安徽省卓越县中联盟2024-2025学年高三年级上册11月期中联考数学试题（解析版）

2024-2025学年上学期高三年级期中联考

数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘

贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

(八c)B=\x-<2X<4>

1.已知集合"={"°I2J,则An5=()

A.[0,2]B.[1,2]C.[0,3]D,[2,3]

【答案】A

【解析】

【分析】解指数不等式求出3={x|-IV2},利用交集概念求出答案.

【详解】B={x|2-'<2"<22}={X|-1<X<2},

故AD5=[0,3]1,2]=[0,2].

故选：A

2.若复数z在复平面内对应的点为(1,-JI),则不；=()

ZZ+1

A.一也+匕B,31C一立+匕D.二乌

22224444

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，求出复数z及其共物，再利用复数的乘法、除法运算计算即得.

【详解】依题意，z=l—则三=1+4，zz=(l-V2i)(l+V2i)=3,

1-V2i1V2.

所以----------=-----------1

ZZ+13+144

故选：D

3.已知向量方=(—1,2),B=(2,2),则a在方上的投影向量为()

A.B.(1,1)C.(-1,2)D.(-2,4)

【答案】A

【解析】

【分析】由投影向量的定义代入计算，即可得到结果.

【详解】因为向量方=(—1,2),3=(2,2),

a-bb_-2+4b_O

则,在5上的投影向量为利.付=正义云万=W6=W(2'2)=[5,5j.

故选：A

4.记S“为正项等比数列｛4｝的前〃项和，若$3=3,品=21,则$6=()

A.6B.9C.12D.15

【答案】B

【解析】

【分析】运用等比数列前，项和的性质，即：等比数列依次加项的和仍为等比数列求解即可.

【详解】设正项等比数列｛%,｝的公比为4,

由题意知，＜7*1,

所以乞，S6-S3,原-反成等比数列，

所以⑸-S3)2=§3⑸一$6),即⑸-3)2=3(21-§6),

解得A=9(舍负).

故选：B.

,、sinfx-y)-2sinxcosy

5.若tan(x—y)=3,--~。,------~-=-5,贝!Jtan2y=()

/cos(x-y)—2slnxsiny

【答案】C

【解析】

【分析】根据两角差的正余弦公式化简分式，可求得tan(%+y)的值，再根据

tan2y=tan[(x+y)-(x-y)]结合两角差的正切公式求解出结果.

sinn(x-y)-2sin%cosy-sinxcosy-cosxsiny_-sin(x+y)

【详解】因为

cos(x—y)—2sinxsinycosxcosy-sin%sinycos(x+y)

所以tan(x+y)=5,

又因为tan2y=tan[(x+y)—(x—y)]=t：(：，)=5-3=

L」l+tan(x+y)tan(x-y)1+5x38

故选：C.

6.在VABC中，BD=2BC，AE=//AD,AF=juAC,其中4〃e(0,l),若屉=万户，则

)

c.1-1=1111

A.A/~juB.2+〃=1

2〃口厂尸

【答案】C

【解析】

【分析】由向量的加减及数乘运算即可求解.

【详解】

而=丽+乐=丽+〃布=丽+〃围+丽)=丽+〃(通+彳冠卜丽+〃(通+2函-砌)

=A/uAC+(〃一4〃-1),

1)F=DB+^+AF=-XBC-AB+/AAC=-A.^AC-AB^-AB+ILIAC=^-\)AB+^-A)AC,

—VI—2

因为屁=而，所以“

〃—A/1_]=4_]

所以Aju—u—A,,即7;----=1,

A〃

故选：C

7.若/(%)=log2(4"+l)—〃(X2—%+i)为偶函数，则/(%)()

77

A.有最大值一B.有最小值一C.有最大值2D.有最小值2

44

【答案】D

【解析】

【分析】根据偶函数的定义列出等式即可求解。，利用导数研究其单调性，进而可知其最值.

【详解】/(%)的定义域为R,因为/(%)为偶函数，所以/(-%)=/(%),

即log,(4'+1)_a(尤2+%+1)=log,(4、+1)_a(尤2_尤+1),

整理得2ax+log24*=0,

即2at+2x=0对任意R均成立，所以。=一1,

A2

所以/(x)=log2^4+l)+x-x+l,

1244X-1

当xe(0,+oo)时，/'(%)=-4xln4+2x-l=+2x-l=+2x

(4l+I)ln24、+14T+1

因为xe(0,+oo),所以4*—1>0，所以/(x)>0在(0,+8)恒成立,

所以/(x)在(0,+8)单调递增，又/(幻为偶函数，所以/(%)在(-8,。]单调递减,

所以/(X)min=/(0)=lOg22+l=2,

故选：D.

