2025年新高考数学复习压轴题讲义：数列下的新定义（七大题型）（学生版）

专题05数列下的新定义

【题型归纳目录】

题型一：牛顿数列问题

题型二：高考真题下的数列新定义

题型三：数列定义新概念

题型四：数列定义新运算

题型五：数列定义新情景

题型六：差分数列、对称数列

题型七：非典型新定义数列

【方法技巧与总结】

1、“新定义型”数列题考查了学生阅读和理解能力，同时考查了学生对新知识、新事物接受能力和加以

简单运用的能力，考查了学生探究精神.要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移，即读懂和理

解新定义，获取有用的新信息，然后运用这些有效的信息进一步推理，综合运用数学知识解决问题的能力

和探索能力(多想少算甚至不算).因此，“新定义型”数列在高考中常有体现，是一种用知识归类、套路总结、

强化训练等传统教学方法却难以解决高考中不断出现的新颖试题.

2、解答与数列有关的新定义问题的策略：

(1)通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的

情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达

到灵活解题的目的.

(2)遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照

章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决.

(3)类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢.

【典型例题】

题型一：牛顿数列问题

【典例1-1](2024•广东韶关•二模)记R上的可导函数[(X)的导函数为尸⑺，满足x角«eN'

的数列｛七｝称为函数/卜)的“牛顿数列”.已知数列｛%｝为函数=/r的牛顿数列，且数列｛氏｝满足

=2,a„=ln^—>1.

⑴求生;

(2)证明数列｛%｝是等比数列并求％；

⑶设数列｛%｝的前“项和为，，若不等式(-1)”•电-14对任意的〃eN*恒成立，求t的取值范围.

【典例1-2】(2024・高二・浙江绍兴・期末)物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”,

它在航空航天中应用非常广泛.其定义是：对于函数/(x),若满足(x向-匕)/'(无")+/(%)=0,则称数列

｛匕｝为牛顿数列.已知/(x)=/,如图，在横坐标为再=1的点处作了(x)的切线，切线与x轴交点的横坐

标为巧，用巧代替不重复上述过程得到三，一直下去，得到数列｛%｝.

⑴求数列｛%｝的通项公式;

5

(2)若数列｛"•%｝的前〃项和为S”，且对任意的〃eN*,满足,求整数2的最小值.(参考数

据：0.94=0.6561，0.9』.5905,0.96«0.5314,0.97»0.4783)

【变式1-1](2024•广东广州•二模)已知函数/'(X)=\nx+2x-b(b>2).

⑴证明:/(x)恰有一个零点。，且ae(1,6)；

(2)我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取

国e(l,a),实施如下步骤：在点(』,/(』))处作/(x)的切线，交x轴于点(％,0)：在点处作/(x)

的切线，交x轴于点(W，0);一直继续下去，可以得到一个数列｛%｝,它的各项是/(x)不同精确度的零点

近似值.

⑴设当+1=g(%),求g(x“)的解析式；

(ii)证明：当阳41,。)，总有x“<x"+]<a.

题型二：高考真题下的数列新定义

【典例2-1】（2024年高考新课卷1）设m为正整数，数列外,出，“+2是公差不为。的等差数列，若从

中删去两项为和方（，<力后剩余的4加项可被平均分为加组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数

歹！］%,出，…,％,”+2是。⑺一可分数列.

⑴写出所有的（z；/）,lVi<JV6,使数列%,电，…，&是（。）一可分数列;

（2）当加之3时，证明：数列％,出，“+2是（2,13）—可分数列；

⑶从1,2,…,4掰+2中一次任取两个数i和j（i<j）,记数列4,电，,,+2是。，力―可分数列的概率为M，

证明：P>—.

8

【典例2-2】（2024年高考新课卷2）已知双曲线C：V—V=加（加>0）,点不（5,4）在。上，左为常数，

0<k<1.按照如下方式依次构造点p„（n=2,3,...）,过Ci作斜率为左的直线与C的左支交于点Q1,

令勺为。"一1关于了轴的对称点，记p“的坐标为（X0,yn）.

