【高考数学 题型方法解密】专题13 计数原理(原卷及答案)-高考数学常考点 重难点复习攻略（新高考专用）

专题13计数原理7类常考题型训练

目录

一常规题型方法...........................................................1

题型一分类分步问题（特殊位置与特殊元素优先法、染色问题、排数问题）....1

题型二排队模型（捆绑法、插空法、缩倍法、间接法）.......................3

题型三分组模型（平均分组与不平均分组、隔板法、间接法）.................5

题型四二项式定理、二项式系数、项的系数..................................8

题型五三项展开式与两个二项式乘积展开式.................................10

题型六二项式定理逆用、整除问题、近似值问题............................11

题型七杨辉三角.........................................................12

二针对性巩固练习........................................................14

练习一分类分步问题（特殊位置与特殊元素优先法、染色问题、排数问题）……―14

练习二排队模型（捆绑法、插空法、缩倍法、间接法）......................14

练习三分组模型（平均分组与不平均分组、隔板法、间接法）................15

练习四二项式定理、二项式系数、项的系数.................................16

练习五三项展开式与两个二项式乘积展开式.................................17

练习六二项式定理逆用、整除问题、近似值问题............................17

练习七杨辉三角.........................................................18

常规题型方法

题型一分类分步问题（特殊位置与特殊元素优先法、染色问题、排

数问题）

【典例分析】

典例1-1.（2023秋・河北石家庄•高二校联考期末）2023年元旦假期，小明同学外出

去某超市购物，获得了该超市的一次抽奖机会，需从9个外观完全相同的盲盒中，

随机抽取3个.已知这9个盲盒中，其中3个盲盒各装有1支完全相同的钢笔，另

外6个盲盒中，各装有不同的1个小饰品，则拆开选取的3个盲盒后，小明获奖的

情形为（）种

A.84B.42C.41D.35

典例12（2022秋.辽宁朝阳•高二校联考阶段练习）“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，

节约粮食是我国的传统美德.已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜,

小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的

选取方法有（）

A.13种B.22种C.30种D.60种

典例1-3.（2023•全国•高三专题练习）如图，矩形的对角线把矩形分成4、B、C、D

四部分，现用五种不同色彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分

颜色互异，共有（）种不同的涂色方法？

A.260B.180C.240D.120

典例1-4.（2022春•天津河西•高二天津实验中学校考期中）从024,6中任取3个数

字，从1,3,5中任取2个数字，组成没有重复数字的五位奇数，则这样的五位数共有

（）

A.252B.396C.468D.612

【方法技巧总结】

1.技巧：注意特殊位置与特殊元素优先处理，对于染色问题与排数问题都要注意分

类讨论。

【变式训练】

1.（2022秋・江苏南通・高三统考阶段练习）已知电影院有三部影片同时上映，一部

动画片，一部喜剧片，一部动作片，5名同学前去观看，若喜剧片和动作片各至少

两人观看，则不同的观影方案共有（）种.