8.设min｛x,y｝表示实数尤,y中的最小值，若函数=min"/+4%+2,2-尤｝,函数

g(x)=[/(切2一叭力+1有六个不同的零点，则。的取值范围是()

A.(0,2)B.JB]C.(2,4)D.(2,+s)

【答案】B

【解析】

【分析】画出“X)的图象，令〃尤)=心分析出函数>=产一0+1有两个不相等零点,且

/(%)=%和/(x)=/2均有三个根，且根各不相同，所以0益e(O,2),由韦达定理分析得到

由对勾函数单调性得到。的取值范围，验证后得到答案.

令/(%)=/,则函数y=「-0+1至多两个零点”2，

而/(%)=%至多三个根，同理%)=G至多三个根，

要想g(x)=[/(x)T-W(x)+1有六个不同的零点,

需y=/一m+1有两个不相等零点九，不妨设4<L，

且/(%)=%和/(力=t2均有三个根，且根各不相同,

所以.右e(0,2),由韦达定理得GJ=1，八+=a,

显然故

1

故a=q+与+一,e

1

由对勾函数性质得。%+7在4e上单调递减,

h

1r,1c

所以〃=%]■!€1+1,—+2

%I2

△=4—4＞。

故aeQg

此时满足<

故选：B

【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层

函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数,

即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.要得到函数/(x)=sin2x的图象，可将函数g(x)=cos12x+^J的图象(

)

A,以X轴为对称轴进行翻转B.以y轴为对称轴进行翻转

C.绕坐标原点旋转180。D.绕点旋转180。

【答案】ABD

【解析】

【分析】先化简g(x).对于A,以X轴为对称轴进行翻转，则在g(x)的表达式中，X不变，y相反，由

此判断A；对于B,以y轴为对称轴进行翻转，则在g(x)的表达式中，y不变，X相反，由此判断B；

对于C,绕坐标原点旋转180。，则在g(x)的表达式中，X相反，y也相反，由此判断C；对于D,假设

假设g(%)关于点C的对称函数为旗%),则八⑺上任意一点(X,丁)关于点C的对称点在g(x)

上，通过化简即可判断D.

【详解】g(x)=cosl2x+^I=-sin2x,

对于A,将g(x)的函数图象以x轴为对称轴进行翻转，得到函数丁=5吊2%=/(%)的图象，故A正

确；

对于B,将g(%)的函数图象以V轴为对称轴进行翻转，得到函数y=-sin(-2x)=sin2尤=f(x)的图

象，故B正确；

对于C,将g(x)的函数图象绕坐标原点旋转180°，得到函数，=5由(一2幻=-5由2%//(无)，故C错

误；

对于D,假设g(x)关于点的对称函数为h(x),

则h(x)上任意一点(x,y)关于点的对称点['一羽一丁]在g(x)上，

则—y=—sin2(胃—x]],化简得了=-5也2%=/(%),故D正确；

故选：ABD.

10.对任意正整数〃，设a”是使2左-12〃成立的正整数上的最小值，数列｛%,｝的前〃项和为S”，则

()

A.V”wN*,=%B.VneN*,%“=4〃+1

C.a2n-n+1D.S2n=n~+n+l

【答案】BC

【解析】

【分析】由题意可知｛4｝的通项公式，进而可判断A项、B项、C项，由分组求和及等差数列前九项和公

式计算可判断D项.

【详解】由题意知，VneN*，氏是使得左2勺」成立的正整数人的最小值，

2

H+1n-I-1n+1

所以当〃为奇数时，——为正整数，所以(in=f，所以为=一，

2mln22

〃+1n-I-1nri

当〃为偶数时，一不是正整数，所以/in=I"」]+1=3+1，所以。“=一+1,

2mln222

叫，〃为奇数

2

所以4=，

巳+1,伪偶数

12

,__T2Tl-1+12nYY…,T3、L

对于A项，的〃-1=-------------="，a2n=--+l=n+l,所以1。％〃，故A项错庆；

0

2Tl+1+1rLLrt,.

对于项,-2at

B+1=n+1a2„+1=——-——=n+l,所以出〃=2n+i，故B项正确;

0

-

对于C项,2+1=n+1,故C项正确;

a

对于D项，S2n=a｛+a2+a3-\-------1-ct2n-\+a2n=(4+%+Q5H---------1~in-\)+(。2+&+4------a2n)

=(1+2+3+…+“)+[2+3+4+…+(“+l)]="("+l)+"(2+"+D="+2”,故D项错误.

22

故选：BC.

