2024-2025学年浙江省“南太湖联盟”高一上学期第二次联考（12月）数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省“南太湖联盟”高一上学期第二次联考数学试题（12月）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若全集U={2,3,4,5,6}，A={2,4,5}，B={1,3}，则(∁UA)∪B=A.{1,3} B.{1,3,6} C.{2,3} D.{2,3,6}2.若f(x)=x3,x≥0logA.1 B.5 C.8 D.273.若a,b∈R，则“ab⩾13”是“a2+A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.下列说法中正确的是(

)A.若a<b，则1a>1b B.若a>b，则a>b

C.若a>b，c>d，则a−c>b−d5.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(

)

A.{α|−60∘≤α≤135∘}

B.α6.往一个高为H的水瓶中注水，直到注满为止，如果注水量V与水深ℎ的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是下图中的(

)

A. B. C. D.7.已知定义在R的奇函数f(x)满足①f(1)=0；②∀x1,x2∈(0,+∞)，且x1≠A.(−∞,−1)∪(1,+∞) B.(−1,0)∪(0,1)

C.(−∞,−1)∪(0,1) D.(−1,0)∪(1,+∞)8.已知实数a，b满足log3a+a=3bA.1<b<a B.a<1<b C.1<a<b D.b<1<a二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题是真命题的是(

)A.∃x∈R，x+1x=−1 B.∃x>0，x2=2x

C.∀x∈R10.下列四个函数中，定义域与值域相同的是(

)A.y=lg(x+1) B.y=2x−111.关于函数f(x)=3x−1，实数x1,x2满足A.0<m<1 B.x1x2<−1

C.若0<m<12，则x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知某扇形的半径为4，弧长为π，则该扇形的圆心角为________rad．13.∀x∈(3,+∞),x+4x−3>m214.已知f(x)=log31+1x，对正整数k，如果fk满足：f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(k+1)为整数，则称k为“好数”，由区间2,81内所有“好数”组成的集合记为四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)化简求值：(Ⅰ)(Ⅱ)216.(本小题12分)已知集合A= {x|x2

− 5x+ 6 > 0}，(Ⅰ)当m= 2时，求A∩B；(Ⅱ)已知A∪B=A，求实数m的取值范围．17.(本小题12分)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直与地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在二次函数y=kx−110(1+k2(Ⅰ)求炮的最大射程；(Ⅱ)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．18.(本小题12分)已知函数f(x)=ln1+x1−x，g(x)=(Ⅰ)判断函数f(x)的奇偶性并证明；(Ⅱ)判断函数g(x)的单调性并证明；(Ⅲ)若实数a，b满足f(a) +f(b) =

0，求g(a) +g(b)的取值范围．19.(本小题12分)我们知道函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数．(Ⅰ)由上述信息，若y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形，证明：f(x)+f(2a−x)=2b；(Ⅱ)已知函数f(x)=x3−3x2(Ⅲ)若函数f(x)具有以下性质：①定义域为D=−2,2②f(x)在其定义域内单调递增，③∀x∈D，都有f(x)+f(−x)=4.函数g(x)=f(x)+x3，求使不等式g(k)+g(k+2)≥4成立的实数k的取值范围．参考答案1.B

2.C

3.A

4.D

5.C

6.C

7.A

8.D

9.BC

10.AC

11.ABD

12.π413.−7,1

14.{7,25,79}

15.解：(I)原式=4−2+22+216.解：(1)∵A={x|x2−5x+6>0}={x|x<2当m=2时，B={x|−1<x<5}，∴A∩B={x|−1<x<2或3<x<5}(2)∵A∪B=A，∴B⊆A，若B=⌀，则m−3≥2m+1，∴m≤−4若B≠⌀，有m−3<2m+12m+1≤2或m−3≥3

∴m>−4m≤综上所述，m≤12或m≥6∴实数m

17.解：(1)在y=kx−110(1+k2)x由实际意义和题设条件知x>0，k>0．

解以上关于x的方程得x=10k1+k2=101k+k(2)∵a>0，

∴炮弹可以击中目标⇔存在k>0，使ka−110(1+k2)a2=2成立⇔即关于k的方程a2k2−10ak+a2+20=0有正根．

由于10a>0，a2+20>0，

由韦达定理可知两根之和大于

18.解：(Ⅰ)因为1−x1+x>0，解得，−1<x<1，

所以函数f(x)的定义域为(−1,1)，

任取−1<x<1，则f(−x)=ln1+x1−x=−ln1−x1+x=−f(x)，

所以函数f(x)为奇函数．

(Ⅱ)函数g(x)在R上单调递增，

证明：函数g(x)的定义域为R

∀x1，x2∈R且x1<x2

∵g(x1)−g(x2)=4x1+2x1−(4x2+2x2)

=4x1−4x2+2x1−2x2

=(2x1+2x2)(2x1−2x219.解：(I)令g(x)=f(x+a)−b，由已知可得g(x)+g(−x)=0，

即f(x+a)−b+f(−x+a)−b=0，

∴设x=a−t，则f(a−t+a)−b+f(t−a+a)−b=0，

整理得f(2a−t)+f(t)=2b，即f(x)+f(2a−x)=2b，

(Ⅱ)设函数f(x)=x3−3x2图象的对称中心为P(a,b)，

y=f(x+a)−b=(x+a)3−3(x+a)2−b

=x3+3ax2+3a2x+a3−3x2−6ax−3a2−b

=x3+(3a−3)x2+(3a2−6a)x+a3−3a2−b，

该函数为奇函数，

∴3a−3=0a3−3a2−b=0，

∴a=1b=−2，

∴函数f(x)=x3−3x2图象的对称中心为(1,−2)．

由(I)可得f(x)+f(2−x)=−4，

则f(−2022)+f(202