山东省烟台市第二中学2025届高考临考冲刺数学试卷含解析

山东省烟台市第二中学2025届高考临考冲刺数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知命题：任意，都有；命题：，则有．则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．2．若函数，在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知集合，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．4．存在点在椭圆上，且点M在第一象限，使得过点M且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D．5．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为176，320，则输出的a为（）A．16 B．18 C．20 D．156．已知.给出下列判断：①若，且，则；②存在使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；③若在上恰有7个零点，则的取值范围为；④若在上单调递增，则的取值范围为.其中，判断正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知函数，其图象关于直线对称，为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（）A．先向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变B．先向右平移个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变C．先向右平移个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变D．先向左平移个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变8．下列判断错误的是()A．若随机变量服从正态分布，则B．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的充分不必要条件C．若随机变量服从二项分布：，则D．是的充分不必要条件9．已知实数，则的大小关系是()A． B． C． D．10．已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的最小值为（）A． B． C． D．11．已知函数的图像与一条平行于轴的直线有两个交点，其横坐标分别为，则（）A． B． C． D．12．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于；④方程表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是()A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则_________．14．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．15．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有满足“勾3股4弦5”，其中“股”，为“弦”上一点（不含端点），且满足勾股定理，则______.16．若函数的图像上存在点，满足约束条件，则实数的最大值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）当时，判断在上的单调性并加以证明；（2）若，，求的取值范围.18．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于点两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．19．（12分）在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F，G分别是棱AA1，AC和A1C1的中点，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.（1）求异面直线AC与BE所成角的余弦值；（2）求二面角F-BC1-C的余弦值．20．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为2，且经过点，斜率为的直线经过点，与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围，如果不存在，请说明理由.21．（12分）已知在多面体中，平面平面，且四边形为正方形，且//，，，点，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.22．（10分）已知函数.（1）求的极值；（2）若，且，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

先分别判断命题真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论.【详解】为真命题；命题是假命题，比如当,或时，则不成立.则，，均为假.故选:B【点睛】本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题.2、D【解析】

利用导数求得在区间上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得的取值范围.【详解】的定义域为，，所以在上递减，在上递增，在处取得极小值也即是最小值，，，，，所以在区间上的最大值为.要使在区间上任取三个实数，，均存在以，，为边长的三角形，则需恒成立，且，也即，也即当、时，成立，即，且，解得.所以的取值范围是.故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.3、A【解析】

解一元二次不等式化简集合的表示，求解函数的定义域化简集合的表示，根据可以得到集合、之间的关系，结合数轴进行求解即可.【详解】，.因为，所以有，因此有.故选：A【点睛】本题考查了已知集合运算的结果求参数取值范围问题，考查了解一元二次不等式，考查了函数的定义域，考查了数学运算能力.4、D【解析】

根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.【详解】因为过点M椭圆的切线方程为,所以切线的斜率为,由,解得,即,所以,所以.故选：D【点睛】本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.5、A【解析】

根据题意可知最后计算的结果为的最大公约数.【详解】输入的a，b分别为,,根据流程图可知最后计算的结果为的最大公约数，按流程图计算,,,,,,,易得176和320的最大公约数为16，故选:A.【点睛】本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数,难度较易.6、B【解析】

对函数化简可得，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案.【详解】因为，所以周期.对于①，因为，所以，即，故①错误；对于②，函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，解得，故对任意整数，，所以②错误；对于③，令，可得，则，因为，所以在上第1个零点，且，所以第7个零点，若存在第8个零点，则，所以，即，解得，故③正确；对于④，因为，且，所以，解得，又，所以，故④正确.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.7、D【解析】

由函数的图象关于直线对称，得，进而得再利用图像变换求解即可【详解】由函数的图象关于直线对称，得，即，解得，所以，，故只需将函数的图象上的所有点“先向左平移个单位长度，得再将横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变,得”即可.故选：D【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题8、D【解析】

根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四个选项加以分析判断，进而可求解.【详解】对于选项，若随机变量服从正态分布，根据正态分布曲线的对称性，有，故选项正确，不符合题意；对于选项，已知直线平面，直线平面，则当时一定有，充分性成立，而当时，不一定有，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项正确，不符合题意；对于选项，若随机变量服从二项分布：，则，故选项正确，不符合题意；对于选项，，仅当时有，当时，不成立，故充分性不成立；若，仅当时有，当时，不成立，故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要条件,故选项不正确，符合题意.故选：D【点睛】本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.9、B【解析】

根据，利用指数函数对数函数的单调性即可得出．【详解】解：∵，∴，，．∴．故选：B．【点睛】本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10、A【解析】

