩预计有了大的提升.设甲或乙高二

的数学测试成绩为x,若10int(«)+x-[int(6)『W100，则甲或乙高三的数学测试成绩预计为

lOint(五)+1-^10int(V7)+x-[int(^)]2>100,则甲或乙高三的数学测试成绩预计为100.

(1)试预测：在将要进行的高三6次数学测试成绩(测试时间为90分钟，满分100分)中，甲、乙两个学生的

成绩(填入下列表格内)；

高三成绩第1次考试第2次考试第3次考试第4次考试第5次考试第6次考试

甲

乙

(2)记高三任意一次数学测试成绩估计值为人规定：fe[84,90],记为转换分为3分；，e[91,95],记为转换

分为4分；te[96,100],记为转换分为5分.现从乙的6次数学测试成绩中任意抽取2次，求这2次成绩的

转换分之和为8分的概率.

2.(2024・全国・一模)正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型

随机变量X,定义其累积分布函数为尸(x)=P(XWx).已知某系统由一个电源和并联的A,B,C三个元件

组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作

相互独立.

⑴已知电源电压X(单位：V)服从正态分布阳40,4),且X的累积分布函数为尸(x),求尸(44)-尸(38)；

(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量7(单位：天)表示某

0,z<0

高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为G⑺=/>0.

(i)设证明：P(T>tl\T>t2)=P(T>t1-t2);

(ii)若第"天元件A发生故障，求第〃+1天系统正常运行的概率.

附：若随机变量y服从正态分布N(〃口2),贝<7)=0.6827,P(|y-〃|<2。)=0.9545,

P(|Y3b)=0.9973.

3.为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，

分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别

为x和y.在治疗过程中，用指标/衡量患者是否受益:若〃-则认为指标/正常;若/>〃+。，

则认为指标/偏高；若/则认为指标/偏低.若治疗后患者的指标/正常，则认为患者受益于治疗

方案，否则认为患者未受益于治疗方案.根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为0.6.

⑴求E(y)和D(y)；

(2)统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息.设采用新治疗方案治疗第i位的

1,%>〃+cr

患者治疗后指标/的值为七，i=l,2,…，50,定义函数：/(%,)=<0,]U-<T<xi<ju+a.

-1,&<

(i)简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由.

①/=|/(a)|+|/12)|+~+/to)|；

②3GJ+1]+/(")[/I?)+11+…+/toto-1].

"2,

(ii)为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在(i)中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统

计量的取值作出统计决策.

4.（2024・高二・四川遂宁•期末）2020年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满

意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分（满分100分），根据调查数据制成如下表格和频率分布直方

图，已知评分在［80,100］的居民有600人.

满意度评分[40,60)[60,80)[80,90)[90,100)

满意度等级不满意基本满意满意非常满意

（1）求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；

（2）定义满意度指数〃=（满意程度的平均分）/100,若乙<0.8,则防疫工作需要进行大调整，否则不需要大

调整.根据所学知识判断该区防疫工作是否带要进行大调整？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

（3）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民评分在［40,50）,［50,60）中用分层抽样的方法抽取6名居

民，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员，求这2人中仅有一人对防疫工作的评

分在［40,50）内的概率.

5.（2024・高三・北京•阶段练习）设离散型随机变量X和/有相同的可能取值，它们的分布列分别为

P（X=ak）=xk,P（Y=ak）=yk,xk>0,yk>Q,左=1,2,…，凡才/=力斤=1.指标D（X||F）可用来刻画

k=lk=l

X和y的相似程度，其定义为。（Xlly）=t>/n连.设X〜3（",p）,o<p<l.

*-=iyk

(1)若T〜求D(Xl|y)；

(2)若〃=2,尸(丫=4一l)=g,左=1,2,3,求£>(XUr)的最小值；

(3)对任意与X有相同可能取值的随机变量y,证明：r>(xllr)>o,并指出取等号的充要条件

6.(2024・高三•河南・期末)某国家队要从男子短道速滑1500米的两名种子选手甲、乙中选派一人参加2022

年的北京冬季奥运会，他们近期六次训练成绩如下表：

次序(i)123456

甲(七秒)142140139138141140

乙(B秒)138142137139143141

(1)分别计算甲、乙两人这六次训练的平均成绩小,2，偏优均差备，乙；

(2)若|%-％|<2«=1,2,3,4,5,6),则称甲、乙这次训练的水平相当，现从这六次训练中随机抽取3次，求有

两次甲、乙水平相当的概率.