A.30B.40C.50D.80

2.（2022春•上海闵行•高二校考期末）现有5名同学去听同时进行的4个课外知识

讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（）

A.45B.54C.20D.9

3.（2023・全国•高三专题练习）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同

颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有

（）种

A.36B.48C.54D.72

4.（2022春・广东清远福二统考期末）回文联是我国对联中的一种，它是用回文形

式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代

北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上

客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与例读都是同一个数的

正整数，被称为“回文数”，如22,575,1661等.那么用数字1,2,3,4,5可以

组成4位“回文数”的个数为（）

A.25B.20C.30D.36

题型二排队模型（捆绑法、插空法、缩倍法、间接法）

【典例分析】

典例2-1.（2022秋•辽宁葫芦岛•高二校联考期中）小陈准备将新买的《尚书・礼记》、

《左传》、《孟子》、《论语》、《诗经》五本书立起来放在书架上，若要求《论语》、《诗

A.18种B.24种C.36种D.48种

典例2-2.（2022秋・辽宁朝阳•高二校联考阶段练习）《红楼梦》是中国古代章回体长

篇小说，中国古典四大名著之一，《红楼梦》第三十七回贾探春提议邀集大观园中有

文采的人组成海棠诗社.诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭；醉飞吟盏於帘杏

溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉诗社成员有8人：林黛玉、

薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉及李纨，若这8人排成一排进

人大观园，且林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻，则不同的排法种数有（）

A.1440R.2400C.14400D.86400

典例2-3.（2022秋•辽宁铁岭•高二昌图县第一高级中学校考阶段练习）元宵节灯展

后，悬挂有8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共有

C.90种D.280种

典例2-4.（2022・全国•高三专题练习）某晚会上需要安排4个歌舞类节目和2个语言

类节目的演出顺序，要求语言类节目之间有且仅有2个歌舞类节目，则不同的演出

方案的种数为（）.

A.72B.96C.120D.144

【方法技巧总结】

1.技巧：相邻问题用捆绑法；不相邻问题用插空法；定序问题与环排问题可用缩倍

法；当正向思考情况过多时可“正难则反”使用间接法来处理。

【变式训练】

1.（2022秋・浙江•高二校联考阶段练习）某学校筹备元旦晚会节目单时，准备在前

五个节目排三个歌唱节目，一个小品节目以及一个相声节目，若三个歌唱节目最多

有两个相邻，则不同的排法总数为（）

A.75B.80C.84D.96

2.（2022秋・湖北褰阳•高三襄阳五中校考阶段练习）根据新课改要求，昆明市艺卓

中学对学校的课程进行重新编排，其中对高二理科班的课程科目：语文、数学、英

语、物理、化学、生物这六个科目进行重新编排（排某一天连续六节课的课程，其

中每一节课是一个科目），编排课程要求如下：数学与物理不能相邻，语文与生物要

相邻，则针对这六个课程不同的排课顺序共有（）

A.144种B.72种C.36种D.18种

3.（2022春•江苏苏州・高二昆山震川高级中学校考期中）现有8个人围成一圈玩游

戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（）

A.B.A”A：A；C.A；A；D.A；-A；A；

4.（2022秋•黑龙江哈尔滨・高二哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）中国古

代中的“礼、乐、射、御、书、数”，合称“六艺”.“礼”主要指德育;“乐”主要指美育；

“射”和“御”就是休育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团

开展“六艺”讲座活动，每次讲一艺.讲座次序要求“数”不在第一次也不在第六次，“礼''

和“乐”不相邻，贝IJ“六艺”讲座不同的次序共有（）

A.480种B.336种C.144和D.96种

题型三分组模型（平均分组与不平均分组、隔板法、间接法）

【典例分析】

典例3-1.（2022秋•新疆巴音郭楞•高二新疆和静高级中学校考阶段练习）中国空间

站的主体结构包括天和核心实验舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲

、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有

<）种

A.450B.72C.90D.360

典例3-2.（2022♦全国•高三专题练习）疫情期间，有6名同学去社区做防疫志愿者，

根据需要，要安排这6名同学去甲、乙两个核酸检测点，每个检测点至少去2名同学，

则不同的安排方法共有（）

A.10种B.20种C.50利।D.70种

典例3-3.（2022春•黑龙江佳木斯•高二校联考期末）北京2022年冬奥会吉祥物“冰

墩墩”和冬残奥会吉祥物，雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克

精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会

和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体

育广场，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者

安装，则不同的安装方案种数为（）

A.8B.10C.12D.14

典例3-4.（2022•山东潍坊・二模）某学校为增进学生体质，拟举办长跑比赛，该学校

高一年级共有6个班，现将8个参赛名额分配给这6个班，每班至少1个参赛名额，则

不同的分配方法共有（）

A.15种B.21种C.30种D.35种

典例3-5.（2023・全国•高三专题练习）北京冬奥会期间，比赛项目丰富多彩，为了实

时报道精彩的比赛过程，需要安排5名记者前往国家体育场、国家体育馆和首都体

育馆二个比赛场地进行实地报道,每个场地至少有一名记者,每名记者只夫一个场地.

