理论力学课件-第10章

第10章动量矩定理及其应用10.1动量矩的计算10.2动量矩定理10.3刚体对轴的转动惯量10.4刚体定轴转动微分方程10.5质点系相对于质心的动量矩定理及

刚体平面运动微分方程思考题习题

10.1动量矩的计算

10.1.1质点的动量矩

设质点M某瞬时的动量是mv，质点对固定点O的矢径是r，类似于空间问题中力对点之矩，如图10-1所示，我们将质点动量mv对O点之矩，称为质点对O点的动量矩，记为

mO(mv)=r×mv

(10-1)

质点对O点的动量矩是矢量，其方位垂直于r和mv所决定的平面，指向按右手法则来确定。图10-1类似于力对点之矩和力对通过该点的轴之矩的关系，可以得到质点的动量mv对固定轴x，y，z之矩的表达式为

(10-2)

在国际单位制中，动量矩的单位是kg·m2/s。10.1.2质点系的动量矩

设质点系由n个质点组成，任取固定点Ｏ，质点系对O点的动量矩LO定义为各质点对O点动量矩的矢量和，即

LO=∑LOi=∑ri×mivi

(10-3)

质点系中各质点的动量对任一轴矩的代数和称为质点系对该轴的动量矩，即

Lz=∑Lzi

(10-4)10.1.3定轴转动刚体的动量矩

设刚体以角速度ω绕固定轴z转动，如图10-2所示。刚体内任一质点Mi的质量为mi，与转动轴的距离为ri，速度为vi。由运动学知，vi在垂直于转动轴z的平面内，大小为vi=riω，于是质点Mi对z轴的动量矩为

Lzi=miviri=mir2iω图10-2而整个刚体对z轴的动量矩等于所有质点对z轴动量矩之和，即

Lz=∑Lzi=∑miviri

=ω∑mir2i

令Jz=∑mir2i，称为刚体对轴z的转动惯量，则有

Lz=Jzω

(10-5)

即做定轴转动的刚体对于转动轴的动量矩，等于刚体对于轴的转动惯量与角速度之乘积。因为转动惯量是正标量，所以动量矩Lz的符号与角速度ω的符号相同。

10.2动量矩定理

10.2.1质点的动量矩定理

设质点M对固定点O的矢径为r，动量为mv，其上的作用力是F(如图10-3所示)。质点M对O点的动量矩为

mO(mv)=r×mv

将此式对时间求一阶导数，有图10-3由于，再由动量定理有，因此上式可写成

而v×(mv)=0，r×F=MO(F)，于是得

(10-6)即质点对于任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用力对同一点的矩。这就是质点的动量矩定理。将方程(10-6)投影到固定坐标系Oxyz的各轴上，得

(10-7)

即质点对于某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用力对该轴之矩。10.2.2质点系的动量矩定理

设质点系由n个质点组成，作用于第i个质点的力分为外力和内力，它们的合力分别用Fi(e)与Fi(i)表示，根据质点的动量矩定理有

这样的方程共有n个，相加后得因为内力总是大小相等、方向相反、成对出现的，所以它们对于任一点之矩的矢量和必等于零，即上式右端第一项

左端为于是得

(10-8)

这就是质点系的动量矩定理：质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对于同一点取矩的矢量和。将式(10-8)投影到固定坐标系Oxyz的各轴上，得

(10-9)

即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对同一轴之矩的代数和。这是质点系动量矩定理的投影形式。

例10-1卷扬机鼓轮质量为m，半径为r，可绕经过鼓轮中心Ｏ的水平轴Oz转动，如图10-4所示。鼓轮上缠绕一绳，绳的一端挂一质量为m1的物体。在鼓轮上作用一矩为M的常力偶，以提升重物，求重物上升的加速度。鼓轮可视为均质圆柱体，转动惯量为，绳的质量及各处摩擦忽略不计。图10-4

解：研究鼓轮与重物构成的系统，作用于该质点系的外力有：已知的重力m1g、mg及矩为M的力偶；轮轴处的未知约束力F0。约束力F0通过轮轴Oz，因此，如以Oz为矩轴，应用动量矩定理求解时，方程中将不包含未知力F0，可直接求

