2025年新高考数学复习压轴题讲义：函数与导数下的新定义（七大题型）

专题02函数与导数下的新定义

【题型归纳目录】

题型一：曲率与曲率半径问题

题型二：曼哈顿距离与折线距离

题型三：双曲正余弦函数问题

题型四：凹凸函数

题型五：二元函数问题

题型六：切线函数新定义

题型七：非典型新定义函数

【方法技巧与总结】

1、函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考

生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重

点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸.

2、设？(国,必),°(工2，>2)为平面上两点，贝!1定义民一国|+民一%|为''折线距离”“直角距离”或“曼哈

顿距离”,记作d(P,Q)=\x2-xj+\y2-y-\-

结论1：设点为直线/：Zx+3v+C=0外一定点，。为直线/上的动点，则

+为0+。|

max{|^|,|J8|)

结论2：设点尸为直线Zx+3v+G=0上的动点，点。为直线ZX+BV+C2=0上的动点，则

IG-Gl

”(P,O)min=

max{|^|,|5|)

【典型例题】

题型一：曲率与曲率半径问题

【典例1-1】(2024・高三・重庆•阶段练习)定义：若”(x)是〃(x)的导数，〃'(x)是//(x)的导数，则曲线y=〃(x)

K=—刈—(兀、(O

在点(x,/z(x))处的曲率,；已知函数/(x)=e，sm|彳+x|,g(x)=x+(2a-l)cosx,a<-,

[l+["(x)]一『<2)I2)

曲线y=g(x)在点(0,g(0))处的曲率为Y2；

4

⑴求实数a的值；

JT

(2)对任意尤e-~,0，叮(x)Ng'(x)恒成立，求实数他的取值范围;

[冗jr

(3)设方程f{x)=g'(x)在区间[2〃兀+§,2〃兀+万"©河^内的根为玉,马,…,％,,…比较%+1与％,+2兀的大小,

并证明.

【解析】(1)由已知g'(x)=-(2a-1)sinx+1,g"(x)=-(2a-1)cosJC,

12aM6

所以,、2—4，解得。=0(a=1舍去)，

(1+4

所以a=0；

(2)由(1)得g(x)=x—cosx,/(x)=exsin^+x^=ercosx,

则g'(x)=l+sinx,

对任意的-pO,mf(x)-gr(x)>0,即mexcosx-sinx-l20恒成立,

qr

令■*=一一，贝I|加•0+1-1=020,不等式恒成立，

2

当xe(-士时，cosx>0,原不等式化为机2半小，

ecosx

令Mx)=生”

(cosx)excosx-ex(cosx-sinx)(sinx+1)

ecosx

1-sinxcosx-cosx+sinx_(l-cosx)(l+sinx)

excos2xexcos2x

所以g)在区间卜别单调递增，所以3)」(。)=1,

所以“7W7,

综上所述，实数m的取值范围为［1,+⑹；

(3)%+1>当+2兀，证明如下：

由己知方程/可化为/cos%-sinx-1=0,

令夕(x)=e，cosx—sinx-l,贝U"(x)=e，(cosx-sinx)—cosx,

(兀兀、

因为工£［2师+］,2加+—I,所以cosx<sinx,cosx>0,

所以”(x)<0,所以夕⑴在区间(2〃兀+：2〃兀+［卜£武)上单调递减,

271

故夕［2〃兀+工］=/〃无+§cos］2孤+工］-sin［2m2_J_e^34

>1/呜V3.^11C

>—eJ---------1>z3+x-------------1>(J,

2222

*(2〃兀+———2<0,

IJTJT\

所以存在唯一X。e[2m+§,2ra1+5J,使得夕(%)=0,

(兀兀、(兀71|

3^,XnGI2〃兀+~,2HJI+—I,%”+i—27i£12+§，2孤+万J，

XM2K

贝！19(X"M-27t)=Q~COS(X„+1-2兀)-sin(x,+i-2兀)一1

=e*"~2ecos4+1_sinxn+1-1

x2e

=e»+i_cosxn+1-e'"cosxn+i

=(e*"L2"-e*+')cos%+]<0=e(x“)

由e(无)单调递减可得x“+「2兀>x.，

所以x“+i>X„+2TI.

