新教材2025版高中数学课时作业48柱锥台的体积北师大版必修第二册

课时作业48柱、锥、台的体积[练基础]1．已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是()A．9eq\r(55)πB．9eq\r(55)C．3eq\r(55)πD．3eq\r(55)2．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1­ACD的体积是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．13．棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为()A.eq\f(a3,3)B.eq\f(a3,4)C.eq\f(a3,6)D.eq\f(a3,12)4．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，各侧棱和底面的边长均为a，点D是CC1上随意一点，连接A1B，BD，A1D，AD，则三棱锥A­A1BD的体积为()A.eq\f(1,6)a3B.eq\f(\r(3),12)a3C.eq\f(\r(3),6)a3D.eq\f(1,12)a35．一个长方体的三个面的面积分别是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，则这个长方体的体积为________．6．若圆锥的表面积是15π，侧面绽开图的圆心角是60°，求圆锥的体积．[提实力]7．[多选题]如图所示，正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′­EFQ的体积与点E、F、Q的位置关系说法错误的是()A．与点E，F的位置有关B．与点Q的位置有关C．与点E，F，Q的位置都有关D．与点E，F，Q的位置均无关，是定值8．棱台上、下底面面积之比为1:9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是________．9．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，求h.[战疑难]10．体积为1的正四面体被放置于一个正方体中，则此正方体体积的最小值是________．

课时作业48柱、锥、台的体积1．解析：设圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝6π，∴r＝3.设圆锥的高为h，则h＝eq\r(82－32)＝eq\r(55)，∴V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h＝3eq\r(55)π.故选C.答案：C2．解析：三棱锥D1­ADC的体积V＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).故选A.答案：A3．解析：棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体事实上是两个底面相等的正四棱锥，四棱锥的底面是正方形面积的一半，高为正方体高的一半，故八面体的体积为2×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×a×a×eq\f(1,2)×a＝eq\f(a3,6)，故选C.答案：C4．解析：如图，由条件可得点B到侧面ACC1A1的距离为eq\f(\r(3),2)a，即三棱锥B­AA1D的高为eq\f(\r(3),2)a.∴VA­A1BD＝VB­AA1D＝eq\f(1,3)·S△AA1D·eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),12)a3.答案：B5．解析：设长方体中从一个顶点动身的三条棱的长分别为a，b，c.由长方体的三个面的面积分别是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘可得(abc)2＝6，∴长方体的体积V＝abc＝eq\r(6).答案：eq\r(6)6．解析：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则2πr＝eq\f(1,3)πl，得l＝6r.又S锥＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，得r＝eq\r(\f(15,7))，圆锥的高h＝eq\r(35)·eq\r(\f(15,7))，V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\f(15,7)×eq\r(35)×eq\r(\f(15,7))＝eq\f(25\r(3),7)π.7．解析：因为点Q到平面A′EF的距离为正方体的棱长4，A′到EF的距离为正方体的棱长4，所以V三棱锥A′­EFQ＝V三棱锥Q­A′EF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×4＝eq\f(16,3)，是定值，因此三棱锥A′­EFQ的体积与点E，F，Q的位置均无关．故选ABC.答案：ABC8．解析：设棱台高为2h，上底面面积为S，则下底面面积为9S，中截面面积为4S，eq\f(V上,V下)＝eq\f(\f(1,3)S＋\r(S·4S)＋4S·h,\f(1,3)4S＋\r(4S·9S)＋9S·h)＝eq\f(7,19).答案：eq\f(7,19)9．解析：设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为eq\f(1,3)πR2h，圆柱形容器内的液体体积为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2h.依据题意，有eq\f(1,3)πR2h＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2h，解得R＝eq\f(\r(3),2)a.再依据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相像三角形，得eq\f(\f(\r(3),2)a,a)＝eq\f(h,a)，所以h＝eq\f(\r(3),