得加速度。

设重物上升的速度为v，鼓轮的角速度为ω，则整个质点系对于ｚ轴的动量矩为因为ω=v/r，所以

外力对ｚ轴的矩为由动量矩定理有

由此可得重物上升的加速度

例10-2水轮机受水流冲击绕着通过中心Ｏ的铅直轴(

垂直于图平面)顺时针转动，如图10-5(a)所示。设总体积流量为Ｑ，水密度为γ；入口水的流速为v1，出口水的流速为v2，方向分别与轮缘切线成角θ1及θ2(v1和v2都是绝对速度)。假设水流是恒定的，求水流对水轮机的转动力矩。图10-5

解：取两叶片之间的流体(图中的阴影部分)作为质点系来研究。水在叶片间流动时，由于叶片的作用，各质点的速度以及与转动轴的距离都随时间而变，因而质点系对转动轴的动量矩也随时间而变。求出动量矩对时间的改变率，也就求得水轮机叶片对质点系作用的力矩(重力沿铅直方向，对动量矩没有影响)。根据作用与反作用定律，与该力矩转向相反的

力矩就是该质点系作用于水轮机的力矩。所有叶片间的水流作用于水轮机的力矩之和，就是全部水流作用于水轮机的转动力矩。设在瞬时t，两叶片间的流体为ABDC(如图10-5(b)所示)，在瞬时t+Δt，流体位移至abdc。用Ｌ代表这部分流体的动量矩，则两瞬时的动量矩之差为

ΔLi=Labdc-LABDC

因为水流是定常的，abDC部分水流情况没有改变，从而

ΔLi=LCDdc-LABba

设转轮有n个叶片，两叶片间的流量为Q/n，则ABba与CDdc两部分流体的体积都是Vi=(QΔt)/n,质量都是(γQΔt)/n,而对转动轴的动量矩分别是及,

于是由动量矩定理得两叶片间流体所受的力矩为

该部分流体作用于水轮机的力矩为Mi′=-Mi，全部水流作用于水轮机的转动力矩则是10.2.3动量矩守恒定律

如果作用于质点的力对于某定点O的矩恒等于零，则由式(10-6)可知，质点对该点的动量矩保持不变，即

mO(mv)=恒矢量

如果作用于质点的力对于某定轴的矩恒等于零，则由式(10-7)可知，质点对该轴的动量矩保持不变(例如Mz(F)=0)，则

mz(mv)=恒量

以上结论称为质点动量矩守恒定律。由式(10-8)可知，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。同时由式(10-9)可知，如果,则LO=常矢量(或Lz＝常量)。也就是说，如果质点系所受的外力对某一固定点(或固定轴)的矩恒等于零，则质点系对该点(或该轴)的动量矩保持为常量。这一结论称为质点系动量矩守恒定律。

例10-3图10-6为摩擦离合器的示意图。在离合器接合之前，飞轮1以角速度ω1转动，而轮2静止不动。求：(1)离合器接合以后，两轮共同转动的角速度。(2)如果经过t秒，两

轮的转速相同，离合器应有多大的摩擦力矩？设轮1和轮2对转动轴的转动惯量分别为J1和J2。图10-6

解：(1)研究飞轮与离合器组成的质点系。整个系统在离合器接合前、后的动量矩分别为J1ω1及(J1+J2)ω。因为整个系统不受外力矩作用(轴承处的摩擦不计)，所以对转动轴的动量矩应守恒，于是有

J1ω1=(J1+J2)ω

由此可得

(2)研究飞轮1，有

两边取定积分得

代入(1)的结果中，得

负号说明飞轮受到的阻力偶矩的转向与ω1的转向相反。

10.3刚体对轴的转动惯量

10.3.1刚体对轴的转动惯量的定义

在研究定轴转动刚体对转轴的动量矩时，已经得到刚体对转轴转动惯量的计算公式为

(10-10)

