（预习）人教A版数学高一寒假提升学与练+随堂检测06 复数的四则运算（教师版）

第页专题06复数的四则运算思维导图核心考点聚焦考点一：复数代数形式的加、减运算考点二：复数加减法的几何意义考点三：复数模的综合问题考点四：复数代数形式的乘法运算考点五：复数代数形式的除法运算考点六：在复数范围内解方程知识点一、复数的加减运算1、复数的加法、减法运算法则：设，（），我们规定：知识点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显，两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式．2、复数的加法运算律：交换律：结合律：知识点二、复数的加减运算的几何意义1、复数的表示形式：代数形式：（）几何表示：①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）；②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数．知识点诠释：复数复平面内的点平面向量知识点三、复数的乘除运算1、乘法运算法则：设，（），我们规定：知识点诠释：（1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．（2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式．2、乘法运算律：（1）交换律：（2）结合律：（3）分配律：1、复数加、减法的几何意义：如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量．设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是，由于，所以和的和就是与复数对应的向量．知识点诠释：要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理考点剖析考点一：复数代数形式的加、减运算例1．计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】（1）由题意可得：.（2）由题意可得：.（3）由题意可得：.（4）由题意可得：.（5）由题意可得：.（6）由题意可得：.变式1．已知，，为实数，若，求【解析】，所以，解得，，所以，，则，所以．考点二：复数加减法的几何意义例2．复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为．【答案】【解析】因为对应的复数是，对应的复数为，又，所以对应的复数为，又，所以点对应的复数为，所以点的坐标为．故答案为：．例3．在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为．【答案】5【解析】依题意得对应的复数为，所以A，C两点间的距离为．故答案为：5．例4．已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为．【答案】【解析】，是以复平面内点为圆心，以为半径的圆，，，，即，复数以复平面内点为圆心，半径为1和的两圆构成的圆弧，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为：，故答案为：.变式2．已知，则的最小值是．【答案】1【解析】由，得z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为的圆上．，表示Z到点所对应的点的距离，求出后减去半径可得最小值．因为，所以z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为的圆上．，表示Z到点所对应的点的距离，，所以．故答案为1．变式3．若复数，（其中为虚数单位）所对应的向量分别为与，则的周长为.【答案】16【解析】因为，，，所以，，.所以的周长为.故答案为：16考点三：复数模的综合问题例5．设是虚数单位，若复数满足，则．【答案】【解析】因为，则，所以.故答案为：.例6．设复数、，满足，，则．【答案】【解析】设，，因为，则，又因为，所以，，即，由，可得，故，解得，由，可得，所以，，所以，.故答案为：.变式4．若复数和复数满足，，，则.【答案】/【解析】设，且，则，又，所以，即，则，因为，所以，所以.故答案为：.变式5．设复数、满足，，，则．【答案】【解析】设，，则，即，所以，，，因此，.故答案为：.考点四：复数代数形式的乘法运算例7．已知为虚数单位，若复数满足，则.【答案】【解析】设，则，所以，因为，所以，所以，所以，则.故答案为：.例8．.（为虚数单位）【答案】【解析】由题意，的周期为4，所以原式.故答案为：.变式6．若复数z的虚部小于0，且，则．【答案】-4【解析】设且，则，所以，则或（舍去），所以（舍去）或，所以，故答案为：考点五：复数代数形式的除法运算例9．已知为实数，若复数为纯虚数，则的值为.【答案】【解析】因为复数为纯虚数，可得，所以.故答案为:.例10．已知复数，，则在复平面内对应的点位于第象限.【答案】一【解析】因为复数，，所以，在复平面内对应的点为，则点位于第一象限.故答案为：一.变式7．若，，则实数，应满足的条件为.【答案】或【解析】因为，故有,所以或，即或是a，b应满足的条件.故答案为：或.考点六：在复数范围内解方程例11．已知复数，为z的共轭复数，且．(1)求m的值；(2)若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．【解析】（1）已知，则，由于，得，解得：（2）由（1）可知，，将代入方程可得：，即：，得：，解得：，，带入一元二次方程中得：，解得：，，即方程另外一个复数根为例12．根据要求完成下列问题：(1)关于的方程有实根，求实数的值；(2)若复数的共轭复数对应的点在第一象限，求实数的集合.【解析】（1）设是其实根，代入原方程变形为，由复数相等的定义，得，解得；（2）由题意得，且对应的点在第一象限，∴，即，解得，故实数的集合为.变式8．已知复数，，.(1)若复数在复平面内的对应点落在第二象限，求实数的取值范围；(2)若虚数是方程的一个根，求实数的值.【解析】（1）.因为在复平面内的对应点落在第二象限，所以，解得.因此，实数的取值范围是.（2）因为虚数是方程的一个根，所以也是方程的一个根，于是，解得.所以，，因此.变式9．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，其中．(1)若m＝1，求；(2)若是关于x的方程的一个复数根，求m的值及．【解析】（1）由题意得，因为m＝1，所以，则，所以．（2）（方法一）由题设得，即，则解得m＝－1．故．（方法二）由题设得方程的两根为，，则，得m＝－1，故．（方法三）由，得，即，所以m＝－1，故．变式10．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，求的值.【解析】因为关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，则，解得，由可得，可得，解得，不妨取，，所以，，解得，合乎题意.因此，.变式11．已知i是虚数单位，，.(1)求的值；(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数的值．【解析】（1）因为，，即，所以，解得.（2）由（1）可知，是方程的一个根，，整理得，由复数相等得，解得:.过关检测一、单选题1．已知，，且，则（