⑴若A=—,求、2，%；

（2）证明：数列{%->"}是公比为的等比数列；

1-k

⑶设s〃为△匕勺+匕+2的面积，证明：对任意的正整数〃，S〃=S角.

【典例2-31（2023・北京・高考真题）已知数列{%},{〃}的项数均为m（m>2），且。“也e{1,2,…，间，{%}*,}的

前〃项和分别为4,纥，并规定4=用>=0.对于壮{0,1,2,…,明，

定义〃=max{il4.44/e{°，l，2jrH}},其中，maxM表示数集M中最大的数.

（1）若％=2,a2=1,a3=3,4=1也=3,4=3,求％，外,々的值；

（2）若且2。<5+1+小，/=1，2,…，相T，,求心；

（3）证明：存在〃g,sJe{0,l,2,…,小},满足使得/〃+与=4+纥.

【典例2-4](2022・北京・高考真题)已知。：％,电，…,知为有穷整数数列.给定正整数加，若对任意的

在。中存在"i+1，"i+2，.,.，"，+jU20),使得at+aM+ai+2+••-+ai+j=n,则称。为5-连续

可表数列.

⑴判断。：2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；

(2)若。：4吗，…S为8-连续可表数列,求证:人的最小值为4；

(3)若。:4,4,…S为20-连续可表数列,且4+%+…+4<20,求证:k>1.

【变式2-1](2021•北京・高考真题)设p为实数.若无穷数列｛4｝满足如下三个性质,则称｛%｝为巩数列：

①q+pZO,且02+尸=0；

②%"T<%>,,(〃=1,2,…)；

③%“上｛%+。“+。，％+%+。+1｝，(私〃=1,2,…).

(1)如果数列｛%｝的前4项为2,-2,-2,-1,那么｛%｝是否可能为况2数列？说明理由；

(2)若数列｛氏｝是％数列，求％；

(3)设数列｛%｝的前〃项和为是否存在况.数列｛%｝,使得5“2品,恒成立？如果存在，求出所有的p；如

果不存在，说明理由.

【变式2-2](2020・北京・高考真题)已知｛%｝是无穷数列.给出两个性质：

2

①对于｛%｝中任意两项生吗。>/),在｛%｝中都存在一项，使亍■=0„,;

②对于｛%｝中任意项。,(小鸟)，在｛%｝中都存在两项%M(万>/).使得

(I)若。"=〃(〃=12…)，判断数列｛叫是否满足性质①，说明理由；

(11)若。"=21(”=1,2,…),判断数列｛0“｝是否同时满足性质①和性质②，说明理由;

(Ill)若｛4｝是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：｛。“｝为等比数列.

题型三：数列定义新概念

【典例3-1】(2024•广西南宁•一模)若无穷数列｛g｝满足q=0,|。用“』=/(〃)，则称数列｛%｝为夕数列，若

B数列｛«„｝同时满足％(丁，则称数列｛%｝为/数列.

(1)若数列｛%｝为口数列，/(«)=l,neN*,证明：当“42025时，数列｛4｝为递增数列的充要条件是

出025=2024；

(2)若数列也｝为/数列，/(〃)=〃，记且对任意的〃eN*，都有g<c…求数列匕｝的通项公式.

【典例3-2】(2024•山东泰安•一模)已知各项均不为0的递增数列｛%｝的前〃项和为a,且

a

\=2,a2=4,anan+l=2Sn(S„+1+-2S„)(n6N,，且”22).

⑴求数列,勺前〃项和1;

(2)定义首项为2且公比大于1的等比数列为“G-数列”.证明：

①对任意1M5且壮N*,存在“G-数列”低｝,使得仁名叫〈心成立;

②当上且丘N*时，不存在“G-数列”｛c“｝,使得%<%«4+］对任意正整数机V上成立.

【变式3-1］(2024•江西南昌•一模)对于各项均不为零的数列｛g｝,我们定义：数列［干J为数列｛g｝的“无-

比分数列”.已知数列｛%｝,也｝满足/=仇=1,且｛见｝的“1-比分数列”与｛"｝的“2-比分数列”是同一个数列.

