2025年新高考数学复习压轴题讲义：函数与导数下的新定义（七大题型）（学生版）

专题02函数与导数下的新定义

【题型归纳目录】

题型一：曲率与曲率半径问题

题型二：曼哈顿距离与折线距离

题型三：双曲正余弦函数问题

题型四：凹凸函数

题型五：二元函数问题

题型六：切线函数新定义

题型七：非典型新定义函数

【方法技巧与总结】

1、函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查

考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，

重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸.

2、设尸(％,X),0(9,%)为平面上两点，则定义1%—%|+仅2-X|为“折线距离”“直角距离”或“曼哈

顿距离”，记作2(尸,。)=,一xj+|y2-yj.

结论1：设点「(说,%)为直线/：Ar+为+C=0外一定点，。为直线/上的动点，则

_|例+5%+C]

火尸，。喘

~max[\A\,\B\}

结论2：设点P为直线Ax+5y+G=。上的动点，点。为直线=。上的动点，则

|GY|

d(P，Q)min

max{|A|,|B|)

【典型例题】

题型一：曲率与曲率半径问题

【典例1-1】(2024・高三.重庆•阶段练习)定义：若知龙)是］功的导数,犷(无)是〃'⑸的导数,则曲线

K=_M_(nA

户人⑺在点(无,〃(切处的曲率(已知函数/(x)=e'sin彳+x,

1+rAV)?2(2)

g(x)=x+(2a-1)cosx,[a<,曲线y=g(x)在点(0,g(0))处的曲率为乎;

(1)求实数a的值;

jr

(2)对任意xe--,0，〃矿(x)2g'(x)恒成立，求实数机的取值范围;

x

（3）设方程f（x）=g'（元）在区间（2河+：,2河+],eN"）内的根为尤「马，…,当，…比较„+i与招+2兀的大

小，并证明.

【典例1-2】（2024•浙江温州.二模）如图，对于曲线T,存在圆C满足如下条件:

①圆C与曲线F有公共点A,且圆心在曲线「凹的一侧；

②圆c与曲线r在点A处有相同的切线；

③曲线「的导函数在点A处的导数（即曲线r的二阶导数）等于圆C在点A处的二阶导数（已知圆

（无一。）2=/在点4（飞,为）处的二阶导数等于）3）；

则称圆c为曲线r在A点处的曲率圆，其半径「称为曲率半径.

（1）求抛物线>=/在原点的曲率圆的方程；

（2）求曲线y=’的曲率半径的最小值；

X

⑶若曲线y=e，在（西,炉）和（与炉乂工尸马）处有相同的曲率半径，求证：xl+x2<-\n2.

【变式1-1]（2024•高三・浙江宁波・期末）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的

弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线C：y=/（x）上的曲线段A8,其弧长为加，当动点从A沿曲线段

运动到8点时，A点的切线乙也随着转动到8点的切线），记这两条切线之间的夹角为（它等于）

的倾斜角与4的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，

-^e

弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K=丁为曲线段A?的平均曲率；显然当8越接近A,即加越

小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义火=[%密=；3（若极限存在）为曲线

（i+y日

C在点A处的曲率.（其中y,y"分别表示y=/（x）在点A处的一阶、二阶导数）

/、2闽y〃|../、

⑶定义9（丫）=/才为曲线y=/（x）的“柯西曲率”.已知在曲线〃x）=xlnx-2x上存在两点

尸（4〃占））和。（％]（无2）），且P，。处的“柯西曲率”相同，求在+强的取值范围.

【变式1-2]（2024・高三・辽宁・期中）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲

线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若广⑺是〃x）的导函数，

\f"M\

/⑴是/'（X）的导函数，则曲线y=/（x）在点（无，〃尤））处的曲率*=3

(1+[-(切了-

⑴求曲线/（x）=lnx+x在（1,1）处的曲率段的平方;

（2）求余弦曲线/z（x）=cosx（xeR）曲率&的最大值;

题型二：曼哈顿距离与折线距离

【典例2-1】（2024•甘肃兰州•一模）定义：如果在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为（西,巴），

（范，/2），那么称〃（43）=|占-*2|+|%-为|为A，B两点间的曼哈顿距离.