【典例1-2】(2024•浙江温州・二模)如图，对于曲线「，存在圆C满足如下条件:

①圆c与曲线r有公共点A,且圆心在曲线「凹的一侧；

②圆C与曲线「在点A处有相同的切线；

③曲线「的导函数在点A处的导数(即曲线r的二阶导数)等于圆c在点A处的二阶导数(已知圆

户

(x-a)2+5-6『=产在点/(%,%)处的二阶导数等于7；_

(6-%)

则称圆C为曲线「在A点处的曲率圆，其半径，称为曲率半径.

(1)求抛物线>=/在原点的曲率圆的方程；

(2)求曲线y=:的曲率半径的最小值；

⑶若曲线〉=e，在国9)和(积/)"产9)处有相同的曲率半径，求证：Xj+x2<-ln2.

【解析】(1)

记=设抛物线y=/在原点的曲率圆的方程为V+(y一可=氏其中b为曲率半径.

故2=心岛J2=。即6=；,

所以抛物线＞=/在原点的曲率圆的方程为/+,一£|=1；

(2)设曲线y=/(x)在(xo，%)的曲率半径为r.则

故曲线y=:在点(%,%)处的曲率半径

2_2

所以产则户=2一§

3

3

\—]

2

x2+X>V2>当且仅当x：=F，即焉=1时取等号,

(XoJX°

故r2五,曲线y=g在点（1,1）处的曲率半径一血.

23

所以2

尸

%一0=r-

2_2<]、

所以户=2下xl+—,解方程可得「=]_

kxo72

1<1Y1

则户=4x；+3>2,当且仅当"=F,即焉=1时取等号,

41x0Jx。

故r2无，曲线y=g在点（1,1）处的曲率半径r=VL

3

（3）法一：函数y=的图象在（x,e，）处的曲率半径「=（六+》,

所以片一%即（「4&+%）=亍，故区&+幻=1.

因为占）％2,所以。力，2，

____3

所以1=（'1+/2）〉’也.2dtit2=2（小2）'=2e"2,

所以再+%<-ln2.

3

法二：函数y=e，的图象在（x,e'）处的曲率半径~（小+1）2,

ex

4x2x

有/=1=e+3e+3+十，

e2x

0101

令:=©2"1出=©2*2,则有％+3%+3+—=Z2+3q+3+—,

hh

贝|J&_%2）卜i+q+3-|=0,故G+q+3—J=0,

\k2J32

因为玉W%，所以％W%2，

所以有°=G+/2+3-；>即涯+3—^-,

令1=麻，贝112/+3-5<0,即0>2「+3/-1=(/+1)2(2/-1),

故/〈；，所以e"*=厢=/<；,即再+%<-ln2；

3

法三：函数尸弁的图象在(无e)处的曲率半径…(j+iy.

ex

故)

42/I4r\2r\2

设g(x)=e铲+e铲，则g，(x)=#一家铲4尸(2eJ),

所以当xe1-8,ln2J时g〈x)<0,当xe^-1ln2,-HX>J时g'(x)>0,

所以g(x)在1-8,-；ln2)上单调递减，在1-；ln2,y)上单调递增，

故有玉<一；ln2<%2，

所以再,一ln2./£(—ln2),

_

要证再+/<ln2,即证再<-In2-x2,

即证8(工2)=8(再)〉8(-加2—％2)将再+工2<-1口2,

下证：当工£1—；ln2,+e)时，有g(x)>g(—ln2—x),

设函数G(x)=g(x)-g(-ln2-x)(其中x>-；ln2),

则G(x)=g[x)+g[—In2_x)=4(2e2「l)e铲—2飞.e一铲〉0,

3I,

故G(x)单调递增，G(x)>G^-1ln2^|=0,

故8(2)>8(-卜2-马)，所以西+%<-山2.

3

法四：函数广弁的图象在(x,e]处的曲率半径…6'+1)2,

ex

后(e2x+lf

有/=1_—L=+3e2x+3+e-2x'

e2x

设力(x)=e4x+3e2x+3+e~2x,

则有/(x)=4e4x+6e2x-=2e-2x[e2x+1)2(2e2x-l),

所以当x£g山2小寸/(x)<0,当x£；ln2,+“1时/(x)>0,

故〃(x)在卜e,-；ln2]上单调递减，在1；ln2,+j上单调递增.