11.已知函数/(%)=炉+加—](。>。)的图像在点,/(%))和5(%2，/(%))(石<七)处的切线斜

率互为相反数，且这两条切线交于点C,则()

A./(x)>1B.+x2>0C./(%)>/(%)D.[4。|>忸(7|

【答案】ACD

【解析】

【分析】选项A,直接判断了(力的单调性，求最值判断即可；

选项B,利用两条切线的斜率之和为相反数建立等式,然后利用基本不等式得到，1-«(%1+犯)>乃铉，

然后根据恒成立求得西的范围即可；

选项c,直接求差并判断差值的正负即可；

选项D,根据弦长公式，然后根据题意比较wa，忸。的长度即可.

【详解】由题可知，f'(x)=e+2ax-1,

当a>0时，显然/'(为单调递增，r(O)=O,

所以,当x<0时，f'M<0,/(x)单调递减;

当x>0时，/⑺>0,〃龙)单调递曾

所以/(力》"0)=1,故选项A正确；

由题可知，/,(X,)+/,(X,)=O,即9+2%一1+e”+2睡一1=0,

由基本不等式可知，炉+e*z>2,e,|+也，因为占<%，所以e"+6^>2)e为+为，

即1—+%2)>4广+-2,

不妨令M+%2=t,

得1-a%>V?-n”+-1<0，

t

令//(?)=e2+at-1,

因为a>0,显然M"=e；+G_l单调递增，〃(0)=0，

所以要使1+必_1<0,贝卜<0,即药+々<0,故选项B错误；

xi%2

1e+e

因为e*+2咐-l+e*+2ax2-1=0,所以。(％+工2)=1-----——，

X|X2x

所以/(jq)-/(x,)=e+竭一石—e一巡+x2=e'-e^+a(%+x,)-(x1-x2)

xx,/e』+/八(、xx/、e'+e而

—c1―e2+(万一%2)1--------(%—%2)=e1—e2一(石一x?)-------

I2J2

x,

%-ixT/、l+e巧

=e1

'1一e、2i-(玉一%)

令M—Xi=m>0,

「1+e-l

则/'(七)一"々)=炉l-em+m—^—,

xx

令g(O=1-e+^e+^,x>0,

显然g(O)=O,g\x)=—^+l,

xx

令G(x)=xe-e+l,x>0,

则G'(x)=xe*,

所以当x>0时，G'(x)>0,G(x)单调递增，所以G(x)NG(0)=0,

Vx_Xi-I

即“(x)=e>0,

所以g(x)=l—在x>0时单调递增，

所以g(x)>g(O)=。,

1+e'"

即1—e"'+mtJ〉0,

2

显然炉>0,

所以1-e机+6子］>0,

即/(%)>/(%),故选项C正确;

设。(％,%)，AC,5C的斜率分别为左左,

则““1+：2一%|，忸［="+:

x2

由于/(x)-e+ax-x(a>0)在(一8,0)单调递减，在(0,+8)单调递增;

所以看<0<%2，

故AC单调递减，单调递增,

显然石<x0<x2,

所以/'(久i)>y0lf(x2')>y0,

所以""1+*

因为/(石)>/(9)，

所以|4C|>|BC|,故选项D正确.

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：选项B,我们需要的是两个切点的横坐标之和的范围，所以需要根据题意建立等

式，

然后出现了炉+e*，利用基本不等式得9+e*22，百工，然后原等式数据代入，即可判断两切点横

坐标之和的范围；

选项C,我们直接求差，里面有参数。，然后利用两切线的斜率关系消参，

1।e也一药

然后化简得/"(xj-/(9)=9l-e当-％)---，然后只需要讨论后面中括号中的正负即

可，换元求解即可；

选项D,弦长公式可以用于计算平面上两点的距离，注意需要斜率存在或者斜率的倒数存在.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

2羽%>1,

12.已知函数/(%)=<2若=则实数机=_____.

-,x<1,

—1

【答案】-1

【解析】

【分析】分〃Z21和相<1两种情况讨论即可.

【详解】当加21时，/(机)=2根=根显然不成立；

2

当“2<1时，f(m)=----=m,解得机=-1或加=2(舍)，

m-1

综上所述：m=-l,

故答案为：-1

13.已知函数/(x)=2sintyx(®>0)在［0,兀］上的最小值为-1,则①=.

7

【答案】一

6

【解析】

7

【分析】求出。无根据最小值得到0兀=；兀，求出答案.

6

【详解】a>>0,xe［o,兀|时,coxG［0,an］,

7

/(%)=251110%3>0)在［0,兀］上的最小值为-1,故。71=_g,

6

7

解得。二一.