注：若数据网,X"中的最优数据为加，定义<=:[(玉-％)2+(%-〃?)2+—+(%-%)[为偏优均差.本题

中的最优数据即最短时间.

7.(2024•全国•模拟预测)某医科大学科研部门为研究退休人员是否患痴呆症与上网的关系，随机调查了M市

100位退休人员，统计数据如下表所示:

患痴呆症不患痴呆症合计

上网163248

不上网341852

合计5050100

(1)依据a=0.01的独立性检验，能否认为该市退休人员是否患痴呆症与上网之间有关联?

(2)从该市退休人员中任取一位，记事件/为“此人患痴呆症”，8为“此人上网”，则N为“此人不患痴呆症”,

定义事件/的强度匕=，在事件B发生的条件下A的强度为=।.

\-PyA)\-P\A\B\

（i）证明:

匕产（-4）

（ii）利用抽样的样本数据，估计g的值.

*2

附：/=______"(ad-bc》___

其中〃=4+Z?+c+d.

(q+6)(c+d)(〃+c)(6+d)

a0.0500.0100.001

%3.8416.63510.828

8.（2024•高三•山西朔州・开学考试）某校20名学生的数学成绩毛«=1,2,…,20）和知识竞赛成绩

乂（:1,2,「20）如下表:

学生编号i12345678910

数学成绩占100999693908885838077

知识竞赛成绩B29016022020065709010060270

学生编号/•11121314151617181920

数学成绩占75747270686660503935

知识竞赛成绩％4535405025302015105

__207

计算可得数学成绩的平均值是还75,知识竞赛成绩的平均值是亍=90,并且21,-》）"=6464,

1=1

（1）求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）；

（2）设NeN*,变量x和变量》的一组样本数据为｛（4其亦=1,2,…,N｝,其中匕。=1,2,…,N）两两不相同,

%（i=1,2,…,N）两两不相同.记/在｛尤（〃=1,2,…,N］中的排名是第&位,%在｛yn\n=1,2,-,N］中的排名是

第S,位，i=1,2,…,N.定义变量x和变量J的“斯皮尔曼相关系数”（记为P）为变量x的排名和变量》的排名的

样本相关系数.

6N

⑴记4=K-Sj,，=1,2,…,N.证明：。=1-必、2T4力；

(ii)用⑴的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91,简述“斯皮尔曼相

关系数”在分析线性相关性时的优势.

注：参考公式与参考数据.

y-y

t=.£.2/("+l)(2"+l)

r=76464x149450»31000.

t")力…)2k=\6

Z=1Z=1

9.(2024・高二•湖北•阶段练习)“难度系数”反映试题的难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，难度也

就越小，“难度系数”的计算公式为工=1-5，其中L为难度系数，¥为样本平均失分，少为试卷总分(一般

为100分或150分).某校高二年级的老师命制了某专题共5套测试卷(总分150分)，用于对该校高二年级

480名学生进行每周测试，测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，如下表所示：

试卷序号i12345

考前预估难度系数40.70.640.60.60.55

测试后，随机抽取了50名学生的数据进行统计，结果如下:

试卷序号i12345

平均分/分10299939387

(1)根据试卷2的预估难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分；

(2)试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差，设4为第i套试卷的实测难度系数，并定义统计量

,222

S=1[(ZI-/,.)+(^-Z2)+--+(Z；-Z„)],若S<0.001,则认为试卷的难度系数预估合理，否则认为不

合理.以样本平均分估计总体平均分，试检验这5套试卷难度系数的预估是否合理.

(3)聪聪与明明是学习上的好伙伴，两人商定以同时解答上述试卷易错题进行“智力竞赛”，规则如下：双方

轮换选题，每人每次只选1道题，先正确解答者记1分，否则计0分，先多得2分者为胜方.若在此次竞赛

中，聪聪选题时聪聪得分的概率为g,明明选题时聪聪得分的概率为各题的结果相互独立，二人约定从

0:0计分并由聪聪先选题，求聪聪3:1获胜的概率.