并且记者甲不去国家体育馆，记者乙不去国家体育场.则安排方式共有（）

A.87种B.72种C.96种D.69种

【方法技巧总结】

1.技巧：在分组时如果出现两组个数相同，则此问题为平均分组或部分平均分组问

题，使用缩倍法处理；元素完全相同的分组分配问题可使用隔板法。

【变式训练】

1.（2022秋・甘肃张掖•高三高台县第一中学校考阶段练习）安徽省地形具有平原、

台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著

名的山也有很多，比如：黄山、九华山、天柱山.某校开设了研学旅行课程，计划将

5名优秀学生分别派往这三个地方进行研学旅行，每座山至少有一名学生参加，则

不同的安排方案种数是（）

A.150B.120C.160D.180

2.（2023•全国•高三专题练习）为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教

师队伍建设改革意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡

发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同

体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一

年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（）

A.2640B.1440C.2160D.1560

3.（2023・全国•高三专题练习）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥

物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.为了表彰A、8两

个志愿者小组，组委会决定将3个不同造型的“冰墩墩''吉祥物和3个不同造型“雪容

融'‘吉祥物，平均分配给A、8两个小组，要求每个小组至少有一个“冰墩墩”，则这6

个吉祥物的分配方法种数为（）

A.9B.18C.19D.20

4.（2022.全国•高二专题练习）袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球,

每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的

情况一共有（）

A.84种B.504种C.729和D.39种

5.（2022•浙江嘉兴•校考模拟预测）第19届亚运会即将于2022年9月10日至9月

25日在美丽的西子湖畔杭州召开，为了办好这•届“中国特色、浙江风采、杭州韵

味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州亚运会组委会决定进行赛会志愿者招募，此举

得到在杭大学生的踊跃支持.某高校3男同学和2位女同学通过筛选加入志愿者服务,

通过培训，拟安排在游泳、篮球、射击、体操四个项目进行志愿者服务，这四个项

目都有人参加，要求2位女同学不安排一起，且男司学小王、女同学大雅由于专业

需要必须分开，则不同的安排方法种数有（）

A.144B.150C.168D.192

题型四二项式定理、二项式系数、项的系数

【典例分析】

/1\'0

典例4-1.（2022秋・吉林长春•高三长春外国语学校校考期中的展开式中,

力的系数等于（）

A.-45B.-10C.10D.45

典例4-2.（2022・全国•高三专题练习）已知（五十1]的展开式中，第3项的系数与

倒数第3项的系数之比为白，则展开式中二项式系数最大的项为第（）项.

10

A.3B.4C.5D.6

典例4-3.（2022秋・云南昆明•高三云南师大附中校考阶段练习）二项式,十9]’的

展开式中所有二项式系数之和为64,则二项式的展开式中常数项为（）

A.9B.15C.135D.540

典例4-4.（2022春•江苏扬州・高二扬州市江都区丁沟中学校考期末）若二项式

,的展开式中所有项的系数和为1024,则展开式中的常数项为（）

A.25B.-25C.15D.-15

典例4-5.（2023秋・江苏泰州•高三统考期末）若（x+y『=%），6+a因，5+的k/+...+4,巴

则（40+。2+q+。6）2-卜71+%+%）2的值为（）

A.0B.32C.64D.128

典例4-6.（2023秋・江西南昌•高二南昌市外国语学校校考期末）已知

4525

（x-1）+2X=a0+«,（x+l）+a2（x+l）++a5（x+l）,则生=（）

A.-2B.2C.4D.12

【方法技巧总结】

1.二项式定理:（a+〃）"=C%"+C『%+•••+「/"+•・＜1»"，通项：

2.相关性质：

（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等。即C：=C,T”

