函数单调性的证明

§3.函数的单调性（2）

——函数单调性的证明2021/6/271学习目标1.掌握定义法证明函数的单调性的一般步骤；2.体会数形结合思想在解决函数问题中的作用。2021/6/272复习回顾1、函数单调性的概念2、判断函数单调性的一般方法3、常见的几类函数的单调区间和单调性2021/6/2731.单调性概念在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两个数x1,x2∈A,

图像特征：从左往右看图像上升当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么,就称函数y=f(x)在区间A上是增加的,有时也称函数y=f(x)在区间A上是递增的.区间A为函数的增区间

当x1<x2时,

都有f(x1)>f(x2),那么,就称函数y=f(x)在区间A上是减少的,有时也称函数y=f(x)在区间A上是递减的.区间A为函数的减区间从左往右看图像下降2021/6/2742.判断函数单调性的一般方法根据函数图象的上升和下降，找出单调区间[-6,-5],

[-2,1],[3,4.5],

[7,8]上是增加的[-5,-2],

[1,3],

[4.5,7],

[8,9]上是减少的2021/6/2753.常见的几类函数的单调性思路：（1）分类讨论：系数（a、k）大于0和小于0；（2）借助函数图像来分析。2021/6/276思考：如何从逻辑推理的角度来证明函数的单调性？从定义（概念）出发2021/6/277例1判断函数f(x)=3x+2的单调性,并加以证明.解作出f(x)=3x+2的图像.由图看出,函数的图在R上是上升的,函数是R上的增函数.所以f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2),O12x21543yy=3x+2任取x1,x2∈R,设x1<x2,取值作差变形定号即f(x1)<f(x2)所以，函数f(x)=3x+2是R上的增函数.证明:下结论2021/6/278用定义证明函数的单调性的步骤:(1).任取某个单调区间上任意二值，并设x1＜x2;(2).作差

f(x1)－f(x2);(3).判断

f(x1)－f(x2)的符号:(4).作结论.方法小结2021/6/279例2说出函数的单调区间,并指明在该区间上的单调性.函数是减函数吗?解(-∞,0)和(0,+∞)都是函数的单调区间,在这两个区间上函数减少.不是,当x1=-1,x2=1时，有f(x1)<f(x2)2021/6/2710例3：证明函数f(x)=x3在R上是增函数.证明：设x1,x2是R上任意两个

实数，且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x13-x23

=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[(x1+x2)2+x22]因为x1<x2，则x1-x2<0又(x1+x2)2+x22>0所以f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2)所以f(x)=x3在R上是增函数.2021/6/27112021/6/2712判断f(x1)－f(x2)的符号的一般方法方法小结将和（差）的形式转化为积（商）的形式具体方法：因式分解、配方、提取公因式、分子有理化2021/6/27132021/6/2714抽象函数单调性的判断2021/6/2715用定义证明函数的单调性的步骤:(1).任取某个单调区间上任意二值，并设x1＜x2;(2).作差

f(x1)－f(x2)