阿基米德三角形（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点31阿基米德三角形【六大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1弦长与弦所在方程问题】...............................................................2

【题型2定点问题】...........................................................................3

【题型3切线垂直问题】.......................................................................4

【题型4切线交点及其轨迹问题】...............................................................5

【题型5面积问题】...........................................................................7

【题型6最值问题】...........................................................................8

►命题规律

1、阿基米德三角形

阿基米德三角形是圆锥曲线的重要内容，圆锥曲线是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来

看，阿基米德三角形的考查频率变高，在各类题型中都有可能考查，复习时要加强此类问题的训练，灵活

求解.

►方法技巧总结

【知识点1阿基米德三角形】

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.如图.

性质1阿基米德三角形的底边43上的中线〃0平行于抛物线的轴.

性质2若阿基米德三角形的底边过抛物线内的定点C,则另一顶点。的轨迹为一条直线，该直线

与以C点为中点的弦平行.

性质3若直线/与抛物线没有公共点，以/上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点（若直线/

方程为：ax+by+c=O,则定点的坐标为C（，-号）.

加

性质4底边N3为。的阿基米德三角形的面积最大值为钎.

性质5若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点。的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小,

最小值为p2.

►举一反三

【题型1弦长与弦所在方程问题】

【例1】（23-24高二下•河南开封•期末）阿基米德（公元前287年一公元前212年）是古希腊伟大的物理

学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点4

B处的切线交于点P,称△PAB为“阿基米德三角形”，当线段4B经过抛物线焦点F时，△P4B具有以下特征:

（1）P点必在抛物线的准线上；（2）4P48为直角三角形，且PA_LP8；（3）PF14B.已知过抛物线/=16y

焦点的直线】与抛物线交于4B两点，过点4B处的切线交于点P,若点P的横坐标为2,则直线4B的方程

为（）

A.%+2y-8=0B.%—2y+8=0

C.x—4y+16=0D.x+4y-16=0

【变式1-1]（2024・陕西西安•二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、

数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点/,3处的

切线交于点尸，称三角形以2为“阿基米德三角形”.已知抛物线C/二切的焦点为尸，过/,2两点的直

线的方程为Bx-3y+6=0,关于“阿基米德三角形”△/3,下列结论不正确的是（）

,29

A.\AB\=票B.PA1PB

C.PF1ABD.点P的坐标为（百,—2）

【变式1-2]（23-24高二上・重庆・期末）阿基米德（公元前287年〜公元前212年）是古希腊伟大的物理学家,

数学家和天文学家，并享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基米德定理.在该

定理中，抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”.若抛物线上任意两点

4B处的切线交于点P,则△PAB为“阿基米德三角形”，且当线段4B经过抛物线的焦点F时，4B具有以

下特征：（1）P点必在抛物线的准线上；（2）PA_LP8；（3）PF_L4B.若经过抛物线产=8x的焦点的

一条弦为4B,“阿基米德三角形”为△P4B,且点P在直线久-y+6=0上，则直线力B的方程为（）

A.x—y—2=0B.x—2y—2=0

C.%+y—2=0D.%+2y—2=0

【变式1-3]（2024高三・全国•专题练习）力B为抛物线炉=2py（p>0）的弦，4（勺,当），人孙九）分别过4B

作的抛物线的切线交于点M（右,%），称aAMB为阿基米德三角形，弦力B为阿基米德三角形的底边.若弦48

过焦点F,则下列结论错误的是（）

A.%i+%2=2%o

B.底边力B的直线方程为比-p(y+y。)=0；

C.AAMB是直角三角形；

D.△力MB面积的最小值为2P2.

【题型2定点问题】

【例2】(23-24高二下•安徽•开学考试)抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为“阿基米

德三角形”.对于抛物线C：y=a/给出如下三个条件:①焦点为尸(0，)；②准线为y=-玄③与直线2y-1=

。相交所得弦长为2.