（2）当A＜四时，二项式系数逐渐增大；当”＞四时，二项式系数逐渐减小。

22

（3）二项式系数的最大值

当〃是偶数时，中间一项（第1+1项）的二项式系数最大，最大值C。

当〃是奇数时，中间两项（第±1+1项和第四+］项）的二项式系数相等，且同时

22

w-1/J>I

取到最大值，最大值为。了或C7。

（4）各二项式系数的和

（〃+%）”的展开式的各二项式系数的和等于2”;奇数项和偶数项的二项系数的和相等,

为。

（5）各项系数的问题：/*）=/+中+W2+...4心则各项系数之和为了⑴。奇数

项系数之和…+#..=/”（一）;偶数项系数之和

Al）-y（-l）

4+/+%+-='——j——。

【变式训练】

1.（2000・全国・高考真题）二项式（正+石幻’°的展开式中系数为有理数的项共有（）

A.6项B.7项C.8项D.9项

2.（2022•浙江•校考模拟预测）若二项式（2x+

的展开式中只有第7项的

二项式系数最大，若展开式的有理项中第攵项的系数最大，则A=（）

A.5B.6C.7D.8

3.（2022春・山东聊城•高二山东聊城一中校考期中）已知（IT）"的展开式中第3项与

第7项的二项式系数相等，则展开式中的第3项为（）

A.-8B.-8xC.-28/D.28/

4.（2023秋・甘肃兰州・高三兰化一中校考阶段练习），+与"的展开式中只有第5项

的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为256,则。的值为（）

A.1B.-1C.3D.1或-3

5.（2022・全国•高三专题练习）已知C：=C；,设

（2x-3）r，=（x-1）+（x-1）2+■••+«„（x-1）°,则q+G+…+4=（）

A.-1B.0C.1D.2

6.（2022春♦山东临沂•高二统考期中）对任意实数工,有

9

（2彳-3）9=恁+4（彳-1）+出（工-1『+〃3（4-1）3++a9（x-l）,贝lj（）

A.%=1B.a2=-144

9

C.«i+a2++%=1D.«0-tzl+6f2----679=3

题型五三项展开式与两个二项式乘积展开式

【典例分析】

典例5-1.（2022秋•重庆沙坪坝•高三重庆南开中学校考阶段练习）（2/+），+1了的展

开式中一/项的系数为（）

A.120B.160C.180D.210

典例5-2.（2022秋・山西•高三校联考阶段练习）在《+”.12+］了的展开式中，常数

项为（）

A.12B.13C.15D.18

【方法技巧总结】

1.技巧：选取法可以处理上述两类不标准的情况，注意选取要分情况，且满足不重

不漏。

【变式训练】

1.（2022秋・贵州•高三校联考阶段练习）在化-x+i1的展开式中，常数项为（）

A.-81B.81C.-160D.160

2.（2022•青海西宁遵川中学校考一模）（1+力（2必亡）的展开式中的常数项是（）

A.-160B.-l（X）C.-20D.20

题型六二项式定理逆用、整除问题、近似值问题

【典例分析】

典例6-1.（2022秋・湖南长沙•高三雅礼中学校考阶段练习）

-2%+22dg+…+2］必谭的值是（）

A.0B.1C.-ID.22022

典例6-2.（2023・高二课时练习）设awZ,且0313,若51刈$+a能被13整除,则

。的值为（）.

A.0B.1C.11D.12

典例6-3.（2023・全国•高二专题练习）0.99,的计算结果精确到0.001的近似值是（）

A.0.930B.0.931C.0.932D.0.933

【方法技巧总结】

1.技巧：二项式定理逆用要熟悉两类模型，并注意补项；整除问题与近似值问题都

主要进行配凑展开。

【变式训练】

1.（2021春♦江苏淮安•高二校联考期中）设复数（i是虚数单位），则

1-1

C/x+Cir+C短2^3++C器”22=（）

A.-2B.-zC.2D.0

2.（2022・全国•高三专题练习）已知SnZ-ZRc然+2?8殿+…+2C',则s除以10所

得的余数是（）

A.2B.3C.6D.8

3.（2021春•安徽•高二校联考期末）估算

C!0.998+C；0.9982+C0.9983+C；0.998』+C».998s的结果，精确到001的近似值为：）

A.30.84B.31.84C.30.40D.32.16

题型七杨辉三角

【典例分析】

典例7-1.（2022・全国•高三专题练习）下表出现在我国南宋数学家杨辉的著作《详解

九章算法》中，称之为“杨辉三角”，该表中第10行第7个数是（）

C.84D.36

典例7-2.（2022秋・北京•高三统考阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的现

宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.