⑴若｛"｝是公比为2的等比数列，求数列｛为｝的前"项和反；

(2)若抄“｝是公差为2的等差数列，求勺.

题型四：数列定义新运算

【典例4-1】(2024•江苏徐州•一模)对于每项均是正整数的数列P定义变换工将数列尸变

换成数列彳(0)：〃吗-1吗-1，…必T.对于每项均是非负整数的数列。：配&…也，定义

义0)=2(4+22+...+〃仍/+"+后+...+叱，定义变换岂,4将数列0各项从大到小排列，然后去掉所有为零

的项,得到数列%

⑴若数列片为2,4,3,7,求5年(多))的值;

(2)对于每项均是正整数的有穷数列令%=%(4(E)),左eN.

⑴探究5口(均)与S(ZJ)的关系；

(ii)证明：s(%Jvs⑶.

【典例4-2】(2024•江西赣州一模)设数列/：%,外，…,而322).如果对小于"(2的每个正整数上都有

ak>.则称〃是数列A的一个“D时亥!记。(/)是数列A的所有时刻”组成的集合，。⑷的元素个数记

为card(£),/).

(1)对数歹!]A:-1,1,-2,2,-3,3,写出。(⑷的所有元素；

⑵数列/：生,g,…,必满足｛%，%，…,。6)=｛123,4,5,6｝,若card(£),4)=4.求数列A的种数.

(3)证明：若数列A满足an-an_x2-1(〃=2,3,4,…,N),则card(明A)>ax-aN.

【变式4-51(2024・高三・山东・开学考试)在无穷数列｛%｝中，令1=%gLan，若V〃eN*,4e｛a“｝,则称｛%｝

对前〃项之积是封闭的.

(1)试判断：任意一个无穷等差数列｛4｝对前〃项之积是否是封闭的？

(2)设｛4｝是无穷等比数列，其首项4=2,公比为/若｛%｝对前"项之积是封闭的，求出的两个值；

⑶证明：对任意的无穷等比数列｛4｝,总存在两个无穷数列抄」和上｝,使得。“=”•的("eN*),其中也｝

和匕｝对前〃项之积都是封闭的.

【变式4-6](2024•福建泉州•模拟预测)(a,b)表示正整数a,6的最大公约数，若

c｛1,2,eN*),且Vxe｛为',,(x,m)=l,则将左的最大值记为夕(加)，例如:

9⑴=1，9(5)=4.

⑴求。⑵,夕⑶，夕(6)；

(2)已知(%")=1时,(p(mri)=(p(m)(p[n).

⑴求夕(6")；

(ii)设6“=39(；卜/数列低｝的前〃项和为小证明：T"嗅.

题型五：数列定义新情景

【典例5-1】(2024•海南・模拟预测)若有穷数列%,…(〃是正整数)，满足为=%+(eN,且IViV”)，

就称该数列为“S数列”.

⑴已知数列低｝是项数为7的S数列，且4也也也成等比数列，仄=20=8,试写出也｝的每一项；

⑵已知｛的｝是项数为24+1亿N1)的S数列，且…心皿构成首项为100,公差为-4的等差数列，数

列｛c“｝的前2左+1项和为邑则当《为何值时，邑“1取到最大值？最大值为多少？

(3)对于给定的正整数?>1,试写出所有项数不超过2加的S数列，使得1,2,22,…,2"一成为数列中的连续项;

当机>1500时，试求这些S数列的前2024项和邑024.

【典例5-21(2024・高三・全国・专题练习)将平面直角坐标系中的一列点4(1，/)、4(2,。2)、1、♦"(〃,4)、

L,记为｛4｝，设/(")=诟二其中7为与〉轴方向相同的单位向量.若对任意的正整数"，都有

/(n+l)>/(n),则称｛4｝为T点列.

⑴判断4(1,1)、412,£|、4卜L、L是否为T点列，并说明理由；

（2）若｛4｝为7点列，且。2>4•任取其中连续三点4、4+八4+2,证明A44+M/+2为钝角三角形；

⑶若｛4｝为T点列，对于正整数左、I,比较京；•了与的大小，并说明理由.

