利用函数性质判定方程解的存在

北师大版·普通课程标准实验教科书·必修1章函数的应用4.1函数与方程利用函数性质判定方程解的存在2021/6/271重点与难点理解函数零点的概念，掌握函数零点的判定方法。重点难点

探究发现函数零点的存在性，利用函数的图像和性质判别函数零点的个数

2021/6/272设问激疑，创设情景探究（一）：函数零点的概念设计意图:将教材后面例题提前，开门见山，引起学生的认知冲突，让学生认识到学习函数零点的必要性，激发学生的学习兴趣。那么，到底该方程有没有根，有几个根，根在什么区间内？带着重重疑问导出课题。

引入：求下列方程的根．062ln=-+xx

2021/6/273利用函数性质判定方程解的存在

2021/6/274(1)y=x2-2x-3与x2-2x-3=0(2)y=x2-2x+1与x2-2x+1=0(3)y=x2-2x+3与x2-2x+3=0问题1：求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的坐标。启发引导，形成概念

yx0－12112方程x2－2x+1=0x2－2x+3=0y=x2－2x－3y=x2－2x+1函数函数的图象方程的实数根x1=－1,x2=3x1=x2=1无实数根函数的图象与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点x2－2x－3=0xy0－132112－1－2－3－4..y=x2－2x+3xy0－132112543

设计意图：从学生所熟悉的二次函数问题入手，让学生在熟悉的环境中发现新知识，比较全面的把一元二次方程的根与相应二次函数图像联系起来，进而推广到一般情形。2021/6/275问题2:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点和相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有何关系?xyx1x20xy0x1xy0方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象判别式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函数的图象与x轴的交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x2让学生自主得出结论:

二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。

设计意图：学生通过填表，画图，经历了由特殊到一般的过程，让学生能自主的得出结论：二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。从而形成概念。2021/6/276启发引导，形成概念概念1、函数零点的概念：

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。2021/6/277简单运用，巩固练习练一练设计意图：形成概念后，通过实例理解概念，使学生清晰地认识到，函数零点是具体的自变量的取值，而不是一个点。

3,2,1

)(

)0,3(),0,2(),0,1(

)(2,1

)(

1

)()

()3)(2)(1()(.1----+-=DCB

Axxxxf的零点为函数例2021/6/278用一用设计意图：进一步巩固函数零点的求法，并渗透二次函数以外的函数零点问题．进一步体现方程与函数的关系．

练习1：求下列函数的零点：)44lg()(2-+=xxxf2021/6/279

设计意图：让学生明白有些方程问题可以转化为函数问题来求解，有些函数问题有时也可转化为方程问题来解决，这正是方程与函数思想的重要之所在。以下三个结论有怎样的相关性？想一想2021/6/2710设计意图：引入生活实例，激发学生的探究热情，学生通过动手画图，会自主的发现，无论图像怎么画，一定会有零点，从几何直观上感觉和认识零点的概念，并能启发学生发现零点的判定方法，起到承上启下的作用。练习2：下图是焦作市2月份的某一天从0点到12点的气温变化图，假设气温是连续变化的，请将图形补充成一个完整的函数图象。思考：这段时间内，是否一定有某个时刻的气温为0度？为什么？气温为0度的时刻就是图象与X轴交点横坐标，从函数角度来说就是函数的零点(时间)(气温)(时间)(气温)画一画2021/6/2711探究（二）：零点存在性原理讨论探究，揭示原理设计意图：从学生耳熟能详的生活实际问题入手，激发学生学习的兴趣与探究热情。引入生活实例：（小马过河）问题1：观察下列两组画面,请你推断一下哪一组一定能说明小马已经成功过河？ⅠⅡ2021/6/2712设问1：如果将河流抽象成x轴，将小马前后的两个位置抽象为A、B两点。请问当A、B与x轴满足怎样的位置关系时，AB间的一段连续函数图象与x轴一定有交点（即小马的运动轨迹一定经过小河）？并画出函数图像。设问2：结合所画图像，试用恰当的数学语言表述小马在什么情况下一定成功过河呢？观察学生所画的图像，大致可以分为以下两类：

当A、B两点在x轴的两侧时，可能会出现以下情形：

AxBABxxAB2021/6/2713设计意图：学生通过画图，大部分不难发现，第Ⅰ组能说明小马在行程中一定成功过河（因为A、B两点在x轴的两侧），而第Ⅱ组中小马在行程就不一定成功过河（因为A、B两点在x轴的同侧）。学生通过观察图像，在老师的引导下，能自主地得出结论：当A、B两点在x轴的两侧时，一定有零点，可以用f（a）·f（b）<0表示；通过亲自动手画图，还能从几何直观上感觉和认识零点存在的条件：1、图像必须是连续的；2、两端点必须是异号的。为形成定理做好了铺垫。当A、B两点在x轴的同侧时，可能会出现以下情形：

xABxABxAB2021/6/2714

零点的存在性原理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)•f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.

原理2021/6/2715巩固深化，发展思维问题二：该函数有几个零点？问题一：能否确定零点区间？回到引入.62ln)(.2的零点的个数求函数例-+=xxxf设计意图：定理形成后，直接应用定理解决引入时所留下的问题，首尾呼应，让学生感受到定理的作用以及学习的必要性。2021/6/2716练一练

练习3.已知函数的图象是连续不断的，有如下，对应表2021/6/2717问题：请同学们思考、交流一下，这节课学习到了什么？在解题方法上你有什么收获？

教师提出问题学生归纳概括师生共同完善归纳整理，整体认识课堂小结两知识点三种思想函数零点的概念函数零点存在性定理数形结合思想函数与方程的思想化归与转化的思想设计意图：为了对本节课所学的知识有一个系统、完整的认识。引导学生从零点的概念与零点的判定方法，以及本节课所体现的三种数学思想方面进行总结。2021/6/2718课后反馈，作业布置作业：设计意图:作业由易到难。必做题是巩固本节所学知识。选做题是知识的延伸，强调学以致用。研究性题拓展学生思维。体现了分层教学的思想，不仅提高学生学习积极性，而且使各层次的学生都能找到自己的学习区，进一步促进教学目标的实现。必做题1．教材