(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C的方程；

(2)已知△力BQ是(1)中抛物线的“阿基米德三角形”，点。是抛物线C在弦N8两端点处的两条切线的交点，

若点。恰在此抛物线的准线上，试判断直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明

理由.

【变式2-1](2024・湖南•三模)己知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为R过尸且斜率为2的直线与£交

于8两点，|力切=10.

(1)求E的方程；

(2)直线/:久=-4,过/上一点尸作E的两条切线PMPN,切点分别为N.求证：直线MN过定点，并求出

该定点坐标.

【变式2-2](2024•甘肃兰州•一模)已知圆C过点P(4,l),M(2,3)和N(2,-1),且圆C与y轴交于点尸，点尸

是抛物线E:/=2py(p>0)的焦点.

(1)求圆C和抛物线E的方程；

(2)过点P作直线I与抛物线交于不同的两点4B,过点4B分别作抛物线E的切线，两条切线交于点Q,试

判断直线QM与圆C的另一个交点D是否为定点，如果是，求出。点的坐标；如果不是，说明理由.

【变式2-3](2024・辽宁•三模)设抛物线C的方程为y?=4%,M为直线=->0)上任意一点；过点

M作抛物线C的两条切线M4,MB,切点分别为4,B(4点在第一象限).

(1)当”的坐标为(―1,|)时，求过A,3三点的圆的方程；

⑵求证：直线恒过定点；

(3)当加变化时，试探究直线/上是否存在点使△MAB为直角三角形，若存在，有几个这样的点，说明

理由；若不存在，也请说明理由.

【题型3切线垂直问题】

【例3】(23-24高二上•安徽蚌埠•期末)已知抛物线C的方程为久2=4y,过点P作抛物线C的两条切线，切

点分别为4

(1)若点P坐标为(0,-1),求切线P4PB的方程；

(2)若点P是抛物线C的准线上的任意一点，求证：切线P4和PB互相垂直.

【变式3-1](23-24高二上•河南驻马店•期末)己知尸是抛物线=4支的准线上任意一点，过点尸作抛

物线C的两条切线P4PB,切点分别为4B.

(1)若点尸纵坐标为0,求此时抛物线C的切线方程；

(2)设直线P4PB的斜率分别为七,心，求证：自・卜2为定值.

【变式3-2］（23-24高二上•安徽蚌埠•期末）已知抛物线C的方程为d=4y,点P是抛物线C的准线上的任

意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为4B,点M是AB的中点.

（1）求证：切线P4和PB互相垂直；

（2）求证：直线PM与y轴平行；

（3）求aPAB面积的最小值.

【变式3-3］（23-24高三下•江西景德镇•阶段练习）已知椭圆的：9+1=1,抛物线。2与椭圆的有相同的焦

点，抛物线。2的顶点为原点，点P是抛物线C2的准线上任意一点，过点P作抛物线。2的两条切线以、PB,其

中/、2为切点，设直线B4,PB的斜率分别为自，k2.

（1）求抛物线C2的方程及心心的值;

（2）若直线交椭圆C1于C、。两点，Si、S2分别是△PAB、△PCD的面积，求号的最小值.

白2

【题型4切线交点及其轨迹问题】

【例4】（2024•辽宁沈阳•模拟预测）已知抛物线E：好二？不过点7（1,1）的直线与抛物线£交于4,8两

点，设抛物线£在点N,8处的切线分别为匕和办，已知人与x轴交于点跖％与x轴交于点N,设％与%的

交点为P.

(1)证明：点尸在定直线上；

(2)若△P"可面积为争求点尸的坐标；

(3)若尸，M,N,T四点共圆，求点尸的坐标.

【变式4-1](24-25高三上•云南•阶段练习)已知点P(x(),yo)是抛物线俨=2px(p>0)上任意一点，则在点

P处的切线方程为yoy=P(久+&)・若/，B是抛物线Co：y2=ax(a>0)上的两个动点，且使得在点/与点

8处的两条切线相互垂直.