【变式5-1]（2024•辽宁葫芦岛•一模）大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据所蕴

含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，合适的算法就会起到事半功倍的效果.现

有一个“数据漏斗”软件，其功能为；通过操作删去一个无穷非减正整数数列中除以M余数为N的

项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列.设数列｛%｝的通项公式为=3"T,

〃eN+,通过“数据漏斗”软件对数列｛。,J进行”3,1）操作后得到他,｝,设｛%+4｝前〃项和为S“.

⑴求%

（2）是否存在不同的实数p,q/eN+,使得邑，邑，斗成等差数列？若存在，求出所有的（p,q/）；若不存

在，说明理由；

⑶若2=不、,〃eN+,对数列包｝进行“3,0）操作得到优｝,将数列优｝中下标除以4余数为0,1

2（3-1）

的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到也｝,再将历,｝的每一项都加上自身项数，最终得到｛4｝,证

明：每个大于1的奇平方数都是｛cj中相邻两项的和.

题型六：差分数列、对称数列

【典例6-1】（2024•全国•模拟预测）给定数列｛。“｝,称｛%-4-｝为｛叫的差数列（或一阶差数列），称数列

的差数列为｛«„）的二阶差数列……

（1）求｛2"｝的二阶差数列；

（2）用含m的式子表示｛2"｝的m阶差数列，并求其前»项和.

【典例6-2]（2024•海南省直辖县级单位•一模）若有穷数列为,出，…，%（"是正整数），满足为=%T+CeN*,

且就称该数列为“S数列”.

(1)已知数列低｝是项数为7的S数列，且乙，b2,b3,4成等比数列，4=2,4=8,试写出｛"｝的每一项;

⑵已知｛与｝是项数为2左+1(左21)的S数列，且%1，，+2,…，。2国构成首项为100,公差为-4的等差数列,

数列｛c“｝的前2左+1项和为%w，则当无为何值时，$2口取到最大值？最大值为多少？

(3)对于给定的正整数必＞1,试写出所有项数不超过2加的S数列，使得1,2,2?…2"i成为数列中的连续项；

当机＞1500时，试求这些S数列的前2024项和S2024.

【变式6-1](2024•河南开封・二模)在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA

加密算法中的应用.设0,«是两个正整数，若p,q的最大公约数是1,则称°,q互素.对于任意正整数

n,欧拉函数是不超过〃且与〃互素的正整数的个数，记为9(〃).

⑴试求研3),研9),夕⑺，0(21)的值;

(2)设〃是一个正整数，p,q是两个不同的素数.试求。(3"),夕(M)与。⑵和研外的关系；

(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥.具体而言：

①准备两个不同的、足够大的素数0,g；

②计算”=P4,欧拉函数就”)；

③求正整数公使得初除以夕(〃)的余数是1;

④其中色,4)称为公钥，(〃肉称为私钥.

已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是(187,17).若满足题意的正整数k从小到大排列得到

一列数记为数列也｝,数列匕｝满足80g=或+47,求数列｛tanc“-tan.J的前”项和7；.

【变式6-2](2024•贵州•三模)差分密码分析(DifferentialCryptanalysis)是一种密码分析方法，旨在通过观察

密码算法在不同输入差分下产生的输出差分，来推断出密码算法的密钥信息.对于数列N*),规定

｛△*｝为数列｛%｝的一阶差分数列，其中△%=%+「%；规定｛A?。,｝为｛%｝的二阶差分数列，其中

2

Aa„=A«„+l-A%.如果｛叫的一阶差分数列满足|闻手|Aa7|(Vf,/eN*,iW力，则称｛a,｝是“绝对差异数列”;

2

如果｛4｝的二阶差分数列满足尺力=|Aa7|(Vz,JeN*),则称｛%｝是“累差不变数列”.