⑴已知点M，N2分另IJ在直线尤-2y=0,2》-丁=0上，点/（0,2）与点乂，N?的曼哈顿距离分别为

d（M,N）,d（M,N）,求d（M,Nj和的最小值;

⑵已知点N是直线x+欧V+2左+1=0（左＞0）上的动点，点M（0,2）与点N的曼哈顿距离d（KN）的最小值

记为/㈤，求〃%）的最大值;

（3）已知点M（e"e*）,点N（〃M）（上加，„eR,e是自然对数的底），当上（1时，d（M,N）的最大值为

求〃相㈤的最小值.

【典例2-2】（2024•高三•广西防城港•阶段练习）若设M（a㈤=麻-1|+辰-2|+--+辰-力|为曼哈顿扩张距

离，它由几个绝对值之和组成，其中“为正整数.如：

M（2,6）=|2x-l|+|2x-2|+|2x-3|+|2^-4|+|2x-5|+|2x-6|

（1）若”（1,2）45,求x的取值范围；

⑵若M（3,2）2相对一切实数x恒成立，设。＞0,b＞0,J!La2+b2=m+l,求2a+b的最大值.

【变式2-1］（2024•高三.北京•期中）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼・闵可夫斯基提

出来的.如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我

们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用"（A3）表示，又称

“曼哈顿距离”，即d（A3）=|AC|+|CB|,因此“曼哈顿两点间距离公式”:若4（菁,X）,3（盯力），则

d（AB）=上一司十回一%|

：\D\

⑴①点4(3,5),B(2,-l),求d(A3)的值.

②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程.

⑵已知点3(1，°)，直线2x-y+2=0,求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；

⑶设三维空间4个点为4=(4%，zj,，=1，2,3,4,且yt,z;e(O,l}.设其中所有两点“曼哈顿距离”的

平均值即2,求2最大值，并列举最值成立时的一组坐标.

题型三：双曲正余弦函数问题

【典例3-1】(2024•高三・江苏苏州・开学考试)定义：双曲余弦函数cosh(x)=f詈，双曲正弦函数

sinh(x)=——-——.

⑴求函数y=cosh(2x)+sinh(x)的最小值；

⑵若函数〃x)=log9[cosh(2x)-asinh(尤)]在R上的最小值为一1,求正实数。的值；

sinh(x)1

(3)求证：对任意实数3关于x的方程7总有实根.

cosh(x)2

【典例3-2】(2024.高三・福建宁德・期末)固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691

XX

年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程Y_。(一+e-D,其中c为参数.当。=1时，就是双曲余弦函数

12

c°shx=三二，类似地我们可以定义双曲正弦函数sinhx=3二.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.

(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:sinh2x=_____________.(只写出

即可，不要求证明)；

(2)VXG[-1,1],不等式cosh2x+相coshxZO恒成立，求实数机的取值范围;

⑶若X呜苧，试比较cosgnx)与sinh(a)的大小关系，并证明你的结论.

【变式3-1](2024•上海宝山•模拟预测)在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数

是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：3血")=三乙，双曲余弦函数：cosh(x)==乙，

(e是自然对数的底数).

⑴解方程：cosh(x)=2；

(2)写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式：sinh(x+y)=,并证明；

(3)无穷数列{4},%=。，%+产2%-1,是否存在实数。，使得出皿=：?若存在，求出。的值，若不存

在，说明理由.

【变式3-2](2024•高三•江苏盐城・期末)悬链线(Ca回2”)指的是一种曲线，指两端固定的一条(粗细与质量

分布)均匀，柔软(不能伸长)的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方

程是一个双曲余弦函数，其解析式为〃力=强产，与之对应的函数g(x)=gJ称为双曲正弦函数,

令“㈤弟•

(1)若关于x的方程/[〃2x)]+耳24g(x)-5]=0在(0,ln3)上有解，求实数4的取值范围；

⑵已知函数〃(X)=X?-M+4,若对任意的飞€|-2,2],总存在不同的士,彳2€口,+8),使得

/7(—+〃伍)=立,求实数机的取值范围.