如图，若在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依

次构成一个数列：1,2,3,3,6,4,10,5,…，则此数列的前20项的和为（）

第1行11

第2行12^-1

第3行13<-3I

第4行14^—641

第5行15To105I

A.350B.295C.285D.230

【方法技巧总结】

1.技巧：注意把每一行对应还原二项式，从而能够把任一行任一列的数写成二项式

系数；与数列结合的题需注意新数列的项数求法与二项式性质的结合。

【变式训练】

1.（2022春・广东肇庆•高二校联考阶段练习）习近平总书记在“十九大”报告中指出:

坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化，“杨辉三角”揭示了二项式系数

在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解

九章算法》一书中出现欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近

四百年.“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好

者的探究欲望，如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角''中，第】0行中从左至右

第5与第6个数的比值为（）

第。行I

第I行11

第2行121

第3行1331

14641

第5疗I51010II

2.（2020春.湖南长沙高一湖南师大附中校考期末）我国南宋数学家杨辉1261年所

著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的

一个伟大成就.在“杨辉三角''中，若去除所有为1的项,依次构成数列2,3,3,4,

6,4,5,10,10,5,则此数列的前56项和为（）

A.2060B.2038C.4084D.4108

针对性巩固练习

练习一分类分步问题（特殊位置与特殊元素优先法、染色问题、排

数问题）

1.（2022秋・福建莆田•高二校考期末）已知甲袋子中装有1个红球和3个白球，乙

袋子中装有3个红球和2个白球，若从甲、乙两个袋子中各取出2个球，则取出的

4个球中恰有2个红球的不同取法共有（）

A.9种B.18种C.27种D.36种

2.（2022春・福建・高二福建师大附中校考期中）四名师范生从A,B,C三所学校中

任选一所进行教学实习，其中A学校必有师范生去，则不同的选法方案有（）

A.37种B.65种C.96种D.108种

3.（2022秋♦吉林四平•高二四平市第一高级中学校考阶段练习）给如图所示的5块

区域A,B,C,D,E涂色,要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使月不

同的颜色，现有红、黄、蓝、绿、橙5种颜色可供选择，则不同的涂色方法有（）

A.120种B.720种C.840和D.960种

4.（2022・全国•高三专题练习）用1,2,3…，9这九个数字组成的无重复数字的四

位偶数中，各位数字之和为奇数的共有（）

A.600个B.540个C.480个D.420个

练习二排队模型（捆绑法、插空法、缩倍法、间接法）

5.（2023・全国•高三专题练习）在某个单位迎新晚会上有A、B、C、。、E、尸6个节

目，单位为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下具体要求，节目C必须安排在

第三位，节目。、户必须安排连在一起，则该单位迎新晚会节目演出顺序的编排方

案共有（）种

A.36B.48C.60D.72

6.（2023・全国•高三专题练习）现有6家商户预租赁某夜市的6个相邻的推位，其中

3家商户开特色小吃店，2家商户开文创产品店，一家商户开新奇玩具店，夜市管理

部门要求特色小吃店必须都相邻，且文创产品店不相邻，则不同的排法总数为（）

A.48B.72C.144D.96

7.（2022・全国•高二假期作业）为引领广大家庭和少年儿童继承党的光荣传统、弘扬

党的优良作风，进一步增强听党话、感党恩、跟党走的思想自觉性和行动自觉性，

某市文明办举行“少年儿童心向党''主题活动，献礼中国共产党成立100周年原定表

演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目

的顺序不变，那么不同排法的种数为（）

A.42B.56C.30D.72

8.（2023・全国•高三专题练习）举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2

月20日在北京举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往A、B、C、