⑴设数列A:1,3,7,9,13,15,判断数列A是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，请说明理由；

⑵设数列｛%｝的通项公式。,=2"2+M〃eN*）,分别判断｛Aa“｝,｛Aa｝是否为等差数列，请说明理由；

（3）设各项均为正数的数列｛g｝为“累差不变数列”，其前〃项和为S“，且对V〃eN*，都有方]，=1%,

左=1

对满足〃+m=2k（m丰〃）的任意正整数凡见k都有c„产c„,且不等式5„+Sm>。恒成立，求实数，的最大直

题型七：非典型新定义数列

【典例7-1】（2024・高三・全国•专题练习）设数列｛。“｝的各项为互不相等的正整数，前"项和为S,,称满足条

件“对任意的加，〃eN*，均有（"-仅电+”,=（〃+仅）（5“-的数列｛叫为“好”数列.

⑴试分别判断数列｛%｝,也｝是否为“好”数列，其中％=2〃-1,b„=T-l,〃eN*并给出证明；

（2）已知数列｛c,J为“好”数列，其前n项和为7；.

①若。2。24=2025,求数列｛c,｝的通项公式；

②若q=P，且对任意给定的正整数s（s>l）,有q,q,q成等比数列，求证：f2s?.

【典例7-2]（2024•全国•模拟预测）设满足以下两个条件的有穷数列％,出，…为〃（"=2,3,4,…）阶“曼德拉数

列”：

①%+?%---%=0；（2）|tZ]|+|a2|+|a3|H-----1-\an|=1.

⑴若某2M左eN*）阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项a„^<n<2k,用左，〃表示）；

⑵若某2后+1（左eN*）阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项为（1W”W2左+1,用左,〃表示）；

⑶记〃阶“曼德拉数列”｛0“｝的前左项和为1（左=1,2,3广.,〃），若存在e｛l,2,3,…，小，使鼠=；，试问：数

列慨｝。=1,2,3,…，功能否为〃阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.

【变式7-1]（2024・湖南长沙一模）对于数列｛4｝,如果存在正整数T,使得对任意都有*=%,

那么数列｛%｝就叫做周期数列，7叫做这个数列的周期.若周期数歹式“｝,匕,｝满足：存在正整数左，对每一

个市4始.eN*),都有〃=q,我们称数列出｝和｛c“｝为“同根数列”.

=1

(1)判断数列a“=sin〃7t、，=3,n=2是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理

bn_x-bn_2,n>?>

由；

(2)若｛。"｝和色｝是“同根数列”，且周期的最小值分别是加+2和小+4®eN*),求上的最大值.

【过关测试】

1.(2024・天津和平・一模)若数列｛%｝满足­=而二7(〃eN*),其中丘0,。“>0,则称数列｛%｝为屈数

列.

(1)已知数列｛%｝为M数列，当”=1吗=1时.

(i)求证：数列弧｝是等差数列，并写出数列｛0,｝(〃eN*)的通项公式；

Inni

("“这［(1+哨求±E"eN)

k=lk=\lk

«1

⑵若㈤｝是M数列(〃eN*),且d>0,证明：存在正整数".使得»；—>2024.

a

z=li

2.(2024•黑龙江•二模)如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3,则称这个数列为“G型

数列”.

⑴若数列｛%｝满足2a“=S"+l,判断｛%｝是否为“G型数列”，并说明理由；

(2)已知正项数列｛%｝为“G型数列”，6=1,数列也J满足6“=°“+2,〃eN*,也｝是等比数列，公比为正

整数，且不是“G型数列”，求数列｛%｝的通项公式.

3.(2024・浙江•模拟预测)已知实数440,定义数列｛为｝如下：如果"=%+2%+2?%+…+2G*,±e｛0,1｝,

1=0,1,2,…，左，贝！J4〃=%0+%2g2T—1乙夕.

(1)求。7和。8(用9表示)；

⑵令3=%一,证明：Z々=。2，_；

Z=1

⑶若l<q<2,证明：对于任意正整数〃，存在正整数加，使得+1.

4.(2024・天津・一模)若某类数列｛风｝满足“V〃22,N>2,且%r0”(〃eN*),则称这个数列｛6｝为“G型

an-\

数列”.