%+%2

题型四：凹凸函数

【典例4-1】（2024.高三.湖南长沙.阶段练习）设连续函数〃x）的定义域为［a,可，如果对于句内任意两数

4N，都有/（*）；/（%）,则称〃尤）为,,可上的凹函数；若/［岩1）〃百）7（%）,则

称“X）为凸函数.若“X）是区间,回上的凹函数，则对任意的外,%,心目凡可，有琴生不等式

/1%+/++苫"+〃％）+/5）++〃％）恒成立（当且仅当％=々==x“时等号成立）.

ynJn

⑴证明：〃尤）=在（。,1）上为凹函数；

1-x

（2）设国,工2，，Z＞。，〃22,且%+%++Xn=l,求W=苔一+"++’的最小值;

］一再［一/］-X/

111n

⑶设小4，4为大于或等于1的实数，证明：41+.++771M小］•（提示:可设。=e*）

【典例4-2】（2024.高三.陕西安康.阶段练习）记函数〃x）的导函数为尸⑺，尸⑺的导函数为广⑺，设。

是〃x）的定义域的子集，若在区间。上广⑺4。，则称〃x）在。上是“凸函数”.已知函数〃x）=asinx-x2.

⑴若在0,1上为“凸函数”，求。的取值范围；

（2）若a=2,判断g（x）=〃x）+l在区间（0㈤上的零点个数.

【变式4-1］（2024.高三.广东东莞.阶段练习）记〃（x）=（r（x）j,r（x）为的导函数.若对VxeD,

r（x）＞0,则称函数y=〃x）为。上的“凸函数”.已知函数〃司=6'-33_加_1,aeR

（1）若函数/（X）为R上的凸函数，求a的取值范围；

（2）若函数y=〃x）在（l,y）上有极值，求。的取值范围.

题型五：二元函数问题

【典例5-1】(2024.高三.湖南.阶段练习)设A是有序实数对构成的非空集，B是实数集，如果对于集合A中

的任意一个有序实数对(x»),按照某种确定的关系了,在8中都有唯一确定的数z和它对应，那么就称

△A-B为从集合A到集合B的一个二元函数，记作z=/(x,y),(x,y)eA,其中A称为二元函数/的定

义域.

(1)已知〃尤,y)=JV+3,4=(无］,%),6=(%,%),若”")=1,/■仅)=2,占龙2+%%=1，求/伍+b)；

(2)非零向量〃=(%,%),若对任意的A〃＞。，记a=(x,y),都有〃。)＜，(4+/加)，则称/

在。上沿式方向单调递增.已知/(%,封=e*+e“,xeR,yeR.请问/在｛(x,斓x,yeR｝上沿向量(1,1)方向

单调递增吗？为什么？

(3)设二元函数/的定义域为。，如果存在实数M满足：

①V(x,y)e£＞,都有/(x,y)2M,

②升不，％)©，使得"不，%)=■.

那么，我们称M是二元函数/的最小值.求

〃才,了)=了+0由2才+卜-了｝052天(犬,？)€“不了)|广€R；4”21的最大值.

【典例5-2】(2024•江苏盐城•模拟预测)根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数z=/(x,y)在约束条

件g(x，V)的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数L(x,y,㈤=以x,y)+/lg(x,y),其中4为拉格朗

日系数.分别对中的部分求导，并使之为0,得到三个方程组，如下：

Lx(x,y,2)=fx(x,y)+Agx(x,y)=0

，4(x,y")=%(x,y)+2gy(x,y)=0,解此方程组，得出解(x,y),就是二元函数z=f(x,y)在约束条件

L式x,y,A)=g(x,y)=0

g(x,y)的可能极值点.阳'的值代入到/(x,y)中即为极值.

补充说明：【例】求函数/(x,y)=Y+冲+V关于变量尤的导数.即：将变量y当做常数，即：

fx(x,y)=2x+y,下标加上x,代表对自变量尤进行求导.即拉格朗日乘数法方程组之中的4，。,〃表示

分别对x,y,4进行求导.

⑴求函数/(X,j)=x2y2+2孙+孙?关于变量y的导数并求当％=1处的导数值.

(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数X，＞满足g(x,y)=4x2+/+.^-l=0,求f(x,y)=2x+y的最大值.

(3)①若羽V，2为实数，且x+y+z=l,证明：x2+y2+z2＞1.

11

②设求2。9H■—-+—------10«c+25c9的最小值.

aba{a-b)

【变式5・1】（2024•全国・模拟预测）已知变量x,y,z,当羽y在某范围。内任取一组确定的值时，若变量

z按照一定的规律力总有唯一确定的x,y与之对应，则称变量z为变量x,y的二元函数，记作

z=/（羽丁）.已知二元函数/（%，y）=2%+；（ywO）.