6

7

故答案为：—

6

14.已知集合4=｛(阳,)|无3+,3+2»=4｝,集合3=｛(x,y)|N<x+y<"｝,若贝！］"的

最小值为，N的最大值为.

2

【答案】0.2②.-

3

【解析】

【分析】令》+丁=，，孙=应将d+V+z盯=4用，,a表示，由M/求出/的取值范围即可得解.

【详解】令x+y=%，Zy=〃，由％3+,3+2盯=4,得(x+y)3—3町(%+y)+2孙=4,

a2/3—4X+Vo1o

贝U(3f—2)“=/一4,显然/w—,则M=^~而1/=孙<(--)-=-?2,当且仅当x=y时取等

33t—224

号,

户一4'/户一42户+2户一16,八(7—2)(〃+由+8),八

因此-----<—=--------?--<00—：----------V00-——-------------<0,

3t—243t—244(3?-2)4(3/-2)

a-2)(3?-2)<02

而「+4/+8=(/+2)，+4〉0,因此<:八，解得

352/03

22

即§<x+y<2,当且仅当x=y=l时取等号，由得NWg,MN2,

2

所以M的最小值为2,N的最大值为一.

3

故答案为：2；—

3

【点睛】关键点点睛：令x+y=/，孙=〃，将给定等式用表示，再结合基本不等式建立不等关系是

求解关系.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.己知数列｛a“｝满足2aa+i-2an=%,且%=3,其前〃项和记为5“.

(1)求｛qJ的通项公式;

111

(2)记数列(丁］的前〃项和为7；,求证：Tn<—.

【答案】(1)4=〃+1

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据题意可得｛4｝是公差为1■的等差数列，由%=3可得4=2,进而可知公差为1,进而

可写出通项公式;

1

(2)由(1)可写出S〃，进而不的表达式可知，利用裂项求和的的方法即可证明不等式.

【小问1详解】

因为=q,所以a,.一%=^，

所以｛““｝是公差为多的等差数列.

又出=%+与=3,所以q=2,从而公差为1,

所以］〃=2+〃-1=〃+1.

【小问2详解】

5〃=2"+；仆―1)=^^

1_2_2_2<j___1_

2*

Snn+3n〃(〃+3)3(〃〃+3

1111

所以，=------1--------1--------F•••H------

H$2S3Sn

11111111111

乱」+工—।------------1-------------...十---------1-------------------1-----------------

3(4253647n-2〃+In—1〃+2n〃+3

21---M

i+l+l-

323〃+1〃+2〃+3)

111UTI+1I1

~9〃+2〃+3

112(111\11

因为〃£N*，所以-----------+-----+-----<—不等式得证.

93(〃+1〃+2n+3)9

16.已知函数/(%)=猊*+*.

(1)求/(%)的单调区间；

⑵设实数私〃满足加z<0,求/(加)/(“)的最小值.

【答案】()单调递减区间为■和)

1-8,-1(1,+8,单调递增区间为

1-2

(2)--e4

2

【解析】

【分析】(1)求导，分另懈r(x)<0,/'(X)>0进而可得/(X)的单调性.

(2)结合单调性分别可求得/(〃)、/(m)的范围，再结合不等式的性质即可求得结果.

【小问1详解】

由己知得/(%)=+%(—2%+1)尸2+,=(—2/+%+小*+工，

令/'(*)=°，得一2/+%+1=0，解得X]=—g,%=1,.

当x<—g或1>1时，/'(力<0,当—g<x<l时，/,(%)>0,.

所以“X)的单调递减区间为[-00，-；)和(1，+8),单调递增区间为

【小问2详解】

不妨令机>0,孔〈。.

因为当x<0时，〃尤)<0,所以/(〃)<0,

且由(1)可知/(n)>f

1-2

所以—4</(H)<0,

因为当x>0时，f(x)>0,所以〃根)>0,

且由(1)可知/(m)</(1)=1.

所以0</(加)<1,

1.2

所以-万匕4<f(m)f⑻<0,

1_3

故〃冽)/⑺的最小值为—共4.

17.如图，在平面四边形ABC。中，AC与。B的交点为E,DB平分/ADC，AB=BC=CD=2,

AD>2.

E

AfC

B

（1）证明：BD2=2（AZ）+2）；

37rDF

(2)若=叫，求——.

4BE

【答案】（1）证明见解析

⑵A/3+I

【解析】

【分析】（1）由NADB=NCD3可得cos，ADB=cos，CDfi,结合余弦定理证明即可.

(2)由NCD6=NC3。、/ADB=NCBD&AB=CD,AD>5C可证得四边形ABCD是等腰梯形,

AT）

进而可得ZABC=ZBCD,进而可求得NADB,在4ABD中，由正弦定理可得——，再结合AD//BC.