。四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由

于工作需要甲同学和乙司学不能去同一场馆，则所有不同的安排方法种数为（）

A.216B.180C.108D.72

练习三分组模型（平均分组与不平均分组、隔板法、间接法）

9.（2022春•安徽・高二合肥一中校联考期末）第24届冬季奥运会于2022年2月4

日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市成功举行，举世瞩比中国奥运健

儿取得了多项历史性的突破，比赛期间要安排甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去国

家高山滑雪馆，国家速滑馆，首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每人去一个

场馆，每个场馆都要有人去，则不同的方案种数为（）

A.120B.150C.240D.300

10.（2022秋・四川眉山•高三校考开学考试）2021年4月24日是第六个“中国航天日”,

今年的主题是“扬帆起航逐梦九天为了制作一期展示我国近年来航天成就的展览,

某校科普小组的6名同学，计划分“神舟飞天”、“嫦娥奔月”、“火星探测”3个展区制作

展板，每人只负贡一个展区，每个展区至少有一人负贡，则不同的任务分配方案有

（）

A.990种B.630种C.540和D.480种

11.（2023・全国•高三专题练习）甲、乙、丙、丁共4名学生报名参加夏季运动会，每人

报名1个项目，目前有100米短跑、3000米长跑、跳高、跳远、铅球这5个项目可供

选择，其中100米短跑只剩下一个参赛名额，若最后这4人共选择了3个项目，则

不同的报名情况共有（）

A.224种B.288种C.314和D.248种

12.（2022春•吉林延边•高二延边二中校考期中）把6个相同的小球放入4个不同的

箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法（）

A.10种B.24种C.36种D.60种

13.（2022・全国•高三专题练习）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱、问天实

验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲、乙等5名航天员开展实验，二:舱中每个舱

至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（）

A.60B.66C.72D.80

练习四二项式定理、二项式系数、项的系数

/1\10

14.（2022秋・甘肃兰州•高三兰州四北中学校考期中）的展开式中丁项的

<7x）

系数是（）

A.-45B.45C.-120D.120

15.（2022•江苏南京•南京市江宁高级中学校考模拟预测）已知（1+2幻”的展开式中第

3项与第5项的二项式系数相等，则（1+2幻”的展开式的各项系数之和为（）

A.26B.28C.36D.38

16.（2022春•广西钦州高二钦州一中校考期中）若（x+3）”展开式的各项系数和等于

（7〃+。）“，展开式的一项式系数之和，贝心的值为（）

A.5B.8C.10D.15

17.（2023・全国•高二专题练习）已知（五-2［的展开式中只有第5项是二项式系数

\X）

最大，则该展开式中各顼系数的最小值为（）

A.-448B.-1024C.-1792D.-5376

32

18.（1999•全国•高考真题）（2x+\/3）=«（）+axx+azx+,则（4+?）?-（4+?）?

的值为（）

A.-1B.1C.0D.2

19.（2022春.江西抚州.高二南城县第二中学校考阶段练习）若

（X+I），=〃0+4（4-1）+〃2（]-1）2+…+。式/一1）5,则“3等于（）.

A.80B.40C.10D.1

练习五三项展开式与两个二项式乘积展开式

20.（2022秋・山东•高三校联考阶段练习）在卜+：-]1的展开式中，含V项的系数

为（）.

A.10B.15C.20D.30

21.（2022春•江苏无锡高二江苏省天一中学校考期中）若（1+〃/）（1+“的展开式中

父的系数为20,则实数（）

A.1B.2C.3D.4

练习六二项式定理逆用、整除问题、近似值问题

22.（2022・全国•高三专题练习）化简C02+C；O22+...+C牌。等于（）

A.210-1B.3,0-1C.2,0+1D.3,0+1

23.（2022秋•辽宁沈阳•高二沈阳市笫一二O中学校考阶段练习）10严被9除的余数

为（）

A.5B.6C.7D.8

24.(2021・高二课时练习)1.02,的近似值(精确到o.oi)为()

