2024学年黔西南州金成实验高二数学上学期第二次质检试卷及答案解析

学年黔西南州金成实验高二数学上学期第二次质检试卷答卷注意事项：学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题。填涂答题卡必须使用2B铅笔填涂。答题时字迹要清楚、工整本卷共19小题，总分为150分。一、单选题（共40分）1．（本题5分）已知空间向量，，且，则（

）A． B．16 C．4 D．2．（本题5分）已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（

）A． B．C． D．3．（本题5分）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（

）A． B．C． D．4．（本题5分）已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（

）A． B． C． D．5．（本题5分）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．6．（本题5分）经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（

）A．8 B．9 C．10 D．207．（本题5分）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（

）A．3 B．4 C．6 D．108．（本题5分）已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题（共18分）9．（本题6分）已知双曲线，下列选项正确的是（

）A．双曲线的渐近线方程为B．双曲线的实轴长为8C．双曲线的焦距为D．双曲线的离心率为10．（本题6分）已知圆，点是圆上的点，直线，则（

）A．直线与圆相交弦长B．的最大值是C．圆上恰有3个点到直线的距离等于1D．过点向圆引切线，为切点，则最小值为11．（本题6分）下列说法正确的是（

）A．已知，则在上的投影向量为B．若是四面体的底面的重心，则C．若，则四点共面D．若向量（都是不共线的非零向量），则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为三、填空题（共15分）12．（本题5分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，则线段．13．（本题5分）双曲线C:x2a14．（本题5分）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为.四、解答题（共77分）15．（本题13分）已知方程.(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；(2)若m的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E，若圆E与圆F关于y轴对称，设为圆F上任意一点，求到直线的距离的最大值和最小值.16．（本题15分）已知椭圆，(1)已知椭圆的一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍.求椭圆的方程；(2)已知椭圆的离心率为，直线与圆相切，求椭圆的方程；17．（本题15分）如图，在多面体中，四边形是边长为3的正方形，，，且，，面，，为中点．

(1)若是中点，求证：面；(2)求平面与平面夹角的正弦值．18．（本题17分）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为．(1)求椭圆的方程；(2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积．19．（本题17分）已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为．(1)求的方程和焦点坐标；(2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求．高二数学期中考试答案一、单选题（共40分）1．（本题5分）已知空间向量，，且，则（

）A． B．16 C．4 D．【答案】A【分析】利用向量平行的关系计算未知数，然后求解即可.【详解】由题可知，解得，所以.故选：A.2．（本题5分）已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据两圆的公共弦所在直线的特点，两圆方程相减即可得解.【详解】圆：，圆：两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为：.故选：B3．（本题5分）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据对称的性质，得到直线过的中点且与垂直，结合垂直的斜率结论可解.【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，所以线段的中点坐标为，又，则，所以直线的方程为，即.故选：D.4．（本题5分）已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】点斜式设出方程，利用相切可求答案.【详解】显然斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设方程为，圆心到直线的距离为，因为与圆相切，所以，即，解得，即的方程为.故选：A5．（本题5分）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】计算两个已知圆的圆心和半径，根据圆的位置关系得到动圆圆心到两已知圆圆心距离和为定值，结合椭圆的定义即可得到结果.【详解】圆可化为，圆心，半径为.圆可化为，圆心，半径为.设动圆圆心为点，半径为，圆与圆外切于点，圆与圆内切于点，如图所示：由题意得，三点共线，三点共线，，，∴，∴点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，，∴，∴点的轨迹方程为.故选：C.6．（本题5分）经过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长是（

）A．8 B．9 C．10 D．20【答案】D【分析】为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出的周长．【详解】为椭圆的两个焦点，，的周长为．故选：D．7．（本题5分）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（

）A．3 B．4 C．6 D．10【答案】C【分析】由椭圆定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案.【详解】由椭圆定义可得，故，又，则由余弦定理得，故，故.故选：C8．（本题5分）已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件，利用几何关系得到，又，得到，再结合双曲线的定义得到，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为，右焦点为，直线交于点，连接，因为为正三角形，，所以为的中点，所以，故，易知，所以，由双曲线的定义知，即，得.故选：D．二、多选题（共18分）9．（本题6分）已知双曲线，下列选项正确的是（

）A．双曲线的渐近线方程为B．双曲线的实轴长为8C．双曲线的焦距为D．双曲线的离心率为【答案】BD【分析】由双曲线方程可得、，即可得，即可得双曲线的渐近线方程、实轴长、焦距与离心率.【详解】因为，，焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为，实轴长为8，故A错误，B正确；因为，所以双曲线的焦距为，离心率为，故C错误，D正确．故选：BD.10．（本题6分）已知圆，点是圆上的点，直线，则（

