（寒假）人教版数学七年级寒假精讲精练12 平面直角坐标系+随堂检测（原卷版）

第页12平面直角坐标系知识点一知识点一有序数对◆1、定义：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对.【注意】理解概念的两个要点：一是“有序”，二是“数对”.“有序”是指两个数的位置不能随意交换，当a≠b时，（a，b）与（b，a）表示的是两个不同的位置.“数对”是指必须要两个数.◆2、表示方法：由a与b组成的数对记作(a，b)，两个数之间用逗号分开.◆3、应用：用有序数对表示位置,如用“排、列”表示教室的位置，用经纬度表示地理位置等.知识点二知识点二平面直角坐标系及有关概念◆在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点．◆平面直角坐标系中两坐标轴的特征①互相垂直；②原点重合；③通常取向上、向右为正方向；④单位长度一般取相同的，在有些实际问题中，两坐标轴上的单位长度可以不同.知识点三知识点三点的坐标◆1◆2、写一个点的坐标时，一定要让横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开．◆3、求一个点的坐标的方法：先由这点向x轴画垂线，垂足在x轴上的坐标是这点横坐标；后由这点向y轴画垂线，垂足在y轴上的坐标是这点的纵坐标.原点O的坐标是（0,0），x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0.◆4、已知点A（a,b）,描这个点的方法是：(1)先在坐标轴上找到表示横坐标a与纵坐标的b点；(2)然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线；(3)垂线的交点就是该坐标对应的点.◆5、对于坐标平面内任意一点M，都要唯一的有序数对（x,y）（即点M的坐标）和它对应；反过来，对于任意一对有序数对（x,y）在坐标平面内都有唯一的一点M（即坐标为（x,y）的点）和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.◆6、点的坐标的几何意义：点P（a,b）到x轴的距离是b,到y轴的距离是a．知识点四知识点四平面直角坐标系内点的坐标特征●坐标平面的划分:建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．◆1、各区域点的坐标特征点的位置横坐标符号纵坐标符号简记在第一象限正号正号（+，+）在第二象限负号正号（-，+）在第三象限负号负号（-，-）在第四象限正号负号（+，-）在x轴上正半轴正号0（+，0）负半轴负号0（-，0）在y轴上正半轴0正号（0，+）负半轴0正号（0，-）原点00（0，0）◆2、坐标轴上的点不属于任何象限；坐标平面内的任何一个点，不在四个象限内就在坐标轴上.题型一用有序数对表示位置题型一用有序数对表示位置【例题1】张明同学的座位位于第2列第5排，李丽同学的座位位于第4排第3列，若张明的座位用有序数对表示为（2，5），则李丽的座位用的有序数对表示为（）A．（4、3） B．3，4 C．（3，4） D．（4，3）解题技巧提炼用有序数对来描述物体（点）的位置，其中“有序”是指（a，b）与（b，a）中的a，b的前后顺序不同，描述的位置不同.“数对”是指必须由两个数才能确定某点的位置.【变式1-1】下列条件不能确定点的位置的是（）A．阶梯教室6排3座 B．小岛北偏东30°，距离1600m C．距离北京市180千米 D．位于东经114.8°，北纬40.8°【变式1-2】第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日﹣2022年2月20日在北京市和张家口市联合举行．以下能够准确表示张家口市的地理位置的是（）A．离北京市200千米 B．东经114.8°，北纬40.8° C．在宁德市北方 D．在河北省西北部【变式1-3】【变式1-4】如图是一台雷达探测相关目标得到的部分结果，若图中目标A的位置为（2，90°），B的位置为（4，210°），则C的位置为．【变式1-5】如图是一个综合超市的示意图，王丹同学在周末打算去该超市买几本书．当她从入口A处进入后，先到冷饮部B处买了一瓶饮料，然后才打算去图书部C处买书．如果用（0，0）来表示入口处点A的位置，用（1，2）来表示冷饮部点B的位置，那么：（1）图书部点C、休息区点D的位置怎样表示？（2）如果用（1，2）→（2，2）→（3，2）→（4，2）→（5，2）→（5，3）表示王丹同学从B到C的一条路径，那么还有别的路径吗？若有，请用同样的方法写出来，若没有，说明理由．题型二确定平面直角坐标系内点的坐标题型二确定平面直角坐标系内点的坐标【例题2】点A，B，C，D在平面直角坐标系的位置如图所示．（1）分别写出点A，B，C，D的坐标；（2）依次连接A、C、D得到一个封闭图形，判断此图形的形状．解题技巧提炼确定点的坐标的方法：首先确定横坐标，方法是先由这点向x轴画垂线，垂足在x轴上的坐标是这点横坐标；后由这点向y轴画垂线，垂足在y轴上的坐标是这点的纵坐标.最后用有序数对将它表示出来，即横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”分开，并用小括号括起来.【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（）A．（3，﹣2） B．（﹣2，3） C．（﹣3，2） D．（2，﹣3）【变式2-2】如图，写出A、B、C、D、E、F、H各个点的坐标．【变式2-3】如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C，D，O都在格点上．以点O为坐标原点，在图中建立适当的平面直角坐标系，并写出点A，B，C，D的坐标．【变式2-4】如图是A，B，C，D四点所在位置．（1）若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点C的坐标为（1，5），则点B，D的坐标分别为，；（2）若点B的坐标为（3，﹣1），点D的坐标为（﹣2，0），请在图中建立平面直角坐标系，并写出此时点A，C的坐标．【变式2-5】如图，在平面直角坐标系中，（1）写出点A，B，C，D的坐标．