10.(2024•高三・四川成都・开学考试)在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标(4吗，%)表示，其中

%e(051}(1<Z<3,ieN).而在n维空间中(〃22〃eN),以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表示为

〃维坐标……，％)，其中％e{0,l}(14i4%eN).现有如下定义：在"维空间中两点间的曼哈顿

距离为两点，。“)与他也也,也)坐标差的绝对值之和，即为

1%+-引+宿-勾+...+|。"-"I•回答下列问题:

(1)求出"维“立方体”的顶点数；

(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离

①求出X的分布列与期望；

②证明：在〃足够大时，随机变量X的方差小于0.25/.

（工-4）2

(已知对于正态分布XN(N，吟,p随X变化关系可表示为*e2，）

11.(2024・高二・福建莆田•期末)为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行

试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据(单位：只)：

发病没发病合计

接种疫苗81624

没接种疫苗17926

合计252550

(1)能否有95%的把握认为接种该疫苗与预防该疾病有关？

(2)从该地区此动物群中任取一只，记A表示此动物发病，工表示此动物没发病，3表示此动物接种疫苗,

尸(4)P(/⑻

定义事件A的优势凡=丁士幺，在事件B发生的条件下A的优势国=,.

1-尸(4)\-PyA\B^

与=尸(a/)

(i)证明:

&尸(同彳)；

(ii)利用抽样的样本数据，给出可理可，尸(创见的估计值，并给出片的估计值.附:

n^ad-bc^

2,其中〃=Q+b+c+d.

z(〃+Z?)(c+d)(Q+c)(b+d)

产(%2E)0.0500.0100.001

X。3.8416.63510.828

12.(2024•高一•山东济南・期末)独立事件是一个非常基础但又十分重要的概念，对于理解和应用概率论和统

计学至关重要.它的概念最早可以追湖到17世纪的布莱兹・帕斯卡和皮埃尔・德・费马，当时被定义为彼此不

相关的事件.19世纪初期，皮埃尔・西蒙・拉普拉斯在他的《概率的分析理论》中给出了相互独立事件的概率

乘法公式.对任意两个事件A与5,如果尸(48)=尸(/)尸(3)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为

独立.

(1)若事件A与事件B相互独立，证明：N与3相互独立；

3

(2)甲、乙两人参加数学节的答题活动，每轮活动由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为)，乙每轮

答对的概率为在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲乙两人在两轮活动

中答对3道题的概率.

13.(2024・高二・浙江台州・期末)袋中有大小、形状完全相同的2个红球，4个白球.采用放回摸球，从袋中摸

出一个球，定义T变换为：若摸出的球是白球，把函数〃x)图象上所有点的横坐标缩短到原来需倍，(纵

坐标不变)；若摸出的是红球，将函数f(x)图象上所有的点向下平移1个单位.函数/(X)经过1次T变换后

的函数记为工卜)，经过2次T变换后的函数记为人(x),…，经过"次T变换后的函数记为Z,(x)(〃eN*).

现对函数/'(x)=lgx进行连续的7变换.

(1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是红球，求力(x)；

(2)记X=求随机变量X的分布列及数学期望.

14.(2024・高三・上海宝山•阶段练习)已知〃为正整数，对于给定的函数了=/(无)，定义一个〃次多项式g,,(x)

如下:g“(x)="c"(；［

⑴当/(x)=l时，求g.(x)；

(2)当/(x)=x时,求g,,(x)；

⑶当1(力=，时，求g,(x).

15.(2024•高一•辽宁葫芦岛・期末)通信信号利用3EC信道传输，若3EC信道传输成功，则接收端收到的信

号与发来的信号完全相同.若信道传输失败，则接收端收不到任何信号.传输技术有两种：一种是传

统通信传输技术，采用多个信道各自独立传输信号(以两个信道为例，如图1).

信道］(

U2

BEC信道2

图1

另一种是华为公司5G信号现使用的土耳其通讯技术专家ErdalArikan教授的发明的极化码技术(以两个信道

为例，如图2).传输规则如下，信号。2直接从信道2传输；信号Q在传输前先与。2“异或”运算得到信号式,

再从信道1传输.若信道1与信道2均成功输出，则两信号通过“异或”运算进行解码后，传至接收端，若信

道1输出失败信道2输出成功，则接收端接收到信道2信号，若信道1输出成功信道2输出失败，则接收

端对信号进行自身“异或”运算而解码后，传至接收端.

图2

(注：定义“异或”运算：&㊉。2=乂，乂㊉U=%Xi㊉仇=4天㊉式=5).假设每个信道传输成功的概

率均为P(O<P<1)