《振动力学（第三版）》课件 第3章 多自由度系统振动3

振

动

力

学

电子课件3.3多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统的自由振动的分析主要—环节：求解特征方程（频率方程）的特征解（固有频率）问题。求解方法有：特征多项式求根法；向量迭代法：矩阵迭代法；矩阵变换法：雅可比法，QR法，还有其他近似法：邓柯莱法瑞雷法李兹法振型截断法传递矩阵法（链状结构）3.3.1

邓柯莱法主要思想：应用柔度矩阵求得系统的特征方程为：展开上式：根据多项式的根与系数之间的关系：为取等式左边最大一项保留：这就是邓柯莱公式。注意：（1）的含义：即为解耦为单自由度，系统的自由振动微分方程组中ii方程式：的固有频率为；（2）只求解基频；（3）应用此式得出的值恒低于的精确值。（4）根据应用建立运动方程情况下，那么瑞雷法也可用来表示§4－2

瑞雷法单自由度系统的振动应用机械能守恒定理对于多自由度系统的振动：注意：（1）主振型{A}未知，应假设，假设{A}与真实{A}不接近，误差值即大。（2）假设{A}不是一次，可能要二、三次使其逼近真实{A};（3）一般只求解基频。例4-1已知，求得的精确值为，现用瑞雷法计算。由解：设一列阵则此值与p1值的相对误差：若选取,则计算出此时取计算值中最小的p值注意：计算出的近似值皆高于精确值；从物理意义上看：任选一{A}意味着对系统施加了约束，即增加了系统的刚度，提高了p2；一般计算时可选取几个{A}来求出p2，取最小值；瑞雷法一般只求基频，不求高阶频率值。3.3.2

李兹法瑞雷法与邓柯莱法两者皆只求基频的近似值。李兹法可求前几阶固有频率及主振型的近似解。实质上，它是一种缩减系统自由度数的近似解法。设有一个n个自由度系统，其广义坐标为：q1、q2、.....、qn记为{q}。现采用李兹法时，即使自由度n个缩减到n1（n1<n),令含义：系统由原来独立的n个坐标组成的列阵{q}被强制了，即限制{q}必须是事先选定的n1个列阵{φ1}、{φ2}、.......、{φn}的线性组合，则系统的自由度只表现为n1个新坐标x1、x2、........xn值的组合。李兹法求解步骤：（1）假设振型函数[φ];（2）根据拉格朗日方程建立运动微分方程，即计算广义刚度矩阵广义质量矩阵n1个固有频率：主振型：（6）对应{q}的前n1阶主振型注意：精确值n1个值中。前个或个值比较接近精确值，后面的值误差比较大；欲求n个自由度系统的前n阶固有频率及主振型的近似解，自由度数最好由n缩减到个。例4-2将等值杆体用聚缩质量的方法离散化成优先自由度系统，并用李兹法求杆件纵向振动第一阶固有频率及主振型的近似解。解：已知—单位体积的重量，A—截面面积，总质量：每段质量：每段之间的刚度系数：振动微分方程的建立：应用李兹法求解：其矩阵形式为：令{x}=[φ]{y},选取由新坐标，再建立系统的自由振动微分方程为：现计算求近似解的振动微分方程：令其特征（频率）方程为即：对应的为：则原坐标{x}的振型：3.3.3

传递矩阵法系统结构特点：链状式：（1）圆盘轴系统；（2）梁的横向振动思路：写出质点（圆盘）i与质点i-1之间的状态变量之间的关系。此关系式中的系数矩阵称为传递矩阵。1、结构的单元对于轴、盘系统的结构的单元其写出的传递矩阵是二阶2×2；对于梁的结构的单元，其写出的传递矩阵是四阶4×4

；2、状态变量轴盘系统扭转角扭矩梁的横向振动系统扰度转角弯矩剪力注意：（1）状态变量：变形、内力作为变量；（2）状态变量符号表示，以圆盘或质点为根据，右边用上标。3、单元的状态变量之间的关系的建立轴盘系统（1）对盘：动静法（受力状态）:变形状态：又设：状态变量：表示右边表示左边方程式：盘左边的状态向量盘右边的状态向量第i盘左边状态传递到右边状态的传递的关系，此矩阵称为点传递矩阵，简称点矩阵。（2）轴：轴只考虑弹性，其质量分配到相邻两盘上，故无转动惯量。受力状态（静态）：变形状态：由材料力学知：以矩阵形式表示：i轴段右端的状态向量i轴段左端的状态向量第i轴段左边到右边状态的传递关系，此矩阵称为场传递矩阵，简称场矩阵（3）建立第i盘右边的状态向量与第i-1盘右边状态向量之间的关系。i盘右端的状态向量第i-1盘右端的状态向量第i轴段的传递矩阵（2×2阶方阵即阶为2）通式：*以此类推建立轴上其他各段的传递矩阵。从而由最左端→最右端的各盘状态矢量之间的关系即可建立。总的传递矩阵**应用边界条件的状态向量，即求出轴盘系统的扭振的固有频率及主振型。梁的横向振动（1）点矩阵的建立受力状态（动静法）变形条件：以矩阵形式表示：点矩阵（4×4）(2)场矩阵的建立受力状态（静平衡）变形条件场矩阵（4×4）（3）传递矩阵的建立传递矩阵（4×4）若在质量下面还有弹簧时，它只影响点矩阵。由受力图可见，应用动静法：即在点矩阵中的处修改为3.3.4

矩阵迭代法动力矩阵假设的向量特征值原来的向量—迭代公式可求出固有频率（任一阶的）主振型。

计算步骤一、求第一阶固有频率及第一阶主振型1.求动力矩阵：[D]=[δ][M][δ]=[K]-12.设{A}1T={111......1}（经验式理论上），{A}1为初始列阵，视为n组主振型按一定比例组合而成；3、计算使归一化使归一化振型二、求第二阶固有频率及第二阶主振型1.计算2.假设初始列阵,以后计算步骤同上。注意：初始列阵{A}选择要恰当；求低阶固有频率及主振型精确度较高；[δ]在半正定系统中不适合。即在刚体运动的情况，也即是p=0的情况，故此法不能用。另一种迭代形式：例

已知系统的