（预习）人教A版数学高一寒假提升学与练+随堂检测05 复数的概念（教师版）

第页专题05复数的概念思维导图核心考点聚焦考点一：复数的基本概念考点二：复数相等考点三：复数的几何意义考点四：复数的模考点五：复数的轨迹与最值问题知识点一：复数的基本概念1、虚数单位数叫做虚数单位，它的平方等于，即．知识点诠释：①是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；②可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．2、复数的概念形如（）的数叫复数，记作：（）；其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示．知识点诠释：复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据．3、复数的分类对于复数（）若b=0，则a+bi为实数，若b≠0，则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数．分类如下：（）用集合表示如下图：4、复数集与其它数集之间的关系（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集．）5、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为．知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即：如果，那么特别地：．知识点诠释：（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样．根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）．（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小．一、复数的几何意义1、复平面、实轴、虚轴：如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．知识点诠释：实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2、复数集与复平面内点的对应关系按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是复数的一种几何意义．3、复数集与复平面中的向量的对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数．设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定．复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即复数平面向量这是复数的另一种几何意义．4、复数的模设（），则向量的长度叫做复数的模，记作．即．知识点诠释：①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小．②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等．考点剖析考点一：复数的基本概念例1．当为何实数时，复数分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数：(4)0？【解析】（1）当，即时，复数是实数；（2）当，即时，复数是虚数；（3）当且，即时，复数是纯虚数；（4）当且，即时，复数．例2．复数，则（

）A．的实部为 B．的虚部为C．的实部为 D．的虚部为【答案】B【解析】因为，所以，所以与的实部均为1，A，C错误；的虚部为，B正确，D错误.故选：B.例3．已知，，若，则z的虚部是（

）A．-2 B．1 C．-2i D．2i【答案】A【解析】由，可得，所以，所以的虚部是．故选：A．变式1．设，则复数的虚部为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】复数的虚部为，故选：A变式2．已知为虚数单位，则（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】，故选：A变式3．已知i为虚数单位，复数，则z的共轭复数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故其共轭复数为，故选：B.考点二：复数相等例4．已知x、，若，则．【答案】2【解析】由题意，得，所以.故答案为：2.例5．已知，，则a＝；【答案】【解析】因为，则由复数相等可得：，即.故答案为：.例6．已知，则【答案】3【解析】因为，，所以解得.所以.故答案为：3.变式4．已知，i为虚数单位，且，则.【答案】0【解析】因为，则，故答案为：0.考点三：复数的几何意义例7．四边形ABCD是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，，，则点D对应的复数为．【答案】/【解析】依题意，因为三点对应的复数分别是，，，所以，因为是平行四边形，所以，设，则，故，解得，所以，则点D对应的复数为.故答案为:.例8．已知复数，则在复平面内复数z对应的点在第象限．【答案】二【解析】复数在复平面内复数z对应的点为，位于第二象限.故答案为：二例9．若复数所对应的点在第二象限，则的取值范围为.【答案】，或.【解析】因为复数所对应的点在第二象限，，且，解得：或.故答案为：或.变式5．复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为.【答案】【解析】因为为实数，且复数在复平面内对应的点位于虚轴上，所以，解得或.故答案为：.变式6．已知复数所对应的向量为，把依逆时针旋转得到一个新向量为．若对应一个纯虚数，当取最小正角时，这个纯虚数是．【答案】【解析】，对应的点为在第一象限，逆时针旋转最小正角时，对应的点在轴的正半轴上，，故纯虚数为.故答案为：.变式7．当时，复数在复平面内的对应点位于第象限．【答案】四【解析】由复数在复平面内对应的点，因为，可得，所以点位于第四象限.故答案为：四.变式8．若复数（其中为虚数单位）在复平面内所对应的向量分别为和，则的面积为.【答案】/6.5【解析】由题意，得，则，，的面积为，故答案为：.考点四：复数的模例10．复数的模．【答案】【解析】复数的模，故答案为：．例11．已知纯虚数满足，则．【答案】2【解析】设，则，则，即舍去或，所以．故答案为：．例12．已知复数，其中i为虚数单位，若z，在夏平面上对应的点分别为M，N，则线段MN长度为．【答案】【解析】，则，，则，所以线段的长度.故答案为：变式9．已知复平面内复数对应的点在射线上，且，则．【答案】【解析】由复平面内复数对应的点在射线上，所以，，其中，因为，可得，又因为，解得，所以.故答案为：.变式10．是虚数单位，已知．写出一个满足条件的复数．【答案】（答案不唯一，满足均可）【解析】设，因为，所以，即，整理得，取得.故答案为：（答案不唯一，满足均可）变式11．若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且，则z等于．（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【解析】设，，因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以，，又因为，所以，显然当时，符合题意，故答案为：（答案不唯一）变式12．若复数满足，则．【答案】【解析】设，则，所以，解得，所以，故答案为：考点五：复数的轨迹与最值问题例13．复数满足，且在复平面内对应的点为Z，则复平面内点Z的轨迹是（

）.A．点 B．圆 C．线段 D．圆环【答案】B【解析】由于，故对应点到原点的距离为，所以复平面内点Z的轨迹是单位圆.故选：B例14．复数满足关系式：，则复数在复平面内对应点的轨迹是（

