新教材2025版高中数学第六章计数原理6.2排列与组合6.2.3组合6.2.4组合数第1课时学生用书新人教A版选择性必修第三册

第1课时课标解读1.理解组合的概念，能正确区分排列与组合．2．能记住组合数的计算公式，了解组合数的性质以及组合数与排列数之间的关系，并能运用组合数公式与组合数的性质进行运算．3．能利用组合数公式解决简洁的组合应用题．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一组合的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素❶作为________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．要点二组合数的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数❷，用符号________表示．要点三组合数公式Cnm＝助学批注批注❶取出的m个元素不讲究依次，即元素没有位置的要求．批注❷从集合的角度理解组合数的概念．例如，从3个不同的元素a，b，c中任取2个的全部组合构成的集合为A＝{ab，ac，bc}，则组合数即为集合A的元素个数．夯实双基1．推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)组合与所选出的元素的排列依次有关．()(2)两个组合的元素相同，则这两个组合是相同的．()(3)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C3(4)从a，b，c，d中选取2个合成一组，其中a，b与b，a是同一个组合．()2．(多选)下列问题中是组合问题的是()A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学去参与两个社区的社会调查，有多少种不同的选法？B．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学，有多少种不同的选法？C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？D．3本相同的书分给5名同学，每人一本，有多少种安排方法？3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是()A．1B．2C．3D．64．求值：7C题型探究·课堂解透——强化创新性题型1组合的概念例1推断下列各事务是排列问题还是组合问题．(1)10个人相互各写一封信，共写多少封信？(2)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？(3)从10个人中选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的代表，有多少种选法？方法归纳依据排列与组合的定义进行推断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事务，然后看问题是否与依次有关，与依次有关的是排列，与依次无关的是组合．巩固训练1(多选)给出下列问题，属于组合问题的有()A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参与两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法B．有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法C．某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种D．从2，3，5，7，11中任选两个数相乘，可以得到多少个不同的积题型2写出简洁问题的全部或部分组合例2已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的全部组合．方法归纳写出n个不同元素中选出m个元素的全部组合的方法从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借助本例所示的“依次后移法”(如法一)或“树状图法”(如法二)，直观地写出组合，做到不重复不遗漏．巩固训练2在A，B，C，D四位候选人中，选举两人负责班级工作，写出全部可能的选举结果．题型3组合数公式的应用例3(1)[2024·湖北襄阳高二期末]已知C8m＝C8A．1B．3C．1或3D．1或4(2)计算：Cn(3)证明：Cn方法归纳组合数公式应用的策略巩固训练3(1)[2024·广东东莞高二期末]计算：A5(2)[2024·山东临沂高二期中]已知Cn+12题型4简洁的组合问题例4在一次数学竞赛中，某学校有10人通过了初试，学校要从中选出5人参与市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)随意选5人；(2)甲、乙、丙三人必需参与；(3)甲、乙、丙三人不能参与；(4)甲、乙、丙三人中只能有1人参与．方法归纳解答简洁的组合问题的一般步骤巩固训练4现有8名老师，其中5名男老师，3名女老师．(1)现要从中选2名去参与会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女老师各2名去参与会议，有多少种不同的选法？第1课时新知初探·课前预习[教材要点]要点一一组要点二C要点三n(n[夯实双基]1．(1)×(2)√(3)×(4)√2．解析：AC与依次有关，是排列问题；BD与依次无关，是组合问题．故选BD.答案：BD3．解析：随意两地之间来回的票价相同，所以是组合问题，所求票价种数为C答案：4．解析：7C6答案：0题型探究·课堂解透例1解析：(1)是排列问题．因为发信人与收信人是有区分的．(2)是组合问题．因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有依次的区分．(3)是组合问题．因为3个代表之间没有依次的区分．(4)是排列问题．因为3个人中，担当哪一学科的代表是有依次区分的．巩固训练1解析：对于A，从3名同学中选出2名同学后，安排到两个乡镇涉及依次问题，是排列问题；对于B，从7人中选出4人观看不涉及依次问题，是组合问题；对于C，射击命中不涉及依次问题，是组合问题；对于D，乘法满意交换律，两数相乘的积不涉及依次，是组合问题．故选BCD.答案：BCD例2解析：方法一可按AB→AC→AD→BC→BD→CD依次写出，即所以全部组合为：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.方法二画出树状图，如图所示．由此可以写出全部的组合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.巩固训练2解析：从四位候选人中选举两人负责班级工作是组合问题，全部可能的选举结果：AB，AC，AD，BC，BD，CD.例3解析：(1)由C8m＝C82m-1可知：m＝2m－1或者m＋2(2)由n得n＝4或5.当n＝4时，原式＝C当n(3)证明：因为Cnk·C＝n！Cnm·C＝n！所以Cn答案：(1)C(2)见解析(3)见解析巩固训练3解析：(1)因为A52＝5×4＝20，C108＝(2)由题意，n+1n2＋n(n－1)＝51⇒3n2－n－102＝0⇒(n－6)(3n＋17)＝0，得n＝6(n＝－答案：(1)65(2)6例4解析：(1)从中任取5人是组合问题，共有C10(2)甲、乙、丙三人必需参与，则只须要从另外7人中选2人，是组合问题，共有C7(3)甲、乙、丙三人不能参与，则只需从另外的7人中选5人，共有C75＝(4)甲、乙、丙三人中