—

故有再〈—ln2<x2,

所以再,一ln2./£(—加21，

要证石+%2<一E2,即证再<-ln2-x2,

即证〃(％2)=〃(石)>〃(—1”2—％2).将西+马<一1口2,

下证：当x£(—gln2,+e]时，有〃(x)>/z(—ln2—x),

设函数〃(工)=〃(%)一力(一1112-工)(其中x>-gln2),

则/r(x)="(x)+/(—ln2—x)=⑹―]“1+/-2“"4:0,

故“(X)单调递增，故gln2]=0,

^/z(x2)>/z(-ln2-x2),所以占+/<-1112.

【变式1-1](2024・高三•浙江宁波・期末)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的

弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线C：V=/(x)上的曲线段方，其弧长为As,当动点从N沿曲线段前

运动到B点时，A点的切线。也随着转动到B点的切线力,记这两条切线之间的夹角为八。(它等于"的倾

斜角与//的倾斜角之差).显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长

越小则弯曲程度越大，因此可以定义K==为曲线段熊的平均曲率；显然当3越接近/,即As越小，K

△s

就越能精确刻画曲线C在点/处的弯曲程度，因此定义心=：三(若极限存在)为曲线C在点

(1+什

/处的曲率.(其中V，分别表示了=/(x)在点/处的1阶、二阶导数)

(1)求单位圆上圆心角为60。的圆弧的平均曲率；

(2)求椭圆;+/=1在］6,；］处的曲率；

⑶定义。(田=；-F为曲线y=/(x)的“柯西曲率”.已知在曲线〃x)=xln尤-2x上存在两点尸(尤।,/(玉))

(1+刈

和0(刈/伉))，且P,Q处的“柯西曲率”相同，求#西+强的取值范围.

71

【解析】⑴%=t=2=1.

1----j___3

「匕一2_16/

故儿儿厂-2,故(㈢149

12V2Ij/'l2^22-^2甘i+t3厂

(3)/(x)-lnx1,f(x)=,故/(#=/11=［lnx)「(3slns)3’其中、二五，

x(i+y)%

令。=而,.=强,则4In%jin%则ln%=_Uj其中＞1(不妨LM)

令Mx)=xlnx,//(x)=l+lnxn。(、)在(0,「递减,在g,+ej递增，故1＞马＞0；

令〃⑴=In&+幻=皿£+1)一^^,

(I)Lt+}Jt+\

则加(。=9二，当"1时，刃'⑴>0恒成立，故皿。在(L+⑹上单调递增，

可得以。)>加⑴=0,即Mt>0,

t+\

故有l(f)=-Int-———>0,

”1)2[Z+lJ

则3)在(1,+8)递增，

又〃⑺=ln2-l,工吗〃⑺=0,故Ing+^2)e(ln2-l,0),

故=4+，2.

【变式1-2](2024・高三・辽宁・期中)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，

曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若/'(X)是/(x)的导函

数，/"(X)是广(尤)的导函数，则曲线了=/(无)在点(xj(x))处的曲率,<一广q

[1+U"

⑴求曲线/'(x)=lnx+x在(1,1)处的曲率&的平方

(2)求余弦曲线行(x)=cosx(xeR)曲率K?的最大值;

【解析】⑴因为〃x)=lnx+x,则尸(x)=：+l,尸（X）T，

，，|/"(1)|11

所以+（1+矫5”

故囱）="=/

157

（2）因为〃（X）=COSX（XER）,贝!J/（X）=-sinx,V（x）=-cosx,

:乂（X）卜cosx|

所以A2一3-3

卜+W（明丁（l+smR3'

22

2cosXCOSX

则K[=7.22=7rrr,

（1+sm2xj（2-cos2xj

令%=2-COS2X，则/K；=2」,

设°（。=丁，则P'0=--------9一

显然当fe[1,2]时，〃⑺<0,p⑺单调递减，

所以P«）nIax=。⑴=1，则K；最大值为1,

所以&的最大值为1.

题型二：曼哈顿距离与折线距离

【典例2-1]（2024•甘肃兰州•一模淀义：如果在平面直角坐标系中，点/,3的坐标分别为（4匕），（%%），

那么称或48）=忖-々|+|必-力为4,8两点间的曼哈顿距离.