A.1.12B.1.13C.1.14D.1.20

练习七杨辉三角

25.（2022春•陕西西安.高二校考阶段练习）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学

家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三

角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的

一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用％一表示三角形数阵

的第i行第1个数,则。必3=（）

1

11

121

1331

14641

15101051

1615201561

172135352171

18285670562881

193684126126843691

A.5050B.4851C.4950D.5000

26.（2022春・吉林长春•高二长春市实验中学校考阶段练习）杨辉三角，又称帕斯卡

三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《评

解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规

律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1,1,1,1,2,

1,1,3,3,1,1,4,6,4,1……记作数列｛%｝,若数列｛4｝的前〃项和为5.，

则%=()

专题13计数原理7类常考题型训练

目录

一常规题型方法...........................................................1

题型一分类分步问题（特殊位置与特殊元素优先法、染色问题、排数问题）....1

题型二排队模型（捆绑法、插空法、缩倍法、间接法）.......................6

题型三分组模型（平均分组与不平均分组、隔板法、间接法）................10

题型四二项式定理、二项式系数、项的系数.................................15

题型五三项展开式与两个二项式乘积展开式.................................21

题型六二项式定理逆用、整除问题、近似值问题............................23

题型七杨辉三角.........................................................25

二针对性巩固练习........................................................28

练习一分类分步问题（特殊位置与特殊元素优先法、染色问题、排数问题）……―28

练习二排队模型（捆绑法、插空法、缩倍法、间接法）......................30

练习三分组模型（平均分组与不平均分组、隔板法、间接法）................32

练习四二项式定理、二项式系数、项的系数.................................34

练习五三项展开式与两个二项式乘积展开式.................................36

练习六二项式定理逆用、整除问题、近似值问题............................37

练习七杨辉三角.........................................................38

常规题型方法

题型一分类分步问题（特殊位置与特殊元素优先法、染色问题、排

数问题）

【典例分析】

典例1-1.（2023秋・河北石家庄•高二校联考期末）2023年元旦假期，小明同学外出

去某超市购物，获得了该超市的一次抽奖机会，需从9个外观完全相同的盲盒中，

随机抽取3个.已知这9个盲盒中，其中3个盲盒各装有1支完全相同的钢笔，另

外6个盲盒中，各装有不同的1个小饰品，则拆开选取的3个盲盒后，小明获奖的

情形为（）种

A.84B.42C.41D.35

【答案】B

【分析】对抽到钢笔的情形分4种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得.

【详解】解：依题意小明抽到1支钢笔，则抽到2个不同的小饰品，有C；=15种；

小明抽到2支钢笔，则抽到1个不同的小饰品，有C：=6种；

小明抽到3支钢笔，则只有1种;

小明抽到。支钢笔，则抽到3个不同的小饰品，由C；=20种；

综上可得小明获奖的情形有15+6+1+20=42种.

故选：B

典例1-2.（2022秋・辽宁朝阳•高二校联考阶段练习）“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，

节约粮食是我国的传统美德.已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜,

小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的

选取方法有（）

A.13种B.22种C.30种D.60种

【答案】D

【分析】根据分步乘法计数原理可求出结果.

【详解】根据分步乘法计数原理，共有2x6x5=60（种）不同的选取方法，

故选：D.

典例1-3.（2023・全国•高三专题练习）如图，矩形的对角线把矩形分成A、B、CD

四部分，现用五种不同色彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分

颜色互异，共有（）种不同的涂色方法？

A.260B.180C.240D.120

【答案】A

【分析】由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，最多四种颜色，分类讨论，

最后相加.

【详解】由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：

第一类，用4种颜色涂色，有A；=120种方法.

第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有C；种.

在涂的过程中，选对顶的两部分（A、C或以D）涂同色，另两部分涂异色有C；种

选法；3种颜色涂上去有A；种涂法，

根据分步计数原理求得共C〉C；A；=120种涂法.

第三类，用两种颜色涂色.选颜色有C；种选法，人C用一种颜色，B、。涂一种颜

色,有A；种涂法，故共C；-A”20种涂法.