（1）若移>0,求/（x,y）•/1J,的最小值.

（2）对任意实数无，不等式|〃工,。）|+|〃%,20）性4恒成立，求实数°的取值范围.

题型六：切线函数新定义

【典例6-1】（2024.全国•模拟预测）已知函数〃x）=xln（词（。>0）,设函数〃x）的导函数为g（x）,若函数

〃尤）和g⑴的图象在x=不处的两条切线4和4平行，则称叫为函数〃尤）和g⑴的“关联切点”.

⑴证明：对于任意的正实数。，函数”尤）和g（尤）的“关联切点”有且只有一个；

32

（2）若两条切线4和4之间的距离为1，证明：=<°（其中e为自然对数的底数）.

5”3”

【典例6-2】（2024•河南新乡•二模）定义：若函数/（X）图象上恰好存在相异的两点P,。满足曲线y=/（x）

在尸和。处的切线重合，则称P,。为曲线y=/（x）的“双重切点”，直线PQ为曲线y=/（x）的“双重切线”.

⑴直线y=2x是否为曲线=x3+-的“双重切线”，请说明理由；

X

\2

ex--x<0

⑵已知函数g（无）=彳e"一'求曲线y=g（x）的“双重切线”的方程；

Inx,x>0,

⑶已知函数网力=sinx,直线PQ为曲线y=h（x）的“双重切线”，记直线PQ的斜率所有可能的取值为此,

_k,15

4，…，kn,右及>k?>kj(i=3,4,5,…,n),证明：—.

K2O

【变式6-1](2024・高三・上海浦东新•阶段练习)设函数y=/(x)的定义域为开区间/,若存在不©，，使得

y=〃x)在x=x°处的切线/与y=/(x)的图像只有唯一的公共点，则称y=〃x)为“L函数”，切线/为一

条“L切线”.

(1)判断y=x-l是否是函数＞=lnx的一条“刀切线”，并说明理由；

⑵设g(x)=e2，-6x,求证：y=g(x)存在无穷多条“L切线”；

(3)设求证：对任意实数。和正数c，＞=/(%)都是“乙函数”

【变式6-2](2024・高三・上海・期中)设尸是坐标平面xQy上的一点，曲线「是函数y=/(%)的图像.若过点

尸恰能作曲线「的左(左eN)条切线,则称尸是函数y=/(x)的“左度点”.

⑴判断点0(0,0)是否为函数y=e*的1度点，请说明理由；

(2)若点是g(x)=cosx,-1＜X＜彳的“％度点”，求自然数%的值；

(3)求函数y=x3+x的全体2度点构成的集合.

题型七：非典型新定义函数

【典例7-1】(2024.高三.广东佛山.阶段练习)若对实数%,函数〃尤)、g(x)满足"％)=g(%),且

f(x0)^g'(xQ),则称尸为“平滑函数”，为为该函数的“平滑点”已知

=--|x2,g(x)=Z?xlnx.

⑴若1是平滑函数*%)的“平滑点”，

(i)求实数。，b的值；

(ii)若过点尸(2,。可作三条不同的直线与函数y=P(x)的图象相切，求实数f的取值范围;

(2)判断是否存在使得对任意6>0,函数尸(同存在正的“平滑点”，并说明理由.

【典例7-2】(2024・高三・上海・期中)已知定义域为R的函数y=/(%).当aeR时，若

g(x)=〃x)-]⑷(x>是严格增函数，则称是一个"T(a)函数”.

x—a

⑴判断函数工(x)=5x+3是否为T⑴函数；

(2)是否存在实数匕，使得函数〃卜)="'"(0'是7(-1)函数？若存在，求实数匕的取值范围；否则，证

[OT+1,X>0,

明你的结论；

⑶已知J(x)=e，("2+1),其中"R,证明：若J'(x)是R上的严格增函数，则对任意“wZ,J(x)都是

T㈤函数.

【变式7-1](2024・高三•上海普陀•阶段练习)给出下列两个定义：

I.对于函数y=/(x),定义域为O,且其在。上是可导的，若其导函数定义域也为。，则称该函数是“同定

义函数”.

II.对于一个“同定义函数"y=/(x),若有以下性质：

①广(x)=g(/(x))；©f(x)=/z(f,(x)),其中y=g(x),y=/z(x)为两个新的函数，y=/'(x)是y=/(x)

的导函数.