(1)当a=6时，设这两条切线交于点。，求点0的轨迹方程；

(2)(i)求证：由点4,3及抛物线Co的顶点所成三角形的重心的轨迹为一抛物线的；

(ii)对的再重复上述过程，又得一抛物线C2，以此类推，设得到的抛物线序列为的，C2,心，…，Cn,试

求C“的方程.

【变式4-2](2024•广西•二模)已知抛物线C:/=y,过点E(0,2)作直线交抛物线C于4,2两点，过

B两点分别作抛物线C的切线交于点P.

(1)证明：尸在定直线上；

(2)若下为抛物线C的焦点，证明：Z.PFA=Z.PFB.

【变式4-3](2024・上海•三模)已知抛物线=2y的焦点为尸，过点7(1,1)的直线/与「交于/、3两点.设

「在点/、2处的切线分别为人，12,人与x轴交于点M,L与x轴交于点N,设匕与G的交点为2.

（1）设点N横坐标为0,求切线匕的斜率，并证明FM1。；

（2）证明：点P必在直线y=久一1上；

（3）若尸、M、N、T四点共圆，求点尸的坐标.

【题型5面积问题】

【例5】（23-24高三上•河南濮阳•阶段练习）我们把圆锥曲线的弦与过弦的端点/,8处的两条切线所

围成的三角形△P4B（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”.抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”,

当线段经过抛物线的焦点厂时，△P4B具有以下性质：

①尸点必在抛物线的准线上；

@PA1PB；

@PF1AB.

已知直线Z:y=kQ—1）与抛物线y2=©交于/,B点、,若|4B|=8,则抛物线的“阿基米德三角形”△P4B

的面积为（）

A.8&B.4V2C.2V2D.企

【变式5-1]（2024•山西•模拟预测）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德

三角形，过抛物线焦点尸作抛物线的弦，与抛物线交于4B两点，分别过4B两点作抛物线的切线匕，12

相交于点P,那么阿基米德三角形P4B满足以下特性：①点P必在抛物线的准线上；②△P4B为直角三角形,

且N力PB为直角；③PF1AB,已知P为抛物线产=”的准线上一点，则阿基米德三角形P4B面积的最小值为

（）

11

A.-B.-C.2D.1

24

【变式5-2](2024•河北秦皇岛•二模)已知抛物线E：久2=2y的焦点为F,点P是x轴下方的一点，过点P

作E的两条切线匕,。，且匕,％分别交工轴于MN两点.

(1)求证：F,P,M,N四点共圆；

(2)过点F作y轴的垂线/,两直线匕,％分别交/于4B两点，求△P4B的面积的最小值.

【变式5-3](2024•河南•模拟预测3在直角坐标系xOy中,已知方=(4,y),1=(%,—y),且益工=0.

(1)求点MQ,y)的轨迹「的方程；

(2)由圆％2+y2=R2上任一点N(久0，处)处的切线方程为Xox+yoy=R2,类比其推导思想可得抛物线C：产=

2PMp>0)上任一点NOo，yo)处的切线方程为yoy=p(x0+x).现过直线x=-3上一点P(不在x轴上)作「

的两条切线，切点分别为Q,R，若PQ,PR分别与%轴交于Qi，&，求等也的取值范围.

bgQR

【题型6最值问题】

[例6](23-24高三・云南昆明•阶段练习)过抛物线V=2Px(p>0)的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于

A,B两点,分别过4B两点作抛物线的切线匕，%相交于点P，4PAB又常被称作阿基米德三角形.△PAB的

面积S的最小值为()

A.9B.『C.p2D.V2p2

【变式6-11(23-24高三上•湖南长沙•阶段练习)4B为抛物线丁=2py(p>0)的弦,4(町而,B(x2,y2)

分别过4B作的抛物线的切线交于点MQo，y0)，称aAMB为阿基米德三角形，弦4B为阿基米德三角形的底

边.若弦过焦点F,则下列结论正确的是()

A.%i+%2=2%o

B.底边的直线方程为光0%—p(y+y0)=。；

C.△4MB是直角三角形；

D.△4MB面积的最小值为2P2.