⑴若数列｛氏｝满足％=3,。"。向=3?"",求a2,a3的值并证明：数列｛%｝是“G型数列”；

(2)若数列｛%｝的各项均为正整数，且q=l,｛%｝为“G型数列"，记6”=。“+1,数列｛"｝为等比数列，公比乡

为正整数，当也｝不是“G型数列”时，

⑴求数列｛。“｝的通项公式；

、小

(ii)求4证：ES-1^<n55/VzeN)■

k=lakak+\12

5.(2024・高三・浙江•阶段练习)在平面直角坐标系无Qv中，我们把点(了,顼％”^称为自然点.按如图所示的

规则，将每个自然点(xJ)进行赋值记为尸(X3),例如尸(2,3)=8,尸(4,2)=141(2,5)=17.

%

7-,H®-

争,

6-

®，->T

5--,^

皎®

4-

①-(,e>

3-®43)--J--

⑥©4®-

2--

(4)-⑥-

rz

1-(2)-^

o--©

.,，.

O1234567人

⑴求尸(x,l)；

(2)求证:2尸(x,y)=P(x-l,y)+P(x,y+1)；

(3)如果尸(x,y)满足方程P(x+1/-1)+尸(尤4+1)+尸(x+l,y)+P(x+l,y+1)=2024,求P(x,y)的值.

6.(2024•内蒙古包头・二模)已知数列｛%｝为有穷数列，且。“wN*,若数列｛%｝满足如下两个性质，则称数

列｛4｝为加的上增数列：

①％+&+%+…+。〃-m；

②对于1口</。，使得%<%的正整数对(/,7)有无个.

⑴写出所有4的1增数列；

⑵当〃=5时，若存在加的6增数列，求加的最小值.

7.(2024•河南郑州•二模)已知数列｛叫为有穷数列，且。“eN*,若数列｛叫满足如下两个性质，则称数列｛叫

为机的左增数列：①为+%+%+…+%=〃?；②对于使得％的正整数对力有左个.

⑴写出所有4的1增数列；

(2)当〃=5时，若存在机的6增数列，求加的最小值；

(3)若存在100的后增数列，求k的最大值.

8.(2024・安徽黄山•一模)随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛.差分和差分方程是描述离

散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用.对于数列｛%｝,规定於。"｝为数列｛%｝的一阶差分数列，其中

2

M--eN*),规定｛3“｝为数列｛%｝的二阶差分数列，其中A«„=Aa„+1-A«„(WeN,).

(1)数列｛%｝的通项公式为a”=/(〃eN*),试判断数列｛△凡｝,｛於凡｝是否为等差数列，请说明理由？

(2)数列｛log/J是以1为公差的等差数列，且。>2,对于任意的〃eN*，都存在meN*，使得

求。的值；

(3)各项均为正数的数列匕｝的前"项和为S"，且｛Ac„｝为常数列，对满足m+n=2t,m^n的任意正整数m,n,t

都有c,“wc“，且不等式与+S,>25,恒成立，求实数2的最大值.

9.(2024・北京门头沟•一模)已知数列{an}:al,a2,---,aM,数列也}：4也,…也，其中M>2,且

i=.记{a„},{bn}的前〃项和分别为S“，匕,规定及=4=0.记

S={SJ-Sl\i=W,--,M-j=\,2,--,M,且i<j},T={Tj-T,\i=Q,l,2,-,M-,j=l,2,---,M,且i<j}.

⑴若{叫:2,1,3,{6„}:1,3,3,写出S,T.

(2)若$={2,3,5,6,8},写出所有满足条件的数列{a,,},并说明理由；

⑶若<a,.+1,Zj;<Z?;+1(z=l,2,---,M-l),a2>b2,且S=T.证明：3ze,使得bt=aM-ax.

10.(2024・河南•一模)在正项无穷数列｛%｝中，若对任意的“eN*，都存在meN*,使得。/通加=(%+„,『，

则称｛%｝为加阶等比数列.在无穷数列也,｝中，若对任意的〃eN*,都存在seN*,使得b“+>+浏=2b,

则称｛4｝为加阶等差数列.