我们将具有其中一个性质的函数y=/(x)称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数y=/(x)称之为

“双向导函数"，将y=g(x)称之为“自导函数

⑴判断函数y=tanx和y=lnx是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其

对应的“自导函数”；

(2)已知命题。：y=/(x)是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题

4"(句=上优(左eR,a>0,a/l).判断命题P是q的什么条件，证明你的结论；

⑶已知函数=

①若的“自导函数”是y=x,试求。的取值范围；

②若4=6=1,且定义/(x)=e"(元)一|叱+丘，若对任意左€口,2口10,对，不等式/(x)＜c恒成立，求

c的取值范围.

【变式7-2](2024・高三・全国・专题练习)已知函数〃x)=、+£|lnx+J-x(a＞0).

⑴讨论函数的单调性.

⑵给定％，%且玉＜马，对于两个大于1的正实数。，夕，若存在实数机满足：a=rnxi+(\-m)x2,

/3=(l-m)xl+mx2,使得不等式性(。)-丸(£)|＜卜(%)-九(々)|恒成立,则称函数无⑺为区间。上的“优化分

解函数若a=l,函数/(x)=-为区间。,+«0上的“优化分解函数”，求实数机的取值范围.

【过关测试】

1.(2024•高三・江西•阶段练习)记函数y=/(x)(xeD)在。上的导函数为y=/'(%),若((尤)＞。(其中

f"(x)=[广(x)]')恒成立，则称y=f(x)在。上具有性质M.

⑴判断函数y=log/(a＞0且ami)在区间(0,+“)上是否具有性质/?并说明理由；

(2)设。,6均为实常数，若奇函数g(x)=2尤3+依2+三在》=1处取得极值，是否存在实数c,使得y=g(x)在

区间匕内)上具有性质/?若存在，求出。的取值范围；若不存在，请说明理由；

⑶设左©Z且左＞0,对于任意的尤«0,内)，不等式1+M(x+1)＞上成立,求上的最大值.

XX+1

2.(2024・高三•河南郑州•阶段练习)若函数“X)的定义域、值域都是有限集合&=〃eN*,

则定义〃尤)为集合A上的有限完整函数.己知g(x)是定义在有限集合"={L2,3,4,5,6,7}上的有限完整函

数.

7

⑴求£ig(i)的最大值；

Z=1

⑵当i=l,2,3,4时，均有g«)<g«+l),求满足条件的g(x)的个数；

⑶对于集合加上的有限完整函数g(x),定义“闭环函数”如下：gj(x)=g(x),对左©N*,且左V6,

gE(x)=g(gK(x))芾3xeA1,7〃eN*,gi(x)=g.(x),则称g(x)为“优阶闭环函数”.证明：存在一个闭环

函数g(x)既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数(用列表法表示g(x)的函数关系).

3.(2024.黑龙江吉林.二模)设定义在[0,2]函数/(x)满足下列条件:

①对于xe[0,2],总有〃2T)=/(X),K/(X)>1,/(1)=3；

②对于x,ye[l,2],若x+yW3,则/(x)+/(y)W/(x+y_2)+l.

⑴求〃2)；

⑵证明：[+l(〃eN*)；

(3)证明：当无目1,2]时，lW/(x)V13—6x.

4.(2024・辽宁大连・一模)已知函数/(尤)=xln尤+G+1的定义域为区间。，值域为区间。厂若则称

“X)是2的缩域函数.

⑴若是区间；，e的缩域函数，求。的取值范围；

(2)设a,〃为正数，且a<⑸若〃》)是区间&四的缩域函数，证明：

⑴当分时，/(无)在［a间单调递减；

21c

(11)—+—>3

ap

5.(2024・高三・上海•阶段练习)对于函数与g(x)定义域。上的任意实数x,若存在常数k,b,使得

f(x)W依+匕和g(%)>区+6都成立，则称直线y=履+b为函数“X)与g(X)的“分界线”.

⑴若函数〃力=7?+2%，g(x)=x2+2x,D=R,求函数〃X)和g(x)的“分界线”；

(2)已知函数"X)=alnx(aeR)满足对任意的xe,f(x)<e(x-l)恒成立.

①求实数。的值；

②设函数g⑴=，试探究函数与g(元)是否存在“分界线”?若存在，请加以证明，并求出左，6的值；

若不存在，请说明理由.