（2）x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？题型三在平面直角坐标系内描点题型三在平面直角坐标系内描点【例题3】在直角坐标系中描绘下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接起来．C（﹣6，3），D（﹣6，0），A（0，0），B（0，3）．（1）图形中哪些点在坐标轴上？（2）线段BC与x轴有什么位置关系？解题技巧提炼1、已知点A（a,b）,描这个点的方法是：(1)先在坐标轴上找到表示横坐标a与纵坐标的b点；(2)然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线；(3)垂线的交点就是该坐标对应的点.2对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对和它对应，对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应.【变式3-1】一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（）A．（2，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（2，3）【变式3-2】在平面直角坐标系下描出下列各点：M（﹣1，2）、N（3，﹣1）、P（0，4）、Q（﹣3，0），则描错的点的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式3-3】如图，用（0，0）表示点A的位置，用（2，1）表示点B的位置．（1）图中C，D，E三点位置分别如何表示？（2）在图中标出（3，2），（1，2），（3，4）的位置上的点，并分别标上字母F，G，H．【变式3-4】在平面坐标系中描出下列各点且标该点字母：（1）点A（﹣3，﹣2），B（﹣2，﹣1），C（﹣1，0），D（1，2）；（2）点E在x轴上，位于原点右侧，距离原点2个单位长度；（3）点F在x轴下方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度．【变式3-5】在下面的平面直角坐标系中，完成下列各题：（1）写出图中A，B，C，D各点的坐标．（2）描出点E（1，0），F（﹣1，3），G（﹣3，0），H（﹣1，﹣3）．（3）顺次连接A，B，C，D各点，围成的封闭图形是什么图形？题型四由点的位置确定点的坐标题型四由点的位置确定点的坐标【例题4】如图所示是围棋棋盘的一部分，将它放置在平面直角坐标系中，若白棋②的坐标是（﹣3，﹣1），白棋③的坐标是（﹣2，﹣5），则黑棋①的坐标是（）A．（﹣3，﹣5） B．（0，0） C．（1，﹣4） D．（2，﹣2）解题技巧提炼解答根据已知点的坐标表示平面内其它点的位置的问题，应先根据已知点的坐标建立适当的平面直角坐标系，再根据其它点所在的象限及位置最终确定坐标.【变式4-1】如图是小刚画的一张脸，若用点A（1，1）表示左眼的位置，点B（3，1）表示右眼的位置，则嘴巴点C的位置可表示为（）A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（3，﹣1） D．（2，0）【变式4-2】如图，如果“炮”所在位置的坐标为（﹣2，1），“相”所在位置的坐标为（3，﹣2），那么“士”所在位置的坐标为（）A．（0，﹣2） B．（1，﹣2） C．（0，﹣1） D．（﹣1，2）【变式4-3】如图是小明、小刚小红做课间操时的位置，如果用（4，5）表示小明的位置，（2，4）表示小刚的位置，那么小红的位置可表示为（）A．（1，3） B．（﹣2，3） C．（﹣1，3） D．（0，2）【变式4-4】如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为（﹣3，3）（﹣1，0），则叶柄底部点C的坐标为．题型五由点到坐标轴的距离确定点的坐标题型五由点到坐标轴的距离确定点的坐标【例题5】已知点P在第四象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是7，则点P的坐标为（）A．（7，﹣2） B．（2，﹣7） C．（7，2） D．（2，7）解题技巧提炼平面直角坐标系内任意一点P（a,b）到x轴的距离是b,到y轴的距离是a.【变式5-1】如图，点Q（m，n）是第二象限内一点，则点Q到y轴的距离是（）A．m B．n C．﹣m D．﹣n【变式5-2】点P在平面直角坐标系的第二象限，且到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点P的坐标是（）A．（1，0） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）【变式5-3】已知点P位于y轴右侧，距y轴3个单位长度，位于x轴上方，距离x轴4个单位长度，则点P坐标是（）A．（﹣3，4） B．（3，4） C．（﹣4，3） D．（4，3）【变式5-4】已知点P（a+5，a﹣1）在第四象限，且到x轴的距离为2，则点P的坐标为（）A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（﹣4，4） D．（2，﹣4）【变式5-5】点P的坐标为（2﹣a，3a+6），且到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为（）A．（3，3） B．（3，﹣3） C．（6，﹣6） D．（3，3）或（6，﹣6）【变式5-6】已知点P（a﹣2，2a+8），分别根据下列条件求出点P的坐标．（1）点P在y轴上；（2）点Q的坐标为（1，5），PQ∥x轴；（3）点P到x轴、y轴的距离相等．题型六由点的坐标确定点所在的象限题型六由点的坐标确定点所在的象限【例题6】在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解题技巧提炼建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限.【变式6-1】无论m取什么实数，点（﹣1，﹣m2﹣1）一定在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式6-2】若m是任意实数，则点M（5+m2，1）在第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【变式6-3】已知直角坐标系内有一点M（a，b），且ab＝2，则点M的位置在（）A．