新教材2025版高中数学第四章概率与统计4.1条件概率与事件的独立性4.1.3独立性与条件概率的关系学生用书新人教B版选择性必修第二册

4．1.3独立性与条件概率的关系[课标解读]1.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系.2.能够结合详细实例，理解随机事务的独立性和条件概率的关系．【教材要点】学问点一两个事务独立的直观理解若事务A是否发生对事务B发生的概率没有影响，事务B是否发生对事务A发生的概率也没有影响，则称两个事务A，B相互独立，并把这两个事务叫做____________．且A，B为两个事务独立的充要条件是P(AB)＝P(A)·P(B).学问点二独立性与条件概率的关系设A，B为两个事务，A，B独立的充要条件是P(B|A)＝P(B)，(P(A|B)＝P(A))即若事务B发生的概率与已知事务A发生时事务B发生的概率相等，即事务A发生，不会影响事务B发生的概率，则称两个事务A，B相互独立，并把这两个事务叫做____________．学问点三相互独立事务的概率的乘法公式若事务A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B),P(A|B)＝P(A)，此时概率的乘法公式可简化为：P(AB)＝P(A)·P(B).学问点四n个事务相互独立也可借助条件概率来理解对于n个事务A1，A2，…，An，假如其中任一个事务发生的概率不受________________的影响，则称n个事务A1，A2，…，An相互独立．学问点五n个相互独立事务的概率公式假如事务A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事务都发生的概率，等于______________________，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)，并且上式中随意多个事务Ai换成其对立事务后等式仍成立．【基础自测】1．下列说法不正确的有()A．对事务A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事务A与B相互独立B．若事务A，B相互独立，则P(A∩B)＝P(A)×P(B)C．假如事务A与事务B相互独立，则P(B|A)＝P(B)D．若事务A与B相互独立，则B与B相互独立2．抛掷3枚质地匀称的硬币，A＝{既有正面对上又有反面对上}，B＝{至多有一个反面对上}，则A与B的关系是()A．互斥事务 B．对立事务C．相互独立事务 D．不相互独立事务3．袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，用B表示“其次次摸到白球”，则A与B是()A．互斥事务 B．相互独立事务C．对立事务 D．非相互独立事务4．明天上午李明要参与“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.题型1相互独立事务的推断例1推断下列各对事务是否是相互独立事务．(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参与演讲竞赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中随意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中随意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．状元随笔(1)利用独立性概念的直观说明进行推断.(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事务“从剩下的7个球中随意取出一球还是白球”的概率是否相同进行推断.(3)利用事务的独立性定义式推断．方法归纳推断事务是否相互独立的方法1．定义法：事务A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B).2．由事务本身的性质干脆判定两个事务发生是否相互影响．3．条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)推断．跟踪训练1(1)下列事务中，A，B是相互独立事务的是()A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“其次次为反面”B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“其次次摸到白球”C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事务A：“甲击中目标”，事务B：“乙击中目标”，则事务A与事务B()A．相互独立但不互斥B．互斥但不相互独立C．相互独立且互斥D．既不相互独立也不互斥题型2相互独立事务发生的概率例2面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在探讨疫苗，现有A，B，C三个独立的探讨机构在肯定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15，14，(1)他们都研制出疫苗的概率；(2)他们都失败的概率；(3)他们能够研制出疫苗的概率．状元随笔eq\x(明确已知事务的概率及其关系)→eq\x(把待求事务的概率表示成已知事务的概率)→eq\x(选择公式计算求值)方法归纳1．求相互独立事务同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事务之间是相互独立的；(2)确定这些事务可以同时发生；(3)求出每个事务的概率，再求积．2．运用相互独立事务同时发生的概率计算公式时，要驾驭公式的适用条件，即各个事务是相互独立的，而且它们能同时发生．跟踪训练2一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．题型3事务的相互独立性与互斥性【思索探究】1．甲、乙二人各进行一次射击竞赛，记A＝“甲击中目标”，B＝“乙击中目标”，试问事务A与B是相互独立事务，还是互斥事务？事务A∩B与A∩B呢？[提示]事务A与B，A与B，A与B均是相互独立事务，而A∩B与A∩B是互斥事务．2．在1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？[提示]“甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事务C，则C＝A∩B＋A∩B.所以P(C)＝P(A∩B＋A∩B)＝P(A∩B)＋P(A∩B)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.3．由1、2，你能归纳出相互独立事务与互斥事务的区分吗？