6.(2024・高三.上海.阶段练习)对于函数/(x),若/(彳)的图象上存在关于原点对称的点，则称/'(%)为定义

域上的“G函数”.

⑴试判断/(x)=|cosx|,(xw0)是否为“G函数”，简要说明理由；

⑵若/(同=1吗S+加)+1是定义在区间一卦)同上的“G函数”求实数机的取值范围；

7.(2024・福建・模拟预测)对于函数/(x),若实数与满足/(%)=%，则称％为了(盼的不动点.已知且

/(元)=；lnx+G?+1-。的不动点的集合为A.以minM和maxM分别表示集合Af中的最小元素和最大元

素.

(1)若。=0,求A的元素个数及maxA；

(2)当A恰有一个元素时，。的取值集合记为反

⑴求B；

(ii)若。=min3,数列｛/｝满足4=2,。用=，(""),集合C.=［为应-1总］,“©N*.求证：VweN*,

an［女=13J

「4

maxC,=耳.

8.(2024•安徽安庆・二模)取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设xeR,不

超过x的最大整数称为x的整数部分，记作四，函数'=［力称为取整函数.另外也称印是x的整数部分，

称｛力=为X的小数部分.

⑴直接写出［In可和的值；

(2)设a,beN*,证明：“=+且并求在6的倍数中不大于a的正整数的个

数；

(3)对于任意一个大于1的整数a,。能唯一写为a=pfxp？x-xp『，其中R为质数，/为整数，且对任

意的,(/P,<Pj,i,六｛1,2,3,…㈤，称该式为a的标准分解式，例如100的标准分解式为

100=22X52.证明：在m的标准分解式中，质因数”>1,zieN*)的指数

nnn

+++-=S-n7-

PiPiPir=lPi_

9.(2024・高三•重庆•阶段练习)对于函数y=/(x),xe/,若存在外",使得/(不)=%，则称％为函数

“X)的一阶不动点；若存在外",使得/(〃%))=%，则称为为函数〃x)的二阶不动点；依此类推，

可以定义函数f(x)的”阶不动点.其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点.

⑴已知"x)=2，+2x-3,求〃力的不动点;

(2)已知函数〃力在定义域内单调递增，求证："为为函数”X)的不动点”是“%为函数”X)的稳定点”的

充分必要条件；

21

⑶已知“>-1,讨论函数/(x)=gliu+(a+l)XG的稳定点个数.

10.(2024.高三.全国.竞赛)设有两个集合A兄如果对任意aeA,存在唯一的满足〃a)=。，那么

称/是一个Af3的函数.设/(。)是Af3的函数，g。)是BfC的函数，那么g(〃a))是AfC的函

数，称为g和7的复合，记为g九如果两个的函数7,g对任意。wA,都有/(a)=g(a),则称

于=g.

⑴对/(x)=e,，分别求t个g(x),/z(x),使得(g/)(%)=%=(//，)(%)对全体尤21恒成立；

(2)设集合A,B,C和A-C的函数a以及B-C的函数".

⑴对E={(a,6)|aeAbe3,a(a)=£0)},构造A的函数。以及E-»B的函数9,满足ap=Bq；

(宜)对£={(4,6)|aeA)e3,(z(a)=770)},构造E.A的函数P以及E-»B的函数4,满足ap=0q,

并且说明如果存在其它的集合£满足存在E'fA的函数P'以及E'f3的函数q',满足aP'=B。，则

存在唯一的E'fE的函数〃满足。W=p',qW=q'.

11.(2024•上海浦东新•二模)设尸是坐标平面x0y上的一点，曲线『是函数>=/(X)的图象.若过点P恰能

作曲线T的左条切线(kwN),则称尸是函数y=/(x)的经度点”.

⑴判断点。(0,0)与点4(2,0)是否为函数y=lnx的1度点，不需要说明理由；

⑵已知。<根〈兀，g(x)=sinx.证明：点3(。,兀)是y=g(x)(O<x<7%)的0度点；

(3)求函数y=Y-x的全体2度点构成的集合.

12.(2024・高三・上海静安・期末)如果函数y=/(x)满足以下两个条件，我们就称>=/(尤)为L型函数.

①对任意的无总有/(x)>0；

②当%>0,%>。，玉+尤2<1时，总有了(占+%)</(%)+/(々)成立.