）A． B．2 C． D．10【答案】A【解析】因为，即，即，因为，，所以，解得，所以.故选：A2．已知复数在复平面内对应点的坐标为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知复数在复平面内对应点的坐标为，则，所以.故选：A.3．复平面内，复数(为虚数单位)，则复数对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】依题意，，所以在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C4．已知复数满足：，则（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【解析】由，得，则.故选：C5．已知i为虚数单位，复数z满足，则的虚部是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，所以，所以的虚部是.故选：D6．下列命题中，正确的个数为（

）①设是坐标原点，向量、对应的复数分别为、，那么向量对应的复数是；②复数是的根，则；③若复数是关于的方程的一个根，则；④已知复数满足，则复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为的圆.A． B． C． D．【答案】B【解析】对于①，因为，则向量对应的复数是，①错；对于②，由可得，解得，故，②对；对于③，由题意可知，关于的方程的两个虚根分别为、，所以，，解得，故，③对；对于④，因为，所以，复数对应的点的轨迹是以为圆心半径为的圆，④错.故选：B.7．复数满足（为虚数单位），则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】，∴，对应的点在以原点为圆心1为半径的圆上，表示复数对应点和对应的点间距离，又，所以的最小值是，故选：B．8．设复数，则的的虚部是（

）A．3 B．2 C．-3 D．-2【答案】C【解析】，所以的虚部为.故选：C二、多选题9．若复数，则（

）A．的共轭复数B．C．复数的实部与虚部相等D．复数在复平面内对应的点在第四象限【答案】BD【解析】，则，故错误；，故正确；复数的实部为，虚部为，不相等，故错误；复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故正确，故选：10．已知复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（

）A．在复平面内复数所对应的点位于第一象限 B．C． D．【答案】ABCD【解析】A选项，，故在复平面内复数所对应的点位于第一象限，A正确；B选项，，B正确；C选项，，C正确；D选项，，D正确.故选：ABCD11．复数，其共轭复数为，则下列叙述正确的是（

）A．对应的点在复平面的第四象限 B．是一个纯虚数C． D．【答案】BCD【解析】由题意得：，对于A项：，对应的点在复平面的第一象限，故A项错误；对于B项：为纯虚数，故B项正确；对于C项：，故C项正确；对于D项：，故D项正确；故选：BCD.12．已知复数，下列结论正确的有（

）A． B．若，则C． D．【答案】AC【解析】设，则，，A正确；当时，，因此B错误；，，C正确；时，，，D错．故选：AC．三、填空题13．设复数满足，则.【答案】5【解析】设，则，于是，解得，则.故答案为：.14．复数，（a、），若它们的和为实数，差为纯虚数，则．【答案】【解析】由题设为实数，故，，故，所以.故答案为：15．如果都是实数，关于的方程有一个根，则【答案】【解析】因为为关于的方程的一个根，所以为关于的方程的一个根，所以，解得，，所以.故答案为：.16．复平面上两个点分别对应两个复数，它们满足下列两个条件：①；②两点连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为【答案】20【解析】设，则.所以点的坐标分别为又两点连线的中点对应的复数为，解得.又的面积为.故答案为：.四、解答题17．计算：(1)；(2).【解析】（1）.（2）.18．已知.(1)求的值；(2)设,求的值.【解析】（1）.（2），.19．已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位.(1)求复数z和|z|；(2)若在第四象限，求m的取值范围.【解析】（1）设，则，由为实数，得，则，由为实数，得，则，∴，则；（2），由在第四象限，得，解得或，故m的取值范围为．20．（1）在复数范围内因式分；

（2）计算：是虚数单位．【解析】（1）易知，即可分解为；（2）由，可得，又，所以，即.21．（1）已知复数，．i是虚数单位，若是纯虚数，求m的值；（2）i是虚数单位，，，若，求复数z．【解析】（1）由，是纯虚数，所以；（2）由.22．已知是虚数单位，复数z的共轭复数是，且满足．(1)求复数z的模；(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．【解析】（1）设，则，∴，∴，，∴，则；（2）由（1）知，，∴，由题意，复数在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得：，即实数m的取值范围为．复数的四则运算随堂检测1．若复数，则等于（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】，所以，故选：D.2．已知复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】则的虚部为故选：B3．若复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限【答案】C【解析】因为复数满足，所以，则，所以在复平面内对应的点位于第三象限，故选：C4．已知复数z满足，则下列结论中正确的是（

）A．z的虚部为i B． C． D．【答案】D【解析】，其虚部为，，，．故选：D.5．（多选）以下四种说法正确的是（

）A．=iB．复数的虚部为C．若z=，则复平面内对应的点位于第二象限D．复平面内，实轴上的点对应的复数是实数【答案】ABD【解析】对于A，，A正确；对于B，复数的虚部为，B正确；对于C，，则，复平面内对应的点在y轴负半轴上，C不正确；对于D，复平面内，实轴上的点对应的复数是实数，D正确.故选：ABD6．（多选）若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（

）A．对应的点在第三象限 B．C．为纯虚数 D．的共轭复数为【答案】AB【解析】因为，对于A：对应的点（-2，-