AB

43=5。可得匹=包即可.

BEAB

【小问1详解】

如图,

由题意知NADB=NCDB,贝Ucos，AnB=cos/GDB,

人少+旅-AB?CD。+BD°-BC°

由余弦定理得

2ADBD2CDBD

AD-+BD--4

m即--------------4+：：〉4，整理得池-2）.*=2（A£>2_4）,

2ADBD

因为AD>2,所以5。2=2（，4。+2）.

【小问2详解】

因为6C=CD,所以NCDB=NCBD,

因为NADB=NCD5,所以NADfi=NCB£),所以AD〃BC.

又因为A3=CE>,AD>BC,所以四边形ABC。是等腰梯形，所以NABC=NBCD.

3冗7T

设/ADB=/CDB=/CBD=a,则一+。=兀—2。，解得a=一.

412

.兀.兀兀V6-V2

sin—=sin

123~44

.3兀也

sin

-qzADsin^ABDT

在△ABD中，由正弦定理可得二大=.--2=用1,

ABsin/ADB.兀

sin——V6-V2

124

r)pAriAr)「

又因为AD//BC,所以--------=----=A/3+1.

BEBCAB

18.己知函数〃x)=(x+l)ln(x+l)-ar,aeR.

(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程;

(2)若求。的值;

(3)若/(x)有两个零点xrx2,且"―王|〉e—1,求。的取值范围.

【答案】(1)y=(l-a)x

(2)a=l

e

(3)a>——

e-1

【解析】

【分析】(1)求出/(o)=o,求导得到/'(0)=1-a,利用导数几何意义求出切线方程;

(2)求导，得到函数单调性和最小值，要使小)对恒成立，则需“―e“T20,设姒X)="广。求

导得到其单调性，求出0(x)W0(l)=O,求出解a=l,

(3)易知/(0)=0,不妨设%=0,故/<l-e或马〉e—l,由(2)知，/(尤)的极小值点和单调

性，分。<1和。〉1两种情况，a<1不合要求，。〉1时，结合零点存在性定理和单调性得到只需

/(e-l)<0,得到不等式，求出答案.

【小问1详解】

由已知得/'(x)=ln(x+l)+l—a,.

所以/'(0)=1—a,且/(0)=0,

所以曲线y=/(x)在点(0"(0))处的切线方程为y=(l—a)x.

【小问2详解】

/(兀)=(%+1)111(%+1)-依的定义域为(-1,+8),

因为/f(x)=ln(x+l)+l-a,

al

由/■'(%)=(),^x=e--1.

当—l<x<e“T—l时，r(x)<0,当x>e“T—l时，/'(x)>0,

故/(%)(—l,e“T—1)上单调递减，在(e°T—i,y)上单调递增，

所以/OLn=f(e“TT)=(aT)e--a(e"-1)=a-e1.

要使恒成立，则需a—eoT^O.

设0(x)=x-e"T,则0'(x)=1-e'T,

当XG(—CO,1)时，。(九)>0,

当xe(l,+oo)时,

故0(x)在xe(YO,1)上单调递增，在xe(1,+8)上单调递减，

所以0(x)W0(l)=O,即a—/一1<0,仅当a=1时等号成立.

所以a—e"T20的解为a=l，

故a=1.

【小问3详解】

易知/(0)=0,不妨设玉=0,

则,_%J>e_l,即同〉e-l,所以％2<l—e或马>e—l.

由⑵知，〃尤)的极小值点为x0=e"T-l,“X)在(―1,%)上单调递减，

在(％,+8)上单调递增，

当a<l时，不<0,此时若马存在，则必有We(一l,%o),不符合题意.

当a>l时，/〉0,所以/■(%0)</(0)=0,/(e"—l)=ae“—a(e"—l)=a>0,

所以/(%)在(%,+8)上一定存在一个零点马.

要使X2〉e—1,由单调性可知，只需/(e-l)<0,

即e—a(e—1)<0,解得a〉---.

e-1

【点睛】关键点点睛：第三问，先观察出/(。)=0,去掉一个参数，得到％<l-e或％2〉e-1.再结

合函数的极值点和单调性，分。<1和a>l两种情况进行分析，求出结果.

19.过点（1,0）作曲线。：y=/«>1）的切线，切点为A，A在x轴上的射影为耳，过耳作c的切线,

切点为a，4在X轴上的射影为与，再过当作c的切线……每次作的切线斜率均大于0,像这样重复

操作，得到一系列点A,a，4,…，设AS=123,…）的横坐标为%.

（1）若/=