(1)记g(x)=Y+；,求证：y=g(x)为乙型函数；

(2)设bwR,记p(无)=ln(尤+6),若y=p(x)是乙型函数，求b的取值范围;

(3)是否存在L型函数>=«x)满足：对于任意的机«0,4),都存在小«0,1),使得等式“尤。)=，〃成立？请

说明理由.

13.(2024・高三•全国・专题练习)对于函数/(X),xe[a,b],以及函数g(x),xe[a,b].若对任意的

x&[a,b\,总有那么称/(x)可被g(x)“替代”(通常g(x)w/(x)).

⑴试给出一个可以“替代”函数"X)=：的函数g(x);

⑵试判断"x)=«(xe[4,16])是否可被直线g(x)=_,xe[4,16]“替代”.

14.(2024.高三.上海静安.阶段练习)记尸(x)、g'(x)分别为函数“X),8(”的导函数.若存在尤。建满足

/'(%)=8伉)且/'(毛)=8'(%),则称为为函数与g(x)的一个“S点”.

⑴证明:函数/")=%与8(彳)=%2+2》-2不存在“S点”；

⑵若函数/(3)=G2—1与g(x)=lnx存在“S点”，求实数。的值

(3)已知函数不力=-丁+加,g(x)=q对任意『>0,判断是否存在”0,使得函数〃力与g(x)在区间

(0,+8)内存在“S点”，并说明理由.

15.(2024.高三.上海虹口.期末)已知y=〃x)与y=g(x)都是定义在(0,+⑹上的函数，若对任意占，

x2e(O,-H»),当王时，都有g(xj、/a)"%)*(/),则称y=g(x)是y=/(x)的一个，控制函

王一X?

数”.

(D判断y=2x是否为函数y=/(x>0)的一个控制函数，并说明理由；

⑵设〃x)=lnx的导数为/(力，0<a<b,求证：关于x的方程4^三3=广⑴在区间(。㈤上有实

数解；

(3)设/(x)=xlnx,函数y=/(x)是否存在控制函数？若存在，请求出y=〃x)的所有控制函数；若不存

在，请说明理由.

16.(2024.上海长宁.一模)若函数y=/(x)与y=g(x)满足：对任意A々©R,都有

|/(%)-/伍)|Wg(%)-g(x2)|，则称函数y=/(x)是函数y=g(x)的“约束函数”.已知函数y=〃x)是函数

y=g(尤)的“约束函数

⑴若=判断函数y=g⑺的奇偶性，并说明理由：

⑵若/(x)=ax+V(a>O),g(x)=sinx,求实数。的取值范围；

(3)若y=g(x)为严格减函数,/(o)</(i),且函数y=的图像是连续曲线，求证：y=/(x)是(0,1)上

的严格增函数.

17.(2024・高三・上海•期中)设y=f[x｝是定义域为R的函数，如果对任意的^,X2GR(^^X2),

|/(x1)-/(x2)|<|x1-^2|均成立，则称y=/(x)是“平缓函数”.

⑴若/⑺=炉,试判断y=/㈤是否为“平缓函数”并说明理由；

(2)已知y=的导函数/(x)存在，判断下列命题的真假:若y=〃x)是“平缓函数”，则|/(刈v1,并说明理

由.

(3)若函数y=/(x)是“平缓函数"，且y=/(x)是以1为周期的周期函数，证明:对任意的4%€双％/.)，均有

18.(2024.高三・浙江•期中)对函数y=/(x),若玉：°eR,使得/(%)=mx。成立，则称不为f3关于参数册的

不动点.设函数/(%)=加-法-"。。0).

(1)当。=/?=2时，求函数/(x)关于参数1的不动点；

(2)若VbwR,函数/(九)恒有关于参数1的两个不动点，求。的取值范围；

⑶当。=1/=-2时，函数〃力在xe(0,2]上存在两个关于参数机的不动点，试求参数，〃的取值范围.

19.(2024.高三.上海徐汇・期中)若函数y=/(x)与y=g(x)满足：对任意的国e。，总存在唯一的尤zW。,

使〃%)g(X2)=〃7成立，则称y=/(x)是g(x)在区间。上的“加阶伴随函数"；当〃x)=g(x)时，则称

y=〃x)为区间。上的“机阶自伴函数”，

⑴判断y=/(尤)=log,，+1)是否为区间［0,77］上的“2阶自伴函数”？并说明理由；

⑵若函数y=/(x)=4，i为区间g,b上的“1阶自伴函数”，求6的值；

⑶若y=/(X)=士是y=g@)=f-2依+/-1在区间［0,2］上的“2阶伴随函数"，求实数”的取值范围.