如果刚体的质量连续分布，则可将式(10-10)写成积分的形式。由此式可见，刚体对轴的转动惯量的大小取决于刚体质量的大小及其分布情况，而与刚体的运动无关。转动惯量的单位为kg·m2。10.3.2常见刚体对轴的转动惯量

1.均质细长杆对于z轴的转动惯量

如图10-7所示的均质细长杆，质量为m,其长度是l，单位长度的质量是ρ，现在计算它对通过杆的一端并垂直于直杆的轴Oz的转动惯量。

在杆上任取一微段dx，其质量是dm=ρdx,由转动惯量的定义知，直杆对轴Oz的转动惯量为

(10-11)

其中,m=ρl是直杆的质量。图10-7

2.均质薄圆环对于中心轴的转动惯量

图10-8所示的均质薄圆环半径为R，质量是m，单位长度的质量为ρ，在环上任取一微段，其质量是dm，则圆环对轴Oz的转动惯量是

(10-12)图10-8

3.均质薄圆盘对于中心轴的转动惯量

图10-9所示的均质薄圆盘半径为R，质量为m。把圆盘分成许多同心的薄圆环，任一圆环的半径为r，宽度为dr，则薄圆环的质量为

dm=2πrdrρ

其中，ρ是圆盘单位面积的质量。因此圆盘对于中心轴的转动惯量是

(10-13)

常见几何形状均质物体的转动惯量见表10-1。图10-910.3.3回转半径(或惯性半径)

刚体对转轴的转动惯量可以写成统一的形式：

Jz=mρ2z

(10-14)

其中,m是刚体的质量，ρz具有长度量纲，称为刚体对z轴的

回转半径(或惯性半径)，即物体的转动惯量等于物体的质量与回转半径的平方的乘积。

由式(10-14)，有

(10-15)

常见几何形状均质物体的惯性半径见表10-1。10.3.4平行轴定理

定理：刚体对任何轴的转动惯量，等于刚体对通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴之间距离平方的乘积，即

Jz=JzC+md2

(10-16)

证明：取坐标系Oxyz和Cx1y1z1，如图10-10所示，C是刚体的质心。由图可知图10-10其中有x=x1，y=y1+d，于是有

由于∑mi(x21+y21)=JzC，∑miy1=myC1,yC1=0,∑mi=m,于是得

Jz=JzC+md2

定理证毕。由平行轴定理式(10-16)可知，在所有相互平行的各轴中，刚体对通过质心轴的转动惯量最小。

作为平行轴定理的例子，如图10-11所示，质量为m，长度为l的均质细长杆，由式(10-11)知

再由平行轴定理式(10-16)可得，对于zC轴的转动惯量为

(10-17)图10-11

例10-4钟摆简化模型如图10-12所示，已知均质细杆和

均质圆盘的质量分别是m1和m2，杆长为l，圆盘直径为d，求摆对于通过悬挂点O的水平轴的转动惯量。

解：摆对于水平轴O的转动惯量图10-12

10.4刚体定轴转动微分方程

设定轴转动刚体上作用有主动力F1,F2,…,Fn和轴承的约束力FN1、FN2，如图10-13所示，这些力都是外力。刚体对转动轴ｚ的动量矩是Lz=Jzω，设作用于刚体的所有外力对ｚ轴之矩的和为，根据动量矩定理式(10-9)可得图10-13考虑到刚体对转轴的转动惯量不随时间而变，又

，所以上式可以写成

或(10-18)

这就是刚体定轴转动微分方程。从这个方程可以看出，对于不同的刚体，假设作用于它们的外力对转动轴的矩相同，则转动惯量Jz愈大的刚体α就愈小，即愈不容易改变其运动状态。可见，刚体的转动惯量

是刚体转动惯性的量度。

式(10-18)与质点做直线运动的微分方程完全相似，因此，刚体定轴转动微分方程与质点直线运动微分方程的求解方法是相似的。

例10-5为了测定飞轮A对于通过其中心的轴的转动惯量，采用图10-14所示的装置。测得重物由静止下落一段距离h所需的时间为τ，试求飞轮对转轴的转动惯量。绳子的质量以及各处的摩擦忽略不计，并假定绳子是不可伸长的。飞轮半径为r，重物的质量为m。图10-14