【变式6-2](2024・云南曲靖•一模)已知斜率为1的直线人交抛物线E:久2=2py(p>0)于4、B两点，线段

的中点Q的横坐标为2.

(1)求抛物线E的方程；

(2)设抛物线E的焦点为F,过点F的直线G与抛物线E交于M、N两点，分别在点M、N处作抛物线E的切线，

两条切线交于点P，则△PMN的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线%的方程;

若不存在，请说明理由.

【变式6-3](2024•河北•模拟预测)已知抛物线C:/=2py(p>0),过点P(0,2)的直线，与C交于A,8两点,

当直线/与y轴垂直时，04L0B(其中。为坐标原点).

(1)求C的准线方程；

(2)若点A在第一象限，直线I的倾斜角为锐角，过点4作C的切线与y轴交于点T,连接TB交C于另一点为D,

直线力。与y轴交于点Q,求^力「(?与44D7面积之比的最大值.

►过关测试

一、单选题

1.(2024•吉林白山•二模)阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，

如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆惟曲线中，称圆锥曲线的弦与过弦

的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线C:y2=8%的焦点为F,顶点为。，斜率为

g的直线2过点尸且与抛物线C交于MN两点，若△PMN为阿基米德三角形，则|OP|=()

A.VTTB.2V3C.V13D.V14

2.(2024•青海西宁•二模)抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形.阿

基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值.设

抛物线y2=2Px（p>0）,弦过焦点，为阿基米德三角形，则△NB。的面积的最小值为（）

A.yB.p2C.2P2D.4P2

3.（23-24高二•全国•课后作业）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德

三角形，其中抛物线中的阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的

两条切线的交点在其准线上.设抛物线>2=2px（p>0）,弦ZB过焦点F,△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ

为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.随着点A,B位置的变化，前三种情况都有可能

4.（2024・河北•三模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学

发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质.已知抛物

线V=4x,过焦点的弦ZB的两个端点的切线相交于点M,则下列说法正确的是（）

A.M点必在直线x=-2上，且以为直径的圆过M点

B.M点必在直线x=-l上，但以AB为直径的圆不过M点

C.M点必在直线x=-2上，但以为直径的圆不过M点

D.M点必在直线x=-1上，且以4B为直径的圆过M点

5.（23-24高三上•河南濮阳•阶段练习）我们把圆锥曲线的弦N3与过弦的端点8处的两条切线所围成

的三角形△P4B（尸为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”.抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当

线段43经过抛物线的焦点厂时，aPAB具有以下性质：

①尸点必在抛物线的准线上；

@PA1PB；

③PF1AB.

已知直线〃y=k（x—1）与抛物线y2=4x交于B点、,若|4B|=8,则抛物线的“阿基米德三角形”△P48

顶点P的纵坐标为（）

A.±1B.±2C.±3D.±|

6.（23-24高三・云南昆明•阶段练习）过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作抛物线的弦与抛物线交于力、B

两点，M为力B的中点，分别过4B两点作抛物线的切线4、b相交于点PAPAB又常被称作阿基米德三角形.

下面关于△PAB的描述：

①P点必在抛物线的准线上;

@AP1PB；

„2

③设力01，为）、5（x2,y2）,则aPAB的面积S的最小值为三；

@PF1AB；

⑤PM平行于%轴.

其中正确的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

7.（2024高三•全国•专题练习）已知抛物线r：x2=8y的焦点为F,直线I与抛物线「在第一象限相切于点P,

并且与直线y=-2和x轴分别相交于3两点，直线尸尸与抛物线「的另一个交点为。.过点8作8C〃AF

交尸尸于点C,若|PC|=|QF|,则|PF|等于（）

附加结论：抛物线上两个不同的点/,2的坐标分别为力（久口乃），8（X2,、2），以/，3为切点的切线以，PB

相交于点P,我们称弦AB为阿基米德△P4B的底边.