20.(2024・高三・安徽淮南•阶段练习)帕德近似是法国数学家亨利・帕德发明的用有理多项式近似特定函数的

方法.给定两个正整数加，n,函数/(尤)在x=0处的［“川阶帕德近似定义为：R(x)=?+*+丁，

1+*++bnx

且满足：/(0)=R(0),八0)=R(0),/(。)=R"(0),尸)(0)=郑加+力(0).已知f(x)=In。+1)在X=0处

的［14］阶帕德近似为R(x)=#.注：

l+bx

m=［广(切’,尸(尤)=［r«］\/(4)«=—(切'J⑸(尤)=［/(4)«］\

⑴求实数。，匕的值；

⑵求证：(x+^)/f-Ki.

21.(2024・天津•一模)意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项

链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数

ch(x)='"；e」的图象,定义双曲正弦函数sh(x)=hJ,类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双

曲余弦函数有如下性质①平方关系：Ch2(x)-sh2(x)=l,②倍元关系：sh(2x)=2sh(x)-ch(x).

⑴求曲线ch(x)在尤=2处的切线斜率；

(2)若对任意x>0,都有(x-a-l)(sh(x)+ch(x))>2sinx-2(x-a)cosx恒成立，求实数a的取值范围：

⑶⑴证明:当尤>0时，sh(x)>x；

sh(2)sh(l)Sh[j

34〃

(ii)证明:(〃eN*

tan11fl

tan—tan—tan—2n+\

23n

22.(2024・高三・云南昆明•阶段练习)悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过

适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数M(X)=h”的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关

、f(sinx)=cosx,

系：①sin2%+cos2%=l,②和角公式：cos(x+)；)=cosxcosy-sinxsiny③导数：.定义

\/f^cosx)=-sinx,

双曲正弦函数s〃(x)=三仁.

⑴直接写出M(X),M(x)具有的类似①、②、③的三种性质(不需要证明)；

(2)若当尤＞0时，依恒成立，求实数a的取值范围；

(3)求/(x)=c/?(x)-cosx-尤2的最小值.

23.(2024・高三•山东临沂・期中)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线

之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若尸(x)是的导函数，

⑴求曲线/(x)=lnx+x在(1,1)处的曲率段的平方；

⑵求余弦曲线〃(x)=cosx(xeR)曲率(的最大值；

⑶若g(x)=e"a)+H'(x),判断g@)在区间一全方上零点的个数，并写出证明过理.

24.(2024.全国•二模)曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表

示曲线的弯曲程度越大，若记=(川'，则函数y=/(x)在点尸(即儿)处的曲率为"

(1)求证：抛物线y=奴2+法+0(〃。0)在％=-丁处弯曲程度最大；

2a

(2)已知函数8(%)=6%2限一2办3一9%2,%(%)=2肥"一4e"+办?，〃£，一)，若g(x),九⑴曲率为0时1

巧'求证：品消.

的最小值分别为七

25.(2024.高三.山西太原.阶段练习)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感,

曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若广(x)是/(尤)的导函

/、犬一73

数，/"⑺是r(x)的导函数，则曲线y=/(x)在点(x,〃x))处的曲率K-丁二TT.

[1+仆)]:

⑴求曲线〃x)=一在点(1,1)处的曲率用的值；

(2)求正弦曲线g(%)=sinx(xwR)曲率&的最大值.

r2r3n

26.(2024・贵州贵阳.一模)英国数学家泰勒发现了如下公式：e'=l+x+—+—++x—+.其中

2!3!n\

«!=1X2X3X4Xx”,e为自然对数的底数，e=2.71828.以上公式称为泰勒公式.设

〃同=£一:遥")=*二，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.

⑴证明：>1+x;

(2)设xe(O,y),证明：F<g(x)；

(3)设尸(x)=g(x)-a1+y,若x=0是尸(x)的极小值点，求实数。的取值范围.

一23

27.(2024・高三・四川达州•阶段练习)英国数学家泰勒发现了如下公式：e'=l+x+土x+土X+…+二x"+…其中