解：分别研究重物与轮A。

作用于重物的力有重力P＝mg及绳子张力F。

作用于轮A上的力有绳子张力F′、轮A的重力及轴承处的约束力。设轮A的角加速度为α，物体下落的加速度为a，取通过轮A中心的水平轴为z轴，则

Jzα=F′r=Fr

ma=mg-F从以上两式中消去F，并注意rα=a，解得

可见物体B匀加速下降，于是由匀加速直线运动路程公式可得

解得

例10-6图10-15中的物理摆(或称为复摆)的质量是m,

C为质心，摆对悬挂点的转动惯量为JO。求摆做微小摆动的

周期。

解：假定φ角以逆时针方向为正。当φ角为正时，重力对点O之矩为负。因此，摆的转动微分方程为

图10-15刚体做微小摆动，有sinφ≈φ，于是上述转动微分方程改写成

或该方程的通解为

其中φ0、θ是积分常数，可由运动初始条件确定，它们分别称为角振幅和初相位。摆动周期为工程中应用该式通过测定零件(例如曲柄、连杆等)的摆动周期，以计算其转动惯量。例如，欲求曲柄对于轴O的转动惯量，可将曲柄在轴O处悬挂起来，并且使其做微幅摆动，如图10-16所示。通过测定mg、l和摆动周期T，则曲柄对于轴O的转动惯量为

(10-19)

另外，欲求圆轮对于中心轴的转动惯量，可以用单摆扭振(如图10-17(a)所示)、三线悬挂扭振(如图10-17(b)所示)等方法测定扭振周期，根据各自周期与转动惯量之间的关系计算其转动惯量。图10-16图10-17

10.5质点系相对于质心的动量矩定理及

刚体平面运动微分方程

10.5.1质点系相对于质心的动量矩定理

在前面推导动量矩定理时，特别指明矩心(或矩轴)是定点(或定轴)。对于一般的动点或动轴，动量矩定理的形式较为复杂。但可以证明，对于质心或过质心的动轴，动量矩定理的形式不变。

任取一固定点Ｏ，如图10-18所示，设质点系的质心C的矢径为rC。图10-18选动坐标系Cx′y′z′随同质心C做平动。将质点系的运动视为随同质心C的平动与相对于质心运动的合成结果。根据速度合成定理以及质点系对于固定点Ｏ的动量矩的表达式，可以推得

LO=rC×mvC+LC

(10-20)

此式表明，质点系对任意一点O的动量矩，等于集中于系统质心的动量mvC对于点O的动量矩加上此系统对于质心C的动量矩(矢量和)。现在应用对固定点Ｏ的动量矩定理，有

即展开上式，经过化简，最后可得

(10-21)

即质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的所有外力对质心的主矩。这就是质点系相对于质心的动量矩定理。它在形式上与质点系对于固定点的动量矩定理完全相同。10.5.2刚体平面运动微分方程

下面应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理来研究刚体平面运动的动力学问题。

设刚体在力F1、F2、…、Fn作用下做平面运动(如图10-19所示)。图10-19将平面运动视为随同质心的平动与绕通过质心且垂直于平面图形的轴的转动的合成。于是，由质心运动定理及相对于质心的动量矩定理可得

(10-22)

其中,m是刚体的质量，aC是质心的加速度，而MC(Fi(e))是外力对于质心的矩。将式(10-22)中第一式投影于x、y轴,可得设刚体绕Cz′转动的角速度为ω，与计算做定轴转动的刚体对转动轴的动量矩相似，可以得到刚体对Cz′轴的动量矩等于

LC=JCω

其中，JC是刚体对Cz′轴的转动惯量。于是，上式可写为

(10-23)