）A．两条直线 B．一条直线和一个圆C．两个圆 D．一个圆【答案】C【解析】由，解得或.当时，复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心，半径为的圆.当时，复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心，半径为的圆.故选：C例15．已知复数z满足，则的最大值为．【答案】/【解析】设复数z在复平面中对应的点为，因为，则点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，且表示点到定点的距离，所以的最大值为.故答案为：.变式13．若，且满足，则的最大值为.【答案】3【解析】，复数的轨迹表示以点为圆心，1为半径的圆，表示圆上的点到点的距离，如图，当过点和圆的圆心，即为最大值.故答案为：变式14．已知，则的最大值是.【答案】6【解析】在复平面内，由，知复数对应点的轨迹是原点为圆心的单位圆，表示点与复数对应点的距离，所以的最大值为.故答案为：6过关检测一、单选题1．若复数，其中，则复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因为，实部为，虚部为，因为，所以，，所以复数在复平面内对应的点为位于第四象限.故选：D2．复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（

）A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数【答案】D【解析】由题意可设，所以对应复数为，此复数为纯虚数，故选：D.3．已知是虚数单位，，则（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】由，可得，解得，则.故选：D.4．设m为实数，已知复数为纯虚数，则m的值为（

）A．0或1 B．1或-2 C．0 D．-2【答案】C【解析】复数为纯虚数,,故选:C.5．复数对应的点在第四象限，则角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【解析】因为复数对应的点在第四象限，则，因此，角是第二象限角.故选：B.6．若复数在复平面内对应的点关于轴对称，且，则复数（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据复数的几何意义，对应复平面的点是，关于轴对称得到的点是，对应的复数是.故选：B7．已知，．若，则的值为（

）A．2 B．3 C．2或3 D．不存在【答案】C【解析】因为，所以，解得或．故选：C8．复数满足，则（为虚数单位）的最小值为（

）A．3 B．4 C． D．5【答案】B【解析】设复数在复平面内对应的点为，由知，点的轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，表示圆上的点到点的距离，如下图，如图，最小值为.故选：B二、多选题9．对于复数，下列结论错误的是（

）A．若，则为纯虚数B．若，则C．若，则为实数D．【答案】AB【解析】对于A：当，，当时为实数，A错误；对于B：若，则，B错误；对于C：若，则为实数，C正确；对于D：，D正确.故选：AB.10．在复平面内，复数对应的点位于第四象限，则实数的可能取值为（

）A．2 B．0 C． D．1【答案】AD【解析】复数在复平面内对应的点的坐标为位于第四象限，则，所以符合题意的只有A、D.故选：AD11．已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（

）A．B．复数的模长为C．若，则复平面内对应的点位于第二象限D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线【答案】ABD【解析】对于A：，故选项A正确；对于B：复数的模为，故选项B正确；对于C：，所以，对应的点位于第三象限，故选项C不正确；对于D：复数满足，表示复数对应的点到点和点两点的距离相等，所以在复平面内对应的点的轨迹为线段的垂直平分线，故选项D正确；故选：ABD.12．设，复数，则在复平面内对应的点可能在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】ABD【解析】由题意得：复数在复平面内对应的点为；令，①当，即时，若，则，位于第一象限；若，则，在第二象限；②当，即时，，位于第四象限；综上所述：在复平面内对应的点可能在第一、第二和第四象限.故选：ABD.三、填空题13．已知i为虚数单位，复数，，若为纯虚数，则.【答案】【解析】由复数为纯虚数，可知，，得.故答案为：14．在复平面内，复数与所对应的向量分别为和，其中为坐标原点，则对应的复数为．【答案】【解析】因为复数与所对应的向量分别为和，所以，，所以，即对应的复数为.故答案为：15．已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是.【答案】【解析】复数，因为复数对于的点在第四象限，所以，解得：.故答案为：16．已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点在第象限．【答案】一【解析】设复数，其中，因为，可得，可得，解得，所以，可得，所以在复平面内对应的点为，位于第一象限.故答案为：一.四、解答题17．（1）若，则实数的值为多少？（2）若，且，则实数的值分别为多少？【解析】（1）由已知得，解得；（2）由已知得，解得或.18．设复数，其中.(1)若是纯虚数，求的值；(2)所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围.【解析】（1）是纯虚数，只需，解得.（2）由题意知，解得，故当时，所对应的点在复平面的第四象限内.19．实数取什么数值时，复数分别是：(1)实数？(2)纯虚数？【解析】（1）由已知得,其中复数的实部为，虚部为，当时，即或时复数为实数.（2）当，即，即时，复数为纯虚数.20．已知复平面内的对应的复数分别是，，其中，设对应的复数是.(1)求复数；(2)若复数对应的点在直线上，求的值.【解析】（1）∵点对应的复数分别是，，∴点的坐标分别是，∴，∴对应的复数.（2）由（1）知点的坐标是，代入，得，即，∴.又∵，∴，∴或.21．平行四边形的顶点、、对应的复数分别为、、．(1)求点对应的复数：(2)在中，求边上的高．【解析】（1）因为平行四边形的顶点、、对应的复数分别为、、，由复数的几何意义可得、、，由平面向量加法的平行四边形法则可得，故点对应的复数为.（2）因为，，所以，，所以，，因此，的边上的高为.复数的概念随堂检测1．复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以的虚部为2.故选：D2．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】在复平面所对应的点为，位于第二象限.故选：B.3．已知复数满足，则共轭复数在复平面内对应的点在（

）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【答案】A【解析】由得，其在复平面内对应的点为，在第四象限，故选：A.4．在复平面内，复数对应的点位于第四象限，且，则（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】由复数的模的定义及，得，解得．又在复平面内，复数z所对应的点位于第四象限，∴，∴，故选：D．5．若z是复数，且，则的最大值是（

）A．12 B．8 C．6 D．3【答案】A【解析】由已知得表示复平面内z对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，而表示的是复平面内对应的点到复数对应的点（6，－8）之间的距离，其最大值为，故选：A.