⑴已知点乂，生分别在直线x-2y=0,2x-y=0上，点M（0,2）与点V，生的曼哈顿距离分别为必监乂）,

d（M,Nj,求d（M,NJ和d（监生）的最小值；

（2）已知点N是直线x+//+24+1=0化>0）上的动点，点M（0,2）与点N的曼哈顿距离d（M,N）的最小值记

为f（k）,求〃左）的最大值；

（3）已知点M（e*,依），点N（叽〃）（左，m,“eR,e是自然对数的底），当上41时，d（M,N）的最大值为了（如〃），

求/（%"）的最小值.

3

—x+2,x<0

2

【解析】（）（）；

ldMN=H+|y—2|=|J+X—2=<—x+2,04x</,

—x-2,x>4

2

则d（M,Nj>2,即d（M,Nj的最小值为2；

2-3x,x<0

d=|x|+|y-2|=|x|+|2x-2|=<2-x,0<x<1,

3x-2,x>1

则4（四,生经1,即3（〃,生）的最小值为1.

（2）当人221时，d（M,N）=\x\+\y-2\f

点（xj）为直线x+左2V+2左+1=0（左〉0）上一动点，

则当m时+科14+卜

,71

即/的=工+记+2

71I

当公<1时，d(Af,2V)=|x|+-jr-^+—+>|c|+|c+2左+1+2左2^2+2k+\|,

即/（左）=|2左2+2上+1|；

21-,,

-+—+2,^>1

2”+245,

所以/优）二kk，又当左21时,

\lk2+lk+］\,O<k<\

当0〈左<1时，］2左2+2k+1|<5,

所以/(6的最大值为5.

(3)令％=e3贝U左e'=xlnx，0<x<e,

Q(MN)=w-研+k苫-«|=max1|x+xlnx-zn-H|,|x-xlnx-zw+w|j,

☆g(x)=x+xlnx,O〈％We,则g'(x)=2+lnx>0在区间(e'e］内成立,

则g(x)在区间(e-2,e］内单调递增，则-，=g(e-2)<g(x)<g(e)=2e,

令〃(x)=x-xlnx,0<xWe,贝lj=_Inx<0在区间(l,e］内成立，

则力（尤）在区间（Le］内单调递减,则O=〃（e）4Mx）Wg（l）=l,

1

所以/(冽,〃)=max-y-m-n,\2e-m-n\,\-m+n\|,|1-m+A?|

e

1

所以/（加,"）2

2c7,

当加+〃=e——］■且一一—L时，取最小值，

2e22e22

/（加M的最小值e+，y

2e

【典例2-2］（2024・高三•广西防城港•阶段练习）若设M（a,〃）=|"-1|+麻-2|+…+辰-〃|为曼哈顿扩张距离,

它由〃个绝对值之和组成，其中〃为正整数.如：Af（2,6）=|2x-l|+|2x-2|+|2x-3|+|2x-4|+|2x-5|+|2x^6|

⑴若M（1,2）V5,求x的取值范围；

（2）若M（3,2）2机对一切实数x恒成立，设。>0,b>0,且/+62=加+1,求2a+6的最大值.

【解析】（1）依题意，M（l,2）=|x-l|+|x-2|<5,

当x<l时，l-x+2-xW5,解得x2-1,于是一1VX<1,

当时，x-l+2-x=l<5,于是

当x>2时，x-l+x-2<5,解得x<4,于是2<x<4,

所以X的取值范围是{x|-lVxV4}.

⑵M（3,2）=段-1|+段-2|2机对一切实数尤恒成立，

1o

ffi]|3x-l|+|3x-2|>|3x-l-3x+2|=l,当且仅当（3尸1）（3尸2）V0,即:VxV：时取等号，

则加W1,因此片+b2V2,当且仅当加=1时取等号，根据柯西不等式得⑷+⑹伍+心拉小+6）2,

则（2。+9飞10,解得0<2〃+64而，当且仅当a=26=2普时等号成立，

所以当机=1,a=2b•时，2a+6取得最大值Vi6.

【变式2-1]（2024・高三・北京・期中）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼・闵可夫斯基提出

来的.如图是抽象的城市路网，其中线段|/同是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们

只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用4（43）表示，又称“曼哈

顿距离”，即4（40=|/。|+|。冏，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若4（%,乂），8（%,%）,则

4（48）=忖2-无]|+|72fl

⑴①点N（3,5）,5（2-1）,求d（45）的值.

②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程.