首先求得平移后的函数，再根据求的最小值.【详解】根据题意，的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数，所以，所以．又，所以的最小值为．故选：A【点睛】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.11、A【解析】

画出函数的图像，函数对称轴方程为，由图可得与关于对称，即得解.【详解】函数的图像如图，对称轴方程为，，又，由图可得与关于对称，故选：A【点睛】本题考查了正弦型函数的对称性，考查了学生综合分析，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.12、B【解析】

利用基本不等式得，可判断②；和联立解得可判断①③；由图可判断④.【详解】，解得（当且仅当时取等号），则②正确；将和联立，解得，即圆与曲线C相切于点，，，，则①和③都错误；由，得④正确.故选：B.【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由题意可得，又由于为的中点，且点在轴上，所以可得点的横坐标，代入抛物线方程中可求点的纵坐标，从而可求出点的坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果.【详解】解：因为是抛物线的焦点，所以，设点的坐标为，因为为的中点，而点的横坐标为0，所以，所以，解得，所以点的坐标为所以，故答案为：【点睛】此题考查抛物线的性质，中点坐标公式，属于基础题.14、【解析】试题分析：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为，则一次取出2只球，基本事件为、、、、、共6种，其中2只球的颜色不同的是、、、、共5种；所以所求的概率是．考点：古典概型概率15、【解析】

先由等面积法求得，利用向量几何意义求解即可.【详解】由等面积法可得，依题意可得，，所以.故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题.16、1【解析】由题知x>0，且满足约束条件的图象为由图可知当与交于点B(2,1)，当直线过B点时，m取得最大值为1.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）在为增函数；证明见解析（2）【解析】

（1）令，求出，可推得，故在为增函数；（2）令，则，由此利用分类讨论思想和导数性质求出实数的取值范围.【详解】（1）当时，.记，则，当时，，.所以，所以在单调递增，所以.因为，所以，所以在为增函数.（2）由题意，得，记，则，令，则，当时，，，所以，所以在为增函数，即在单调递增，所以.①当，，恒成立，所以为增函数，即在单调递增，又，所以，所以在为增函数，所以所以满足题意.②当，，令，，因为，所以，故在单调递增，故，即.故，又在单调递增，由零点存在性定理知，存在唯一实数，，当时，，单调递减，即单调递减，所以，此时在为减函数，所以，不合题意，应舍去.综上所述，的取值范围是.【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点及不等式恒成立等问题，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力，属于难题.18、（1）；（2）见解析【解析】

（1）由面积最大值可得，又，以及，解得，即可得到椭圆的方程，（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，设，，线段的中点为，根据韦达定理求出点的坐标，再根据，，即可求出的值，可得点的坐标.【详解】（1）面积的最大值为，则：又，，解得：，椭圆的方程为：（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形设，，线段的中点为由，消去可得：，解得：∴，，依题意有，由可得：，可得：由可得：，代入上式化简可得：则：，解得：当时，点满足题意；当时，点满足题意故轴上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.19、（1）.（2）.【解析】

（1）先根据空间直角坐标系，求得向量和向量的坐标，再利用线线角的向量方法求解.（2）分别求得平面BFC1的一个法向量和平面BCC1的一个法向量，再利用面面角的向量方法求解.【详解】规范解答（1）因为AB＝1，AA1＝2，则F(0，0，0)，A，C，B，E，所以＝(－1，0，0)，＝记异面直线AC和BE所成角为α，则cosα＝|cos〈〉|＝＝，所以异面直线AC和BE所成角的余弦值为.（2）设平面BFC1的法向量为=(x1，y1，z1)．因为＝，＝，则取x1＝4，得平面BFC1的一个法向量为＝(4，0，1)．设平面BCC1的法向量为＝(x2，y2，z2)．因为＝，＝(0，0，2)，则取x2＝得平面BCC1的一个法向量为＝(，－1，0)，所以cos〈〉＝=根据图形可知二面角F-BC1-C为锐二面角，所以二面角F-BC1-C的余弦值为.【点睛】本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角，面面角的求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20、（1）（2）存在；实数的取值范围是【解析】

（1）根据椭圆定义计算，再根据，，的关系计算即可得出椭圆方程；（2）设直线方程为，与椭圆方程联立方程组，求出的范围，根据根与系数的关系求出的中点坐标，求出的中垂线与轴的交点横，得出关于的函数，利用基本不等式得出的范围．【详解】（1）由题意可知，，．又，，，椭圆的方程为：．（2）若存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形，则为线段的中垂线与轴的交点．设直线的方程为：，，，，，联立方程组，消元得：，△，又，故．由根与系数的关系可得，设的中点为，，则，，线段的中垂线方程为：，令可得，即．，故，当且仅当即时取等号，，且．的取值范围是，．【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的