77

(1)若｛。“｝为1阶等比数列，(Zj+a+a=—,a3+a4+a5=—,求｛%｝的通项公式及前“项和；

23416

(2)若｛%｝为加阶等比数列，求证：｛In%｝为加阶等差数列；

(3)若｛。“｝既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明：｛4｝是等比数列.

11.(2024•吉林白山，二模)已知数列｛4｝的前"项和为5"，若数列｛。"｝满足：①数列｛%｝项数有限为N；②

N

%=0;③^㈤句，则称数列｛%｝为“N阶可控摇摆数列”.

i=l

(1)若等比数列｛%｝(1<H<10)为“10阶可控摇摆数列"，求｛«„｝的通项公式；

(2)若等差数列｛%｝(14〃42%meN*)为“2机阶可控摇摆数列"，S.am>am+l,求数列｛%｝的通项公式；

N

(3)已知数列｛%｝为“N阶可控摇摆数列”，且存在使得2同=2S“，探究：数列｛5｝能否为"N阶

1=1

可控摇摆数列"，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.

12.(2024•高三・贵州贵阳•开学考试)牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解

方程的方法.比如，我们可以先猜想某个方程/'(x)=0的其中一个根『在x=x。的附近，如图所示，然后在

点(%,处作了(尤)的切线，切线与x轴交点的横坐标就是为，用为代替毛重复上面的过程得到巧；一

直继续下去，得到吃,为，/，……，x„.从图形上我们可以看到毛较迎接近『，得较4接近『，等等.显

然，它们会越来越逼近于是，求『近似解的过程转化为求当,若设精度为£,则把首次满足k-七」<£

的x”称为，的近似解.

已知函数/=/+(a-2)x+a,aeR.

(1)当。=1时，试用牛顿迭代法求方程/'(x)=0满足精度£=0.5的近似解(取/=-1,且结果保留小数点后第

二位)；

(2)^/(x)-x3+x2lnx>0,求。的取值范围.

13.(2024•高二・广东•阶段练习)关于x的函数/■(x)=lru+2x-6(6>2),我们曾在必修一中学习过“二分法

求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法——“牛顿切线法”.

⑴证明：/(x)有唯一零点。，且。€(1力)；

(2)现在，我们任取匹e(1,°)开始，实施如下步骤：

在(再,[(再))处作曲线/⑺的切线，交x轴于点伍,0)；

在值,/(%))处作曲线f(力的切线，交无轴于点值,0)；

在处作曲线/(x)的切线，交无轴于点(当+“0)；

可以得到一个数列｛%｝,它的各项都是f(x)不同程度的零点近似值.

⑴设x“+i=g(%),求g(x“)的解析式(用马表示xn+1);

(ii)证明：当X]e(1,。)，总有xn<xn+l<a.

14.(2024・高三•山西吕梁•阶段练习)三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数=的图象

恰如其形，因而得名三叉戟函数，因为牛顿最早研究了这个函数的图象，所以也称它为牛顿三叉戟.已知函

数〃=的图象经过点(2,8),且/■(-2)=0.

⑴求函数/(x)的解析式；

(2)用定义法证明：/'(x)在(-双0)上单调递减.

,、\a^a>b,/、\b,a>b,

15.(2024•河南信阳一模)定义：max｛a,b｝=\k入已知数列｛%｝满足

[b,a<b,[a,a<b,

an+min｛a„+1,a,2+2｝=max｛a„+1,a„+2｝.

(1)若%=2,%=3,求％,%的值；

(2)若V"eN*,三左eN*,使得％4知恒成立.探究：是否存在正整数小使得<=。，若存在，求出p的可

能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；

(3)若数列｛%｝为正项数列，证明：不存在实数4使得V"eN*,a“V/.

16.(2024•高三・江苏镇江•开学考试)对于数列｛%｝(〃€N*),记称数列｛A4｝为数列｛叫的一

阶差分数列；记称数列｛"与｝为数列｛%｝的二阶差分数列，…，一般地，对于

keN,记A"%=A(A%.)=规定：称｛△%“｝为数列｛%｝的左阶差分数

列.对于数列｛《,｝,如果屋氏="片0("为