[提示]相互独立事务与互斥事务的区分相互独立事务互斥事务条件事务A(或B)是否发生对事务B(或A)发生的概率没有影响不行能同时发生的两个事务符号相互独立事务A，B同时发生，记作：AB互斥事务A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)计算公式P(A∩B)＝P(A)P(B)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)例3红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋竞赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘竞赛结果相互独立．求：(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；(2)求红队至少两名队员获胜的概率．状元随笔弄清事务“红队有且只有一名队员获胜”与事务“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本领件组成的，及这些事务间的关系，然后选择相应概率公式求值．方法归纳1．本题(2)中用到干脆法和间接法．当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．2．求困难事务的概率一般可分三步进行：(1)列出题中涉及的各个事务，并用适当的符号表示它们；(2)理清各事务之间的关系，恰当地用事务间的“并”“交”表示所求事务；(3)依据事务之间的关系精确地运用概率公式进行计算．跟踪训练3[2024·北京丰台区高二月考]抛掷两枚质地匀称的硬币，设事务A＝“第一枚硬币正面朝上”，事务B＝“其次枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为()A．互斥 B．相互对立C．相互独立 D．相等4．1.3独立性与条件概率的关系新知初探·自主学习[教材要点]学问点一相互独立事务学问点二相互独立事务学问点四其他事务是否发生学问点五每个事务发生的概率的积[基础自测]1．解析：若P(B|A)＝P(B)，则P(A∩B)＝P(A)·P(B)，故A，B相互独立，所以A正确；若事务A，B相互独立，则A，B也相互独立，故B正确；若事务A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故C正确；B与B相互对立，不是相互独立，故答案：D2．解析：由已知，有P(A)＝1－28＝34，P(B)＝1－48＝12，P(AB)＝答案：C3．解析：依据互斥事务、对立事务及相互独立事务的概念可知，A与B不是相互独立事务．答案：D4．解析：设两个闹钟至少有一个准时响的事务为A，则P(A)＝1－(1－0.80)(1－0.90)＝1－0.20×0.10＝0.98.答案：0.98课堂探究·素养提升例1解析：(1)“从甲组中选出1名男生”这一事务是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事务发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事务．(2)“从8个球中随意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事务发生了，则“从剩下的7个球中随意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事务没有发生，则后一事务发生的概率为5(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，∴P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝1∴P(AB)＝P(A)·P(B)，∴事务A与B相互独立．跟踪训练1解析：(1)把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A项是相互独立事务；B中是不放回地摸球，明显A事务与B事务不相互独立；对于C，A，B应为互斥事务，不相互独立；D是条件概率，事务B受事务A的影响．故选A.(2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事务A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事务A与B可能同时发生，所以事务A与B不是互斥事务．故选A.答案：(1)A(2)A例2解析：令事务A，B，C分别表示A，B，C三个独立的探讨机构在肯定时期内胜利研制出该疫苗，依题意可知，事务A，B，C相互独立，且P(A)＝15，P(B)＝14，P(C)＝(1)他们都研制出疫苗，即事务A，B，C同时发生，故P(A∩B∩C)＝P(A)×P(B)×P(C)＝15×1(2)他们都失败即事务A，故P(A∩B∩C)＝P(A)×P(B)×P(C)＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))＝1＝45×3(3)“他们能研制出疫苗”的对立事务为“他们都失败”，结合对立事务间的概率关系可得所求事务的概率P＝1－P(A∩B∩C)＝1－25＝3跟踪训练2解析：记“第1次取出的2个球都是白球”的事务为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事务为B，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事务为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事务．(1)P(A∩B)＝P(A)P(B)＝C32C52故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是3100(2)P(C∩A)＝P(C)P(A)＝C31C21C5故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是950例3解析：设甲胜A的事务为D，乙胜B的事务为E，丙胜C的事务为F，则D，因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事务的概率公式知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.(1)红队有且只有一名队员获胜的事务有D∩E∩F，D∩E∩F，D∩E∩F，以上3个事务彼此互斥且独立．∴红队有且只有一名队员获胜的概率P1＝P[(D∩E∩F)∪D∩E∩F)∪D∩E＝P(D∩E∩F)＋P(D∩E∩F)＋PD∩E∩F)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.(2)方法一：红队至少两人获胜的事务有：D∩E∩F，D∩E∩F，D∩E由于以上四个事务两两互斥且各盘竞赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(D∩E∩F)＋P(D∩E∩F)+PD∩E∩F)+P(D∩E∩F)＝0.6×0.5×