定理：点尸的坐标为（手,詈）；

推论：若阿基米德三角形的底边即弦N3过抛物线内定点C（0,m）（ni>0）,则另一顶点尸的轨迹方程为y=-

m.

A.^5—1B.2+V5C.3+V5D.5+

8.（2024・云南昆明•模拟预测）阿基米德（公元前287年〜公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数

学家和天文学家.他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号.抛物线的弦与

过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.如图，apaB为阿基米德三角形.抛物线/=

2py（p>0）上有两个不同的点4（久1，乃）,8。2，丫2），以48为切点的抛物线的切线P4PB相交于尸.给出如下

结论，其中正确的为（）

（1）若弦4B过焦点，则△A8P为直角三角形且乙4P8=90°；

（2）点P的坐标是（中,等）；

（3）△P4B的边力B所在的直线方程为（巧+冷）龙-2py—久i比2=。；

（4）△248的边力8上的中线与7轴平行（或重合）.

A.(2)(3)(4)B.(1)(2)

C.(1)(2)(3)D.(1)(3)(4)

二、多选题

9.（2024・山东•模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已

知抛物线C:/=8y,阿基米德三角形P4B,弦4B过C的焦点F,其中点力在第一象限，则下列说法正确的是

（）

A.点P的纵坐标为一2B.C的准线方程为x=—2

C.若|AF|=8,则力B的斜率为遍D.△P4B面积的最小值为16

10.（2024•湖南长沙•二模）过抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点厂的直线与抛物线C相交于/,3两点,

以4,8为切点作抛物线。的两条切线mi2,设①%的交点为"，称△/龙归为阿基米德三角形.则关于阿

基米德三角形下列说法正确的有（）

A.是直角三角形

B.顶点”的轨迹是抛物线C的准线

C.儿田是的高线

D.面积的最小值为2P2

11.（23-24高三下•湖南长沙•阶段练习）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德

三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力.设4B是抛物线C:/=4y上两个不同的

点，以4句,乃）,8（久2，＞2）为切点的切线交于。点.若弦48过点/。，1），则下列说法正确的有（）

A.x1x2=-4

B.若工i=2,则4点处的切线方程为x—y—1=0

C.存在点P,使得方•丽＞0

D.△P4B面积的最小值为4

三、填空题

12.（2024高三・全国・专题练习）抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角

形.设抛物线为俨=4心弦N3过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△4BQ的面积的最小值为.

13.（24-25高二上•上海・单元测试）我们把圆锥曲线的弦N3与过弦的端点N、3处的两条切线所围成的APAB

（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”.抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段经过抛

物线的焦点尸时，△P4B具有以下性质：

①尸点必在抛物线的准线上；②PA1PB；③PF14B.

已知直线l：y=k（x-1）与抛物线y2=4x交于/、B两点，若|4B|=8,则抛物线的“阿基米德三角形"△PAB

的顶点P的坐标为.

14.（23-24高三下•江西•阶段练习）圆锥曲线。的弦与过弦的端点/,3的两条切线的交点P所围成

的三角形为8叫做阿基米德三角形，若曲线C的方程为d=4y,弦48过C的焦点/，设力（亚,yj,8（X2，%），

POoJo），则有无0=空，即=等，对于C的阿基米德三角形以3给出下列结论：①点尸在直线y=—1

上；②kpA-kpB=l;③kpA+kpB=0;@|PF|2=\FA\\FB\,其中所有正确结论的序号为.

四、解答题

15.（23-24高三上•河北衡水•阶段练习）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的

面积公式5=仍兀，（a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆C：

式+丈=1.

189

⑴求C的面积；

（2）若直线/:x+2y-3=0交C于4C两点,求|A8|.

16.（23-24高二下•重庆•阶段练习）过抛物线外一点P作抛物线的两条切线，切点分别为我们称△P4B

为抛物线的阿基米德三角形，弦与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“冏边形”，且已知“冏边形”的面

积恰为相应阿