这就是刚体平面运动的微分方程。应用该方程可以求解刚体平面运动的动力学问题。

例10-7均质圆轮质量为m，半径为R，沿倾角为θ的斜面滚下，如图10-20所示。设轮与斜面间的摩擦因数为f，试求轮心Ｃ的加速度及斜面对于轮子的约束力。

解：取Oxy坐标系如图所示，作用于轮的外力有重力mg、法向反力FN及摩擦力FS。方向如图10-20所示。图10-20轮子的平面运动微分方程可写为

maC=mgsinθ-FS (a)

0=mgcosθ-FN (b)

JCα=FSR (c)

由式(b)可得

FN=mgcosθ下面分两种情况来讨论：

(1)假定轮子与斜面间无滑动，这时FS是静摩擦力，大小、方向都未知，且

(d)

解式(a)~(d)组成的方程组，可得

FS为正值，表明假设方向正确，如图10-20所示。，

(2)假定轮子与斜面间有滑动，这时FS是动摩擦力。因轮子与斜面接触点向下滑动，故FS向上，大小为

FS=fFN=mgfcosθ(e)

于是，解由式(a)~(e)组成的方程组，可得要轮子只有滚动而无滑动，必须FS≤fFN，所以由(1)的结论有

即f≥

tanθ。

如果f≥

tanθ，表示摩擦力未达到极限值，轮子只滚不滑，则(1)的解答适用；如果f<

tanθ，表示轮子既滚且滑，则(2)的解答适用。

例10-8均质圆轮半径为r，质量为m，受到轻微扰动

后，在半径为R的圆弧上往复滚动，如图10-21所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。求质心C的运动规律。

解：圆轮在曲面上做平面运动，受到的外力有重力mg、圆弧表面的法向约束力FN和摩擦力FS。图10-21假定θ角逆时针方向为正，取切线轴的正向如图10-21所示，并设圆轮以顺时针转动为正，在自然轴系中，刚体的平面运动微分方程为

(a)

(b)

(c)由于圆轮只滚不滑，因此角加速度的大小为

(d)

取s为圆轮质心的弧坐标，则

s=(R-r)θ

因为，，当θ很小时，sinθ≈θ，联立式(a)、(c)、(d)，可以求得令，则上式改写为

此方程的解为

s=s0sin(ωnt+β)

式中,s0、β是两个积分常数，由运动初始条件确定。如t=0时，s=0，初速度为v0，可以求出最后得质心沿着轨迹的运动方程为

同时由式(b)可以求得圆轮在滚动时对地面的压力为

式中右端第一项为附加动反力，其中

例10-9汽车沿水平直线轨道行驶时(如图10-22(a)所示)，每只后轮(主动轮)受一驱动力矩M的作用，驱动力矩是发动机汽缸内的气体压力通过传动系统传到后轮轴上而得到的。已知：车轮半径为r，每只车轮的质量是m1，对转动轴的回转半径为ρ；车轮对地面的静摩擦因数为fS，滚动摩阻系数为δ；车身(连同载货)的质量是m2；空气阻力为F，试分析车身和车轮的运动，并确定为使车轮不致滑动，驱动力矩M应满足的条件。图10-22

解：汽车行驶时，车身做直线平动，车轮做平面运动。

以整个汽车作为研究对象，分析其受力情况。除已知的重力m2g、4m1g及空气阻力F外，还有地面作用于车轮的法向反力2FN1、2FN2，摩擦力2FS1、2FS2及滚动摩阻力偶2Mf1、2Mf2。在这里应当特别注意：由于驱动力矩使后轮(主动轮)绕着转动轴向前方转动，轮子与地面接触点有向后滑动的趋势，所以摩擦力向前(如图10-22(b)所示)。前轮是从动轮，是后轮的向前滚动推动着前轮运动的。前轮与地面接触点有向前滑动的趋势，所以前轮受的摩擦力向后(如图10-22(c)所示)。假设汽车向前运动的加速度是a，根据质心运动定理，应有

(m2+4m1)a=2FS1-2FS2-F

2FN1+2FN2-m2g-4m1g=0

第二个式子只表示铅直方向的合力等于零，而第一个式子则明显告诉我们，使得汽车产生加速度的力是2FS1-2FS2-F。如果汽车原来是静止的(这时阻力F＝０)，必须FS1-FS2＞0才能开动。可见，不论引擎功率多大，要是主动轮胎与地面的摩擦力比较小，汽车将无法开动。现在分析一只后轮的运动情况。