⑵已知点8（1,0）,直线2x-y+2=0,求2点到直线的“曼哈顿距离”最小值；

⑶设三维空间4个点为4=（x,,%zJ,"1,2,3,4,且4％,4©{0,1}.设其中所有两点“曼哈顿距离”的

平均值即2,求2最大值，并列举最值成立时的一组坐标.

【解析】⑴①“43）=|3-2|+|5+1|=7；

②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为（xj）,则卜-0|+卜-0|=1,即国+回=1.

（2）设直线2x-y+2=0上任意一点坐标为C（x1,2x1+2）,则d（C,B）=|^-1|+12玉+2|,

当毛<-1时，d（C,5）=—3x1—1,此时d（C,5）>2；

当一1«西41时，d(C,B)=X]+3,止匕时d(C,5)22；

当项〉1时，d(C,B)=3x1+1,此时d(C,5)〉4,

综上所述，d(C8)的最小值为2.

如图，A'B'C'D'—E'F'G'H'为正方体，边长为1，则4对应正方体的八个顶点，

当四个点在同一个面上时,

1+2+1+1+2+14

(i)例如:4,B；C',D',此时7=

63

2+3+1+1+3+2

(ii)例如：A：E',G',C'，此时7=二2；

6

当四个点不在同一个平面时,

2+2+2+2+2+2

(iii)例如:A：C',H：D'，此时d=二2；

6

2+2+1+1+1+25

(iiii)例如：A；B',E；D'，此时7=

63

1+1+2+2+3+15

(iiiii)例如:A：B；E',H'，此时7=

63

1+2+2+3+1+211

(iiiiii)例如:A；B：E',G'，此时7=

66

综上所述,7的最大值为2,例如：4(o,o,o),4(i,o,i),4(U,o),4(o5i,i).

题型三：双曲正余弦函数问题

e+e

【典例3-1](2024•高三・江苏苏州・开学考试)定义：双曲余弦函数cosh(x)=,双曲正弦函数

2

sinh(x)=

2

⑴求函数〉=cosh(2x)+sinh⑴的最小值;

(2)若函数/(x)=log9[cosh(2x)-«sinh(x)]在R上的最小值为-1,求正实数。的值;

sinh（x）1

（3）求证：对任意实数左，关于x的方程,总有实根.

cosh（x）2

【解析】⑴依题意有了=cosh（2x）+sinh（x）=＜号二+三仁

=*y）2+；（ey）+i,

令ye*-er,贝i]y=L2+L+i=Lj+J_1+L.

222（2）8

因为f=e，-b才在R上单调递增，

当X趋近于-CO时，t趋近于-00,当无趋近于+C0时，f趋近于+8,

所以feR,所以当r=-工时，即二=士正时，

24

7

函数>=cosh(2x)+sinh(x)有最小值一

8

(2)函数/(x)=log9［cosh(2x)-asinh(x)］在R上的最小值为-1,

即函数V=cosh(2x)-asinh(x)有最小值［.

2x.-2xa(e*-e-x

因为y=cosh(2x)-4sinh(%)=-------

2

5（e-e-»和「尸）+1

--+1.

8

121Q

因为最小值为《，所以-幺+I=L,解得°=±

9893

所以正实数。的值为1

,、sinh(x)

(3)证明：令P(x)=定义域为R,

COSll(XJ

X-x2x

则M3—e-l__2

e2x+l-1-e2j+l

xjP（_x）=1_zl=lz12=_jp（x）,所以以工）是奇函数，

因为y=e2*是R上的增函数，

所以P（x）=l-齐U在R上单调递增，且当X趋近于+8时，P（x）趋近于1,

所以函数2（X）在R上的值域为，

直线y=foc+：过定点(0,；),

如图所示：无论后取任何实数，直线了=履+；与函数。卜)的图象都有交点,

【典例3-2】(2024•高三・福建宁德•期末)固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691

XX

年，莱布尼茨等得出“悬链线"方程=cM+e-；)，其中。为参数.当。=1时，就是双曲余弦函数coshx=咨匚

2

类似地我们可以定义双曲正弦函数sinhx=q：.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.

(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:sinh2x=.(只写出即

可，不要求证明)；

(2)VXG[-1,1],不等式cosh2x+加coshxNO恒成立，求实数冽的取值范围；

(3)若工£[；,£],试比较cosh(sinx)与sinh(cosx)的大小关系，并证明你的结论.