）A．直线与圆相交弦长B．的最大值是C．圆上恰有3个点到直线的距离等于1D．过点向圆引切线，为切点，则最小值为【答案】ACD【分析】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离，根据的几何意义可得最值，再根据切线长的计算公式可得最值.【详解】如图所示，由已知圆，则圆心，半径，A选项：圆心到直线的距离，则弦长为，A选项正确；B选项：可表示点与点连线的斜率，易知当直线与圆相切时，斜率取得最值，设斜率，则直线，即，则，解得，所以，其最大值为，错误；C选项：，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，正确；D选项：由圆可知圆心，半径，由切线长可知，所以当取得最小值时，取最小值，又，即的最小值为，所以的最小值为，D选项正确；故选：ACD.11．（本题6分）下列说法正确的是（

）A．已知，则在上的投影向量为B．若是四面体的底面的重心，则C．若，则四点共面D．若向量（都是不共线的非零向量），则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为【答案】BCD【分析】根据投影向量的定义结合空间向量的坐标运算求解即可判断A，根据空间向量基本定理可判断B，根据四点共面的结论可判断C，根据空间向量基本定理分析可判断D.【详解】对于A：由于，则在的投影向量为，故A错误；对于B：由于点为的底面的重心，设点为的中点，故，整理得，故，故，故B正确；对于C：对于，由于，故四点共面，故C正确；对于D：在单位正交基底下的坐标为，即，所以在基底下满足，，整理得，解得，则在基底下的坐标为，故D正确；故选：BCD.三、填空题（共15分）12．（本题5分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，则线段．【答案】32/【分析】由已知可得点的横坐标为，代入椭圆方程即可求得点坐标，得出结果.【详解】因为椭圆，则，所以，，因为,所以点的横坐标为，代入求得纵坐标为，即．故答案为：13．（本题5分）双曲线C:x2a【答案】【分析】根据离心率求出的值，即可求出渐近线方程.【详解】双曲线的渐近线方程为，又离心率，所以，则或（舍去），所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：14．（本题5分）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为.【答案】/【分析】根据椭圆定义可将转化为，再根据可得的最小值为，结合两点间距离公式即得答案.【详解】由为椭圆上任意一点，则MF1又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号），∴，当且仅当M、N、E、共线时等号成立.∵，，则，∴的最小值为．故答案为：．四、解答题（共77分）15．（本题13分）已知方程.(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；(2)若m的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E，若圆E与圆F关于y轴对称，设为圆F上任意一点，求到直线的距离的最大值和最小值.【答案】(1)(2)最大值为，最小值【分析】（1）根据表示圆的限制条件可得实数m的取值范围；（2）先确定圆E的方程，再利用对称性得到圆F的方程，根据圆心到直线的距离可得答案.【详解】（1）若此方程表示圆，则，解得，即实数m的取值范围是；（2）由（1）可知，此时圆E：，圆心坐标为，半径为1，因为圆F和圆E关于y轴对称，所以圆F圆心坐标是，半径是1，故圆F方程为，则圆心到直线的距离，故到直线的距离的最大值为，最小值.16．（本题15分）已知椭圆，(1)已知椭圆的一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍.求椭圆的方程；(2)已知椭圆的离心率为，直线与圆相切，求椭圆的方程；【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意结合椭圆中的关系即可求解；（2）由题意利用点到直线的距离可得，根据离心率公式可得，继而即可求解.【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为.（2）直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，解得，由题意得，解得，所以椭圆的方程为.17．（本题15分）如图，在多面体中，四边形是边长为3的正方形，，，且，，面，，为中点．

(1)若是中点，求证：面；(2)求平面与平面夹角的正弦值．【答案】(1)证明过程见解析(2)【分析】（1）作出辅助线，得到线面平行，进而证明出面面平行，即平面平面，证明出平面；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，从而求出面面角的余弦值，进而得到正弦值.【详解】（1）取的中点，连接，因为是中点，为中中点，，所以，，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，故平面平面，又平面，所以平面；（2）因为面，平面，所以，又四边形是边长为3的正方形，⊥，故，，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为，，所以四边形为矩形，其中，，则，设平面的一个法向量为，则，解得，令，则，故，设平面的一个法向量为，则，解得，令，则，故，设平面与平面夹角为，则，所以，故平面与平面夹角的正弦值为.18．（本题17分）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为．(1)求椭圆的方程；(2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）由椭圆的基本性质得到椭圆的值，写出椭圆方程.（2）写出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到和，用交点弦长公式得到线段长，由点到直线距离得到三角形高，从而算出三角形面积.【详解】（1）由题意可知：，则，∵，∴，∴，∴椭圆（2），∴直线：，联立方程组得,设，则，点到直线的距离∴

19．（本题17分）已知双曲线的虚轴