，共有涂色方法120+120+20=260种，

故选：A.

典例1-4.（2022春・天津河西•高二天津实验中学校考期中）从024,6中任取3个数

字，从1,3,5中任取2个数字，组成没有重复数字的五位奇数，则这样的五位数共有

（）

A.252B.396C.468D.612

【答案】C

【分析】满足条件的五位数可分为两类，第一类含0,第二类不含0,利用分步乘法

计数原理和分类加法计数原理即可求解.

【详解】满足条件的五位数可分为两类，

第一类含0,先由2,4,6中任选两个数，再从1,3,5中任选2个数，有C；C种选法，

最后将所选的数与0排成五位奇数有C；C；A；种排法，故满足条件的数共

个,

第二类不含0,先由2,4,6中任选三个数，再从1,3,5中任选2个数，有C；C；种选法，

最后将所选的数排成五位奇数有C；A：种排法，故满足条件的数共C；C；C；A：个，

故满足条件的五位数共C；C；C；C；A；+C；C；C；A：个，即468个，

故选：C.

【方法技巧总结】

1.技巧：注意特殊位置与特殊元素优先处理，对于染色问题与排数问题都要注意分

类讨论。

【变式训练】

1.（2022秋・江苏南通・高三统考阶段练习）已知电影院有三部影片同时上映，一部

动画片，一部喜剧片，一部动作片，5名同学前去观看，若喜剧片和动作片各至少

两人观看，则不同的观影方案共有（）种.

A.30B.40C.50D.80

【答案】C

【分析】根据题意可知事件包含喜剧片2人且动作片2人，喜剧片3人且动作片2

人，喜剧片2人且动作片3人三种情况，求出对应的方案后相加即可.

【详解】喜剧片和动作片至少两人观看的情况有：

喜剧片2人且动作片2人，喜剧片3人且动作片2人，喜剧片2人且动作片3人，

当喜剧片2人且动作片2人时，共有C；C；C；种观看方案，

当喜剧片3人且动作片2人时，共有种观看方案，

当喜剧片2人且动作片3人时，共有C；C；种观看方案，

所以一共有C；C；C：+C；C；+C；C；=50种观看方案.

故选：C.

2.（2022春•上海闵行•高二校考期末）现有5名同学去听同时进行的4个课外知识

讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（）

A.45B.54C.20D.9

【答案】A

【分析】将此事分为5步，每一步均为1名同学选择讲座，后由分步计数原理可得

答案.

【详解】将完成此事分为5步.第1步为第一名同学完成选择，有4种方法；第2步

为第二名同学完成选择，有4种方法：…；第5步为第五名同学完成选择，有4种

方法.

则由分步计数原理可知，不同选法的种数位为：4x4x4x4x4=45.

故选：A

3.（2023・全国•高三专题练习）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同

颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有

（）种

A.36B.48C.54D.72

【答案】D

【分析】符合条件的涂色方案可分为两类，笫一类区域②，④涂色相同的涂色方案，

第二类区域②，④涂色不相同的涂色方案，再利用分步乘法计数原理分别求出其方

法数，相加即可求得结果.

【详解】如图：将五个区域分别记为①，②，③，④，⑤，则满足条件的涂色方案

可分为两类，

第一类区域②，④涂色相同的涂色方案，第二类区域②，④涂色不相同的涂色方案，

其中区域②，④涂色相司的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方

法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域

④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，

④涂色相同的涂色方案有4x3x2xlx2种方案，即48种方案；

区域②，④涂色不相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，

第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，

有I种方法，第五步涂区域⑤，有1种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④

涂色不相同的涂色方案有4x3x2xlxl种方案，即24种方案;

所以符合条件的涂色方案共有72种,

故选：D.

4.（2022春・广东清远・高二统考期末）回文联是我国对联中的一种，它是用回文形

式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代

北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上

客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的

正整数，被称为“回文数”，如22,575,1661等.那么用数字1,2,3,4,5可以

组成4位“回文数”的个数为（）

A.25B.20C.30