2x__2x/x_-x\/x.

【解析】(1)sinh(2x)=-----------=------------------------=2sinh(x)cosh(x).

p2xp-2x产ip-x

(2)依题意，Vxe[-1,1],不等式cosh2x+冽coshxNOo------------\-m------——>0,

函数〃=砂在[T」]上单调递增，we[e-1,e],令/=e'+er=〃+L

u

显然函数/=〃+!在[e，l]上单调递减，在[l,e]上单调递增，?e[2,e-'+e],

U

Xe2x+e~2x=(ex+e-x)2-2=Z2-2,于是VXE[—1,1],cosh2x+mcoshx>0-——+-^>0,

22

22

因此X/%£[2,e-i+e],m>--t,显然函数y=：-，在[2,e+e]上单调递减,

当％=2时，>max=T，从而加之-1，

所以实数次的取值范围是加2-1.

兀371..

(3)VXG[—,—],cosh(sinx)>sinh(cosx).

7T3冗pSinxp-sinxcosx_-cosx

依题意，xG[—,—],cosh(sinx)-sinh(cosx)=------------------------------

1

=^-(esinx-ecosx+e-sinx+e-cosx),

当XE[巴,2]时，x~—G[0,7i],sinx-cosx=V2sin(x-—)>0,BPsinx>cosx,

4444

于是es#—e^sx>0,而e-sin、+©一处》>o，因止匕cosh(sinx)—sinh(cosx)〉0,

5兀37i

当XE(一,一]时，cosx<0,则一cosxNcosx,ecosx<e-cosx,

42

即8sx_e—sx«而sinx+因此

e0,eQ-sinx>0,Cosh(sinx)-sinh(cosx)>0,

兀37r.,

于是Vx£[—,—],cosh(sinx)-sinh(cosx)>0,所以cosh(sinx)>sinh(cosx).

42

【变式3-1](2024・上海宝山・模拟预测)在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是

双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：sinh(x)=q^,双曲余弦函数：cosh(x)=q^,(e是

自然对数的底数).

⑴解方程：cosh(x)=2；

(2)写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式：sinh(x+y)=,并证明；

(3)无穷数列｛七｝,ax=a,a„+I=2^-l,是否存在实数。，使得。/?若存在，求出。的值，若不存

在，说明理由.

【解析】⑴由题意得：/+eT=4,即(,)2-4/+1=0,解得：x=ln(2±V3)；

(2)sinh(x+歹)=sinh(x)cosh(歹)+cosh(x)sinh(y)

,x+y_^~x-y

左边二sinh(x+yP)=-------------,

右边

=sinh(x)cosh3+cosh(x)sinh(j;)=Xx工+XJ

2222

+e"_/f_+/f_/-卜_6”丁/+丁一丁丁

=----------------------1---------------------=----------，

442

.'.左边等于右边,即sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)成立

⑶当％=ae[-l,l]时，存在。«。，乃],使得cos6=%

由数学归纳法证明：4,=COS(27。)，证明如下：

1)当”=1时，%=a=cos(2i。)=cos。成立，

2k

ii)假设n=k^,ak=cos(2m6),则％=2履-1=2cos(2--1=cos(2x2-'3)=cos(2%)成立.

综上：a“=cos(2"T。).

ax=ae[-l,l],有。g|Ja2021|.

当q=ae时，由闻＞1,函数cosh（x）=《妥的值域为口,+向，对于任意大于1的实数同,

存在不为0的实数机，使得cosh（加）=闻,类比余弦二倍角公式,猜测cosh（2无）=2cosh2（x）-l.

证明如下：

2cosh=2x——-——-1=-----------1=——----=cosh）.

2

类比％时的数学归纳法，由同=cosh（m）,易证出=2cosh?（加）—1=cosh（2加），a3=cosh（2m）,

=cosh（2n-1m）,

.•.若.*=馍5]1（22°2。机）=：,设f=22。2。加，则cosh⑺解得：e'=2或g，即/=±由2,

In2十口।।1m.-mi（11、

.•.加=±昼五，于是|%|=cosh（加）=---=-22020+22020J.

综上：存在实数。=±522侬+22。2。使得%以=:成立.