第一或第三象限 B．第一象限 C．第三象限 D．坐标轴上【变式6-4】在平面直角坐标系中，点（﹣1﹣2m2，m2+1）一定在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式6-5】如果P（a，b）在第三象限，那么点Q（a+b，ab）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式6-6】点P（a，b）在第四象限，且|a|＞|b|，那么点Q（a+b，a﹣b）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限题型七坐标轴上的点的坐标特征题型七坐标轴上的点的坐标特征【例题7】点M（m+1，m+3）在x轴上，则M点坐标为（）A．（0，﹣4） B．（4，0） C．（﹣2，0） D．（0，﹣2）解题技巧提炼在平面直角坐标系中，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，坐标原点横纵坐标均为0，即原点O的坐标是（0,0）.【变式7-1】如果P（m+3，2m+4）在y轴上，那么点P的坐标是（）A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（1，0） D．（0，1）【变式7-2】若点A（﹣2，n）在x轴上，则点（n+1，n﹣3）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式7-3】已知点A在x轴的负半轴上，且到原点的距离是3，则点A的坐标为．【变式7-4】若点P（m﹣2，﹣1﹣3m）落在坐标轴上，则m的值是（）A．m＝2 B．m=−13 C．m＝2或m=−13 【变式7-5】在平面直角坐标系中，已知点P（a﹣1，2a+4），根据下列条件，求出相应的点P的坐标．（1）点P在y轴上；（2）点P的横坐标比纵坐标大2；题型八角平分线上点的坐标特征题型八角平分线上点的坐标特征【例题8】若点A（−12，a3A．32 B．−32 C．2解题技巧提炼在平面直角坐标系中，第一、三象限角平分线上的点横坐标相同，第二、四象限上的点横坐标与纵坐标互为相反数.【变式8-1】平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣3）和点B（5，﹣5）分别在（）A．第一、三象限的角平分线上 B．第二、四象限的角平分线上 C．第三、四象限的角平分线上 D．第二、三象限的角平分线上【变式8-2】已知点M（2x﹣3，3﹣x），在第一、三象限的角平分线上，则M点的坐标为（）A．（﹣1，﹣1）． B．（﹣1，1） C．（1，1） D．（1，﹣1）【变式8-3】如果点A（m﹣2，2m）在第一、三象限的角平分线上，那么点N（﹣m+2，m﹣1）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式8-4】已知点M（4﹣2m，m﹣5）在第二、四象限的角平分线上，求点M的点坐标．题型九平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征题型九平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征【例题9】在平面直角坐标系中，若点P（a，﹣5）与点Q（4，3）所在直线PQ∥y轴，则a的值等于（）A．﹣5 B．3 C．﹣4 D．4解题技巧提炼平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x轴的直线上任意两点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上任意两点的横坐标相同.【变式9-1】已知点A（m，﹣2），点B（3，m+1），且直线AB∥x轴，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【变式9-2】已知点A的坐标为（2，3），直线AB∥y轴，且AB＝5，则点B的坐标为（）A．（2，8）B．（2，8）或（2，﹣2）C．（7，3）D．（7，3）或（﹣3，3）【变式9-3】已知点M（x+5，x﹣4）．满足点M在过点N（﹣1，﹣2）且与x轴平行的直线上，则MN的长度为．【变式9-4】平面直角坐标系中，已知MN∥x轴，M点的坐标为（﹣1，3），并且MN＝5，则N点的坐标为．【变式9-5】已知AB⊥x轴，A点的坐标为（3，2），并且AB＝3，则B的坐标为．题型十点的坐标与图形的面积关系题型十点的坐标与图形的面积关系【例题10】如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）（1）求点C到x轴的距离；（2）求△ABC的面积；（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．解题技巧提炼利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系，同时运用“割补法”计算不规则图形的面积.【变式10-1】已知在平面直角坐标系中有三点A（﹣2，1）、B（3，1）、C（2，3）．请回答如下问题：（1）在坐标系内描出点A、B、C的位置；（2）求出以A、B、C三点为顶点的三角形的面积；（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式10-2】如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（﹣2，8），（﹣11，6），（﹣14，0），（0，0）．（1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的？（2）如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？【变式10-3】如图，四边形OABC各个顶点的坐标分别是O（0，0），A（2，0），B（4，2），C（2，3），过点C与x轴平行的直线EF与过点B与y轴平行的直线EH交于点