后轮的受力图如图10-22(b)所示，其中M是驱动力矩，Fy1及Fx1是由传动轴传至后轮的铅直力及水平力，假定是已知的。现在写出车轮的平面运动微分方程为

(a)

(b)

(c)

其中,Mf1=δFN1。根据车轮不滑动的条件，应有

a=rα(d)

将式(d)及Mf1=δFN1代入式(a)及(c)，可解得

(e)

要使车轮没有滑动，必须使FS1≤fSFN1=fS(Fy1+m1g)。于是，由式(e)可得

(f)

这就是为了使车轮不滑动，驱动力矩M所应满足的条件。思考题

10-1一根不可伸长的绳子绕过不计重量的定滑轮，绳的一端悬挂物块，另一端有一个与物块重量相等的人，如思10-1图所示，人从静止开始沿绳子往上爬，其相对速率为u。试问物体动还是不动？为什么？思10-1图

10-2两相同的均质滑轮各绕以细绳，如思10-2图所示。(a)图中绳的末端挂一重为mg的物块；(b)图中绳的末端作用铅直向下的力F，设F＝mg。问两滑轮的角加速度α是否相同？为什么？思10-2图

10-3一根细绳跨过滑轮，绳的两端分别系一物块A、B，如思10-3图所示。设圆盘对Ｏ轴的转动惯量为J，是否可根据定轴转动微分方程建立关系式Jα=(mA-mB)Rg？为什么？思10-3图

10-4小球沿倾斜的粗糙桌面滚下(设无滑动)，试问：小球在斜桌面上滚动时，是否具有角加速度？小球离开斜桌面后将如何运动？试做定性说明。

10-5质量为m的均质圆盘，平放在光滑水平面上。若受力情况分别如思10-5(a)、(b)、(c)图所示，且R＝２r，试问圆盘各做什么运动？思10-5图习题

10-1圆轮质量为m，外径为R，内径为r；轮辐为6根均质杆，质量各为m′。一绳跨过圆轮，两端悬挂质量分别为m1、m2的重物。设该瞬时圆轮以角速度ω绕Ｏ中心轴转动，求整个系统对Ｏ的动量矩。

10-2如题10-2图所示，某刚体做平面运动，图示平面为其质心的运动平面。已知运动方程为xC=3t2,yC=4t2,φ=

t3,其中长度以m计，角度以rad计，时间以ｓ计。设刚体质量为10kg，对于通过质心Ｃ且垂直于图面的惯性半径ρ＝0.5m，求当ｔ＝2s时，刚体对坐标原点的动量矩。题10-2图

10-3如题10-3图所示，通风机风扇的转动部分对于其轴的转动惯量为J，以初角速度ω0转动，空气阻力矩M=kω2，

k为比例系数，问经过多少时间角速度减少为初角速度的一半？在此时间内风扇转了多少转？题10-3图

10-4如题10-4图所示，均质杆AB长l，质量为m1，B端附近有一质量为m2的小球(小球可视为质点)，杆上D点系一个弹簧系数为k的弹簧，使杆在水平位置保持平衡。设给小球B一个微小初位移δ0，而v0=0，试求AB杆的运动规律。题10-4图

10-5如题10-5图所示，已知圆轮的质量是40kg，悬挂于扭转刚度为58N·m/rad的钢杆上，测得周期为2s，求该轮的回转半径。题10-5图

10-6一个半径为r、质量为m1的均质水平圆形转台，可绕通过中心Ｏ并垂直于台面的铅直轴转动。质量为m2的物块Ａ，按s=at2/2的规律沿台的边缘运动。开始时，圆台是静止的。求物块运动以后，圆台在任一瞬时的角速度与角加速度。

10-7如题10-7图所示，两摩擦轮质量各为m1、m2，半径分别是R1、R2，在同一平面内分别以角速度ωo1与