2174

【变式3-2]（2024・高三・江苏盐城・期末）悬链线（Ca/e〃sy）指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量

分布）均匀，柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方

程是一个双曲余弦函数，其解析式为与之对应的函数g（x）=三券称为双曲正弦函数,

g(x)

令尸(x)=

/W-

⑴若关于尤的方程尸上（2切+凡24g（x）-5]=0在（0,ln3）上有解，求实数2的取值范围；

⑵已知函数力（》）=--〃吠+4,若对任意的与目-2,2],总存在不同的国广2e[l,+功，使得

g)+g)立,求实数加的取值范围.

xx+x2

2j

【解析】(1)尸⑺=需=矢Ie-l12

-xe2x+l--e2A+l

所以方(%)在R上单调递增,

又尸(-x)=13=-F(x),所以厂(x)是尺上的奇函数，

尸［/(2叫+川22g(x)-5］=0,即尸［/(2切=一尸［22g(x)-5］,

故网/(2x)］=胃5-2磨(x)］,

所以"2x)=5-2Xg(x),所以二芍二=5-2彳三匚，

/\2

e2%+e-2xex-e-x

=5----------=4-

2

在(0,ln3)上单调递增，7{0,1|,力=4-

令，=e“-。一”

所以2在［0,|8)上单调递减,

3

所以2ef—,+«j.

(2)任取项,%2«°，2］,且占＜I2,

~xieX2+e-：一巧

<0,

则小TH)"2~

所以/(同=岂詈在［0,2］上单调递增.

又“X)是偶函数，

2-2

所以xe[-2,2]时〃x)e[〃0),〃2)]=1,专一

所以XW■时，A(x)=x2-mx+4>(4-m)x,当且仅当x=2时取"=",

〃(西)+〃(％2)(4-m)Xj+(4-m)x2

x19x2G[1,+O)),且玉。％2时,-------->-------------=4—m,

玉+%2xl+x2

当再=1,-1时，"㈤+"㈤―一时,皿巫)-+孙

一石+

x2X]+x2

且7="?+”/)在。,+⑹上连续,

1+%

所以g）+“d）的取值范围为（4,+8）,

玉+、2

因为对任意的尤。<-2,2］,总存在不同的网,马€口,+8）,使得“&）+〃&）=/（无0）成立,

I

-e2+e-2-/、

所以1,--—三（4-机,+8）

所以4-根<1,解得m>3,

即加的取值范围为（3,+℃）.

题型四：凹凸函数

【典例4-1】（2024・高三•湖南长沙•阶段练习）设连续函数〃x）的定义域为心力］,如果对于句内任意两数

X，三，都有/1A4/（*）；/（%）,则称〃x）为［。回上的凹函数；若（号斗了?〃/），则

称〃力为凸函数.若〃力是区间［见以上的凹函数,则对任意的项…,与«。肉，有琴生不等式

/代+%+…+与］）/（芯）+/（七）+…+/（.）恒成立（当且仅当再=%=..一旦时等号成立）.

\nJn

⑴证明：〃x）=一一在（0,1）上为凹函数;

1—X

（2）设再,％2,…,>°，〃22,且再+%+…+z=l,求沙=1匕一+*2+…+J的最小值;

］一再］一%］一（

111n

⑶设不公…名为大于或等于1的实数，证明：Q+^+…心".二十^提示:可设彳=炉）

【解析】⑴设VX"2£（（M），

11

则/（石）+/（%）r（再+/2）_J~^11~^2］

2」（T~）—2］再+工2

_1一占+1-％_________2_［（1一项）+（1_%2）］_4（1_%1）（1_.2）

2（1—匹）（1—%2）1_%］+1_x?2（1—芭）（1—%）（1—再+］—^2）

=［（1再）一（12）了‘J

2（1一再）（1_工2）（1一再+1_工2）

所以/（x）=/L在（0,1）上为凹函数.

⑵令g（x）=F，由⑴知〃x）=/L在（0,1）上为凹函数，所以函数g（x）=_L=——-1在（0,1）上也为凹

1—X1—X1—X1—X

函数.

由琴生不等式，得g\+%+…+x“、g(M+g5)+…+心),

\n)n

x,xni

所以沙=L+—+…—,,当且仅当玉时取等号，

]一再l-x2]一玉n-1n

故少的最小值为n.

n-1

(3)设，=炉,因为〃21,所以玉20(7=1,2,3,…,〃)，

111